研究方法 - 理論架構與實證模型 - 台灣地區男女自殺死亡率之比較研究

第三章理論架構與實證模型

第一節研究方法

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㈻㊫學

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第三章理論架構與實證模型

第一節研究方法

由於建構 MAPC 模型之前需要先決定讓哪個效應在每個分層表現一致，因

此我們將先利用文獻探討中所提及的畫圖等方式來判斷，哪個效應在男女的資料表現較一致。由於我們會用到本質估計量的方法來繪製男女各效應差異的圖形，因此以下將先就本質估計量的定義，統計性質，及計算方法進行介紹。因為我們的研究資料是台灣男女的自殺死亡率，所以之後介紹模型即以自殺死亡率來作解釋。

一、APC 模型

（一）、模型簡介：

!

= f (!

) = log( y

_ij

n

_ij

) = µ +!

+ !

ijk

i = 1,..., a; j = 1,..., p;k = 1,..., a + p !1

其中

k = j − i + a

^且

!

i=1 a

!

⁼

^"

j=1 p

!

⁼

^#

k=1 a+p"1

!

^{= 0}^。

!ij為應變數，表第

i

^{個年齡層在第}

j

個年代時的對數自殺死亡率， !ij為 自殺死亡率， y_ij為自殺死亡人數， n_ij為年中人口數，

µ

^{為整體平均效}

應， !i為第

i

個年齡層的效應； !j為第

j

_{個年代的效應； !}_k為第

k

^個

世代的效應； !_ijk為隨機誤差項。

（二）、本質估計量之結構

前述迴歸模型可以矩陣符號表示為! = Xb +" ，其中

b = (

,

!₁

,...,

!_a

,

"₁

,...,

"_p

,

#₁

,...,

#_a+p!1

)

^T，由於 X 矩陣的行向量間具有共線性的情形，且已知其秩較全秩少 1，因此一定存在一個非零的單位向量

B

0^，使得

XB

₀ =0^。

因為

XB

₀ =0，所以

B

₀^向量僅與

X

^{矩陣有關，與}

!

^{向量無關。此外}

B

₀

可以視為

_{X X} _!

矩陣中對應於特徵根為 0 的特徵向量。令

(A

^*₁

,..., A

_a!1^*

, B

₁^*

,..., B

_p!1^*

, C

₁^*

,..., C

_a+p!2^*

)

為

X

^{矩陣的行向量，}

Kupper et al.（1983）證明出

X

矩陣的行向量會滿足

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（三）、本質估計量之統計性質

本質估計量具有很好的統計性質，在有限的年代數下，本質估計量為

b

0的不偏估計量;且在有限的年代數下，本質估計量之變異小於受限廣

義線性模型估計量的變異;另外本質估計量還具有漸近一致性。（Yang, Fu, and Land （2004））

（四）、本質估計量之計算方法

先藉由Fienberg 與 Mason（1978）所建議採用的受限廣義線性模型估計

量方法對參數向量

b

加入一限制式，來取得一參數估計向量

bˆ

^。

接著利用先前提到的Kupper et al.（1983）的結果來求得

B

₀^，亦即

0 0

0 ~

B

B = B

，其中

B ~

為

^{( 0, 1!}

a +1

2 ,..., (a !1) !a +1 2 , p +1

2 !1,..., p +1

2 ! ( p !1),1-a + p

2 ,..., (a + p ! 2) !a + p 2 )^T

最後將所求得之

bˆ

^及

B

₀^{向量，代入}

b ^ˆ

₀

= (I ! B

B

₀^T

) ˆ b

^{的公式中，即可求} 得本質估計量。

透過本質估計量，我們便可以個別繪製男女的年齡，年代及世代的趨勢變化圖，藉以判斷該選取哪個變數做為 MAPC 模型中的一致的效應。接著可以開始配製 MAPC 模型。

二、MAPC 模型

（一）、模型簡介：

y

_ijr ~ Poisson(n_ijr!ijr)

!_ijr

= log(

"_ijr

) =

µ_r

+

#_ir

+

$_jr

+

%_kr

i = 1,..., a; j = 1,..., p;k = 1,..., a + p !1;r = 1,..., R

其中

_!

i ir

! ⁼ !

^"

^jr

⁼ !

^#

^kr

= 0, "r = 1,..., R

，

n

_ijr 為第

_i

個年齡層，第

_j

個 年代層，第 r 個分層的總人口數，

y

_ijr 為為第

_i

個年齡層，第

_j

個年代 層，第 r 個分層的自殺死亡人數，

µ

_r為第 r 個分層的截距項，

!

_ir^為第

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r 個分層的第 i

個年齡效應，

!

jr為第 r 個分層的第

j

年代效應，!_kr^為

第 r 個分層的第 k 個世代效應。由於每個分層的年齡，年代及世代還 是存在線性相關，因此甄別問題依然存在。如同受限廣義線性模型法，

這邊我們依然需要對模型增加一個限制式，如此也會遇到與受限廣義線性模型法一樣的問題，因為限制式的不同而有不一樣的解。但若是在子

模型的情況下，分層的效應差則不會因為限制式不同而不一樣Riebler

and Held（2010）。

（二）、MAPC 子模型：

某些情況下，年齡，年代或世代效應可能具有一致效應，亦即該效應不會因分層不同而有所不同，這類模型我們可以視為前述 MAPC 模型的子模型。舉例來說，我們依據 Held and Riebler（2010）所訂定的符號，以大寫表示一致的效應，小寫表示因分層而有所不同的效應，因此

如果年齡及年代具有一致效應，則記為APc 模型，模型形式如下：

!

_ijr

= µ

+ "

+ #

+ $

_kr

同理，只有年齡效應具有一致效應，則記為 Apc 模型，模型形式如

下：

!

_ijr

= µ

+ !

_jr

+ !

_kr

針對這些子模型而言，模型中的各個效應參數依然存在無法甄別的問題，然而若考量各個效應值與參考分層（reference stratum）的效應值差，亦即 !_i^{(r )}=

!

_i,r !

!

_i,R為第 r 個分層與第 R 個分層在第

i

個年齡效應上的差異，!j

(r )=

!

_j,r !

!

_j,R為第 r 個分層與第 R 個分層在第

j

個年代效應上的差異，!_k^{(r )}=

!

k,r!

!

k,R為第 r 個分層與第 R 個分層在第 k 個世

代效應上的差異，其中 _!

i (r ) i

"

⁼

"

j^!^{(r )}^j ⁼

"

k^!^k^{(r )}^{= 0}，Riebler and Held

（2010）證明在子模型下這些效應差參數是可以甄別的。除了說明效應

差異外，這些參數也具有實務上的意義，以APc 為例，

!!

(r )

= !

_µ^{(r )}

+ !

(r )，可解釋為在第 k 個世代上，第 r 個分層相對於第 R 個 分層的的對數相對風險（log relative risk），其中

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數是充分的，因此將模型透過這樣的轉換基本上是沒有遺失任何資訊的

（Riebler and Held （2010）），這一點也可藉由 R = 2 只有兩個類別來作簡單的說 明。令 !1代表所有 !ij1所組成的向量， !2代表所有 !ij 2所組成的向量，MAPC 模型的概似函數因為條件獨立可表示為

L(

,

) = L(

!ij1

,

!ij 2

)

i, j

!

L( !

_ij1,

!

_{ij 2}) = (n_ij1

!

_ij1)^y^ij1(n_{ij 2}

!

_{ij 2})^y^{ij 2}exp(!(n_ij1

!

_ij1+ n_{ij 2}

!

_{ij 2}))

設定!ij

=

!_ij1

!ij 2

,

"ij

= n

_ij1!ij1

+ n

_{ij 2}!ij 2，其中!ij為我們所關心的相對風險， !ij為干擾因子。現在將上述概似函數中的參數改用!ij， !ij代替並乘上1 = !ij

y_ij•

!ij

! y_ij•後可以得到：

L(

!ij

,

!ij

) = ( n

_ij1

n

_{ij 2}!ij

1+ n

_ij1

n

_{ij 2}!ij

)

^y^ij1

( 1 1+ n

_ij1

n

_{ij 2}!ij

)

^y^{ij 2}

=L₁(!ij)

! #### # " ##### $

exp(!

!ij

)

!^y^ij•

=L₂(!_ij)

! " # # ## $ = L

₁

(

!ij

)L

₂

(

!ij

)

因此

L(!, ") = L

(!)L

(!)

，其中

_L

₁

_{(!) =} _L

₁

_(!

_ij

_{); L}

₂

_{(!) =} _L

₂

_(!

_ij

₎

i, j

!

i, j

!

^，表示

MAPC 的概似函數可以拆成分別只與參數! ， ! 有關的兩個概似函數相乘，因 此只考慮我們所關心的 L₁(!) 是充分的。

透過條件概似函數的多項式邏輯模型估出來的值與直接使用 MAPC 模型來進行

估計所得出來的估計值相去不遠，但是過度離散度（overdispersion）則會不

同。由於過度離散度是模型中忽略了某些解釋變數

z

_ijr 所導致，藉由條件概似

函數法，我們可以忽略掉不關心的干擾因子，進而降低過度離散度。

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在文檔中台灣地區男女自殺死亡率之比較研究 - 政大學術集成 (頁 20-26)

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!

= f (!

) = log( y

n

) = µ +!

+ !

+ !

+ !

i = 1,..., a; j = 1,..., p;k = 1,..., a + p !1

k = j − i + a

!

!

"

!

#

!

i

j

µ

i

j

k

b = (

,

,...,

,

,...,

,

,...,

)

B

XB

XB

B

X

!

B

X X !

(A

,..., A

, B

,..., B

, C

,..., C

)

X

X

•

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b

b

bˆ

B

B

B = B

B ~

bˆ

B

b ˆ

= (I ! B

B

) ˆ b

y

= log(

) =

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^"

^#

_{X X} _!

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b ^ˆ

_!

! ⁼ !

^"

⁼ !

^#

_i

_j

_i

_j

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