研究工具

本研究欲利用 GSP 發展一套二度空間旋轉教材，以提升學生二度空間 能力，並探究國中八年級學生二度空間能力與其數學學業成就、性別之相 關情形，因此本小節所要說明有二:第一部分為二度空間能力測驗試題，

本測驗的編制是依據文獻探討和國內實證研究之結果與相關研究之問卷 所設計而成，參考問卷內容有:林浚傑(2007)、呂潔筠(2009)、黃守怡 (2010)、張哲豪(2011)等人的研究工具，以下將針對本二度空間能力測驗 試題的編製過程、效度分析、預試與修正說明等三項加以說明。第二部分 將針對 GSP 軟體所設計的二度空間概念旋轉教材及學習單加以說明。

一、 二度空間能力測驗試題 (1) 測驗試題的編製過程

本研究要了解數學學業成就與空間能力之間的相關性，然而八年級的 學生所接觸的幾何圖形不多，且幾乎都為平面圖形，因此本測驗試題前五 部分針對平面(二度空間)來設計，最後一部分為三度空間試題，再來研究 者根據第二章文獻探討，將二度空間能力變換定為平移、對稱、旋轉、縮 放此四大類，而幾何圖形的基本變換也是此四大類(國立教育研究院籌備 處，2006)，所以測驗試題前四大部分為平移子測驗、對稱子測驗、旋轉 子測驗、縮放子測驗，第五部分為綜合子測驗，而最後一部分為空間綜合 子測驗。

研究者在編測二度空間能力試題時，參照吳明清(2002)問卷編制原 則:1.施測時間不宜過長，以免學生產生厭惡感而影響測驗結果；2.問卷 題數不宜過多以免作答不完整；3.問卷題型說明應淺顯易懂；4.各類形題 數應儘量相同。綜合上述四點，研究者針對各個子測驗設計了 4 小題，其 中旋轉子測驗設計了 8 小題，原因是旋轉為學生較弱的部分且不在正式課 程內容中，因此需測驗較多層面的試題，故此二度空間能力試題總題數為 28 題，所有試題皆為四選一的單選題，如附錄一。

實施本測驗的主要目的是測驗學生二度空間能力而非學習成就，因此 研究者參照張哲豪(2011)的二度空間能力測驗，在每個子測驗的一開始都 有簡短的說明及範例，即使完全不懂平移、對稱、旋轉、縮放的學生也能 根據題意作答，故學生所測出來的結果，將取決於本身二度空間能力的強 弱，並不會因本身數學成就高低受影響。

(2) 效度分析

在二度空間能力測驗試題初稿設計完成後，再請八年級某班學生數學 學業成就高、中、低三種程度各一位學生進行試閱，其中在試閱時所挑選 的高、中、低成就學生，是以其七年級數學學期總成績之等第（高＝優等；

中＝乙等；低＝丁等）作為篩選標準，合計共三位學生，進行二度空間能 力測驗試閱，作答完畢後，研究者對此三位學生逐一詢問每一子測驗內 容，並詢問有沒有看不懂的說明內容、有沒有看不懂的圖形、有沒有不懂 題意在問什麼，以保證每位學生都能清楚閱讀本測驗，來確保此二度空間 能力測驗的表面效度，除此之外，也藉此試閱來預估本測驗的所需時間，

其中高、中、低程度學生完成時間分別為15、19、22分鐘，為避免學生作 答不完，將測驗時間定為25分鐘，讓學生有足夠充裕的作答時間。

本測驗的表面效度確認無誤後，再請指導教授與三位專家教師對本測 驗題目進行檢核，並提出修正意見(如表3-4-1)，專家教師A為公立學校導 師兼數學教師，教學經驗有8~10年，對學生的學習狀態及課綱演變有相當 的了解；專家教師B為公立學校導師兼數學教師，教學經歷有5年，時常帶 領學生參與JHMC與HCMC等多項數學競賽都能榮獲佳績，尤其是在幾何 與空間能力方面更有所長；專家教師C為公立學校導師兼數學教師，正攻 讀研究所科技數位教學相關科系，故對問卷設計與多媒體教材有所專精。

透過這些專家教師與指導教授所給予的意見與建議，以及研究者觀察試閱 學生有疑問處與圖形不明確之試題，再予以修改。經過此修正步驟後，本 實驗中的二度空間能力測驗預試試題才算初步定稿，並同時確立其表面效 度與專家效度，接著才實施預試。

表 3-4-1 專家教授與專家教師建議修正內容 問卷內容修正意見 修改及調整

學生填寫數學定期成績組別 不須調查，直接利用學生的學籍成績 資料即可。

豐富旋轉類型題目 增加第 16 題，方塊旋轉類型 增加第 18 題，立體旋轉類型 附屬子測驗名稱不適宜 改以"空間綜合子測驗"稱呼 題幹說明尚須清晰明瞭 多處進行語意調整，並強調旋轉 0

度之觀念與縮放 1 倍之觀念強化 修正第 11 題選項 將選項(B)的圖形作修改，避免一眼

看出為對稱圖形 修改

修正第 12 題選項 將選項(B)的圖形作修改，避免跟選 項(C)太相似。

修改

(3)預試與修正說明

經過以上修正完成二度空間能力測驗試題定稿後，以研究者所任教的 學校中，排除樣本學生之外，隨機選取樣本學校八年級學生中的兩個班級 學生進行預試，合計共 62 名學生，其中男學生有 32 名、女學生有 30 名。

本測驗試題可分為七大部分，第一部分為第 1 至 2 題的基本資料題，不予 計分，第二部分為第 3 至 6 題的平移子測驗，第三部分為第 7 至 10 的對 稱子測驗，第四部分為第 11 至第 18 的旋轉子測驗，第五部分為第 19 至 22 的縮放子測驗，第六部分為第 23 至 26 的綜合子測驗，第七部分為第 27 至 30 的空間綜合子測驗。施測時間為 25 分鐘，於 2012 年 10 月 13 日 早自修時段統一進行施測，並於同時間回收測驗卷。

二度空間能力測驗經預試後收回統計，對一題得五分，錯一題得零

分，總分為140分，將測驗原始分數以SPSS 統計套裝軟體來進行試題分析

經過預試後所分析的 Cronbach α 信度為 .819，在效度方面則是採取 專家內容效度，其難度值在 0.25~0.925 之間，而鑑別度則介於 0.15~0.7。

根據國外測驗學者 Ebel 與 Frisbie(1991)的觀點論述：當鑑別度在.40 以 上，則試題判斷標準為非常優良；當鑑別度在 .30~ .40 之間時，則試題 的判斷列為優良，若要使鑑別度提高可能需要做細部的修改；倘若鑑別度 在 .20~ .30 之間，則試題判斷只有尚可，此時試題便需要大幅度的修改；

最後當鑑別度未達 .20，則此試題判斷為不佳，需要刪除或重新調整修改 (吳明隆、涂金堂，2009)。在本研究的預試中，雖然部分題目(如:平移 3.4.5.6、對稱 7.8.9.10、旋轉 18、縮放 21.22)難度值過高，部分題目(平 移 5、對稱 7.10、綜合 24)鑑別度值略低，但由於本實驗的目的主要在於 檢測國中八年級學生之旋轉能力是否會在教學後有所提升，因此仍保留這 些試題，以拓展問卷之廣度。

二、二度空間概念教材 (1) GSP 軟體

本研究中所採用的二度空間概念旋轉教材是利用 GSP 動態幾何軟體 所開發，所謂的 GSP 動態幾何軟體其實是 The Geometer’s SketchPad 動態 幾何軟體的縮寫。而這套軟體本身是由美國 Swarthmore College 及 Key Curriculum Press 在 NSF 官方與資方合作下所生產的視覺幾何研究計畫產 品：簡單地說，GSP 動態幾何軟體是一套在視窗環境下將物件導向動態連 結的幾何軟體。在本研究中研究者之所以選用 GSP 為教學輔助媒體是因其 操作簡易、並能適切提供動態且豐富的圖形變化幾何學習環境，因此 GSP 最適宜做為幾何學的研究與教學的輔助工具（楊子賢，2011；尤冠龍，

2007；郭昭慧，2004），除上述特性之外，GSP 動態幾何軟體在本身的工 具中就有平移、對稱、旋轉及縮放等四種功能物件存在，所以即便第一次 使用的人也能在操作上倍加得心應手，因此在研究中使用也能讓學生迅速 進入學習教材中，不會因為不熟悉軟體操作影響其相關學習成效。

(2) 學習單

(3)二度空間概念教材設計

依據教育部所頒行的國小數學課程，至現今所施行的九年一貫幾何教

材均是參照 van Hiele 的幾何思考層次理論來編寫（朱建正，1996；莊月嬌、

張英傑，2006；洪珮芬，2009）。由此可知，van Heile 的幾何思考理論在 幾何教育中扮演舉足輕重的角色。

因此本教材的設計將參照 van Hiele(1986)所提出的「五階段學習模 式」(five-phase learning model)，分別為:學前諮詢(information )、引導學 習方向(guided orientation)、解說(explicitation)、自由探索( free orientation)、

統整(integration)。

(一)學前諮詢:

透過二度空間概念前測的結果，了解學生易錯且混淆的觀念，並找尋 預試的學生來詢問其問題所在，根據這些學生迷思概念來設計教材。

(二)引導學習方向:

教師引導學生操作 GSP，並透過 GSP 的幾何動態呈現，帶領學生觀察 理解何謂平移、對稱、旋轉、縮放的基本概念，以旋轉概念教學為例如圖 3-4-1，當按下「原始圖繞旋轉點旋轉」時，圖形將會自行的旋轉如圖 3-4-2，並於左上角顯示其選轉角度，此用意是要先讓學生初步了解何謂 旋轉。

圖 3-4-1 旋轉概念之教材圖 圖 3-4-2 旋轉圖自行旋轉 (三)解說:

當學生觀察完基本圖形變換之後，將正式介紹其基本定義，以旋轉概 當按下此按鈕時

念教學為例，當學生按下「何謂旋轉」按鈕時，右上角將會出現旋轉的文 字介紹如圖 3-4-3，此時，正式介紹何謂旋轉，並帶領學生更深入的觀察 與探討。

圖 3-4-3 旋轉概念解說 (四)自由探索:

當學生更為了解二度空間概念時，將給學生自由時間再去探索其圖 形的變換關係，以旋轉為例，學生此時可以自由重複操作、觀察 GSP 幾何 動態的圖形變換，並於學習單上完成討論事項如圖 3-4-4；在此刻討論的 部分，實驗一組的學生採取小組合作的方式進行，實驗二組的學生則透過 與教師討論的方式進行。

圖 3-4-4 學習單中的旋轉討論 (五)統整:

當所有二度空間概念學習完畢之後，學生將完成學習單後面的一些綜

當所有二度空間概念學習完畢之後，學生將完成學習單後面的一些綜