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第三節 研究方法
本文將採用IFM 的方法，將邊際分配函數與 Copula 函數分開進行估計，以 下將介紹擬合資產報酬邊際分配所用的 GIR-GARCH 模型，以及 Gaussian、
Student-t、Gumbel 以及 Clayton 等五種 Copula 函數的動態模型。
(一)、 邊際分配模型
資產報酬的邊際分配模型分成條件平均數方程以及條件變異數方程兩個部 分。考慮到資產之間可能存在共整合關係，因此本文將參考 Kroner and Sultan (1993) 以及 Hsu, Tseng, and Wang (2008)提出對資產原始價格時間序列進行 Johansen 共整合檢定，若存在共整合關係則在條件平均數方程中加入誤差修正項 (error correction term) ，否則改用 MA(1)項代替。本文分別對四種資產原始價格 之間進行Johansen 共整合檢定，結果顯示 Johansen trace test 統計量並不顯著，
說明資產的原始價格之間不存在共整合關係，因此本文將先使用MA(1)項作為條 件平均數的方程。
條 件 變 異 數 則 採 用 Glosten, Jagannathan, and Runkle (1993) 提 出 GJR-GARCH 模型。該模型可以有效的補捉存在於市場中的槓桿效果 (Leverage Effect),也就是波動度的非對稱性。資產報酬的這種性質往往體現在市場負向資訊 對報酬波動的影響力比正向資訊更大。另外，正如前文所提到的金融資產報酬的 不對稱、高峰而且厚尾的現象不能被傳統的常態分配或者是t 分配完整地擬合報 酬的偏態參數和峰態參數。因此本文將採用Hansen (1994)提出的偏態 t 分配作為 模型標準化殘差的邊際分配，藉此提高了分配形狀的彈性。
綜上所述，本文將邊際分配設定為標準化殘差服從偏態 t 分配的
GJR-‧
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出，後來Sklar (1973) 用英文發表了內容類似的文章。Copula 模型可以將 n 維度 的聯合分配函數拆解成 n 個邊際分配函數以及 copula 函數，非常適合用於估計 多個變數間的相關性結構。根據Sklar 的理論，Copula 是指串接多個邊際分配服 從均勻分配的聯合累積分配函數，也就是說對於隨即變數𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 服從 邊際分配函數𝐹1，𝐹2，…，𝐹𝑛，且𝐹𝑗(𝑥) = 𝑃(𝑋𝑗 ≤ 𝑥)，對於𝑗 = 1,2, … , 𝑛連續，則 存在唯一的Copula 其表達式如下：
𝐹(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) = 𝐶(𝐹1(𝑥1), 𝐹2(𝑥2), … , 𝐹𝑛(𝑥𝑛)) （3.6）
因此，我們可以利用機率積分轉換，將任意邊際配分轉變為均勻分配，並建 構出Copula 模型。本文為兩個資產經過 GJR-GARCH 模型擬合後標準化殘差之 間相關性結構，這樣可以排除資產對自身的影響程度，可以更加單純的探討與其 他資產的相關性。對於兩個股票指數之間模型可以具體表示為：
𝑃(𝑍𝑠1,𝑡 ≤ 𝑧𝑠1,𝑡, 𝑍𝑠2,𝑡 ≤ 𝑧𝑠2,𝑡|Ω𝑡−1)
= 𝐹(𝑧𝑠1,𝑡, 𝑧𝑠2,𝑡|Ω𝑡−1) = 𝐶(𝑈1, 𝑈2|Ω𝑡−1)
（3.7）
其中𝑈1、𝑈2的定義分別如下：
𝑈1 = 𝐹𝑍𝑠1,𝑡(𝑧𝑠1,𝑡|Ω𝑡−1)，𝑈2 = 𝐹𝑍𝑠2,𝑡(𝑧𝑠2,𝑡|Ω𝑡−1) （3.8）
然而，透過觀察表3-1 的相關係數表可以看出，10 年期美國國庫券期貨報酬 與三個股票指數報酬呈現負相關，為了讓 Copula 可以順利捕捉其逆向尾部相關 性，本文將 10 年期美國國庫券期貨的標準化殘差反轉，令𝑌𝑓,𝑡 = −𝑍𝑓,𝑡，並推導 得：
𝐹𝑌𝑓,𝑡(𝑦𝑓,𝑡|Ω𝑡−1) = 𝑃(𝑌𝑓,𝑡 ≤ 𝑦𝑓,𝑡|Ω𝑡−1) = 𝑃(𝑍𝑓,𝑡 ≥ 𝑧𝑓,𝑡|Ω𝑡−1) = 1 − 𝐹𝑍𝑓,𝑡(𝑧𝑓,𝑡|Ω𝑡−1)
（3.9）
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使用Maximum Likelihood Estimate 進行參數估計，因此將上述等式兩邊同時去自 然對數，可以的到以下對數概似函數：‧
定參數的AR(1)動態條件，並使用 Gaussian copula、Student-t copula、Gumbel copula 以及Clayton copula 四種方法研究資產的動態關聯結構。選擇這四種 Copula 的原 因在於Gaussian copula 最為常用但無法捕捉尾部相關性；Student-t copula 具有對 稱的尾部相關性，可以彌補Gaussian copula 無法捕捉尾部相關性的缺點；Gumbel copula 可以有針對性地捕捉右尾相關性，而 Clayton copula 則可以針對左尾相關 性進行參數的估計。以下是這四種Copula 的具體介紹以𝑈1, 𝑈2為例：1. Gaussian copula
可以對多維度的資料進行建模，在金融領域中最常用到的一種 Copula。
Gaussian copula 是根據 Sklar 定理由二元常態分配建構而成，分佈型態對稱但是 左尾以及右尾的相關關係都是0，意味著 Gaussian copula 無法捕捉資產間的尾部 關聯結構。Gaussian copula 的參數為相關參數𝜌，累積機率分配函數定義如下:
𝐶𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛(𝑈1, 𝑈2| 𝜌)
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2. Student-t copula
可以對多維度的資料進行建模，分佈型態對稱具有對稱的尾部相關性。也就 是說Student-t copula 左尾和右尾的相關性是相同的。其參數為相關係數𝜌以及自 由度𝜈，累積機率分配函數定義如下： 𝜈趨近於無窮大的時候，Student-t copula 將會近似等於 Gaussian copula。用全部 資料估計出𝜌和𝜈以後，作為起始值加入到𝜌𝑡的動態過程中。𝜌𝑡的動態過程如下：
相當於不相關；當𝛿趨近於正無窮的時候，右尾相依參數趨近於 1。Kendall‘s tau 的動態過程如下：
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𝜏𝑡= Λ (𝜓1+ 𝜓2𝜌𝑡−1+ 𝜓3 1 10∑ |
10
𝑖=1
𝑢1,𝑡−𝑖− 𝑢2,𝑡−𝑖|) （3.21）
其中，Λ(𝜙) = (1 + 𝑒−𝜙)−1為轉換函數,因為 Gumbel copula 指描述正相關關係，
此轉換函數的目的在於確保相關參數𝜏𝑡處於(0,1)的區間內。
4. Clayton copula
由 Clayton (1978)首次提出，同樣具有不對稱的分佈型態，可以反應左尾尾 相關性結構，累積機率分配函數定義如下：
𝐶𝐶𝑙𝑎𝑦𝑡𝑜𝑛(𝑈1, 𝑈2|𝛿) = (𝑈1−𝛿+ 𝑈2−𝛿− 1)−1/𝛿 （3.22）
和Gumbel copula 一樣𝛿為控制相關性強度的參數，但其區間為𝛿 > 0。用全資料 估計出𝛿後要將其轉換為 Kendall’s tau，其轉換過程為𝜏 = 𝛿/(𝛿 + 2)。並將其作為 𝜏𝑡動態過程的起始值。可以從轉換方程式中看到，當𝛿 = 0的時候，左尾相依參數 為0；當𝛿趨近於正無窮的時候，左尾相依性參數趨近於 1。其中 Kendall‘s tau 的動態過程以及轉換函數和Gumbel copula 相同。
當估計完動態 Copula 的參數𝜓 = {𝜓1, 𝜓2, 𝜓3}後即可獲得資產間的相關關係 𝜌𝑡以及𝜏𝑡的動態過程。