緒論

第一章 第一章

第一章 緒論緒論緒論緒論

在近代工程設計的發展上，對材料的要求與結構的表現趨向於高強度 與輕量化，舉凡建築結構、航太設備、壓力容器、軍事載體及汽車工業等，

設計者要考量以最小成本來達到所需的機能與強度，並且兼顧外型的美 觀。由於薄殼在承受彎曲應力與拉伸應力的表現上有良好的表現，又能達 到經濟與輕量化的要求，因此薄殼為設計者最常使用的結構之ㄧ，而廣泛 應用在工程及生活上。常見的薄殼結構包括：建築屋頂、飛機蒙皮、液體 儲存槽、人造衛星、火箭、船體結構、水中潛體等。

由於薄殼結構常用來承受大旋轉和大位移，即使在彈性範圍內，其位 移與受力的關係通常呈非線性變化，因此必須使用非線性分析來探討由幾 何形狀改變所造成的非線性行為。殼的研究從最早的線性分析進入到較實 際的材料非線性及大變形問題；後來殼的不穩定性、挫屈及挫屈後行為和 幾何非線性等問題則陸續被探討。結構在受到力負荷及位移負荷的分析 中，負荷參數對位移曲線圖的平衡路徑有時會出現snap-back與snap-through 的情況[1]。結構在挫屈前僅有一平衡路徑，即主要平衡路徑；但如果出現 分歧點(bifurcation point)，則在挫屈後的平衡路徑除了主要平衡路徑外，還 有次要平衡路徑，主要和次要平衡路徑上的變形型態可能完全不同。

分析殼結構最常用的方法為有限元素法，世界各地的學者在薄板和薄 殼的有限元素模擬研究已超過五十年，會花這麼長時間在這方面研究主要

可以用兩個理由來解釋[2]，第一，在工業上固體力學問題的有限元素模擬 大約佔百分之七十都當成薄殼結構來處理，第二，一些挑戰性理論和數值 問題吸引很多研究者提出了「簡單、有效率、健全、可靠、容易收斂、精 確、最好…」的板殼元素互相競爭比較。

殼元素最常使用的形狀為三角形或四邊形，對任何不規則形狀的殼結 構，我們都可以輕易地將其切割成有限的三角形組合，但不一定適合將其 切割成四邊形的組合，故三角形元素在文獻上被廣泛的探討及使用。文獻 中有很多殼元素被提出[3-17]，大致上可分為平面元素、曲面元素和等參數 元 素 這 三 類 。 有 限 元 素 分 析 薄 殼 最 常 見 的 做 法 就 是 將 三 角 平 面 元 素 (membrane element)與三角板元素(plate bending element)疊加成一平面三角 殼元素(shell element)，這種殼元素推導簡單，並且數值計算比曲面元素更 有效率[14]，已分別應用在殼結構的線性分析[3-5,17]和幾何非線性分析 [7-17]上。

結構之幾何非線性分析常用的推導法有全拉格朗日法(total Lagrangian formulation)[9]、更新拉格朗日法(updated Lagrangian formulation)[6,9,17]、

及共旋轉法(co-rotational formulation) [7,8,10-16]，全拉格朗日法是以結構初 始狀態為參考位置來表示總位移及旋轉；更新拉格朗日法是以結構上一個 平衡狀態為參考位置來表示增量位移及旋轉；共旋轉法是利用建立在元素 當前變形位置的元素座標將剛體位移及旋轉從總位移及旋轉中扣除，剩下 的總變形位移及旋轉仍為小位移及旋轉。所以若使用共旋轉法，則在線性

分析使用的元素可以用在大位移小應變問題之幾何非線性分析。共旋轉法 在梁與殼結構的幾何非線性分析已經被廣泛的使用[7,8,10-16]，但在平面應 變的問題，則很少見到被使用[18,26]。

CST(constant strain triangle)元素和LST(linear strain triangle)元素都是最 簡單的平面元素，它們常常跟合適的板元素疊加在薄殼分析上使用，因為 這種平面三角殼元素缺少旋轉自由度(drilling degree of freedom)，所以其元 素剛度的面內旋轉剛度(in-plane rotational stiffness)為零，為了避免系統剛度 矩陣因奇異性(singularity)造成分析的困難，文獻[6,7,11,12]是加上一人工 (Artifical)的面內旋轉剛度。

從1964至1983年期間，許多人在研究如何在3節點的平面三角形元素上 加入節點旋轉自由度，希望能得到一個3節點9個自由度的平面三角形元 素，節點自由度為2個位移、1個旋轉，但是都沒有得出可用的元素，一直 到在1984年Allman[19]才提出第一個成功帶有旋轉自由度、3個節點9個自由 度的平面三角形元素。三角平面元素加入旋轉自由度的原因為[24]：改善三 角平面元素的性能並避免使用到三角形邊上的節點，因為邊上的節點會影 響到網格生成，而且在模擬非線性分析與動態分析時較為困難；當三角平 面元素與三角板元素疊加時，能滿足物理上一個節點有3個旋轉自由度的要 求；三角形元素與殼元素、板元素或是梁元素同時使用時，能使接合簡單 化。

從 1984 年至今，有許多具旋轉自由度平面三角形元素被提出[19-22]，

其中除了文獻[22]的 DLST 元素是 12 個自由度，三角形頂點自由度為 2 個 位移、1 個旋轉並且邊上中點自由度為 1 個位移，其餘的元素都是 3 個節點 9 個自由度的元素。由文獻[22]的結果可以發現當元素網格很密時，所有元 素的結果都差不多，但是在使用同樣數目的元素網格時，DLST 元素的結果 比具旋轉自由度之 3 節點 9 個自由度之元素的結果好，這應是合理的，因 為 DLST 元素有 12 個自由度。1966 年 Felippa[23]提出具 3 節點 18 個自由 度的 QST 平面元素(quadratic strain triangle element)， QST 元素中有一種的 節點自由度為 2 個位移、1 個旋轉及 3 個應變，在文獻[24]中稱其為 QST-3/18RS 元素。文獻上使用 QST 元素分析例題的結果甚為少見，這可能 是因為現在的趨勢是使用低階元素，QST 元素不滿足簡單元素的要求，但 由文獻[25]的例題，可以發現 QST 元素有很好的性能，由文獻[26]的例題，

可以發現在使用同樣數目的元素網格時，QST 元素的結果比具旋轉自由度 之 3 節點 9 個自由度及 12 個自由度之元素的結果好，這應是合理的，因為 QST 元素有 18 個自由度。廣義的來說，應變也是物理上的自由度，所以該 QST 元素應可稱為高階的簡單元素。文獻[26]提出了具旋轉自由度之三角平 面元素的共旋轉推導法，將 QST-3/18RS 元素應用於平面應變問題的幾何非 線性分析，並提出一個決定元素節點變形參數的方法，由文獻[26]例題的結 果，可以發現其方法確實可應用在幾何非線性分析上，並有正確的結果。

但文獻[26]在平衡迭代時使用的剛度矩陣並沒有包含幾何剛度矩陣。

從1965年至今，有許多三角板元素被提出[27-36]，在1966年Bazeley[27]

提出了BCIZ元素，其側向位移場w僅滿足C0連續，BCIZ元素和HCT[28]、

DKT (Discrete Kirchoff Triangle) [29]、HSM (Hybrid Stress Model) [30,31] 元 素一樣都是3個節點9個自由度，其節點自由度為1個位移、2個旋轉，Batoz[32]

研究過幾個克希霍夫板元素BCIZ、DKT、HSM、HCT元素，認為DKT元素 是對薄板分析最可靠的元素，但是在1998年Y. K. Cheung[33]指出DKT元素 的缺陷，即該元素內部不能滿足

x y

x y

∂

=∂

∂

∂θ θ 的連續條件且沒有定義側向位移

場w，因為計算板元素之質量矩陣及幾何剛度矩陣需要該元素的側向位移場

w，所以其質量矩陣和幾何剛度矩陣皆使用其他元素之側向位移場來推導，

在薄板彎曲振動及挫屈分析的準確性不能令人滿意。文獻[6,7,11,12]在計算 該元素的幾何剛度矩陣時，假設側向位移場w為線性位移場，並且只考慮平 面元素產生的應力，但文獻[6,7,11,12]中僅有幾何非線性分析，並無挫屈分 析。Y. K. Cheung在1998年[33]提出RDKT元素(refined triangular discrete Kirchhoff plate bending element)，其元素定義的側向位移場w能滿足C1連 續，RDKT元素的元素幾何剛度矩陣一部分由BCIZ元素的側向位移場w提 供，另一部分由私下假設 _x

x w =θ

∂

∂ ， _y

y w =θ

∂

∂ 提供，並且加入控制參數來分配，

由文獻[33]中薄板挫屈分析的結果可以發現RDKT元素比DKT元素有更好 的結果，但是無挫屈後分析。在2008年Kasparek[36]提出E30元素，E30元素 是利用拉格朗日插值法(Lagrange interpolation)將側向位移場w假設為三次 完整多項式，在線性分析的結果比HCT元素還要準確。在2007年Khosravi

等人在文獻[14]將OPT元素與DKT元素疊加成一平面三角殼元素，並且使用

LST-Ret平面元素[24]的位移場u、v及BCIZ板元素[27]的側向位移場w推導

該元素的幾何剛度矩陣，該元素在幾何非線性分析跟解析解相當接近。

Khosravi等人在文獻[15]用不同的平面元素Allman(3M)[21]、LST-Ret、OPT 與DKT元素疊加分析薄殼受均布力的例題，將結構分割成不同網格去測 試，文獻[15]從其負荷參數對位移曲線圖發現網格變多之下不同元素得到的 分歧點也會比較接近。在2007年Battini[13]將OPT元素與DKT元素疊加成一 平面三角殼元素，以共旋轉推導法來推導該元素的幾何剛度矩陣，使用較 少的元素在幾何非線性分析、挫屈分析以及挫屈後分析都有不錯的結果。

文獻[37]以實驗和數值方法[38]探討一聚酯圓柱薄殼受位移負荷作用後 的非線性行為，模擬一矩形薄板在長邊以夾鉗挾持，夾鉗先將薄板彎成一 圓柱狀，再施加一集中位移負荷於結構中心的情況，採用兩階段的位移負 荷分析。在其實驗中隨著位移負荷的增加，結構連續產生四個特殊的幾何 變形，如圖1.1所示。第一個變形是在薄殼中心附近出現兩個對稱X、Y軸的 d-cone (developable cone) (圖1.1a)。第二個變形中出現兩個新的d-cone，而 四個d-cone圍成一個對薄殼中心轉了一個角度的菱形(圖1.1b)。第三個變形 為四個d-cone的連線形成一個梯型(圖1.1c)。第四個變形為梯形底邊兩個 d-cone移到薄殼自由端的邊界時，產生一個不連續的變化，使薄殼變成波浪 狀的圓柱殼(圖1.1d)。雖然文獻[37]的負荷-位移曲線圖顯示其數值解與實驗 的曲線相當接近，但是由其數值結果卻無法觀察到實驗中出現的菱形旋轉

及梯形的變形轉換。文獻[12]將CST元素與DKT元素疊加成一平面三角殼元 素來分析，但是與文獻[37]的數值結果一樣，無法觀察實驗中出現的現象。

據本人所知，目前還沒有文獻用數值分析模擬出該實驗出現的各種現象，

所 以 該 實 驗 的 數 值 模 擬 可 以 用 來 檢 驗 殼 元 素 性 能 優 劣 之 基 準 問 題 (benchmark problem)。

一個好的殼元素應能精確的計算出殼結構之非線性平衡路徑及偵測其

一個好的殼元素應能精確的計算出殼結構之非線性平衡路徑及偵測其