設計高中數學建模課程之研究

國

立

交

通

大

學

理學院網路學習學程

碩

士

論

文

設 計 高 中 數 學 建 模 課 程 之 研 究

A Study of Designing Mathematical Modeling Curriculum

in Senior High School

研 究 生：蘇旭榮

指導教授：傅恆霖 教授

設計高中數學建模課程之研究

A Study of Designing Mathematical Modeling Curriculum

in Senior High School

研 究 生：蘇旭榮 Student：Hsu-Jung Su

指導教授：傅恆霖 Advisor：Dr. Hung-Lin Fu

國 立 交 通 大 學

理學院網路學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning of College of Science National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master In

Degree Program of E-Learning June 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

設計高中數學建模課程之研究

研究生：蘇旭榮 指導教授：傅恆霖 博士

國立交通大學理學院網路學習學程碩士班

摘 要

迎接嶄新時代的來臨，以數學建模的觀點來提升高中數學教學與學習之發展，是培養 學生所需之數學能力與素養的重要方法之一；提升高中數學建模能力，有助於為國家高等 教育及科技人才培育奠定穩固的基礎。 本論文主要是探討高中數學建模課程的教材設計，與融入教學活動之教學實驗等兩大 主軸。第一部分進行實驗教材之設計示例；第二部分為理論驗證之行動研究，研究方法採 實驗教學法與訪談法。 研究結果發現，在教材設計的基準需符合下列原則：兼顧教材的模型建構、學習經驗 關聯性、模型共享與重製性。另外，在融入教學活動的歷程中，發現教師本身逐漸重視課 本教材與生活經驗的連結，課堂教學方式也由主導講授角色變為兼具引導及參與討論的角 色，注重情境多元性的建模策略，且該角色亦提升教師本身設計新的建模教材的能力；再 者，建立教材資源基礎的成果，有助於教師參與實作的信心，並促進教師反思與檢討其教 學方法，進而發展出一套高中數學建模教學之模式。最後，在學校實施數學建模課程，搭 配充足資訊媒材與數學讀物，不僅可提升學生本身建模能力，亦可促進其應用數學知識在 已建立模型的比較與連結，進而解決實際的數學問題。 關鍵字：數學建模課程、高中教師專業成長

A Study of Designing Mathematical Modeling Curriculum

in Senior High School

Student：Hsu-Jung Su Advisor：Dr.

Hung-Lin Fu

Degree Program of E-Learning of College of Science

National Chiao Tung University

ABSTRACT

There is no doubt that mathematics play the most important role in the development of modern technologies. A student with well-trained logic thinking and the ability of modeling a real world problem in senior high school is essential for him or her to face the challenge in the future. Therefore promoting mathematical modeling abilities in senior high school will be able to build up a solid foundation for higher education.

This thesis is mainly to study two topics：(1) Designing mathematical modeling materials, and (2) running the experiment of inserting materials into senior high school teaching. The first part is carrying on designing teaching materials and presentation of solid examples and the second part is the teaching activity inquired by experimentation and interviews. The research finds that the designing standard in the teaching material has to follow Lesh's principles such as Model Construction principle, the Reality Principle, and Construct shareability and reusability principle etc. Besides, in the process, we find that the teacher who gradually values the combination of teaching materials and real-life experience also becomes a role by predominance with leading and participating in a discussion, paying more attention to pluralistic scenario modeling strategies, and also raised to design new modeling teaching materials. Furthermore, the foundation of teaching material resources which contributes to teachers participating in confidentially,

also promoting introspection and examination on teaching method, later on, developing teaching patterns of senior high school mathematical modeling. Finally, concerning the school provides students mathematical modeling curriculum which like research

curriculum with sufficient IT media and mathematics readings, not only promotes their modeling abilities, but also makes them apply mathematics accomplishment to connect and compare with developed models, then to solve practical mathematical problems.

Keywords：Mathematical Modeling Curriculum, Senior High School Teachers’ Professional Development

誌

謝

學業與工作並行的生活即將劃下句點，回首過去數百個日子裡，除了重溫學生時代的 種種外，更讓人體會到人間處處是溫情。這一路走來，真要感謝許許多多的貴人協助，才 使得這本論文得以完成。 首先要先感謝指導教授暨交大學務長 傅恆霖教授以及應數系 黃大原教授對學生的指 導與包容，您們的關心與鼓勵，使學生化阻力為助力而將論文順利完成；感謝口試委員交 大應數系 翁志文教授、台中技術學院 陳伯亮教授以及靜宜大學 黃國卿教授(口試召委)在 百忙之中撥冗指導與給予建議，使本論文更臻完善。 再來感謝的是研究所的同窗夥伴們，你們的激勵驅使自己得加快腳步完成論文；感謝 學校同事們的照應，使自己能將工作與學業兼顧；感謝苗栗縣建台中學數學科陳偉閔老師， 協助數學建模的試題編撰與行動研究工作等；感謝好朋友們的陪伴，讓自己能逐一紓解接 踵而來的壓力。 最後，要感謝我最愛的家人，爸爸、媽媽、哥哥旭川與親戚們，您們的噓寒問暖是支 持我一路走來的最大動力，我愛您們！ 感謝的話語無限，未來的人生旅程我將永遠懷抱著這份心繼續走下去！ 蘇旭榮 謹誌於 國立交通大學理學院網路學習學程碩士班 中華民國九十八年六月

目

錄

中文提要

………

i

英文提要

………

ii

誌謝

………

iv

目錄

………

v

表目錄

………

vi

圖目錄

………

vii

一、

緒論………

1

二、

文獻探討………

2

2-1

高中數學建模………

2

2-1-1

建模課程目的………

2

2-1-2

教材設計原則………

3

2-1-3

建模教學策略………

4

2-2

行動研究………

6

2-2-1

行動科學研究………

6

2-2-2

促進教師專業成長策略………

6

三、

研究方法與內容………

7

3-1

研究工具………

7

3-1-1

實驗教材………

7

3-1-2

訪談題目……… 31

3-2

研究對象……… 32

3-3

行動研究歷程……… 33

3-3-1

研究基礎……… 33

3-3-2

發展過程……… 34

四、

研究發現與討論……… 37

4-1

教學相關指標……… 37

4-2

學生學習成效……… 38

五、

結論……… 39

參考文獻

……… 41

表 目 錄

頁次 表3-1-1-1 房間價目與住房率...10 表3-1-1-2 房間價目、住房數與每日收益...10 表3-1-1-3 醫院與病人喜好排序...13 表3-1-1-4 單行道單側八個停車位數據...17 表3-1-1-5 單行道雙側八個停車位數據...18 表3-1-1-6 八個隊伍參賽的完美賽程...22 表3-1-1-7 九個隊伍參賽的完美賽程...23 表3-1-1-8 96年會員租賃各品種機率 ...24 表3-1-1-9 各品種需購入數量表...26 表3-1-1-10 三組巡邏之可行路線...28 表3-1-1-11 四組巡邏之可行路線...29 表3-1-2-1 行動研究訪談題目...31 表3-1-2-2 行動研究訪談結果統計...35

圖 目 錄

頁次 圖2-1-3-1 模型發展序列流程圖... 5 圖3-1-1-1 數學建模流程圖... 8 圖3-1-1-2 以收支平衡問題為例的數學建模流程圖... 8 圖3-1-1-3 截流工程截面圖...12 圖3-1-1-4 單行道停車場示意圖...16 圖3-1-1-5 圓山大飯店空照圖...27 圖3-1-1-6 巡邏點、路線、路程圖...28

一、 緒論

古希臘哲學家Claudius Ptolemy 在公元二世紀所提出的＂地心說＂，波蘭天文學家 Nicolaus Copernicus 在公元十五世紀提出的＂日心說＂，以及法國哲學家 René Descartes 座標的發明與方法論的數學模型法，乃至公元 16 世紀義大利科學家Galileo Galilei 利用三 角形相似定理建立數學模型，進而推導出自由落體的運動定律等，皆成為了數學模型在近 代科學的使用先驅，而現代的數學建模(Mathematical Modeling)，更是繼承了偉大科學家與 哲學家們的智慧，成為解決各種科學理論與實際問題的最佳選擇。 數學建模（mathematical modeling）不同於傳統的解題只將焦點放在問題的數學表徵 化和數學解答，數學建模將焦點從發現解答改變為轉換與詮釋情境資訊、辨別潛在的問題、 建立模式、再詮釋數學解答的前提、假設與可能的偏差。有關數學應用與建模的重要議題 已引起數學教育界廣泛的回響與探討（Houston, Blum, Huntley & Neill, 1997; Blum, 2002）。

近年來，美國與大陸等地的中學課程中尤其重視學生的建模能力，並開設多元研究型 課程與舉辦數學建模競賽等，以培養跨學科領域，具創造力思考的現代人才。國際上也有 不少成功的數學建模教學方案，例如俄國以建模課程作為資訊科學學習的延伸，並採用教 師教導、小組合作與個別工作循序漸進的教學方式來增強中學生的跨領域的技能（Henner & Stestakov, 1997）。 Ikeda(1997)建議在建模活動中教師應依照個人的建模教學能力來決定教師所扮演的角 色，其研究結果發現能夠引導學生注意與討論同儕間不同的數學思維是一個重要的教學策 略。但縱觀我國中等數學教育環境，引進建模教學仍存在諸多不利的障礙。大部分的高中 數學教學模式是依照下列步驟進行：介紹組織完整的單元概念、示範例題和演算技巧、讓 學生練習、學生儘可能提供自己正確的想法、教師提供便捷的解題技巧（Lin & Tsao, 1999）， 造成長年來考試領導教學的傳統，不論是教材設計與教學方法，皆是舊的思維與學習模式， 也因此產生了龐大的數學學習壓力，並讓數學知識漸漸與真實世界的經驗脫節。

數學建模在數學課程中扮演重要的角色，建模概念的學習對學生在面對現實生活上的 問題有很大的幫助，並且能培養學生作假設、分析、推理、解題、圖表分析、歸納、模型

建立、討論分享等科學能力。然而有關數學建模的研究亦不少，但大多數是聚焦在建模教 學方式對學習成效的影響。 至於在研究中發展教材，且透過原案分析及課室觀察，來探討教 師如何將數學建模融入教學活動之歷程，作為高級中學建模教學與學習之指標相關研究為 數並不多。因此，本研究想要探討一位高中數學老師如何在已發展的教材基礎上，融入教 學活動與學生相互學習成長之歷程，並期望能夠建立相關建模師資培育指標，以提升數學 教師的專業成長。

二、 文獻探討

本章文獻探討上主要是針對高中數學建模概念、教材設計原則、建模教學策略、行動 研究、教師專業成長等相關研究議題作系統性的介紹，以簡述本研究之相關理論基礎與脈 絡。 2-1 高中數學建模 2-1-1 建模課程目的 沈華偉(2002)提到，數學應用和數學建模活動要與現行數學教材有效結合，雖然 數學建模的目的是為了解決實際問題，但對於高中生來說，進行數學建模教學的主要 目的並不是要他們直接去解決有關經濟、工程等生活中的實際問題，而是要他們培養 數學應用的意識，掌握數學建模的方法，為將來的學習與工作打下基礎。 而在高中進行數學建模活動，具體來說可以培養學生以下五點能力(趙杰，2002)： 1. 創造性思維能力 2. 數學素質 3. 合作意識 4. 自學能力與使用文獻的能力 5. 計算機應用能力 而黃樂華(2003)更是提出，大陸南開大學數學科學學院的願沛教授，認為中學數

學建模學習，可以培養學生以下十種數學能力： 1. 歸納總結的能力 2. 演繹推理的能力 3. 準確計算的能力 4. 提出問題、分析問題、解決問題的能力 5. 抽象思考的能力 6. 聯想思考的能力 7. 學習新知識的能力 8. 口頭與書面的表達能力 9. 創新的能力 10. 靈活運用數學軟體的能力 2-1-2 教材設計原則 建模活動(Model-Eliciting Activities) 在教材設計是為了鼓勵學生建立數學模 型，解決複雜問題，以及為教育工作者提供更好的工具來了解學生的思考行為。 建模活動是基於六個具體原則(Lesh 等人, 2000) 的發展和實地試驗所建立： 1. 模型建構原則：問題必須在設計上考慮到模型的元素、關係、元素間的操作、模 式和處裡這些關係的規則等。 2. 現實原則：問題對於學生，必須是有意義，而且與生活經驗相關。 3. 自我評估原則：學生必須能自我評估或測量他們的解答是否具有可行性。 4. 建構文件原則：學生必須能充分表達他們想法與解答的過程。 5. 建構可分享與可再用性原則：由學生創造的解答應該具有普遍化或容易適用於其 它情況。 6. 有效的描述原則：其他人應能容易地解釋解答。 上述可知，為增強教學內容和過程的應用性為目標的教學設計，應處理好理論 與實務、知識與能力、邏輯與心理、教學與學習間的相互聯繫，融入知識、方法、 應用、創造等元素，充分體現數學課程在培養學生數學素質及其他相關素質間的功

能與價值。 徐菁(2001)在教材設計上提出以下四點原則： 1. 立足教學實際，關注現實生活 泛指客觀世界的現實圖景，有利於豐富發展並增強數學現實的適用性，如人們 生活中的經濟活動、運輸過程、人口控制、環境保護、資源開發、科學管理等各方 面實際問題。 2. 引入問題，注重探究過程 能引導學生進行問題解決式的問題探究，重視科學認知的一般方法與數學 思維的過程，並重視探究意識與能力的養成，與科學價值和人文精神的弘揚。 3. 講授數學模型，擴展應用範圍 相對於現實來說，數學中的數、式、方程、函數、統計量等皆可視為數學模型， 都可採用數學模型法的思維來處理，亦可完全使用在例題、習題等方面，直接作為 必修內容在課堂上講授。 4. 運用數學建模，培養實踐能力 數學建模是一個動態的數學過程，不僅可以解決課堂上的理論教學，也可讓學 生體驗現實中的數學問題，訓練學生從抽象現實問題轉化為數學問題，得以運用數 學思維求解。 2-1-3 建模教學策略

本次建模教學的研究基礎是以 Lesh, Cramer, Doerr, Post 以及 Zawojews （2002）所建立的「模型發展序列（model development sequence）」為架構，並根

據Dienes 的四大原則（建構原則、多重具體物原則、動態原則、感知多變性原則）， 探索教師如何引導學生，以日常生活經驗與不同的科學能力為背景，取代傳統解題導 向，活用跨領域的知識與能力進行合作解題，建立數學模型的脈絡活動。下圖為模型 發展序列的流程圖：

【圖2-1-3-1 模型發展序列流程圖 Lesh, 2002】 當我們初步實施數學建模教學時，可以把教學過程分為三個階段(李有忠，2005)： 1. 初級階段 結合教材改編許多應用題，通過創造問題情境，引導學生積極參與知識建構， 著重培養學生的應用意識，培養學生希望透過數學建模來解決實際問題的興趣。 2. 中級階段 i. 選擇貼近生活的數學問題以及與教材有關的典型問題，啟發學生思考並初步掌 握數學建模的常用方法。 ii. 引導學生運用數學工具、圖表等多種方式，建構適合的數學模型。 iii. 評價學生建構的數學模型，並進行指導修正，所檢驗的結果如果不符合事實， 應補充假設，重新建模。 3. 高級階段 引導學生主動在生活中發掘問題，尋找解題的元素，使其獨立發現問題、提出 問題，並能以小組合作的方式處理較複雜的建模問題，提出報告，由師生共同評定 其表現，最後再請學生將其過程寫成數學作文(小論文)。 黃樂華(2003)提出”思想實驗法”，其內容是在教學中如何更好表現出”問題背景 －建立模型－解釋應用與推廣”的方式，把思考的重點放在以下幾個方面： 暖身活動 進一步活動 建模活動 模型探索活動 模型適用活動 發表與討論 反思與詢問 討論結構相似性 「How To」工具間的連結 其他的資源和參考資料

1. 模型(概念、公式)的背景有哪些？哪些背景更接近學生的現實生活、更容易激發 學生的認知理念？ 2. 模型的建構用到哪些數學方法？歸納法、類比法、聯想法？還是其他具體方法？ 3. 怎樣將模型進一步地推廣？ 由於數學建模教學活動涉及的內容領域廣泛，一位教師不易對這些內容都精通， 各領域所組成的教師團隊的專業水準，決定了建模教學成功與否，如數學、物理、化 學、生物、資訊等領域的教師所發揮的合作教學效果，必然遠大於數學老師本身所從 事的指導教學工作。 2-2 行動研究 2-2-1 行動科學研究 Schon(1983)提出行動科學研究不僅同時考量所追求的目標和達成目標的手段， 也要不斷地思考與質疑整體設計，進而在實踐的過程中可以探究與審視個人的價值觀 與目的。而張景媛（民86）則認為：教學評量應是雙向的評量，不只評估學生的學習 表現，也應評鑑教師的教學行為。教師是一位質變的學習者，必須不斷思考自己的教 學問題。這與過去我們偏重以成績之「量」的評量，在期末才驗收教學成果，以及並 未透過學生的反應來調整教學，有所不同。是以本研究基於行動研究基礎上，擬以參 與觀察法詮釋研究歷程，記錄研究對象的成長歷程，且研究者本身亦參與教學活動與 檢討。 2-2-2 促進教師專業成長策略 談及師資培育或教師專業成長，雖然在培養教學知能與促進成長具有多元策略， 但其共同目標包含：更了解學生的學習、能順應學生學習特性的有效教學及追求成長 的永續態度(Lin & Cooney, 2001)。也就是說，教師本身順應時代的變革必須改變其教 學策略，當教師本身具有投入建模教學的動機時，如何建立有效並永續的專業成長策 略，為研究首要目標。Lin(2003)曾指出支撐教師改變的策略可以透過實作研討、內容 導向或是資訊科技等方式。

本研究擬透過實作研討，致使教師本身產生「疑惑（doubt）」（Cooney, 2001） 這個重要概念。如果教師能對於既有的信念或行動產生疑惑，那原以為理所當然的現 象就會受到動搖，如此有助於促進教師的反思。(Lin & Yang, 2005)

Schifter(1993)等人提出師資培育者為了落實「經驗學習者(experiences as learners)」的理念，培育形式採用工作坊(workshop)的方式是合宜且必要的。相 關的研究也指出，一個成功的教學創新計畫或是學校改革的關鍵元素是讓教師將他們 在暑期班(summer institutes)或工作坊(workshops)中學到的知能得以付諸於課堂中 實行。

三、 研究方法與內容

本章擬以高中數學建模教材之實例展演，與其融入教學活動之教學實驗等兩大主軸為 主，希望建立教學相關指標與了解現行建模課程學習之不足。 3-1 研究工具 研究工具擬以研究者設計之實驗教材與訪談題目為主要工具，設計不同難易程度之 六種題型(以離散數學為主)，於行動研究中實施教學，並記錄教師教學成長歷程；另外， 訪談題目配合研究歷程，訪談參與學生在接受數學建模課程後，所具備與缺乏之相關建 模發展序列項目，以作為未來建模課程設計與教學環境的參考。 3-1-1實驗教材 1. 設計基準： 根據美國愛荷華州教育局2007年頒訂的中學數學模型的核心課程標準(Iowa High School Mathematics Model Core Curriculum,2007)，數學建模為應用數學 方法解決現實問題的過程，建立普遍化的數學建模課程，主要依據下述建模流程圖：

【圖3-1-1-1 數學建模流程圖】 以收支平衡的問題為例，下述表格為工廠生產過程中，如何使用二次方程式找 出收支平衡點： 【圖3-1-1-2 以收支平衡問題為例的數學建模流程圖】 2. 設計方向 根據Arnold (2003)列舉出近代諸多科學的研究中，需要用數學建立模型的各種 領域如下： i. 人文社會科學領域 a. 人類學或考古學：分類的技巧、碎片或頭顱的重建。 b. 犯罪偵查學：指紋辨識、面貌識別。 c. 金融：風險分析、選擇權的估價。 d. 政治學：選舉的分析。 真實世界的答案 數學模型 數學的答案 以真實世界為基礎 的答案詮釋 評估 替代 是否合理? 分析 解答 解釋 真實世界：找出生產 過程中的收支平衡點 數學模型： P(x)＝x2  x3 4。 當P(x)＝0？ 數學的答案： P(x)＝0 時，x＝4 或 -1 以真實世界為基礎的答案 詮釋：當生產4000 個或 -1000 個單位收支平衡 評估 分析 替代 是否合理? -1000不合 分析 因數 圖形 解答 解釋 轉化

ii. 生命科學領域 a. 生物學：人類的基因工程、人口動態、物種的演化、疾病的傳播、動植物 的培育(遺傳學)。 b. 醫學：輻射治療計畫、X 光片拍攝、血液循環模型。 c. 藥物學：對蛋白質的分子的修飾、新化合物的掃描。 d. 神經系統科學：神經網路、在神經裡的信號發送。 iii. 自然科學領域 a. 天文學：行星的系統的探測、宇宙的起源。 b. 氣象學：天氣預測、氣候預測(全球暖化、什麼引起臭氧洞？)。 c. 物理學：基本粒子追蹤、量子領域理論預測、雷射。 d. 化學：分子模型、電子結構計算。 e. 流體力學：紊流、風的路徑。 iv. 資訊科學領域 a. 計算機科學：影像處理、資料搜尋、比對。 b. 人工智慧：計算機視覺、機器人技術、語音識別。 v. 空間科學領域 a. 航運科學：空中交通、汽車和飛機的自動駕駛儀、軌道計畫、飛行模擬。 b. 建築學：虛擬現實。 vi. 工業工程領域 a. 生產與運作管理：生產計畫與批量問題，庫存管理，物流與供應鏈管理。 b. 決策分析：投資分析、產品開發、市場行銷、可行性研究。 c. 多目標決策：企業經營管理、工程項目管理、交通運輸管理、環境保護與 管理、工程設計與工藝、公共事業規劃。 本次設計的實驗教材以離散數學為主，考量目的如下： i. 離散數學為高中學生較為薄弱且缺乏的重要數學能力，卻扮演與高等教育銜 接、資訊科技發展能力等重要角色。

ii. 根據 Arnold (2003)上述列舉的課程相關領域，發現多需要以離散數學為基礎 進行運算與模型建立，且高中數學現行教材較為缺乏，故多以此類教材為主。

3. 參考範例

i. Harshbarger & Upshaw (2001)在飯店管理實務上，所設計的問題。下二表為 某飯店房間價目、住房率與營收，如何在這些資料中，建立數學模型，得以發 現何種房間價位的設計可以獲得最大的住房率與營收？ 【表3-1-1-1 房間價目與住房率】 房間價目 住房數 每日收益 房間價目 住房數 每日收益 110 134 14,740 119 130 15,470 120 94 11,280 79 100 7900 100 120 12,000 89 104 9256 120 80 9600 69 150 10,350 房間價目 住房率(%) 房間價目 住房率(%) 110 67 119 65 120 47 79 50 100 60 89 52 120 40 69 75 115 38 39 65 75 55 39 45 65 50 45 50 70 52 62 47 44 39 67 47 38 21 36 27

115 76 8740 39 130 5070 75 110 8250 39 90 3510 65 100 6500 45 100 4500 70 104 7280 62 94 5828 44 78 3432 67 94 6298 38 42 1596 36 54 1944 【表3-1-1-2 房間價目、住房數與每日收益】

ii. 2007美國中學生數學建模競賽試題(HiMCM 2007 contest problems) a. 租車問題 有些人要從事長途旅行的時候，他們會租一輛汽車。通常他們會選擇節省 金錢，即使他們不在乎租車費用，他們也會認為如果車在旅行中故障，是租車 公司的事，而這一點使得租金是值得的。分析這種情況，並確定在什麼條件下， 租用一輛汽車是一個比較適當的選擇。對自己擁有的汽車，確定里程限制，並 確定對於司機和他的家人來說可接受的損益平衡點。 4. 實驗教材示例 於行動研究前，研究者根據教材設計基準、設計方向，以及高級中等學校數 學課程綱要等內容，參酌學者題例改寫與自編，並顧及國內學生程度與教材普遍 化原則，設計六個實驗教材示例與自編解答如下： i. 水庫截流工程問題(沈華偉，2002) Q： 有些水庫在建造的過程中可能要面臨截流的問題，假設 1964 年桃園的 石門水庫建造時，需要截斷上游的洪流，截流工程於早上10:55 開始，當時的缺 口水面寬40m，水深 60m。當 13:50 時，缺口水面寬度改變為 34.4m，到 15:00 時，寬度改變為31m。試問如何建立合理的數學模型進行估算，並利用上述數據 推測出最接近截流工程完工時間？(事實上到了約17:28 時，截流工程便成功。) A： 假定截流回填的截面如下圖為等腰三角形，則回填的

【圖3-1-1-3 截流工程截面圖】 面積 A = 2 60 40 =1200 ㎡，經過 175 分鐘回填後，寬度改變為 34.4m，此時截面 縮小如上圖，水深h 滿足1 1 2 . 17 h =6020 =3 1 ，所以當h 為 51.6m 時，待填滿的截面積 1 1 A =17.2 × 51.6 = 887.52 ㎡，回填平均速率 107.136 175 60 ) 52 . 887 1200 (    ㎡/hr； 同理可知，13:50 到 15:00 時回填的平均速率為 143 70 60 ) 75 . 720 52 . 887 (    ㎡/hr， 亦可知回填速度越來越快。 假設回填速度加快的比為 107143 =1.336，則從 15:00 至 16:00，回填面積為 143 × 1.336 = 191.048 ㎡，而 16:00 至 17:00，面積為 143× 2 336 . 1 =255.24 ㎡。 因此，待填面積為720 - (191.048 + 255.24) = 274.462 ㎡，需要約 3 336 . 1 143 462 . 274  ≒ 0.8hr≒ 48 分鐘，則可求得完工時間應為 17:48 分，與實際完工 時間相差約20 分鐘，誤差 s s s min 393 min 373 min 393  ≒5.089%，約 5%的信賴區間。

ii. 穩定配對問題(自編，Graph Theory/Algorithm)

Q： 當我們生病的時候，我們會依照自己的喜好選擇不同的醫院進行治療， 而相對的不同層級的醫院也希望收到適切的病人(例如醫學中心多接受重症病 人)，以維持醫院收益、適切治療與資源合理分配的原則。試問如何建立數學模 型說明醫院與病人總是能夠各取所需？ A： 假定我們居住的地方有五間層級不同的醫院，亦各有支持的客群，因 1

h

60 34.4 40

為病人數遠大於醫院數量，所以我們簡化成每五個病人與醫院的關係作為討論， 唯一條件是越高層級的醫院不能接受低於該醫院層級的病症病患，而越低層級的 醫院亦無法越級治療重症病人。但病人卻有自我喜好的權利選擇不同的醫院，則 需要讓每個病人盡可能選擇到最喜好的醫院，兼顧雙方的意願排序，所以我們要 在其中找出合理的解以獲得兩造所需。 首先，醫院以A、B、C、D、E 表示，病人以 a、b、c、d、e 表示，各將對 方在自己所需的排名列出來，假設排出來的順序如 下表所示： A B C D E a b c D e b(4) a(4) b(5) A(3) e(4) E(4) D(3) A(4) C(4) D(5) e(5) b(3) c(4) C(2) c(5) A(3) E(3) D(2) B(4) B(5) a(2) c(3) e(3) B (1) b(2) D(1) B(2) B(3) D(4) C(3) c(1) d(2) d(1) D(3) a(1) B(1) A(1) C(2) A(5) E(1) d(4) e(2) a(5) E(1) d(5) C(5) C(1) E(2) E(5) A(2) 【表3-1-1-3 醫院與病人喜好排序】 括號中的數字為喜歡的順序，如A 欄之下的 b(4)表示A 是 b 的第四順位人選。 當然，我們希望產生正確分配，例如(A,a)、(B,b)、(C,c)、(D,d)、(E,e)的配 對是不穩定的，以(C,c) 、(D,d)兩對而言，c 比較偏好 D（與 C 相比），d 又比 較偏好 C（與 D 相比），所以分配後，這兩組無法進行治療，所以這無法成為正 確解。 若以醫院為主，我們先假設讓他與他最需要的病人配對（箭頭上面的數字表 示步驟的順序）：A1 _{b ， B}2 _{a ， C}3 _b 顯然，第三步驟出了衝突，A 和 C 都需要 b 病人，怎麼辦？這時候就徵詢 b 的意見，由上表得知A 與 C 相比，b 比較喜歡 A，所以 C 只好退而求其次，選擇 c 病人。照這原則下去直到完成分配： A 1 b7 e9 a B 2 _a6 _b14 _c15 _d C 3 b4 c11 e

D 5 _a10 _c E 8 _e12 _c13 _b 經過了15 個步驟，我們得到的配對結果是(A,a)、(B,d)、(C,e)、(D,c)、(E,b)， 雖然兩方都沒有是「第一志願」，但至少這是穩定的，起碼醫院可以進行治療， 五個病人選擇到較喜好的醫院，結果雖不滿意但可接受。 那如果用病人的意願來排，會得到相同的結果嗎？ a1 E ， b2 D ， c3 A d4 _{C ， e}5 _D6 _B 結果只花了6 個步驟就得到不一樣的分配結果：(A,c)、(B,e)、(C,d)、(D,b)、 (E,a)。從這裡，我們可以知道，並非只有唯一解，但是，我們以其中一方（病人 或醫院）為主，可得到合理解。

【註】：參考文獻David & Jon (2007); Donald (1997); Knuth(1997). Definition 2.1:

有n 男 n 女，每人都按他對（異性）對象的喜好程度按 1 至 n 排列。安 排男女結婚，使得沒有一對不是夫婦的男女對對方的喜好程度都較被安排的 配偶高（不穩定）。

Theorem 2.1: (Matching in Bipartite Graphs)

使用G=(X, △, Y) 來表示 bipartite graph G，其中 X, Y 為 vertex set V(G)，△為 edge set E(G)。在 G 的每一組配對皆為 subset M of △，且任 意M 不會同時有兩個 edge 出現。

Theorem 2.2:

必然存在穩定的完全結婚(A stable complete marriage)。即全部的男生 與女生都結婚了。

一個穩定的完全結婚，若以女生為主，則女生對於得到配偶的喜愛程 度，至少和她在其他stable complete marriage 得到的配偶一樣，則稱 women-optimal 的 stable complete marriage；同樣地，我們也可以此方式獲 得以men-optimal 的 stable complete marriage。

Theorem 2.3: (Deferred Acceptance Algorithm: 遞延接受演算法)

一開始時，每個女生都被標記成rejected。當存在 a rejected woman, do: (1) 每位被標記 rejected 的女生都選擇，沒有 rejected 的男生中、她最喜愛

的那個。

(2) 每位男生都挑出，選中他的那些女生中、他沒 reject 的之中、他最喜愛 的那個。Defer decision on her，並且 rejected 其他選中他的女生。 (3) 被選到的女生，則拿掉 rejected 的標誌。

Proof of the above theorem:

在雙方任意的喜愛程度之下，我們總是可以上述的Deferred Acceptance Algorithm 找到穩定的完全婚姻。已知當 algorithm 停止時，便沒有被標記 rejected 的女生，則可知當演算結束，便能形成完全的婚姻。以女生 A、B 兩 人與男生a、b 兩人配對為例，假定 A 與 a，且 B 與 b 配對，但是 A 喜愛 b 的程度大於a 。如果 b 不喜愛 A 大於 B，則進行演算時，A 先選擇 b，但因 為存在某些 b 更喜愛的女生，A 會被 b reject。之後 A 被 b reject 後，必然 知道b 比較喜愛 B，因此不會存在不穩定的配對，且此完全婚姻必然為穩定。

iii. 停車場設計問題(自編，Discrete Mathematics)

Q： 停車問題一直都是惱人的現代文明病，但開車進入停車場後，司機往

往又想挑選自己喜好且方便的車位，常造成繞行油耗與空間使用浪費的問題。試 問如何建立數學模型來探討，利用固定面積的場地，達到最具有經濟環保效益的 停車場設計原則？

【圖3-1-1-4 單行道停車場示意圖】 假設有n 個司機，駛入單行道中準備停車，單行道內有 n 個呈線狀的停車位： ○1 _{每個司機有其偏好的位置，則共有n}n _{種偏好情形。} ○2 當第 i 個司機進來： a. 司機可停在偏好位置。 b. 當偏好位置已有停車，且後續位置仍有空位時，則停在最接近偏好位置 的後續位置。 則稱司機i 的偏好獲得滿意。反之，則無法獲得滿意。 在討論單行道單側有1~ n 個停車位的情形之下，從一個停車位開始討論起， 最後並加以推導公式與推測其正確性。 n = 1，一個停車位只有一種方法。S1=1，滿意比率P1為100%。 n = 2，二個停車位所有的偏好情形為(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)，滿意數S₂=3， 不滿意數為1 種，滿意比率P2為75%。 n = 3，三個停車位的偏好情形共 27 種，可滿意數S =₃ C₃3 C₂32C₁3(C₂2 C₁2)=16

單

行

道

1 n ↑ 3 2 『符號說明』 n：司機數，停車位數。 k F ：第一個司機偏好第 k 個位置的滿意數。 n S ：所有偏好滿意數。 k m ：偏好第 k 個位置的司機人數共有 m 個。 n P ：滿意比率。

不滿意數共11 種，滿意比率P 為 59.26%。 3 n = 4，四個停車位所有的偏好情形共 256 種，計算後發現滿意數 4 S =C +₄4 C₃4C₁3+C₂4(C₂2C₁2C₁2C₁2C₁2)+C₁4(C₃3C₂3C₁2C₁3(C₁2C₂2))=125， 不滿意數共131 種，滿意比率P4為48.83%。 n = 5，五個停車位所有的偏好情形共 3125 種，發現滿意數 5 S =C +₅5 C₄5C₁4+C₃5(C₂2 C₁3C₁2C₁3)+ )) ( ) ( (( ₃3 ₁2 ₂3 ₁3 ₁2 ₁3 ₂3 ₁2 ₂2 ₁2 5 2 C C C C C C C C C C C        + )) ( ( ( ₁4 ₃3 ₂3 ₁2 ₁3 ₂2 ₁2 5 1 C C C C C C C C     =1296，不滿意數共 1829 種，滿意比率P 為 ₅ 41.47%。 n = 6，我們繼續討論六個停車位的方法數，同上推論，發現滿意數S =16,807， ₆ 不滿意數共29,849 種，滿意比率P 為 36.02%。 6 n = 7，可得S =262,144。不滿意數為 561,399 種，滿意比率₇ P 為 31.83%。 ₇ 我們將單行道單側一到八個停車位數據整理如下： 停車位數量n 滿意數S _n 不滿意數 總偏好數 滿意比率P _n 1 1 0 1 100.00% 2 3 1 4 75.00% 3 16 11 27 59.26% 4 125 131 256 48.83% 5 1,296 1,829 3,125 41.47% 6 16,807 29,849 46,656 36.02% 7 262,144 561,399 823,543 31.83% 單 側 停 車 場 8 4,782,969 11,994,247 16,777,216 28.51% 【表3-1-1-4 單行道單側八個停車位數據】 利用上表我們有二項發現： ○1 n S 的公式可能為(n1)n1。 ○2 _{滿意時，對任意的}k ≤ n，已知 n – k ≥ k m -1，移項後可得 k +m ≤ n + 1。 k a. 若獲得滿意，對於任意的 k ≤ n，k +m ≤ n +1 均成立。 _k

b. 上述為滿意的必要條件，但不是充分條件。 c. 提供下列充分條件:當m₁＞0，且 k +m ＜n + 1，對任意 k ≤ n 均成立。_k 當m1＞0，有唯一的 k 使得 k +m = n + 1，其餘的任意 j ≠ k 可滿足 k j +m ＜n + 1。 _j 另討論單行道雙側共一到八個停車位數據如下： (在設計上必須考量固定的停車場面積，計算方法則類似單側) 停車位數量n 滿意數S n 不滿意數 總偏好數 滿意比率P n 備註 2 1 0 1 100.00% 左一右二 3 4 4 8 50.00% 左一右二 4 11 5 16 68.75% 左二右二 4 27 54 81 33.33% 左一右三 5 81 162 243 33.33% 左二右三 6 378 351 729 51.85% 左三右三 6 900 3,196 4,096 21.97% 左二右四 7 4,292 12,092 16,384 26.20% 左三右四 7 17,312 60,813 78,125 22.16% 左二右五 8 33,621 31,915 65,536 51.30% 左四右四 雙 側 停 車 場 8 102,801 287,824 390,625 26.32% 左三右五 【表3-1-1-5 單行道雙側共八個停車位數據】 利用表3-1-1-4 與表 3-1-1-5 我們有二項發現： ○1 雙側設計情況下，當獲得滿意時，對任意的k ≤ n，已知單側 n – k ≥ k m -1， 對於任意n 值，雙側設計的任一邊最多車位，至少小於單側一個車位。 則可知(n -1) – k ≥m -1，k +_k m ≤ n 成立。 _k a. 上述為滿意的必要條件，但不是充分條件。 b. 提供下列充分條件:當m₁＞0，且 k +m ＜n，對任意 k ≤ n 均成立。_k 當m₁＞0，有唯一 k 使得 k +m = n，其餘任意 j ≠ k 可滿足 j +_k m ＜n。 _j ○2 _發現n 值越大

a. n = 2k 時，n = k + k。即偶數個車位均分為雙側設計可獲得最大滿意 比率。 b. n = 2k +1 時，n = 2k +1。即奇數個車位為單側設計可獲得最大滿意 比率。 c. n 值越大，設計偶數個停車位雙側均分，可獲得最大滿意比率。 結論：在固定面積下，採用單行道雙側偶數均分設計，可以獲得最大的經濟 效益且兼顧環保低油耗。 【註】：參考文獻Richard (2008); Robin (2008). Definition 3.1: (Parking Functions)

定義 f 為單行道上的車輛{1,…, n}映射至停車位{0,…, n − 1}的函數。車 輛依序進入停車，則第i 輛車為第f (i)位置。假定先到的車輛已經停走了第i 輛車想停的位置，則第i 輛車找下一個空位停或是最後被迫放棄無法停車。 假設沒有任何車輛被迫放棄停車，則可稱f 為parking function。 以數學簡述的方式，即任意車輛C 偏好停車位_i a ：當_i a 被其他車輛停_i 走，則C 往下找可停的車位。假設所有車輛皆有車位可停，我們稱i (a₁,a₂,...,a ) 為n個車位的parking function。 _n 我們使得α= (a₁,a₂,...,a )_n P ，且n b₁ b₂  ... b 為α的遞增重_n 排，則α為parking function if and only if bi  i 。則可推論parking function

的每一組排列亦為parking function。 Theorem 3.1: (Parking Function Formula)

The number of parking functions of order n is 1

) 1 (n n . Proof 我們增加一個額外的停車位，並將所有停車位排列為圓形，對於所有n 輛車而言，這個第n+1個車位也是一個可偏好的車位。

only if 這個空位為第n+1個車位。假設α=(a1,a2,...,a )n 導致C 停在第i i p 個停車位，則(a₁+j ,a₂+j ,...,a +j)(mod n+1)_n 將會使得C 停在第_i a₁+j 個車位。因此，準確地說(a1+j ,a2+j ,...,a +j)(mod n＋1)n 也是parking function，則f (n) = 1 ) 1 (   n n n = 1 ) 1 (n n 。(Cayley’s number)

Let F be a rooted forest on the vertex set {1, 2,…, n}, the number of such forests is 1

) 1

(n n .(Sylvester-Borchardt-Cayley)

iv. 賽程安排問題(自編，Graph Theory)

Q： 2010 年舉辦的世足盃比賽，預賽採用積分制，也就是參賽的所有隊伍， 任意兩隊都必須要有賽事產生。但現在面臨的問題就是賽程安排的公平性，對於 每個隊伍而言，每兩場賽事間均等的休息間隔是必須的。試問如何建立良好的數 學模型，獲得完美的賽程安排？ A： 預賽多以四個與五個隊伍參賽，我們先以四到七隊找出較合理的完美 賽程安排，分別作為奇數隊與偶數隊的基本模型並討論。(以A.B.C.D.等表示參 賽隊伍)當我們嘗試各種排法後，發現四隊與六隊的完美賽程中，有相同規律之 排法與發現如下： ○1 _{完美賽程不一定能夠兼顧到真正的公平均等，當}n=2m 時，可能為 m ≥ 間隔 ≥ m-2。 ○2 _{四隊與六隊的完美賽程整理如下左右，可看出基本規則：}

1

M {(A,B), (C,D)} {(A,B), (C,F), (D,E)}

場次 1 2 1 2 3

2

M {(A,C), (D,B)} {(A,C), (D,B), (E,F)}

場次 3 4 4 5 6

3

M {(A,D), (B,C)} {(A,D), (E,C), (F,B)}

場次 5 6 7 8 9 M₄ {(A,E), (F,D), (B,C)} 場次 10 11 12 M {(A,F), (B,E), (C,D)} ₅ 場次 13 14 15 偶數隊完美賽程安排可能為以下假設：(將A,B,C...以 0,1,2,3...等代表) 1 M = { (0,1) , (2, 2m-1) , (3, 2m-2), (4, 2m-3),...,(m -1, m+2), (m, m+1)} 2 M = { (0,2) , (3,1) , (4, 2m-1), (5, 2m-2),..., (m, m+3) , (m+1, m+2)} 3 M = { (0,3) , (4,2) , (5,1) , (6, 2m-1),..., (m+1, m+4),(m+2, m+3)} ↓ 2 2m M = {(0, 2m-2),(2m-1, 2m-3),(1, 2m-4),(2, 2m-5),..., (m-3, m), (m-2, m-1)} 1 2m M = {(0, 2m-1), (1, 2m-2) ,(2, 2m-3),(3, 2m-4),..., (m-2, m+1),(m-1, m)} 我們可以觀察發現○2 中完美賽程 1 M ~M_2m1具有相同結構，只需考慮相鄰的 完美賽程中的關係如下： 1 M ={ (0, 1) , (2, 2m-1) , (3, 2m-2), (4, 2m-3),..., (m-1, m+2),(m, m+1)} 場次 1 2 3 4 ... m-1 m 2 M ={ (0, 2) , (3, 1) , (4, 2m-1), (5, 2m-2),..., (m, m+3), (m+1, m+2)} 場次 m+1 m+2 m+3 m+4 ... 2m-1 2m 即任意第m+i 場比賽(i=2,3,...,m-1)，正好是第(i-1)與第(i+1)場比賽中的球 隊，此兩隊在第(i+2)~(m+i-1)場比賽中並未出現，皆符合○1 _中m≥間隔≥m-2 的假 設。另我們利用上述方法檢視八隊完美賽程，發現符合假設如下：

A B C D E F G H 兩場比賽間相隔場次 A 1 5 9 13 17 21 25 3 3 3 3 3 3 B 1 20 6 23 11 26 16 4 4 4 3 2 2 C 5 20 24 10 27 15 2 2 4 4 4 3 2 D 9 6 24 28 14 3 19 2 2 4 4 4 3 E 13 23 10 28 4 18 7 2 2 2 4 4 4 F 17 11 27 14 4 8 22 3 2 2 2 4 4 G 21 26 15 3 18 8 12 4 3 2 2 2 4 H 25 16 2 19 7 22 12 4 4 3 2 2 2 【表3-1-1-6 八個隊伍參賽的完美賽程】 接著我們以相同的方式討論n = 2m +1 時，奇數隊的完美賽程，可發現五隊 與七隊的相同規律排法與發現如下： 當n = 2m +1 時，可能為 m≥間隔≥m-1。 另奇數隊完美賽程安排可能為以下假設：(將 A,B,C...以 0,1,2,3...等數字代表) 1 M ={ (0, 1) , (2, 2m) , (3, 2m-1),(4, 2m-2),...,(m, m+2),(m+1, 0)} 2 M ={ (1, 2) , (2m, 3) , (2m-1, 4),(2m-2, 5),...,(m+3, m),(m+2, m+1)} 3 M ={ (0, 2) , (3, 1) , (4, 2m) ,(5, 2m-1),...,(m+1, m+3),(m+2, 0)} 4 M ={ (2, 3) , (1, 4) , (2m, 5) ,(2m-1, 6),...,(m+4, m+1),(m+3, m+2)} ↓ 1 2m M ={ (0, m), (m+1, m-1),(m+2, m-2),(m+3, m-3),..., (2m-1, 1) , (2m, 0)} m M2 ={ (m, m+1),(m-1, m+2),(m-2, m+3),(m-3, m+4),...,(2m+2, 2m-1),(1, 2m)} 考慮相鄰的完美賽程中的關係如下： 1 M ={ (0, 1) , (2, 2m) , (3, 2m-1), (4, 2m-2),..., (m, m+2), (m+1, 0)} 場次 1 2 3 4 ... m m+1 2 M ={ (1, 2) , (2m, 3) , (2m-1, 4), (2m-2, 5),..., (m+3, m), (m+2, m+1)} 場次 m+2 m+3 m+4 m+5 ... 2m 2m+1 即第2m + i 場比賽(i = 3,4,...,m +1)，正好是第(m + i +1)與第(m + i)場比賽中 的球隊，此兩隊在第(m + i +2)~(2m + I -1)場比賽中並未出現，皆符合

m ≥ 間隔 ≥ m-1 的假設。 我們利用上述方法檢視九隊完美賽程，發現符合假設如下： A B C D E F G H I 兩場比賽間相隔場次 A 1 10 19 28 5 14 23 32 3 4 3 4 3 4 3 B 1 6 11 16 21 26 31 36 4 4 4 4 4 4 4 C 10 6 15 20 25 30 35 2 3 3 4 4 4 4 4 D 19 11 15 24 29 34 3 7 3 3 3 3 4 4 4 E 28 16 20 24 33 4 8 12 3 3 3 3 3 3 4 F 5 21 25 29 33 9 13 17 3 3 3 3 3 3 3 G 14 26 30 34 4 9 18 22 4 4 3 3 3 3 3 H 23 31 35 3 8 13 18 27 4 4 4 4 3 3 3 I 32 36 2 7 12 17 22 27 4 4 4 4 4 4 3 【表3-1-1-7 九個隊伍參賽的完美賽程】 【註】：參考文獻Gross (2006); Wallis (2000). Definition 4.1: (完全圖) 定義圖G( V , E)，其中頂點集V = { 0 ,1 ,2 ,..., ( n - 1) } ,邊集 E ={ ( i , j) | i, jV } ,稱此圖G( V , E)是完全圖K 。 _n Theorem 4.1: 當n = 2m時,比賽圖K_2m可表示為(2m - 1) 不重複邊的完美配對的圖。 Proof m K₂ 的頂點為:0 ,1 ,2 , ..., (2m - 1) 。將0放在正(2m - 1) 邊形的 中心,而將1 ,2 , ⋯, (2m - 1)順次放在正(2m - 1) 邊形的頂點上,則每條 徑向邊(0 ,j) 與垂直於它的各邊一起構成一個完美配對。共有(2m - 1) 個這 樣的完美配對M₁,M2,...,M2m1 ,其邊是互不相重複的,並且K2m 恰好是 它們的圖。

Theorem 4.2: 當n = 2m + 1時,比賽圖K_2m1 可表示m個不重複邊的Hamilton圈的圖。 Proof 1 2m K 的頂點為:0, 1, 2 ,…, 2m。將0 放在單位圓的圓心,而將1, 2,..., 2m 順次等距地放在圓周上,則 1 C = (0, 1, 2, 2m, 3, 2m - 1 , 4 , 2m - 2 , ..., m , m + 2 , m + 1 , 0)就 是K2m1的一個Hamilton圈。考慮將C1繞頂點0 旋轉( m - 1) 次,可以得 到其他的Hamilton圈,共有m個Hamilton圈:C₁, C₂,...,C ，其邊是互不相重 _m 複的,並且K2m1恰好是它們的圖。 v. 寵物狗出租問題(自編，Statistics) Q： 目前新興行業中提供寵物狗出租服務，採會員制，會員每個月最多可 以租賃兩次，每次最多可以租賃三種小狗，租期每次為一個月，當然顧客必須在 歸還租賃的小狗後，才能有下一次的租賃行為。經營者提供七個品種的寵物狗， 而每次同一品種只能租賃一隻，以維護各品種的平均租賃概念。 下表為96 年 10000 名會員租賃各品種的機率： 品種 1 品種 2 品種 3 品種 4 品種 5 品種 6 品種 7 會員租賃 第j 品種的 機率 0.2 0.1 0.05 0.025 0.01 0.3 0.04 【表 3-1-1-8 96 年會員租賃各品種機率】 已知60%會員每月租賃兩次，40%會員每月租賃一次。試問如何建立數學模 型，計算出經營者需提供各品種的數量而獲得顧客的最大滿意度。 A： 假定這些寵物狗都受到顧客良好的照顧，暫不考慮死亡傷害等因素，

且這些寵物狗都經過基本教養訓練。另可知每個月每隻寵物狗可重複出租次數為 60% × 2 + 40% × 1 = 1.6 次。 我們已知每隻寵物狗是否被租賃是隨機的，而且只會發生租賃或是不被租賃 兩種情形，則X =_ij     則可將隨機變量X 寫作ij P



Xij  1



 p ；j P



Xij  0



1-p ，j (j=1,2,3,4,5,6,7。其值如表 3-1-1-12)。 另隨機變量Y =_j



 n i ij X 1 ，表示n 個會員租賃第 j 品種的總數，而X 的兩點分 _ij 佈與互斥獨立條件，便可讓Y 使用 Laplace 中央極限定理得j Z = ) 1 ( _j j j j p np np Y   ， 當n 很大時可獲得常態分佈 Z 。故我們可以計算出在信賴水準 1-α 下，              Z p np np Y P j j j j ) 1 ( 1-α，則其上限Y =j np +j Z npj(1 pj)。當保證90% 的會員數可在一個月內租賃到第j 品種，將 n = 10000，Z = 1.65，並依序代入_ 表3-1-1-12 的機率，可獲得Y₁= 2021，Y₂= 1016，Y = 511，₃ Y₄= 258，Y = 105， ₅ 6 Y = 3032，Y = 404。另已知7 m =j 90% 6 . 1  j Y ，依序代入Y1~Y ，則可得下表： 7 『符號說明』 n：會員數。 j p ：租賃第 j 品種的機率。 ij X ：第 i 個會員對第 j 品種的租賃狀況。 j Y ：租賃第 j 品種的會員數。 j m ：第 j 品種需要購入的數量。 ij C ：第 i 個會員租賃第 j 品種的滿意度。 1,第 i 個會員租到第 j 品種； 0,第 i 個會員未租到第 j 品種。

購入數量 1-α 信賴水準 品種1 1 Y 品種2 2 Y 品種3 3 Y 品種4 4 Y 品種5 5 Y 品種6 6 Y 品種7 7 Y 95% 632 318 160 81 33 948 158 99% 634 320 161 82 34 951 159 【表 3-1-1-9 各品種需購入數量表】 由上表便可計算出當一個月內要保證9 成以上會員皆可租賃所需時，所需購 入的各品種數量。

【註】：參考文獻Casella and Berger (2002)

Theorem 5.1: (Central Limit Theorem: 中央極限定理)

有時也稱為常態收斂定理，主要是指從平均數為μ，標準差σ為的母體 中，隨機地抽取大小為n 的獨立樣本X₁,X2,…,Xn 。當樣本數n 很大時， 其樣本平均 n X X X Xn n ... 2 1    減掉平均數μ再除以標準差 n  ，將會趨近 平均數為0，標準差為1的常態分佈(normal distribution)。或者是說當 樣本數n很大時，樣本和S_n  X1 X2 ...X_n減掉平均數nμ再除以標準差  n ，將會趨近平均數為0，標準差為1的常態分佈，即 ) 1 , 0 ( N n Xn  n    ，或 N(0,1) n n Sn  n    ，S 所以的圖形看起來將 _n 會很像常態分佈的鐘形。

vi. 警察維安巡邏路線問題(自編，Graph Theory)

Q： 97 年 11 月 4 日大陸海協會陳雲林會長將於台灣進行連續 4 天的訪問

活動，而選定下榻的飯店為圓山飯店；為避免維安相關問題產生，必須規劃出飯 店附近所有路線與地點，其最佳化的警察巡邏工作。試問基於以下假設情況，如 何建立數學模型，規劃一天24 小時內，最少的巡邏組數、最佳可行路線？

○1 _{指揮所設於圓山飯店內，不同組別巡邏不同路線，每組員警}10 名，每次 派出一名巡邏，完畢後由下一員警接續相同路線巡邏，24 小時組內所有 人皆須出勤，即每人出勤時間須不大於2.4 小時。 ○2 已知定理：當有i 組同時巡邏，則相對於 j 組時，當 i≥j，則總路程 i d ≥d 。 _j ○3 針對各組路線進行差異度的定義，即要求各組總路程 i d 盡可能相近，則 差異度S = d d d_j} max{ _i} max{  越小越好。 ○4 _{員警巡邏平均速率為}8.2km/hr，且不考慮各巡邏點的停留時間。 ○5 可行路線需通過所有巡邏點，但並不一定要把圖3-1-1-9 內所有道路皆走 過。 ○6 已知利用最小生成樹可得一組總路程為42.27km。 ○7 _{圓山飯店附近所有巡邏點與道路如下圖：} 【圖3-1-1-5 圓山大飯店空照圖】

【圖3-1-1-6 巡邏點、路線、路程圖】 A： 已知一組的最佳化路線總路程為 42.27km，利用定理○2_{，可知任意}n ≥ 1 時8.2 × 2.4 × n ≥ 42.27，則 n ≥ 2.2，可得最少組數至少為三組。而平均速率為 8.2km/hr，可知單一路線至多為 19.68km，因此我們先以三組的條件來規劃可行 路線，找出S 值最小的可行路線如下表： 組別 路線 路程 總路程 一 O－C－B－34－35－32－30－Q－28－27－ 26－P－29－R－31－33－A－1－O 17.9 二 O－M－N－24－23－21－K－22－17－16－I －15－I－18－J－19－L－20－25－M－O 19.77 三 O－2－5－6－7－E－11－G－13－14－H－ 12－F－10－F－9－E－8－4－D－3－2－O 21.05 58.72 S=0.16 【表3-1-1-10 三組巡邏之可行路線】

利用上表可知在三組時無法獲得最佳解。我們利用總路程較短、且時間較短 的表3-1-1-15 其技巧如下： ○1 _{依照組數將整個地圖分為數個區域，原則上雖然點與點之間的距離不} 等，但各區域的點數量應盡量相等。 ○2 _{每區域的路線設計以繞行，且點與線盡量不重複的原則。} ○3 當遭遇表3-1-1-15 的組別二中，23－21－K－22－17 先後順序的選擇， 則依照最短路程原則調整。 可獲得在四組情形下，S 值最小的兩種可行路線如下： 組別 路線 路程 總路程 一 O－1－B－34－35－32－30－Q－28－Q－29 －R－31－33－A－1－O 14.25 二 O－P－26－27－24－N－23－22－17－16－17 －K－21－25－M－O 15.21 三 O－2－5－6－L－20－19－J－18－I－15－14 －H－14－13－J－19－L－6－5－2－O 19.46 四 O－C－3－D－4－8－E－9－F－10－F－12－ G－11－E－7－D－3－2－O 18.92 67.84 S=0.307 【表3-1-1-11 四組巡邏之可行路線】 以上兩表皆符合最少路程為可行路線，並可找出表3-1-1-16 為四組最短時 間，即每人不多於2.37 小時便可完成巡邏工作。 另外，若是題目改為派遣至定點的方式，我們最長的最佳路線，為派遣至 H 點路線：O－2－3－8－7－E－11－Q－12－H，路線長為 7.75km，則同時派 遣任意組至任意定點，0.95 小時為總花費時間。 【註】：參考文獻Gross (2006); Wallis (2000). 我們針對維安巡邏路線問題，可以先簡化成送貨服務問題(Salesman

Problem)如下：一個送貨員需要把貨物送至城市裡各個送貨點，如何規劃他 的最佳化路線，使他能夠以最短的距離恰好繞行過每一個送貨點一次呢？

這樣的題目也是一個有趣的Graph Theory 問題，但仍屬於 NP-Hard， 不存在多項式時間算式，似乎沒有一個求解的最有效算法，但我們還是可利 用相關理論，提供一個想法如下： 假設找到一個原始的Hamilton 圈C v₁v₂...v_nv₁，則 對於所有符合 1＜ i ＋1＜ j ＜v的 i 和 j ，總可得到一個 新的H 圖：C_ij v₁v₂...v_iv_jv_j1...v_i1v_j1v_j2...v_nv₁，它是由 C刪去v_iv_i1和v_jv_j1，以及加入邊v_iv_j和v_i1v_j1而得到， 如右圖所示。

For some i、 j ,w(vivj)＋w(vi1vj1)＜w(vivi1)＋w(vjvj1)，則C 為ij C的

一個修正H 圈，經過不斷的修正後，當最後的 H 圈無法被修正，則為最佳解， 可參考以下示例：

可知較佳解為C3 v1v4v5v6v2v3v1，W(C3)192。另上述作法可利用最小生成 樹得到最佳H圈的下界，故最優的H圈值應滿足178w(C)192。 3-1-2訪談題目 Lesh模型發展序列之項目 符合項目之問題 問題編號 喜歡發掘課外數學問題的程度 1 具有每週閱讀課外數學讀物的習慣 2 學校提供數學讀物是否滿足你的需求 3 使用資訊科技媒材的習慣 4 暖身活動 學校提供之資訊科技是否足夠使用 5 在解題初期有無團隊分工 6 自我評估在團隊中的定位 7 問題是否為真實生活的需求 8 建模活動 初期是否需要引導者引領思考與分工 9 了解該模型所需相關數學工具與知識 10 能設定模型所需條件、變數等 11 模型探索活動 綜合數學工具與條件等建立解題模型 12 能否發掘已建立之模型之優缺點 13 將發現的問題或缺失加以修正 14 模型適用活動 該模型是否能處理同質性進階問題 15 已知道三種以上不同數學模型 16 能比較不同模型間的差異性 17 能發掘使用相同模型的相關問題 18 討論結構的相似性 能簡單歸納出適用各類問題的模型 19 發表與討論 說明團隊合作的方式 20

說明解題歷程 21 分享自己的想法並討論 22 接納他人的意見並加以討論 23 在解題過程中能與組員比較不同的思維 與解題方式，並選擇出最佳的方式 24 反思自己在解題歷程中的能力優缺點 25 能注意到自己與組員們的情緒、感受、反 應、需求等 26 反思與詢問活動 在解題歷程後更勇於自我挑戰 27 引導者是否適時介入引導與課堂概念連 結 28 自己是否能連結傳統課堂知識與解題過 程的概念 29 進一步活動 能否發展出其他生活中可藉由數學建模 解決的問題 30 在過程中是否使用課外讀物與知識 31 在過程中是否使用資訊科技媒材 32 「How To 」工具間的連結 /其他高品質的資源和參考 資料 所使用的資訊科技本身是否易於呈現並 有助於模型建立 33 【表3-1-2-1 行動研究訪談題目】 3-2 研究對象 研究對象為私立○○高中的數學老師大雄(匿名)，及其擔任導師之班級學生共43 名，並依據學生數理科成績平均分配為6組，進行合作解題，於教學實驗結束後進行訪談。 受訪學生的選擇則考量其意願與表達能力，採用立意樣本計20名。

3-3 行動研究歷程 行動研究歷程包含教學實驗與訪談兩部分，為期七週： 3-3-1 研究基礎 在教師教學的部分主要紀錄歷程的轉變與成長；而在學生學習的部分則根據Lesh 等人模型發展序列流程，建立下列研究歷程之基礎，並發展訪談題目進行研究： 1. 暖身活動：為「建模活動」之前的活動，觀察學校及教師提供學生生活中的相關 數學資訊，如書報雜誌等幫助學生從事數學閱讀的課外活動。 2. 建模活動：研究者運用建模活動，引發建模活動中的基礎概念，並鼓勵學生在小 組中分工合作，學生亦藉由建模活動感受建模活動的主要概念。 3. 模型探索活動：研究學生在進入模型建立初階，如何在活動中運用已具備的數學 能力、工具軟體等進行模型建立之過程，並能漸漸地表徵活動中的主要架構與概 念。學生應具備高於數學解題相關的概念系統思維，而且能去思考並發展出能運 用在模式適用活動中的之基本模型。 4. 模型適用活動：主要是研究學生如何運用與修正在模型探索活動中，所發展出的 初階模型來處理更困難的問題。 5. 討論結構的相似性：其研究重點如下 i. 學生如何觀察與討論各個問題間的概念系統結構相似性和相異性。 ii. 學生在進行討論的過程中，如何將學生已具備的概念系統思維作為基礎，進而 超越這些舊經驗，產出概念清楚的工具物件。 6. 發表與討論：本活動紀錄學生如何說明他們的分工及工作內容，以及模型修正的 過程、接納並比較他人不同思維方式的例子與工具物件的發展，了解數學建模活 動中，解題的方式可以不只一種。 7. 反思與詢問活動：學生思考他們在模式引出活動或模式適用活動時的經驗，是否 能達到有效能的分工合作，並觀察學生對於建模活動反思歷程中，是否能達到自 我表達、自我挑戰、自我評估和控制他們自身的情緒、感覺、態度、偏好與主觀 意識。

8. 進一步活動：當學生在建模活動中發展出概念，教師必須適時介入幫助他們連結 所形成的概念與傳統課堂活動的內容。 9. 「How To 」工具間的連結/其他高品質的資源和參考資料：學生如何藉由上網蒐 集相關資料，利用電腦工具或數學軟體，及一些課堂外的基礎或補充資料。 3-3-2 發展過程 本章節依據上述理論基礎，擬將實驗教學過程分為前中後三期記錄如下，最後 並呈現訪談相關數據： 1. 前期(第一～二週)： 於課程實施前，得知大雄老師認為實際教學難以符合理想化的模型發展序列流 程，在異質分組後，仍暫時先以傳統授課導向方式進行。 在實驗教材的選用上以簡單的為主，以「水庫截流工程問題」與「寵物出租問 題」二題進行課程，並同時將實驗教材中的文字敘述、題意與假設方式稍作修正， 符合原班級學生的程度，以避免學習習慣上過度的差異。 此時在問題提問的部分較為空泛，或與主題無關，在數學邏輯思考的引導仍為 薄弱，多類似傳統解題導向。 結束後研究者與大雄老師進行意見交換，並經由隨機訪談學生的方式，得知學 生的學習狀況以及對於建模課程的想法，藉此修正為中期的教學模式。 2. 中期(第三～五週)： 在大雄老師逐漸認同數學建模課程後，即減少講授時間，將課程時間多使用在 學生討論與思考上，並鼓勵各組學生發表其想法與解題模型。 此時選用的教材為「穩定配對問題」與「賽程安排問題」，屬中等程度的建模 問題，每次50 分鐘的研究型課程中無法解決單一問題，即使學生使用課餘時間思 考，每個問題仍必須使用2-3 節課，作為完整的討論與分享。 此階段的大雄老師在問題的提問上較能掌握關鍵點的數學表達方式，並提供適 當的變因與題意假設，促使學生逐步的思考與建立半開放的解題模型。

結束後可以發現，大雄老師與學生漸漸掌握到建模課程的模式，教師與研究者 本身亦能在問題討論的過程中，發現學生的想法與其數學邏輯思維等。而部分學生 在接受中期的建模課程同時，亦對於前期一般層次的問題，發展出延伸題型與多種 解題方法。 3. 後期(第六～七週)： 在已建立的建模課程模式下，大雄老師選用較為困難的實驗教材，以「停車場 設計問題」與「警察維安巡邏問題」為主，逐漸地增加題目解題變因(即減少假設) ， 此時每個題目仍只需使用 2-3 節課的時間。 在問題的引導與提問上，以啟發性的問題引導為主，並重複檢驗學生的發表與 創造力，增強學生對於開放性的數學模型建立之能力，並鼓勵學生提出相關模型的 數學問題與延伸。 課程結束後可以發現學生較樂於發表與分享，並能勇於解決開放性的數學問 題；而大雄老師便建立一定程度的建模教學模式，對課程教材熟悉，使其專業能力 得以展現，加上多以學生為主的教學模式，重視學生的邏輯思維與解決實際問題能 力，尊重並接納學生意見，彼此相互成長，更提升教師對於學生的價值。 4. 訪談 最後於第七週實施立意樣本訪談，以表3-1-2-1 為主要工具，在訪談過程中， 經研究者闡述題意，受訪學生必須要能瞭解訪談題目並清楚回應，方能確認是否達 到該指標，以作為實驗教學後，學生相關建模能力的數據統計。 立意樣本共計 20 名，其中 18 名的數學成績在班上為前 50%，顯示有 90%以 上的代表性，研究者將訪談狀況分為五個等級A-E，以等級 A 最為符合，等級 C 以 上稱為符合，數據統計如下： 問題編號 符合項目之問題 A B C D E 符合率 1 喜歡發掘課外數學問題的程度 5 2 3 1 9 50% 2 具有每週閱讀課外數學讀物的習慣 3 4 1 5 7 40&

3 學校提供數學讀物是否滿足你的需求 0 1 5 3 11 30% 4 使用資訊科技媒材的習慣 6 8 3 3 0 85% 5 學校提供之資訊科技是否足夠使用 2 1 6 6 5 45% 6 在解題初期有無團隊分工 2 2 2 6 8 30% 7 自我評估在團隊中的定位 3 4 7 4 2 70% 8 問題是否為真實生活的需求 10 8 2 0 0 100% 9 初期是否需要引導者引領思考與分工 9 7 3 1 0 95% 10 了解該模型所需相關數學工具與知識 1 2 4 6 7 35% 11 能設定模型所需條件、變數等 0 1 2 7 10 15% 12 綜合數學工具與條件等建立解題模型 4 5 6 4 1 75% 13 能否發掘已建立之模型之優缺點 2 3 3 5 7 40% 14 將發現的問題或缺失加以修正 2 2 4 5 7 40% 15 該模型是否能處理同質性進階問題 5 5 7 2 1 85% 16 已知道三種以上不同數學模型 5 6 7 1 1 90% 17 能比較不同模型間的差異性 2 3 3 5 7 40% 18 能發掘使用相同模型的相關問題 1 2 3 7 7 30% 19 能簡單歸納出適用各類問題的模型 4 6 6 3 1 80% 20 說明團隊合作的方式 9 8 2 1 0 95% 21 說明解題歷程 6 7 6 1 0 95% 22 分享自己的想法並討論 9 8 2 1 0 95% 23 接納他人的意見並加以討論 6 6 5 2 1 85% 24 在解題過程中能與組員比較不同的思維與 解題方式，並選擇出最佳的方式 3 4 6 5 2 65% 25 反思自己在解題歷程中的能力優缺點 2 3 3 5 7 40%

26 能注意到自己與組員們的情緒、感受、反 應、需求等 3 4 3 4 6 50% 27 在解題歷程後更勇於自我挑戰 6 7 6 1 0 95% 28 引導者是否適時介入引導與課堂概念連結 6 8 3 3 0 85% 29 自己是否能連結傳統課堂知識與解題過程 的概念 2 3 3 5 7 40% 30 能否發展出其他生活中可藉由數學建模解 決的問題 8 7 1 1 3 80% 31 在過程中是否使用課外讀物與知識 5 6 7 1 1 90% 32 在過程中是否使用資訊科技媒材 4 4 6 4 2 70% 33 所使用的資訊科技本身是否易於呈現並有 助於模型建立 0 0 2 3 15 10% 【表3-1-2-2 行動研究訪談結果統計】

四、 研究發現與討論

本章擬針對教學實驗後的發現，建立教師在教材設計與融入建模課程之教學相關指 標；並討論與分享學生學習回饋，以及課程實施現況的相關數據呈現。 4-1 教學相關指標 在教材設計方面，經由實驗教學與相關理論配合，驗證出需遵守Lesh 等人(2000)所 發展的六大具體原則；另外在建模教學的基礎概念，配合上述教材設計原則與實驗教學 記錄，可歸納出以下五點： 1. 對於建模課程的內容與教材必須熟悉，具備教材設計與修正能力。 2. 能瞭解學生數理相關的先備知識，並熟知高中生的數學學習思考脈絡。 3. 具有建模教學的能力，例如適時的啟發式引導與提問、驗證學生解題模型等。