研究方法

註

黑色實線部份為衡量歷年各航線之效率/效能情形。

紅色虛線部分為將預測結果(乘客人數)回饋至評估模式中，進一步求得 下一年度預達到有效能之最佳資源配置。

圖2 結合預測之通用績效評估架構

求，回饋至評估模式，進而分析各 DMU 於下一年度之最適資源配置，以彌補 傳統資料包絡分析法(DEA)之遺憾，透過事前預測未來之產出需求量，再由投入 面提出修正，以滿足企業長久以來無法解決之問題。以下將針對DEA 以及灰預 測進行詳述。

一、資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis: DEA)之 基本概念

Farrell (1957) 提出確定性無參數前緣(deterministicnon-parametric frontier)的 觀念，「確定性」指所有DMU (Decision Making Unit, DMU)之技術水準相同，

面對共同的生產前緣，「無參數前緣」指未預設生產函數的型態，推估多項投 入的效率值，分別計算各DMU之各項產出與投入比值，依柏拉圖最適化(Pareto Optimality)的概念求得效率前緣(Efficiency Frontier)，柏拉圖最適化指的是在不 損及他人之利益的情況下增加另一個人之利益，以投入面而言，若要減少某個 投入項，除非減少產出資源或增加其他投入項之資源否則無法減少該投入項的 資源，再將效率前緣連接成所謂的包絡線，落在包絡線上之DMU為有效率，而 在包絡線內則為無效率，此概念奠定DEA 理論之基礎，而其模式有以下基本假 設：

1.生產前緣(production frontier)是由最有效率的 DMU 所組成。

2.固定規模報酬(constant return to scale, CRS)。

3.生產前緣凸向(convex)原點。

Farrell 將 生 產 效 率 (Production Efficiency) 定 義 為 技 術 效 率 (Technical Efficiency, TE)與價格效率(Price Efficiency, PE)之乘積，並以等產量線(Isoquant) 來評估技術效率與價格效率，其中，技術效率指在現有技術下，有效運用生產 要素得到最大產出；而價格效率為在既有技術及價格下，藉由生產要素的適當 分配求得最低投入成本，所以又稱配置效率(allocative efficiency)。若以兩投入 要素X1 與 X2 及單一產出 Y 為例，在 Farrell 假設生產函數為固定規模下，其

生產函數可表示為:

( 1/ , 2 / ) 1 f X Y X Y =

(一)技術效率

圖3中之 為等量曲線(Isoquant)，代表生產一單位Y所需要X1與X2之最小 生產組合，Farrell將等量曲線當作效率前緣，並將定義其線上每一點皆具有完全 技術效率，因此等量線上之Q與 之技術效率皆為1，以P點來看，Q點為P之投 射，因此在相同的產出水準下，Q點的投入量為P點之OQ/OP倍，故可用OQ/OP 衡量P點之技術效率。

SS'

Q'

圖3 技術效率與價格效率圖

資料來源: Farrell, 1957, p.255 (二)價格效率

圖3中之 為等成本線，實際成本如果是所有投入組合中之最低者，則符 合價格效率，若生產時能達到 與 之相切點 則為最小成本，即使Q與 之技術效率皆為1，但 的生產成本僅為Q點之OR/OQ，DMU使用投入要素等 比例時會有相同的價格效率，因此P點之價格效率為OR/OQ。

AA'

AA' SS^' Q^' Q^'

Q'

(三)總效率

總效率為技術效率與價格效率之乘積，因此P點的總效率為OR/OP。

總效率 = 技術效率×價格效率 OR/OP = OQ/OP×OR/OQ

二、DEA 的基本模式

目前關於 DEA 模式的發展已有許多，而本研究將針對 DEA 中最基本 也最為大眾所使用之CCR 模式與 BCC 模式進行介紹。

(一) CCR 模式

Charnes, Cooper and Rhodes(1978)根據Farrell(1957)的效率衡量基礎，採用目 標式與限制式之數學規劃的技巧衡量出評估單位之生產邊界，並計算出個別受 評量單位的相對效率值，並命名此方法為資料包絡法（DEA）。由於此模式由 Charnes、Cooper 與Rhodes 所提出，因此又稱為CCR 模式。

CCR 模式主要假設規模報酬固定下，用來評估衡量整體的效率，也 就是每投入一單位所得到的產出量為固定，不會因規模大小而改變，可分 為投入導向及產出導向，以投入導向而言，假設內容項目有n 個DMU，每 一個決策單位稱為 DMU_j (j = 1....n)需被評估，一個決策單位使用m 種投入 ( i=1...m)來生產s 種的產出Yr (r =1...s) 則第k 個受評量單位的效率評量模式 (3.1)如下所示。

Yi

Max

∑

∑

=

= =_m i

ik i s

r rk r k

x v

y u h

1 1

t

s. j n

x v

y u

m

i ij i s

r rj r

,....

1 , 1

1

1 ≤ =

∑

∑

=

=

u_r,v_i ≥ε >0,r =1,....s,i =1,....,m (3.1)

h ：第j 個DMU 的相對效率值，k y_rj：第j 個DMU 的第r 項產出值，x_ij：第j 個 DMU 的第i 項投入值， u_r：第r 個產出項之虛擬乘數， v_i：第i 個投入項之

虛擬乘數。

由模式(3.1) 可以看出，此模式主要求解投入與產出比值關係，根據目標函 數式與限制式之關係，可以知道每一個DMU 都有可能成為另一個目標函數 式，因此可以相互的比較，而模式(3.1) 所求得的值，即便代表整體效率的綜合 效率值。又由於由模式(3.1)屬於非線性規劃模式，求解不易且可能產生無限多 組解之現象，所以Charnes et al.將模式(3.1) 轉換成模式(3.2) 的線性規劃類型，

假設總投入為1，使模式(3.2) 比模式(3.1)易求解，模式(3.2) 如下所示：

Max

∑

=

= ^z

r

rk r

k u y

h

1

t

s.

∑ ∑

=

=

=

≤

− ^m

i ij i s

r rj

ry v x j n

u

1 1

,...., 1 , 0

∑

= m =

i ik ix v

1

1

u_r,v_i ≥ε >0,r =1,....s,i =1,....,m (3.2) 模式(3.2)雖然已簡化成線性規劃之模式，為求簡易計算處理，在線性規劃 之方法，有一個對偶 (Dual) 轉換之技巧，此方法用於當限制式數目比變數個數 還多，為了使求解較迅速，因此將現性規劃模式轉為對偶模式，除了求解較迅 速外，亦可做後續的差額分析，以下為經過對偶處理之模式如模式(3.3) 所示。

Min ⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

−

=

∑ ∑

= =

+ m −

r

s

r r i

k s s

h

1 1

ε θ

. .t

s x_ij x_ik s_i i m

n

r

j 0, 1,....,

1

=

= +

− ⁻

∑

= ^{λ θ}

y_rj s_r y_rk r s

n

j

j , 1,....,

1

=

=

− ⁺

∑

= ^λ

λ_j,s_i⁻,s_r⁺ ≥0,j=1,....,n,i=1,....,m,r=1,....,s, θ無正負限制 (3.3) 模式(3.3)中的 為差額變數(Slack Variables)，為達到有效率須減少的投入 量， 為超額變數(Surplus Variables )，為達到有效率所需增加的產出量，

si⁻

sr⁺ θ為

DMU之效率值，故當θ 為1且^* s_i⁻與s_r⁺均為0，此時DMU為相對有效率，若相對 無 效 率 之DMU 欲 達 到 相 對 有 效 率 ， 可 透 過 模 式 (3.3) 得 知 限 制 式 為

* *

1 n

j ij ik i

r

x x s *

λ θ ⁻

=

= −

∑

^及 ，因此無效率之DMU須作(3.4)調整即可

達到相對有效率，即投入減少

* *

1 n

j rj r rk

j

y s y

λ ⁺

=

= +

∑

xik

Δ 及產出增加Δ 。 y_rk

* *

( ), 1,....,

ik ik ik i

x x θ x s⁻ i

Δ = − − = m

* s

( ) , 1,....,

rk rk i rk

y y s⁺ y r

Δ = + − =

^(3.4)

由上述的模式中可知投入導向主要的概念為在一定的投入下，期望產出能達到 最大的狀態，同樣的，在產出導向則是在固定的產出下，追求最小的投入。

(二) BCC模式

CCR模式假設生產過程為固定規模報酬，也就是當投入量等比例增加則產 出亦應等比例增加，然而生產過程可能屬於規模報酬遞增(Increasing Return to Scale, IRS)或規模報酬遞減(Decreasing Return to Scale, DRS)，當投入產出會隨規 模增加而提升稱之為規模報酬遞增，相對的，若生產規模過於龐大而產出減緩 則稱為規模報酬遞減。故Banker, Charnes and Cooper(1984)將CCR 模式擴充，提 出BCC 模式，放寬固定規模報酬的限制，改為變動規模報酬(Variable Returns to Scale, VRS)，並且將相對效率細分為純粹技術效率(Pure Technical Efficiency，

PTE)及規模效率(Scale Efficiency，SE)，而CCR模式因未考慮規模差異，其求得 之相對效率值為總效率(overall efficiency)，而兩模式之關係為「總效率等於純粹 技術效率與規模效率之乘積」，於CCR模式僅將DMU分為相對有效率以及相對 無效率，而在BCC模式中DMU若為無效率則可能為純粹技術無效率或規模無效 率。以下將以投入的角度來說明BCC模式。

以投入導向而言，假設內容項目有n 個DMU，每一個決策單位稱為

DMUj (j = 1....n)需被評估，一個決策單位使用m 種投入 ( i=1...m)來生產s 種 的產出Yr (r =1...s) 則第k 個受評量單位的效率評量模式。由模式(3.5)為Banker

Yi

et al. 修正CCR模式中之固定規模之假設，而提出變動規模報酬，因此在比率模 式下中比CCR多了一項 ，此項相當於截距，允許生產函數不通過原點，其比 率模式規劃如模式(3.5)所示。

u0

Max

0 1

1 s

r rk r

k m

i ik i

u y u h

v x

=

=

−

=

∑

∑

t

s. j n

x v

y u

m

i ij i s

r rj r

,....

1 , 1

1

1 ≤ =

∑

∑

=

=

u_r,v_i ≥ε >0,r =1,....s,i =1,....,m

u₀無正負限制 (3.5)

h ：第j 個DMU 的相對效率值，k y_rj：第j 個DMU 的第r 項產出值，x_ij：第j 個 DMU 的第i 項投入值， ：第r 個產出項之虛擬乘數， ：第i 個投入項之 虛擬乘數。

ur v_i

由於模式(3.5)屬於非線性規劃模式，求解不易且可能產生無限多組解之現 象，所以Charnes et al.將模式(3.5) 轉換成模式(3.6) 的線性規劃類型，假設總投 入為1，使模式(3.6) 比模式(3.5)易求解，模式(3.6) 如下所示：

Max

∑

=

= ^z

r

rk r

k u y

h

1

u0

−

t

s.

∑ ∑

=

=

=

≤

− ^m

i ij i s

r rj

ry v x j n

u

1 1

,...., 1 , 0

∑

= m =

i ik ix v

1

1

u_r,v_i ≥ε >0,r =1,....s,i =1,....,m u₀無正負限制 (3.6) CCR模式(3.2)與BCC模式(3.6)的差別就在於BCC模式(3.6) 多了一項 ，由 於BCC與CCR模式兩者最大的差異在於規模報酬的假設，圖3將說明CCR與BCC 之差異。

u0

圖4以一項投入X與一項產出Y為例，其中有A、B、C、D、E等五個決策單 位， 相當於X軸的截距，允許生產函數不通過原點，當- 為負值(即 為正值) 所對應之線段為DE，此線段屬於規模報酬遞減；當 為0為固定規模報酬，所 對應之線段為CD，而- 為正值(即 為負值)，此線段屬於規模報酬遞增，所對 應之線段為BC。

u0 u₀ u₀

u0

u0 u₀

圖4 固定規模報酬與變動規模報酬下之生產前緣

資料來源:高強、黃旭男、Toshiyuki Sueyoshi, 2003, p.28

模式(3.6)雖然已簡化成線性規劃之模式，為求簡易計算處理，在線性規劃 之方法，有一個對偶 (Dual) 轉換之技巧，此方法用於當限制式數目比變數個數 還多，為了使求解較迅速，因此將現性規劃模式轉為對偶模式，除了求解較迅 速外，亦可做後續的差額分析，以下為經過對偶處理之模式如模式(3.7) 所示。

Min ⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

−

=

∑ ∑

= =

+ m −

r

s

r r i

k s s

h

1 1

ε θ

. .t

s x_ij x_ik s_i i m

n

r

j 0, 1,....,

1

=

= +

− ⁻

∑

= ^{λ θ}

y_rj s_r y_rk r s

n

j

j , 1,....,

1

=

=

− ⁺

∑

= ^λ

1

1

n j j

λ

=

∑

=

λ_j,s_i⁻,s_r⁺ ≥0,j=1,....,n,i=1,....,m,r=1,....,s, θ無正負限制 (3.7) BCC模式之(3.7)與CCR模式之(3.3)之差別在於限制式中多了 ，其代 表的意義為生產前緣由固定規模轉變為變動規模，因此當

1

1

n j j

λ

=

∑

=

*

λj

∑

^{=1時為此受評估}

單位為固定規模報酬；

∑

λ^*_j 大於1為受評估單位為規模報酬遞減；

∑

λ^*_j ^小於1 為受評估單位為規模報酬遞增。因此欲判斷BCC模式之規模報酬狀態除了於原 問題(3.5)中由受評估單位之 判斷之外亦可在對偶問題中的u₀

∑

λ^*_j ^判斷。

(三) DEA之特性與限制

以下將對Lewin(1986)以及黃旭男(1993)認為DEA具有以下七點特性如下:

1.可同時處理多項投入及多項產出之問題。

2.提供一個綜合指標來衡量總效率。

3.單位並不影響衡量結果。

4.權重不需事先給定。

DEA模式中之權重由數學規劃產生，因無加入人為因素，因此能夠維持 其客觀及公平性。

5.可同時處理比率與非比率之資料類型。

DEA不僅可以處理比例尺度之資料亦可處理順序尺度之資料，因此在資 料的處理及選取更具彈性。

6.可以處理模式外之變數。

基於第5項特性，對於模式外之其他變數亦可加以處理。

7.可獲得資源使用狀況之相關資訊。

由 DEA 模式中之效率值及差額變數可得知組織資源之使用情形，進而 提供管理者作為改善之方向。

8.使用DEA 時事先無須預先假設生產函數，所以也無參數估計的困難。

然而在使用DEA 也有一些限制如下:

1.對資料相當敏感

因 DEA 所得之效率值為相對而不是絕對，因此如果資料有所變動如加入新 DMU，則會影響效率前緣形狀或位置的改變，且大部分之效率值亦會隨之變 動。

2.DEA 無法處理產出為負之情形，因此資料不能小於零。

3.僅能衡量相對效率

因 DEA 評估結果為相對效率，因此亦可能造成從一群均不優秀之受評 估單位中，選出相對較有優勢之DMU 而已，而不是真正具有好的績效。

4.DMU 之個數應至少是投入項與產出項個數和之兩倍以上，否則會導致評估結 果偏向大多數均為效率單位的情形，無法區隔有效率單位。

二、灰預測

灰色系統理論由鄧聚龍教授於 1982 所提出，主要應用於系統模型在訊息不 完全、行為模式不確定、操作機制不清楚的狀況下，進行系統的關聯分析、模 型建構、預測、決策與控制等工作，探討及瞭解系統，灰色系統理論將一切隨 機變量視為一定範圍內變化之灰色量。對於灰色量的處理並非藉由統計的方式 找尋資料與變數間的關係或規律性，而是將雜亂無章的原始數據經過處理後，

找尋其規律性，經由處理過後的數列轉換為微分方程，建立灰色模型(grey model ;GM)，再以此進行預測即稱為灰預測。

吳漢雄、鄧聚龍與溫坤禮(1996)指出灰預測有以下優點：

1.灰預測不需要大量數據，甚至只用四個數據即可建模進行預測，還能得精確的 結果。

2.灰預測既可使用於短期，亦可使用於中長期。

3.灰預測精準度高。在相同之少量樣本數下，比其他方法的模型預測誤差還小。

灰預測是以 GM(1,1)模型為基礎對現有數據所進行預測的方法。實際上為 找出某一數列中各個元素之未來動態狀況。GM(1,1)為具有一階微分，輸入變數

為單一輸入變數的灰色預測模型，以下為灰預測 GM(1,1)模型的建構步驟說明 如下:

步驟一:計算累加生成(Accumulated Generating Operation ; AGO)：

首先令x⁽⁰⁾為一原始序列，亦即：

x⁽⁰⁾ =(x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),...,x⁽⁰⁾( ))n =(x⁽⁰⁾( );k k =1, 2,3... )n

定義x⁽¹⁾為x⁽⁰⁾之一次AGO序列，數學模式為：

{

^{(0)( )}

}

^{(1)( )}

AGO x k =x k = ^{1 (0)}

1

( x ( )

k

k

∑

= ^{2 (0)} 1

( ),...,

k

x k

∑

=

, ⁽⁰⁾

1

( ))

n

k

x k

∑

= 其中x⁽⁰⁾(1)=x⁽¹⁾(1)。 (3.8) 步驟二:建立灰微分方程

GM(1,1)模型之ㄧ階微分方程式為:

(1) (1)

dx ax b

dt + = (3.9) 其中t為系統之自變數，a為發展係數，b為灰色控制變數，a、b為待估

參數，亦可寫成灰差方程式如下:

x⁽⁰⁾( )k = −az⁽¹⁾( )k + b

=

(3.10) 其中z⁽¹⁾( )k =αx⁽¹⁾( )k +βx⁽¹⁾(k−1),α β+ 1，通常取α β= =0.5。 步驟三:建立數據矩陣，並以最小平方法求出a、b

由x⁽⁰⁾( )k = −az⁽¹⁾( )k + b 中帶入各值 x⁽⁰⁾(2)= −az⁽¹⁾(2)+ b

x⁽⁰⁾(3)= −az⁽¹⁾(3)+ b …

x⁽⁰⁾( )n = −az⁽¹⁾( )n + b

(0) (1)

(0) (1)

(0) (1)

(2) (2) 1 (3) (3) 1 ... ...

( ) ( ) 1

x z

x z a

b

x n z n

⎡ ⎤ ⎡− ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢= ⎥• ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢− ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.11)

由最小平方法可得GM(1,1)參數a,b的矩陣算式為 a (B B^T ) ¹B Y^T _N

∧ = −

(1) (1)

(1)

(2) 1 (3) 1 ...

( ) 1 z

B z

z n

⎡− ⎤

⎢ ⎥

⎢− ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

,

(0) (0)

(0)

(2) (3) ...

( )

N

x Y x

x n

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

, a a b

∧ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.12)

步驟四:將求出之參數 a、b 代入微分方程式中，可得近似通解為:

(1)

( 1) (0)(1) b ^ak

x k x e

a a

∧ + =⎡⎢⎣ − ⎤⎥⎦ − +b (3.13)

步驟五:將(3.13)所得到的數列作一次累減生成(inversed-accumulated generating operation;IAGO)，可求得還原後之預測值。

(0)

(0) ( 1)

( ) (1) b ^{a k} (1 ^a), 1, 2,3...,

x k x e e k n

a

∧ =⎡⎢⎣ − ⎤⎥⎦ − − − =

(3.14) 得到還原數列為

(0) (0) (0) (0)

( (1), (2),..., ( )), 1, 2,...,

x x x x n k

∧ ∧ ∧ ∧

= = n

RGM(Rolling GM)與GM的概念相似，差別在於GM是使用選定的期間建模 後，便利用此模式進行之後全部的預測，而RGM則是使用最靠近預測點之近幾 年的數據進行預測。在RGM中，若以四年為一期進行預測，則以2002~2005年 為實際需求可預測2006年之需求估計值，同理，以2003~2006年之實際需求，可 預測2007之需求，其於以此類推。

本研究為了檢驗預測結果之精確度，將引用平均絕對誤差百分比(mean absolute percentage error, MPAE)，其公式如(3.15)。Lewis(1982)根據MAPE 值大 小，將評估預測能力分類為四種等級，如表3所示。當MAPE小於10 時，表示 模式預測能力優良。

令x⁽⁰⁾( )k 為實際值，

(0)

( ) x k

∧ 為預測值，n 為期數

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 33-46)