第一章 前言
1.5 研究的方法
由於國民所得、失業率與貨幣供給都具有時間數列的特質，因應 前述的研究目的，本論文即採取了時間數列分析法。在進行時間數列 分析前都會事先地檢查該數列是否符合平穩的假設，實務上多會採用 圖形去初步判斷時間數列的平均數與變異數是否平穩。若判斷出該數 列並非平穩，則務必使其平穩後才能進行後續的時間數列的分析，平 均數不穩定時，最常用的方法就是對資料進行差分(differencing)，變 異數不穩定時，則多採用轉換(transformation)。本論文所使用之時間 數列模式建構方法乃採用1970年代由Box與Jenkins所提出的建構模 式 ， 包 括 ： 模 式 確 認(model identification) 、 模 式 估 計 (model estimation) 、 模 式 診 斷 檢 查 (model diagnostic checking) 及 預 測 (forecasting)。
1.5.1 模式的確認
本 論 文 在 實 證 上 將 運 用 單 變 量 之ARIMA 模 式 及 多 變 量 之 VARMA模式，下面將分別介紹模式的結構及模式確認的方式：
單變量時間數列(ARIMA)
單變量季節自迴歸整合移動平均模式(Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Model) 以 SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s表 示 之，SARIMA模式將利用自相關函數(autocorrelation function，簡稱 ACF)和偏自相關函數(partial autocorrelation function，簡稱PACF)的截 斷(cut off)特性來決定模式的階次，以達到模式確認的目的。SARIMA 模式的形式如下：
( ) ( S)(1 ) (1d S)D 0 ( ) ( S)
p
B
PB B B X
t qB
QB a
tφ
Φ − − =θ θ
+ Θ其中
X 是一個時間數列；p, d, q是非負整數，分別代表著自迴歸、移
t 動平均的參數個數及差分階次；同樣地，P, D, Q也是非負整數，分別 代表著季節性自迴歸平均參數個數、季節性移動平均參數個數及季節 差分階次； B 為後退算子(backward shift operator)，即B X
m t =X
t m− ；p( )
B
φ
、θ
q( )B
分別表示非季節性 p 與 q 階次之 B 的多項式；ΦP(B
S)、 ( S)Q
B
Θ 分別代表著季節性 P 與 Q 階次之 B 的多項式；
a
t為白干擾 (white noise)，且假設滿足a
t ~ (0,N σ
a2)的條件。多變量時間數列(VARMA)
多變量ARMA模式(Multivariate ARMA model)也稱為向量ARMA 模 式 (Vector ARMA model ， 簡 稱 VARMA 模 式 ) 。 假 設
L L { }, 0 , 1 , 2 , },
{ },
{ X
1tX
2tX
mtt
= ± ± 表示m個等長度的時間數列，以向 量表示為X
t =[ X
1t, X
2t, ,
LX
mt]
′，並稱此為m維度的向量時間數列。VARMA
模式的形式如下：t s Q t q
s
p(
B
)ΦP(B
)X
=θ
0 +θ
(B
)Θ (B
)a
φ
其中 (B)φ
p 、θ
q(B)分別表示非季節性 B 的矩陣多項式；ΦP(B
s)、 )( s
Q
B
Θ 分別代表著季節性之 B 的矩陣多項式，
θ
0為m
×1的常數向量，
a 為白干擾向量，其平均向量為 0 ，共變數矩陣為
t ∑ 。多變量 VARMA模式以交互相關矩陣(cross correlation matrix，簡稱CCM)和偏 自迴歸相關矩陣(partial autoregression matrix，簡稱PAR)作為決定階次 模式確認的重要工具。1.5.2 模式的估計
時間數列模式參數估計最常用的方法大概有兩種：一種是最小平 方法(method of conditional least squares)，另一種是最大概似法(method of maximum likelihood)。通常都用最小平方法來計算最佳或最有效的 估計值，亦即使得實際值與預測值之間的誤差平方和最小，而當樣本 觀察值夠大時，利用最大概似法亦可得到有效的估計值。本論文在單
變量ARIMA模式參數估計採用最小平方法(method of unconditional least squares)，以SPSS軟體進行參數的估計；VARMA模式參數的估 計採用最大概似法，以SAS軟體進行之。
1.5.3 模式的診斷檢查
求得配適模式參數之估計值後，即應做模式適當性的診斷，判斷 模式的基本假設是否滿足，在單變量ARIMA模式部份乃透過其殘差
項
ˆ
t t t
e = X − X
檢查a
t是否符合白干擾(white noise)的假設，也就是檢查 殘差的ACF與PACF是否皆落在− 2 n
與2 n
的信賴界限內；而 VARMA模式則利用殘差的交互相關矩陣CCM，看其值是否都介於2 n
−
與2 n
之間來判定所配適的模式是否適當，否則必須利用殘 差項所反應的訊息重新假設模式，重覆上述之步驟，直到一合理且可 接受之模式出現為止。當時間數列有多個可能的模式供配適時，可利用AIC(Akaike’s information criterion)準則與SBC(Schwart’s Bayesian criterion)準則來 評估模式的品質以免模式參數過度配適(over fitting)，通常AIC值與 SBC值是越小表示階次組合越好，AIC與SBC的公式可參考本論文之 2.4節或參考吳柏林(1994)及Wei(2006)兩本書籍。
1.5.4 預測
當尋得一最佳配適模式之後，就可以用此模式對未來作預測。另 外可以進行預測效益評估，這是基於希望預測模式與實際模式間差距 最小的考量，採用最小均方預測誤差(minimum mean square error forecast)的概念，以平均百分誤差(mean percentage error，簡稱MPE)、
均方誤(mean square error，簡稱MSE)、平均絕對誤差(mean absolute error ， 簡 稱 MAE) 和 平 均 絕 對 百 分 誤 差 (mean absolute percentage error，簡稱MAPE)來進行模式預測能力的度量，以上四種方式公式如 下：
1
1
M l100%
l n l
MPE e
M
=Z
+= ∑
2 1
1
Ml l
MSE e
M
== ∑
1
1
Ml l
MAE e
M
== ∑
1
1
M l100%
l n l
MAPE e
M
=Z
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ∑ ⎠
其中