以上幾個問題，本研究採用由 Itasca 公司以離散元素法 (Discrete Element Method，簡稱 DEM) 為理論基礎，所開發之二維及三維之顆粒流軟體 (Particle Flow Code 2D/3D, 簡稱 PFC 2D/3D) 來探討山崩之運動行為及堆積形貎。
離散元素法係針對材料性質的不連續而開發，這個概念最早由 Cundall 在 1971 年提出，模型主要是由多個不同的獨立個體所組成 (Cundall and Strack, 1979)，在模擬過程中具有組合、破裂、旋轉及位移等行為，最初是用來解決岩 石力學上的問題 (A-Busaidi et al., 2005; Cho et al., 2007, 2008; Jing, 2003; Wang et al., 2008)，目前已被廣泛應用在和大地工程有關的隧道 (Diederichs et al., 2004)、
基地開挖 (Chandler, 2004)、邊坡穩定 (Wang et al., 2003)、山崩 (Chang and Taboada, 2009; Tang et al., 2009; 唐昭榮等，2009)、落石 (An and Tannant, 2007;
羅佳明，2009)及地質學上的斷層行為 (Strayer and Suppe, 2002; Imber et al., 2004;
Finch et al., 2003, 2004)等。
2.1. 離散元素法 (Discrete Element Method)
Cundall (1971)提出 DEM 方法後，原先主要用來針對材料性質或形體不連續 的數值分析，後來被廣泛使用在顆粒流體的物質上。隨著理論的趨於成熟與程式 的發展，Cundall 分別於 1980 與 1983 提出了以離散元素法為理論基礎的二維 Universal Distinct Element Code (簡稱 UDEC) 與三維 Three Dimensional Distinct
Element Code (簡稱 3DEC) 分析程式，隨後又於 1994 年與 1995 年分別發展出 PFC (Particle Flow Code) 二維與三維顆粒流程式。相較於 UDEC 以多邊形塊體
組合數值模型的方式，PFC 則以圓形或球形顆粒的堆疊與組合進行數值模型的 建立。
離散元素法最主要的目的是以聚合的元素來模仿現實世界的真實物體，其 元素與元素之間的接觸點主要分為二種形式，一是軟接觸 (Soft contacts)，二是 剛性接觸 (Hard contacts)，軟接觸可以說是在顆粒外包覆一層軟性且可變形的物 質 (Cundall and Hart, 1992)，當二個元素初始接觸時，接觸力為 0，當二元素有 開始有重疊 (Overlap) 之後，程式便會依力與位移定律 (Force-displacement law)，計算其接觸力。而剛性接觸則是不允許二個元素之間有重疊的存在，碰撞 模式也比較簡單，相對於軟性接觸，剛性接觸則不須要設定元件內部的參數，如 正向及切向勁度，剛性接觸的模型適用於摩擦係數近0 且應力作用較小的模型，
軟性接觸則是適用於高摩擦及高應力的模擬 (Cundall and Hart, 1992)。
PFC 2D/3D (Particle Flow Code) 是 Itasca 公司以離散元素法為基礎所開發
的程式，利用外顯時間 (Time explicit) 的計算方式，將時間切割成細小的間距作 為一個時階 (Timestepping)，在這個細小的時間內，假設力與運動速率是不變 的，計算完一個循環週期後，再更新各元素及接觸點的位置，尋求模型最終的平 衡。PFC 模型的元素主要包括球或顆粒 (ball or particles) 與牆 (wall)，擁有使顆 粒產生旋轉及位移，且允許原接觸之相鄰顆粒可分離之特點；另於運算過程中，
可以自動偵測新的接觸點，並消除已分離之接觸點，其原理則是採用牛頓的運動 定理 (Law of motion) 和力與位移定律 (Force-displace law )。在顆粒與顆粒之間 可以利用鍵結 (平行鍵結；Parallel bond 或接觸鍵結；Contact bond) 成一個塊 體，這些鍵結可以在塊體受力或運動時逐漸破裂，並且分離成互相獨立的個體，
在程式允許的範圍內，位移的距離不受任何限制，透過鍵結的模式，PFC 不只 可以分析坡體的穏定性及初始破裂行為，亦可以模擬一個巨大的塊體移動時內部 的崩解行為，以及土石的堆積形貌；由於 PFC 計算方式是採用外顯時間 (Time
explicit)，因此亦可描述力與速率等各項物理量對時間的變化；由於山崩是一個 連續的破壞運動及大尺度位移的變形行為，離散元素法對於元素分離位移行為的 尺度並沒有限制，且可以使塊體從破裂到分離之後運動的過程完整呈現，因此非 常適合用於山崩的模擬 (Poisel and Roth, 2004; Rainer, 2005)，故本文採用以離散 元素法為基礎來發展的 PFC 2D/3D (Particle Flow Code) 為工具，分析台灣大型
由力與位移關係求得。
(5) 顆粒之間的接觸點可以有鍵結存在，但鍵結可因外力而破壞。
(6) 所有的顆粒都是圓形的，並可經由叢集 (Clump)的方式組合成任意形狀，
每個叢集都被視為是可變形的剛性體。
圖2- 1：PFC 模型中的接觸模式，當二個元素接觸時，若二者之間存在正向之壓 力，則二個顆粒會產生重疊 (overlap) 的現象，重疊量 (Un) 則是和顆粒 的正向勁度 (Kn) 及正向力 (Fn) 的大小有關，(a)為球-球模式，(b)為球-牆模式。
2.2.1. 計算週期 (Calculation cycle)
PFC 程式之運算原理是利用外顯有限差分法 (Explicit Finite Difference
Method) 來計算每一時階 (Time step) 之系統變化，包括所有顆粒及接觸的位 置、速度與力的變化。運算時，先計算每個時階內顆粒的重疊量或相對位移，再 導入力與位移定律 (Force-displacement law)，計算接觸力 (Contact force) 之後，
再由牛頓第二運定律求得新的位置及速度，如此重複迭代運算，整個系統將會收 斂而趨於穏定，其計算期間，每個運算時階內的位置和力是不變的，計算流程如 圖2- 2 所示。
圖2- 2：PFC 程式之計算流程。
2.2.2. 力-位移定律 (Force-displacement law)
力-位移定律主要應用於二個元素的接觸點的相對位移關係，力會隨著接觸