第四章 數值分析與結果
4.7 Channel section in torsion
圖4.10(a)為 Channel section in torsion 示意圖及其所受到之集中力負荷 與均勻力負荷圖，結構線段AB、BC、CD 和EF、FG、GI 為鉸接，結構J、 K點受到集中力負荷，線段AB、BC、CD和 EF、FG、GI 受到均勻力負荷。
網格(1+2+1)×2 示意圖如圖 4.10(b)所示，本例題使用了網格(1+2+1)×20 和
(2+4+2)×40。本例題假設在M點之邊界條件為U =0，在B、F點之邊界條
件為V =0，在線段 BC及FG之邊界條件為W =θx =0。本例題之平衡迭代 的容許誤差值取10−4，表 4.5 是本例題在不同網格下的結果與文獻[10]中
Battini 的結果，文獻[10]的結果是使用了網格(1+2+1)×20 和(3+8+3)×56 得到 的結果。圖 4.11 是本例題在不同網格下的結果與文獻[13]中 Battini 的結果，
文獻[13]的結果是使用了網格(1+2+1)×20 得到的結果。本例題使用了元素幾 何剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(a)，在網格(1+2+1)×20 的分析過程中使 用了 211 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 3，在網格(2+4+2)×40 的分 析過程中使用了 249 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 3。由圖 4.11 可以看出本例題不同網格的結果與文獻[13]的結果接近。
4.8 直角梁直角梁直角梁直角梁受到單點集中力作用受到單點集中力作用受到單點集中力作用 受到單點集中力作用
圖 4.12(a)為直角梁示意圖及其所受到之集中力負荷圖，直角梁前端為 固定端，末端為自由端，在直角梁末端受到一個單點的集中力P。本例題 考慮兩種不同的網格，分別為網格 CM 與網格 FM。圖 4.12(b)為結構劃分 成網格(2+3)×2 示意圖。網格 CM 為結構劃分成網格(2+2)×25，使用了 200 個三角殼元素；網格 FM 結構劃分成網格(4+6)×60，使用了 1200 個三角殼 元 素 。 本 例 題 假 設 固 定 端 線 段 BD 及 BF 的 邊 界 條 件 設 定 為
=0
=
=
=
=
=V W x y z
U θ θ θ ，沿線段 BD 及 BF 方向的正應變為 0。本例題 之平衡迭代的容許誤差值取10−4，圖 4.13 是本例題在不同網格下的結果與
文獻[10]中Battini的結果，其中OPT[10]的結果是使用了網格CM得到的結
果，ALL[10]的結果是使用了網格FM 得到的結果。本例題使用了元素幾何
剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(a)，在網格 CM 的分析過程中使用了 13
個增量，每個增量的平均迭代次數約為 6；在網格 FM 的分析過程中使用了 12 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4。本例題使用了元素幾何剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(b)，在網格 CM 的分析過程中使用了 17 個增 量，每個增量的平均迭代次數約為 6；在網格 FM 的分析過程中使用了 13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4。在元素座標為 Case(a)之下，由 圖 4.13 可以看出本例題網格 CM 在UA <40時，曲線介於OPT和ALL之間，
網格CM在UA ≥ 40時，曲線逐漸偏離ALL，網格 FM則是一直保持曲線介 於OPT和ALL之間，所以本例題使用元素由少至多可看出曲線的走勢偏向 OPT。本文所使用文獻上最常見的元素座標系統，而文獻[10]中選取的元素 座標系統不同，導致本例題元素座標 Case(a)的結果跟文獻[10]的結果有所 差異，則元素座標Case(b)的結果就跟文獻[10]的結果相當吻合。
4.9 懸臂圓柱殼受到單點集中力作用懸臂圓柱殼受到單點集中力作用懸臂圓柱殼受到單點集中力作用懸臂圓柱殼受到單點集中力作用
圖 4.14(a)為圓柱殼示意圖及其所受到之集中力負荷圖，圓柱殼前端為
自由端，末端為固定端，在圓柱殼上下端各受到一個單點的集中力2F。由 於結構為上下、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構來進行分析，
網格16×16的劃分如圖4.14(b)所示，網格16×16使用了 512個三角殼元素。
本例題假設在上下結構對稱處線段 BC 之邊界條件為W =θx =θy =0，在左 右結構對稱處線段 AD 之邊界條件為V =θx =θz =0，固定端線段 CD 的邊 界條件設定為U =V =W =θx =θy =θz =0。本例題之平衡迭代的容許誤差
值取10−4，圖 4.15 是本例題在網格 16×16 的結果與文獻[13]中 Battini 的結 果，其中文獻[13]的結果同樣是使用了 512 個三角殼元素得到的結果。本例 題使用了元素幾何剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(a)，在網格 16×16 的分 析過程中使用了 15 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 7。由圖 4.15 可 以看出本文的結果與文獻[13]的結果非常相近。
4.10 半球殼受到單點集中力作用半球殼受到單點集中力作用半球殼受到單點集中力作用半球殼受到單點集中力作用
圖 4.16(a)為半球殼示意圖及其所受到之集中力負荷圖，半球殼頂端為 固定端，半球殼底端為自由端，在半球殼前後左右端各受到一個單點的集 中力2F。由於結構為前後、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構來 進行分析，網格 12×12 的劃分如圖 4.16(b)所示，網格 12×12 使用了 276 個 三 角 殼 元 素 。 本 例 題 假 設 在 半 球 殼 頂 端 處 C 點 的 邊 界 條 件 設 定 為
=0
=
=V W
U ，在前後結構對稱處線段 AC 之邊界條件為U =θy =θz =0， 在左右結構對稱處線段 BC 之邊界條件為V =θx =θz =0。本例題之平衡迭 代的容許誤差值取10−4，圖 4.17 是本例題在網格 12×12 的結果與文獻[13]
中Battini 在結構A、B兩點的結果，其中文獻[13]的結果同樣是使用了 276
個三角殼元素得到的結果。本例題使用了元素幾何剛度Type(2)並且元素座
標為Case(a)，在網格12×12的分析過程中使用了 17個增量，每個增量的平
均迭代次數約為3。由圖 4.17可以看出本例題的結果與文獻[13]的結果在結 構A、B兩點都幾乎重合。
第五章 第五章 第五章
第五章 結論與展望結論與展望結論與展望 結論與展望
5.1 結論結論結論 結論
本文將文獻上具旋轉自由度的 QST 平面元素[26]與 DKT 板元素[32]疊 加成一個 3 節點 27 個自由度的三角殼元素，元素的節點自由度為 3 個位移、
3 個旋轉及 3 個平面應變。本文中將節點應變定義於一個剛接在節點上，隨 節點一起平移及旋轉的基礎座標上，在本文元素當前的變形位置上建立當 前的元素座標，再由當前的元素座標及節點基礎座標的關係求出三角殼元 素之節點變形參數(位移、旋轉及應變)，然後再利用不同元素節點參數在小 變形時的關係，求出對應於元素節點參數之節點內力還有元素剛度矩陣的 關係。本研究在幾何非線性分析時元素節點內力的計算方法是用初始未變 形的元素剛度矩陣與元素節點總變形參數向量相乘得出定義在當前元素座 標的元素節點內力向量，再將定義在元素座標的元素節點內力中，對應於 節點位移的廣義節點力轉換至固定總體座標系統，對應於節點應變的廣義 節點力轉換至節點基礎座標系統，然後將各個元素的元素節點內力組合成 結構系統節點內力。
本文用共旋轉 total Lagrangian 法推導幾何剛度矩陣與在當前變形位置 決定元素節點變形參數的方法。因 DKT 板元素在元素內部沒有定義側向位 移場w，所以本文推導的三種元素幾何剛度矩陣都僅是近似的幾何剛度矩 陣，但由本文的數值結果發現這兩種元素幾何剛度矩陣，再加上當前變形
位置重新計算元素線性剛度矩陣，作為本文所使用的元素切線剛度矩陣，
在非線性分析的平衡迭代時都能提高收斂速度且性能相近，在挫屈分析時 也都能偵測到相當接近的挫屈負荷。
在幾何非線性分析中，本文先以二維例題來測試本文使用三角殼之 QST 平面元素部分的性能及精度，再以挫屈例題來測試本文使用之三角殼 元素來是否能準確找出主要平衡路徑、分歧點及次要路徑，最後以三維例 題來測試本文使用之三角殼的性能及精度和決定元素節點變形參數之方法 的可行性及準確性。由本文分析之數值例題的結果，可得以下結論：
1. 本文中採用三角殼元素之 QST 平面元素部分有 18 個自由度，為高階 (high- order)的具有旋轉自由度平面元素，而三角殼元素之 DKT 板元素 部分有 9 個自由度，為對薄板分析最可靠的元素，所以在使用較少的網 格下其數值結果仍然相當精確。
2. 本文使用之三角殼元素配合本文推導的兩種元素幾何剛度矩陣，都可以 準確找出主要平衡路徑、分歧點及次要路徑。
3. 本文所使用決定元素變形參數的方法，可以確實應用在幾何非線性分析 上，並有正確的結果。
5.2 未來研究方向未來研究方向未來研究方向 未來研究方向
因本文採用的 DKT 板元素沒有定義元素內部的側向位移w，所以本文 推導的兩種元素幾何剛度矩陣都僅是近似的幾何剛度矩陣，這也許會影響
平衡迭代的收斂速度和偵測平衡路徑上分歧點及挫屈模態的準確性，因此 以後研究可以考慮把 DKT 板元素替換成具有側向位移場w的三角板元素，
或用不同的側向位移場，以本文採用的共旋轉 total Lagrangian 法推導元素 幾何剛度矩陣，或以共旋轉推導法來推導元素幾何剛度矩陣，並探討其對 平衡迭代和偵測平衡路徑上分歧點及挫屈模態的影響。雖然本文中決定元 素座標系統的方法是文獻上最常用的方法，但文獻[49]中提到在共旋轉推導 法中，不同的元素座標會影響分析的結果，並提出數種決定元素座標的方 法，因此以後的研究可以提出其他決定元素座標的方法，並比較各種方法 用在本文之殼元素的結果，選擇對本文之殼元素本身最適合的元素座標系 統，應可提高薄殼結構之幾何非線性分析的精度或收斂速率。
參考文獻 參考文獻參考文獻 參考文獻
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[11] 楊禮龍, 薄殼結構在位移負荷作用下之幾何非線性分析, 交通大 學機械工程學系碩士論文, 台灣, 新竹, 2006.
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