本章擬以高中數學建模教材之實例展演，與其融入教學活動之教學實驗等兩大主軸為 主，希望建立教學相關指標與了解現行建模課程學習之不足。
3-1 研究工具
研究工具擬以研究者設計之實驗教材與訪談題目為主要工具，設計不同難易程度之 六種題型(以離散數學為主)，於行動研究中實施教學，並記錄教師教學成長歷程；另外，
訪談題目配合研究歷程，訪談參與學生在接受數學建模課程後，所具備與缺乏之相關建 模發展序列項目，以作為未來建模課程設計與教學環境的參考。
3-1-1實驗教材 1. 設計基準：
根據美國愛荷華州教育局2007年頒訂的中學數學模型的核心課程標準(Iowa High School Mathematics Model Core Curriculum,2007)，數學建模為應用數學 方法解決現實問題的過程，建立普遍化的數學建模課程，主要依據下述建模流程圖：
【圖3-1-1-1 數學建模流程圖】
ii. 生命科學領域
a. 生物學：人類的基因工程、人口動態、物種的演化、疾病的傳播、動植物 的培育(遺傳學)。
b. 醫學：輻射治療計畫、X 光片拍攝、血液循環模型。
c. 藥物學：對蛋白質的分子的修飾、新化合物的掃描。
d. 神經系統科學：神經網路、在神經裡的信號發送。
iii. 自然科學領域
a. 天文學：行星的系統的探測、宇宙的起源。
b. 氣象學：天氣預測、氣候預測(全球暖化、什麼引起臭氧洞？)。
c. 物理學：基本粒子追蹤、量子領域理論預測、雷射。
d. 化學：分子模型、電子結構計算。
e. 流體力學：紊流、風的路徑。
iv. 資訊科學領域
a. 計算機科學：影像處理、資料搜尋、比對。
b. 人工智慧：計算機視覺、機器人技術、語音識別。
v. 空間科學領域
a. 航運科學：空中交通、汽車和飛機的自動駕駛儀、軌道計畫、飛行模擬。
b. 建築學：虛擬現實。
vi. 工業工程領域
a. 生產與運作管理：生產計畫與批量問題，庫存管理，物流與供應鏈管理。
b. 決策分析：投資分析、產品開發、市場行銷、可行性研究。
c. 多目標決策：企業經營管理、工程項目管理、交通運輸管理、環境保護與 管理、工程設計與工藝、公共事業規劃。
本次設計的實驗教材以離散數學為主，考量目的如下：
i. 離散數學為高中學生較為薄弱且缺乏的重要數學能力，卻扮演與高等教育銜 接、資訊科技發展能力等重要角色。
ii. 根據 Arnold (2003)上述列舉的課程相關領域，發現多需要以離散數學為基礎 進行運算與模型建立，且高中數學現行教材較為缺乏，故多以此類教材為主。
3. 參考範例
i. Harshbarger & Upshaw (2001)在飯店管理實務上，所設計的問題。下二表為 某飯店房間價目、住房率與營收，如何在這些資料中，建立數學模型，得以發 現何種房間價位的設計可以獲得最大的住房率與營收？
【表3-1-1-1 房間價目與住房率】
房間價目 住房數 每日收益 房間價目 住房數 每日收益 110 134 14,740 119 130 15,470 120 94 11,280 79 100 7900 100 120 12,000 89 104 9256 120 80 9600 69 150 10,350
房間價目 住房率(%) 房間價目 住房率(%)
110 67 119 65
120 47 79 50
100 60 89 52
120 40 69 75
115 38 39 65
75 55 39 45
65 50 45 50
70 52 62 47
44 39 67 47
38 21 36 27
115 76 8740 39 130 5070 75 110 8250 39 90 3510 65 100 6500 45 100 4500 70 104 7280 62 94 5828 44 78 3432 67 94 6298 38 42 1596 36 54 1944
【表3-1-1-2 房間價目、住房數與每日收益】
ii. 2007美國中學生數學建模競賽試題(HiMCM 2007 contest problems) a. 租車問題
有些人要從事長途旅行的時候，他們會租一輛汽車。通常他們會選擇節省 金錢，即使他們不在乎租車費用，他們也會認為如果車在旅行中故障，是租車 公司的事，而這一點使得租金是值得的。分析這種情況，並確定在什麼條件下，
租用一輛汽車是一個比較適當的選擇。對自己擁有的汽車，確定里程限制，並 確定對於司機和他的家人來說可接受的損益平衡點。
4. 實驗教材示例
於行動研究前，研究者根據教材設計基準、設計方向，以及高級中等學校數 學課程綱要等內容，參酌學者題例改寫與自編，並顧及國內學生程度與教材普遍 化原則，設計六個實驗教材示例與自編解答如下：
i. 水庫截流工程問題(沈華偉，2002)
Q： 有些水庫在建造的過程中可能要面臨截流的問題，假設 1964 年桃園的 石門水庫建造時，需要截斷上游的洪流，截流工程於早上10:55 開始，當時的缺 口水面寬40m，水深 60m。當 13:50 時，缺口水面寬度改變為 34.4m，到 15:00 時，寬度改變為31m。試問如何建立合理的數學模型進行估算，並利用上述數據 推測出最接近截流工程完工時間？(事實上到了約17:28 時，截流工程便成功。)
A： 假定截流回填的截面如下圖為等腰三角形，則回填的
【圖3-1-1-3 截流工程截面圖】
ii. 穩定配對問題(自編，Graph Theory/Algorithm)
Q： 當我們生病的時候，我們會依照自己的喜好選擇不同的醫院進行治療，
為病人數遠大於醫院數量，所以我們簡化成每五個病人與醫院的關係作為討論，
唯一條件是越高層級的醫院不能接受低於該醫院層級的病症病患，而越低層級的 醫院亦無法越級治療重症病人。但病人卻有自我喜好的權利選擇不同的醫院，則 需要讓每個病人盡可能選擇到最喜好的醫院，兼顧雙方的意願排序，所以我們要 在其中找出合理的解以獲得兩造所需。
首先，醫院以A、B、C、D、E 表示，病人以 a、b、c、d、e 表示，各將對 方在自己所需的排名列出來，假設排出來的順序如
下表所示：
A B C D E a b c D e b(4) a(4) b(5) A(3) e(4) E(4) D(3) A(4) C(4) D(5)
e(5) b(3) c(4) C(2) c(5) A(3) E(3) D(2) B(4) B(5)
a(2) c(3) e(3) B (1) b(2) D(1) B(2) B(3) D(4) C(3)
c(1) d(2) d(1) D(3) a(1) B(1) A(1) C(2) A(5) E(1)
d(4) e(2) a(5) E(1) d(5) C(5) C(1) E(2) E(5) A(2)
【表3-1-1-3 醫院與病人喜好排序】
括號中的數字為喜歡的順序，如A 欄之下的 b(4)表示A 是 b 的第四順位人選。
當然，我們希望產生正確分配，例如(A,a)、(B,b)、(C,c)、(D,d)、(E,e)的配 對是不穩定的，以(C,c) 、(D,d)兩對而言，c 比較偏好 D（與 C 相比），d 又比 較偏好 C（與 D 相比），所以分配後，這兩組無法進行治療，所以這無法成為正 確解。
若以醫院為主，我們先假設讓他與他最需要的病人配對（箭頭上面的數字表 示步驟的順序）：A1 b ， B2 a ， C3 b
顯然，第三步驟出了衝突，A 和 C 都需要 b 病人，怎麼辦？這時候就徵詢 b 的意見，由上表得知A 與 C 相比，b 比較喜歡 A，所以 C 只好退而求其次，選擇 c 病人。照這原則下去直到完成分配：
A 1 b7 e9 a
B 2 a6 b14 c15 d C 3 b4 c11 e
D 5 a10 c
E 8 e12 c13 b
經過了15 個步驟，我們得到的配對結果是(A,a)、(B,d)、(C,e)、(D,c)、(E,b)，
雖然兩方都沒有是「第一志願」，但至少這是穩定的，起碼醫院可以進行治療，
五個病人選擇到較喜好的醫院，結果雖不滿意但可接受。
那如果用病人的意願來排，會得到相同的結果嗎？
a1 E ， b2 D ， c3 A d4 C ， e5 D6 B
結果只花了6 個步驟就得到不一樣的分配結果：(A,c)、(B,e)、(C,d)、(D,b)、
(E,a)。從這裡，我們可以知道，並非只有唯一解，但是，我們以其中一方（病人 或醫院）為主，可得到合理解。
【註】：參考文獻David & Jon (2007); Donald (1997); Knuth(1997).
Definition 2.1:
有n 男 n 女，每人都按他對（異性）對象的喜好程度按 1 至 n 排列。安 排男女結婚，使得沒有一對不是夫婦的男女對對方的喜好程度都較被安排的 配偶高（不穩定）。
Theorem 2.1: (Matching in Bipartite Graphs)
使用G=(X, △, Y) 來表示 bipartite graph G，其中 X, Y 為 vertex set V(G)，△為 edge set E(G)。在 G 的每一組配對皆為 subset M of △，且任 意M 不會同時有兩個 edge 出現。
Theorem 2.2:
必然存在穩定的完全結婚(A stable complete marriage)。即全部的男生 與女生都結婚了。
一個穩定的完全結婚，若以女生為主，則女生對於得到配偶的喜愛程 度，至少和她在其他stable complete marriage 得到的配偶一樣，則稱 women-optimal 的 stable complete marriage；同樣地，我們也可以此方式獲 得以men-optimal 的 stable complete marriage。
Theorem 2.3: (Deferred Acceptance Algorithm: 遞延接受演算法)
一開始時，每個女生都被標記成rejected。當存在 a rejected woman, do:
(1) 每位被標記 rejected 的女生都選擇，沒有 rejected 的男生中、她最喜愛 的那個。
(2) 每位男生都挑出，選中他的那些女生中、他沒 reject 的之中、他最喜愛 的那個。Defer decision on her，並且 rejected 其他選中他的女生。
(3) 被選到的女生，則拿掉 rejected 的標誌。
Proof of the above theorem:
在雙方任意的喜愛程度之下，我們總是可以上述的Deferred Acceptance Algorithm 找到穩定的完全婚姻。已知當 algorithm 停止時，便沒有被標記 rejected 的女生，則可知當演算結束，便能形成完全的婚姻。以女生 A、B 兩 人與男生a、b 兩人配對為例，假定 A 與 a，且 B 與 b 配對，但是 A 喜愛 b 的程度大於a 。如果 b 不喜愛 A 大於 B，則進行演算時，A 先選擇 b，但因 為存在某些 b 更喜愛的女生，A 會被 b reject。之後 A 被 b reject 後，必然 知道b 比較喜愛 B，因此不會存在不穩定的配對，且此完全婚姻必然為穩定。
iii. 停車場設計問題(自編，Discrete Mathematics)
Q： 停車問題一直都是惱人的現代文明病，但開車進入停車場後，司機往 往又想挑選自己喜好且方便的車位，常造成繞行油耗與空間使用浪費的問題。試 問如何建立數學模型來探討，利用固定面積的場地，達到最具有經濟環保效益的 停車場設計原則？
A： 我們從最簡單的單行道單側停車場(如下圖)著手研究。
【圖3-1-1-4 單行道停車場示意圖】
假設有n 個司機，駛入單行道中準備停車，單行道內有 n 個呈線狀的停車位：
○1 每個司機有其偏好的位置，則共有nn 種偏好情形。
○2 當第 i 個司機進來：
a. 司機可停在偏好位置。
b. 當偏好位置已有停車，且後續位置仍有空位時，則停在最接近偏好位置 的後續位置。
則稱司機i 的偏好獲得滿意。反之，則無法獲得滿意。
在討論單行道單側有1~ n 個停車位的情形之下，從一個停車位開始討論起，
最後並加以推導公式與推測其正確性。
n = 1，一個停車位只有一種方法。S1=1，滿意比率P1為100%。
n = 2，二個停車位所有的偏好情形為(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)，滿意數S2=3，
不滿意數為1 種，滿意比率P2為75%。
n = 3，三個停車位的偏好情形共 27 種，可滿意數S =3 C33 C232C13(C22 C12)=16
單
行 道
1 n ↑
3 2
『符號說明』 n：司機數，停車位數。
F ：第一個司機偏好第 k 個位置的滿意數。 k
S ：所有偏好滿意數。 n
m ：偏好第 k 個位置的司機人數共有 m 個。 k
P ：滿意比率。 n
不滿意數共11 種，滿意比率P 為 59.26%。 3
6 16,807 29,849 46,656 36.02%
7 262,144 561,399 823,543 31.83%
單 側 停 車 場
8 4,782,969 11,994,247 16,777,216 28.51%
【表3-1-1-4 單行道單側八個停車位數據】
利用上表我們有二項發現：
○1 S 的公式可能為n (n1)n1。
○2 滿意時，對任意的k ≤ n，已知 n – k ≥m -1，移項後可得 k +k m ≤ n + 1。 k a. 若獲得滿意，對於任意的 k ≤ n，k +m ≤ n +1 均成立。 k
b. 上述為滿意的必要條件，但不是充分條件。
a. n = 2k 時，n = k + k。即偶數個車位均分為雙側設計可獲得最大滿意 比率。
b. n = 2k +1 時，n = 2k +1。即奇數個車位為單側設計可獲得最大滿意 比率。
c. n 值越大，設計偶數個停車位雙側均分，可獲得最大滿意比率。
結論：在固定面積下，採用單行道雙側偶數均分設計，可以獲得最大的經濟 效益且兼顧環保低油耗。
【註】：參考文獻Richard (2008); Robin (2008).
Definition 3.1: (Parking Functions)
定義 f 為單行道上的車輛{1,…, n}映射至停車位{0,…, n − 1}的函數。車 輛依序進入停車，則第i 輛車為第f (i)位置。假定先到的車輛已經停走了第i
定義 f 為單行道上的車輛{1,…, n}映射至停車位{0,…, n − 1}的函數。車 輛依序進入停車，則第i 輛車為第f (i)位置。假定先到的車輛已經停走了第i