第三章 非線性頻率轉換
3.4 相位匹配技術簡介
3.4 相位匹配技術簡介
3.4-1 雙折射性相位匹配
雙折射性相位匹配(birefringent phase matching)為最常見且重要的相位匹配 技術。藉由雙折射性晶體的特性來調制作用波長在晶體中的相速度以及波向量，以達 到相位匹配所需的條件。
雙折射晶體可分為單晶軸晶體與雙晶軸晶體兩種。[5]單一頻率的光進入各向相異 性的晶體時，在波向量空間中，對單一頻率的電磁波，晶體所允許存在的波向量分佈 會如圖 3-2 所示，由波向量可決定所對應的折射率。圖 3-2 是由兩曲面殼所組成，此 圖僅顯示一個象限。在整個空間中兩曲面殼會有四個交點，可定義出兩個晶體光軸，
這也就是雙晶軸晶體的由來。當平行光平行光軸進入晶體時，不管光的偏振方向為何
，對單一頻率的光來說，都是對應相同的折射率；而對於傳播方向不行行光軸的入射 光，會與折射率曲面交於兩點，而決定出兩個折射率，此兩折射率代表光在晶體中會 對應兩個相速，且其偏振方向互相正交。
在雙晶軸晶體中，nx ≠ny ≠nz，因此會有兩個光軸。假使n 、x n 、y nz中任兩個 相等，只會定義出一個光軸，如前文所述，此即為單晶軸晶體。同理，若nx =ny =nz
，則簡化為各向同性的晶體。
單晶軸晶體根據n 、o n 的大小關係又可分為正單晶軸晶體和負單晶軸晶體；e
o
e n
n > 稱為正單晶軸晶體(Positive uniaxial crystal)，反之稱為負單晶軸晶體(N egative uniaxial crystal)。單晶軸晶體的光學性質以折射率橢球(Index ellipso id)來描述折射率因傳播方向不同的變化，如圖 3-3。
光傳播方向
k
與光軸(z 軸)夾θ 角，垂直光傳播方向的平面與折射率橢球交一橢 圓截線，經過座標變換可得此截線的方程式為2 2
2 2 2
1 cos sin
e( ) o e
n n n
θ θ
θ = + (3.7)
此橢圓的長軸和短軸為傳播方向為
k
的光波之電位移量 D 的兩個可能的振動方 向，長度分別等於該振動方向的折射率n 和o ne(θ)。不論k
的方向為何，他總允許一 偏振方向的折射率不變，此方向垂直於k
與光軸 z 所組成的平面（光平面）。偏振方 向垂直光平面的入射光即定義為正常光(Ordinary ray，簡稱 o-ray)，n 為 o-ray 的o 折射率。而偏振方向垂平行光平面的入射光稱非常光(Extraordinary ray，簡稱 e-r ay)，ne(θ)為 e-ray 的折射率。適當調整光的偏振和傳播方向，在色散關係下依舊可 滿足(3.6)式所說明的相位匹配。以圖 3-3 之正單晶軸晶體為例，若是光波的傳播方向
k
與光軸平行，則光束分 為兩個正交的偏振方向，其皆具有相同的折射率n ，如圖 3-4 所示。若是沿著 x 軸o 前進，則兩偏振方向對應的折射率將分別為n 、o n 。倘若光波入射方向與光軸夾一e 角度θ，則兩偏振方向的折射率必然為n 與o ne(θ)，不論正或負單晶軸晶體皆如此。為了有效的進行非線性光學頻率轉換，必須使參與互作用的光波在晶體中傳播時 具有相同的相速度。實現有效率之頻率轉換的方法之一是相位匹配技術，利用非線性 晶體的雙折射與色散特性達到相位匹配。從原理上說，非線性晶體中三波互作用的相 位匹配有兩種類型。設互作用的三個光波滿足ω3 >ω2 ≥ω1，ddnλ ≤0，如果頻率為ω1的
光波與頻率為ω2的光波具有相同的偏振方向，此時的相位匹配稱為 I 類(Type I)相位 匹配；反之，光波ω1與光波ω2具有正交的偏振，此時的相位匹配為 II 類(Type II)相 位匹配。
表 3-1 列出了單晶軸晶體中 I,II 類相位匹配的條件(附錄於本章後)。
雙晶軸晶體的主介電常數εx ≠εy ≠εz，即nx ≠ny ≠nz，三個主軸的折射率不相 等( nx,ny,nz 現簡寫為 n1,n2,n3 )。因此，雙晶軸晶體的折射率橢球是一個三軸的 橢球，見圖 3-5(a)。雙晶軸晶體有兩個光軸方向，其對稱的在 z 軸的兩側(見圖 3-5 (b))。根據入射基頻光的偏振方向，可分為兩類相位匹配方式：第 I 類及第 II 類。如 入射的基頻光波均為慢光，偏振方向平行，此稱為 I 類相位匹配；如入射的基頻光波 既有慢光又有快光，偏振方向為正交，則稱為 II 類相位匹配。
3.4-2 臨界相位匹配與非臨界相位匹配
假使相位匹配的角度與光軸的夾角非為 90 度，則此類型稱為臨界相位匹配(Cri tical Phase Matching，以下簡稱 CPM)。在此類型中(以單晶軸晶體為例)，玻印亭 向量(Poynting vector)S 與波傳遞方向 K 並不重合，見圖 3-6。其夾角即為走離角α
。走離角隨著晶體長度越長，其降低轉換效率的現象越為顯著(詳細圖文請見節 3-5 中對走離效應的介紹)。
倘若達到相位匹配的角度θm為 90 度，此時玻印亭向量 S 與波傳遞方向 K 為重合 的，無夾角，此類型稱為非臨界相位匹配(Noncritical Phase Matching，以下簡稱 NCPM)。因此將沒有晶體雙折射性質引起的走離效應。但此時需對晶體提供溫度調控 或是外加電場來變化基頻波或是諧波對應的折射率，來達到最好的轉換效率。NCPM 類型晶體的特點為長度長、有效非線性係數低，但卻可以與長度短、有效非線性係數 高的 CPM 晶體同樣的有高轉換效率。因此，最被期待的是長度長且其有效非線性係數 又高的 NCPM 晶體的出現。但是其他相關參數，諸如：破壞閥值(Damage threshold)
、光學吸收與散射、熱傳導係數以及允許角的寬度，都是重要且必須考慮的。
3.4-3 準相位匹配
準相位匹配(Quasi-phase matching，以下簡稱 QPM)是一種雙折射相位匹配(bir efrigent phase matching)的替代技術，它能補償頻率轉換過程中的相速度色散。
在雙折射相位匹配裡，許多問題發生於玻印亭向量的走離效應、低有效非線性係 數與不便的相位匹配溫度以及角度。例如在頻率轉換過程中常用的非線性光學晶體，
如 BBO、LBO、KTP 等，為了滿足相位匹配條件，需要沿特殊方向切割，或需要特定的 工作溫度，且相互作用的光波偏振方向不同，因而只能利用晶體非線性係數中某些特 定的非對角元素。QPM 是經由晶體非線性極化率的週期性調制來補償頻率轉換過程中 由於折射率色散造成的基頻光與諧波光之間的相位失配，因而可以人為地根據晶體的 折射率色散設計調制週期，這樣不僅可以選擇晶體最大的有效非線性係數，而且可以 使某些不能用相位匹配方法完成非線性過程，但具有大的非線性係數的晶體得到有效 利用。同時，QPM 在介質的整個透光波段內都可以透過設計極化週期來實現，在某特 定溫度時皆可達到非臨界相位匹配，這在雙折射相位匹配中，是不可能的。此外，如 PPLN、PPKTP、PPLT 用的非線性極化張量都是 d33，光束均沿 x 方向傳輸，從而不存在 走離效應，這樣為提高轉換效率，晶體可以做得很長。
在頻率轉換過程中，如 SHG 或是 OPO，相位失配隨著互作用的長度(或稱晶體長 度)而累積。在過了一同調長度(Coherence length)後，轉換效率減少且輸出能量(
二次諧波能量或是信號光的能量)降低。在晶體長度遠大於同調長度的情況下，轉換 效率的變化就會形成如同 Marker fringes，詳述於節 3-5。如果非線性係數可以隨著 每兩倍的同調長度做調制，換句話說，非線性係數在每個同調長度後改變其符號，則 累積的相位失配就可以被抵消。必然的，轉換效率就可以隨著互作用的長度增加而持 續的提升。
所以 QPM 的最直接技術就是將非線性晶體區分成每一同調長度為一區域，而每區 域以光軸旋轉 180 度(相對於鄰邊)，如圖 3-7(a)。因此，非線性的極化光在經過每 一同調長度後，將會轉換 180 度。在頻率轉換過程裡，其同調長度通常都只有數個 μm。製造這麼細微的構造以及要精準地控制其厚度是很困難的。現今用的是電場極 化的方法製作而得，如圖 3-7(b)。