中 華 大 學 碩 士 論 文

中 華 大 學 碩 士 論 文

題 目 ： 以 時 間 數 列 ARIMA 與 VARMA 模 式 分 析 及 預 測 台 灣 地 區 失 業 率、國 民 所 得 與 貨 幣 供 給

Using Time Series ARIMA and VARIMA Models to Analyze and Forecast the Unemployment Rate, National Income and Money Supply in Taiwan

系 所 別 ： 應 用 數 學 學 系 碩 士 班 學 號 姓 名 ： M09609015 王 士 榮 指 導 教 授 ： 羅 琪 博 士

中 華 民 國 九十八 年 八 月

博碩士論文授權書

(國科會科學技術資料中心版本 91.2.17)

本授權書所授權之論文為本人在＿中華＿大學(學院)＿應用數學＿系所 應用統計 組＿九十七＿學年度第＿二＿學期取得＿碩＿士學位之論文。

論文名稱：以時間數列 ARIMA 與 VARMA 模式分析及預測台灣地區失業率、國民 所得與貨幣供給

□同意 □不同意 (政府機關重製上網)

本人具有著作財產權之論文全文資料，授予行政院國家科學委員會科學 技術資料中心、國家圖書館及本人畢業學校圖書館，得不限地域、時間 與次數以微縮、光碟或數位化等各種方式重製後散布發行或上載網路。

本論文為本人向經濟部智慧財產局申請專利(未申請者本條款請不予理 會)的附件之一，申請文號為：＿＿＿＿＿＿，註明文號者請將全文資 料延後半年再公開。

---

□同意 □不同意 (圖書館影印)

本人具有著作財產權之論文全文資料，授予教育部指定送繳之圖書館及 本人畢業學校圖書館，為學術研究之目的以各種方法重製，或為上述目 的再授權他人以各種方法重製，不限地域與時間，惟每人以一份為限。

上述授權內容均無須訂立讓與及授權契約書。依本授權之發行權為非專屬性發 行權利。依本授權所為之收錄、重製、發行及學術研發利用均為無償。上述同意與 不同意之欄位若未鉤選，本人同意視同授權。

指導教授姓名:羅 琪

研究生簽名: 學號:

(親筆正楷) (務必填寫) 日期:民國 年 月 日

1. 本授權書 (得自 http: //nr.stic.gov.tw/theses/html/authorize.html 下載) 請以黑筆撰寫並影印裝訂於書 名頁之次頁。

2. 授權第一項者，請確認學校是否代收，若無者，請個別再寄論文一本至台北市(106-36)和平東路 二段 106 號 1702 室 國科會科學技術資料中心 王淑貞。(本授權書諮詢電話:02-27377746) 3. 本授權書於民國 85 年 4 月 10 日送請內政部著作權委員會(現為經濟部智慧財產局)修正定稿，

89.11.21 部份修正。

4. 本案依據教育部國家圖書館 85.4.19 台(85)圖編字第 712 號函辦理。

中 華 大 學 碩 士 班 研 究 生 論 文 指 導 教 授 推 薦 書

應用數學學系碩士班王士榮君所提之論文以時 間數列 ARIMA 與 VARMA 模式分析及預測台灣 地區失業率、國民所得與貨幣供給，係由本人指 導撰述，同意提 付 審 查 。

指 導 教 授

^{（ 簽 章 ）}

中 華 民 國 九 十 八 年 七 月

中 華 大 學 碩 士 班 研 究 生 論 文 口 試 委 員 會 審 定 書

應用數學學系碩士班王士榮君所提之論文以時 間數列 ARIMA 與 VARMA 模式分析及預測台灣 地區失業率、國民所得與貨幣供給， 經 本 委 員 會 審 議 ， 符 合 碩 士 資 格 標 準 。

論文口試委員會 召集人 （簽章）

委 員 （簽章）

（簽章）

（簽章）

（簽章）

系所長 （簽章）

中 華 民 國 九 十 八 年 七 月

摘要

貨幣政策是中央銀行掌握貨幣供給的政策，貨幣政策對所得、消 費、投資與失業率的波動都有影響，因此國民所得、失業率與貨幣供 給皆是國家經濟發展的重要指標。本論文蒐集了自 1982 年第一季到 2006 年第四季共 100 筆的國民所得、失業率與貨幣供給的季資料進 行分析，由於國民所得、失業率與貨幣供給都具有時間數列的特質，

因此本論文運用時間數列分析法，採單變量 ARIMA 模式及多變量 VARMA 模式建構國民所得、失業率與貨幣供給的預測模式，並且對 預測模式做適合性檢定與預測能力比較。結果發現，運用多變量所建 構出來的預測模式預測未來八季實際值要比用單變量所建構出的預 測模式預測未來八季實際值要來的接近，再由多變量方法分析出，國 民所得、失業率與貨幣供給三者之間的相關度性並不低，因此對於國 民所得、失業率與貨幣供給的預測，以多變量的預測模式來對未來的 趨勢做預測較為理想。

關鍵詞：時間數列分析、ARIMA 模式、VARMA 模式、國民所得、

失業率、貨幣供給

ABSTRACT

Monetary policy is the policy of money supply which is operated by the Central Blank of the Republic of China (Taiwan). Monetary policy has an effect on the fluctuation of income, expenditure, investment and unemployment rate. Therefore, national income, unemployment rate and money supply are important indicators for national economic development. In this dissertation, 100 quarterly data from the 1st quarter of 1982 to the 4thquarter of 2006 are collected from the website of the National Statistics of the Republic of China (Taiwan). The univariate ARIMA model and the multivariate VARMA model are used to build forecast models, to do model diagnostic checking and to do model selection. Model selection can based on some criteria and forecast errors.

Exploring the trend of national income, unemployment rate and money supply would provide much help for the monetary policy making of the government. The results show that the multivariate ARIMA model provides a better forecast than the univariate VARMA model because, from the cross-correlation analysis, there are no high correlations between national income, unemployment rate and money supply.

Keywords: time series analysis, ARIMA model, VARMA model, national income, unemployment rate, money supply

誌謝辭

本論文能即時完成，令人心中充滿著無限欣喜與感激。首先感謝 承蒙羅琪老師不厭其煩的悉心指導與協助。在此期間，老師嚴謹的治 學態度和細心的指導，給予我許多的建議和寶貴的意見，使我受益良 多。她並一再的為論文內容逐字審閱和逐項指正，使本論文更臻周 延、充實與完善，在此表達最誠摯的謝意，感謝老師的教導和關懷。

其次我要感謝我的家人給我長久的無後顧之憂，讓我能夠專心的 在學校完成我的研究論文，自己也很高興完成了過世阿嬤的願望，順 利的拿到碩士學位，雖然阿嬤來不及參與我的畢業典禮，不過我深深 的相信阿嬤在天上一定也為我的努力感到驕傲。

最後我要感謝我另一伴以及許許多多的好朋友們，在我經歷祖母 過世的椎心之痛，給我安慰以及鼓勵，讓我能夠從中走出來；在我寂 寞的時候，大家一起出外遊玩散心，帶給我許多的歡笑，讓我在長期 的論文壓力之下得以紓緩緊繃的情緒，由衷的感謝。

王士榮 謹於 中華大學 中華民國九十八年七月

目錄

中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． V ABSTRACT．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． VI 誌謝辭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． VII 目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． VIII 圖目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． XV 表目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． XX 附錄目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． XXIII

第一章 前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 研究的背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 1.2 研究變數的介紹．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 1.2.1 失業率的簡介．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 1.2.2 國民所得的簡介．．．．．．．．．．．．．．．． 5 1.2.3 貨幣供給的簡介．．．．．．．．．．．．．．．． 5 1.3 研究的目的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 1.4 資料的來源．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 1.5 研究的方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7 1.5.1 模式的確認．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8

1.5.2 模式的估計．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 1.5.3 模式的診斷檢查．．．．．．．．．．．．．．． 10 1.5.4 預測．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10 1.6 分析的流程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 第二章 失業率的單變量時間數列的分析與預測．．．．．．．． 13 2.1 模式的確認．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13 2.1.1 失業率的時間數列圖．．．．．．．．．．．．．． 14 2.1.2 失業率的 ACF 圖與 PACF 圖．．．．．．．．．． 15 2.1.3 一次差分後的失業率的時間數列圖．．．．．．．． 16 2.1.4 一次差分後的失業率的 ACF 圖與 PACF 圖．．．． 17 2.1.5 一次差分與一次季節差分後的失業率的時間數列圖．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 18 2.1.6 一次差分與一次季節差分後的失業率的 ACF 圖與

PACF 圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 19 2.1.7 模式階次的建立．．．．．．．．．．．．．．．． 20 2.1.8 常數項的檢定．．．．．．．．．．．．．．．．． 20 2.2 模式的估計．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21 2.2.1 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)4模式的估計．．．．．．． 22 2.2.2 SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)4模式的估計．．．．．．． 22

2.2.3 SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)4模式的估計．．．．．．． 23 2.3 模式的診斷檢查．．．．．．．．．．．．．．．．． 24 2.3.1

{ a

_t

}

是白干擾

(white noise)

的檢查．．．．．．．．

24 2.3.2

模式適當性的檢定．．．．．．．．．．．．．．．

28 2.4

模式的比較與選擇．．．．．．．．．．．．．．．．．

30 2.5

預測．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

31 2.5.1

預測值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

31 2.5.2

預測誤差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

33

第三章

國民所得的單變量時間數列的分析與預測．．．．．．．

35 3.1

模式的確認．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

35 3.1.1

國民所得的時間數列圖．．．．．．．．．．．．

35 3.1.2 ln

國民所得的時間數列圖．．．．．．．．．．．

37 3.1.3 ln

國民所得的

ACF

圖與

PACF

圖．．．．．．．

37 3.1.4 ln

國民所得一次差分後的時間數列圖．．．．．．

38 3.1.5 ln

國民所得一次差分後的

ACF

圖與

PACF

圖．．．

39

3.1.6 ln

國民所得一次差分與一次季節差分後的時間數列 圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

40 3.1.7 ln

國民所得一次差分與一次季節差分後的

ACF

圖與

PACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．

41

3.1.8

模式階次的建立．．．．．．．．．．．．．．．．

42

3.1.9

常數項的檢定．．．．．．．．．．．．．．．．．

42

3.2

模式的估計．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

43

3.2.1 SARIMA(0,1,0)×(1,1,0)

4模式的估計．．．．．．．

44

3.2.2 SARIMA(4,1,0)×(0,1,0)

4模式的估計．．．．．．．

44

3.2.3 SARIMA(0,1,4)×(0,1,0)

4模式的估計．．．．．．．

45

3.2.4 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的估計．．．．．．．

46

3.3

模式的診斷檢查．．．．．．．．．．．．．．．．．

47

3.3.1 { a

_t

}

是白干擾

(white noise)

的檢查．．．．．．．．

47

3.3.2

模式適當性的檢定．．．．．．．．．．．．．．．

51

3.4

模式的比較與選擇．．．．．．．．．．．．．．．．．

54

3.5

預測．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

55

3.5.1

預測值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

56

3.5.2

預測誤差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

57

第四章

貨幣供給的單變量時間數列的分析與預測．．．．．．．

59

4.1

模式的確認．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

59

4.1.1

貨幣供給的時間數列圖．．．．．．．．．．．．

59

4.1.2 ln

貨幣供給的時間數列圖．．．．．．．．．．．

60

4.1.3 ln

貨幣供給的

ACF

圖與

PACF

圖．．．．．．．．

62

4.1.4 ln

貨幣供給一次差分後的時間數列圖．．．．．．

63 4.1.5 ln

貨幣供給一次差分後的

ACF

圖與

PACF

圖．．．

63 4.1.6 ln

貨幣供給一次差分與一次季節差分後的時間數列

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

64 4.1.7 ln

貨幣供給一次差分與一次季節差分後的

ACF

圖與

PACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

65

4.1.8

模式階次的建立．．．．．．．．．．．．．．．．

66

4.1.9

常數項的檢定．．．．．．．．．．．．．．．．．

67

4.2

模式的估計．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

68

4.2.1 SARIMA(1,1,0)×(1,1,0)

4模式的估計．．．．．．．

68

4.2.2 SARIMA(1,1,0)×(2,1,0)

4模式的估計．．．．．．．

69

4.2.3 SARIMA(1,1,0)×(1,1,1)

4模式的估計．．．．．．．

69

4.2.4 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的估計．．．．．．．

70

4.3

模式的診斷檢查．．．．．．．．．．．．．．．．．

71

4.3.1 { a

_t

}

是白干擾

(white noise)

的檢查．．．．．．．．

71

4.3.2

模式適當性的檢定．．．．．．．．．．．．．．．

75

4.4

模式的比較與選擇．．．．．．．．．．．．．．．．．

78

4.5

預測．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

79

4.5.1

預測值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

79

4.5.2

預測誤差．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

81

第五章

國民所得、失業率與貨幣供給的多變量時間數列的分析與預

測．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

83

5.1

模式的確認．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

83 5.1.1

國民所得、失業率與貨幣供給的一次差分與一次季節

差分的相關性分析．．．．．．．．．．．．．．

84 5.1.2

國民所得、失業率與貨幣供給的一次差分與一次季節

差分的偏相關性分析．．．．．．．．．．．．．

87

5.2

模式的估計．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

91

5.2.1

狀態空間模式．．．．．．．．．．．．．．．．

91

5.2.2 VARMA

模式．．．．．．．．．．．．．．．．

92

5.2.3

狀態空間模式與

VARMA

模式之關係．．．．．．

93

5.2.4

估計的狀態空間模式．．．．．．．．．．．．．

94

5.3

模式的診斷與檢查．．．．．．．．．．．．．．．．

95

5.4

預測．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

97

5.4.1

預測值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

98

5.4.2

預測誤差．．．．．．．．．．．．．．．．．．

101

第六章

結論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

103

參考文獻與網址．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

111

附錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

112

圖目錄

圖

1.1

勞動力之分類．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3

圖

1.2

分析的流程圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

12

圖

2.1

失業率的時間數列圖．．．．．．．．．．．．．．．．．

14

圖

2.2

失業率的

ACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．

15

圖

2.3

失業率的

PACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．

16

圖

2.4

一次差分後的失業率的時間數列圖．．．．．．．．．．．

16

圖

2.5

一次差分後的失業率的

ACF

圖．．．．．．．．．．．．

17

圖

2.6

一次差分後的失業率的

PACF

圖．．．．．．．．．．．．

18

圖

2.7

一次差分與一次季節差分後的失業率的時間數列圖．．．．

18

圖

2.8

一次差分與一次季節差分後的失業率的

ACF

圖．．．．．

19

圖

2.9

一次差分與一次季節差分後的失業率的

PACF

圖．．．．．

19

圖

2.10 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

25

圖

2.11 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

25

圖

2.12 SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

26

圖

2.13 SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

26

圖

2.14 SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

27

圖

2.15 SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

27

圖

2.16

失業率的實際值與預測值的比較圖．．．．．．．．．．

32

圖

2.17

失業率的預測值與

95%

信賴區間圖．．．．．．．．．．

33

圖

3.1

國民所得的時間數列圖．．．．．．．．．．．．．．．．

36

圖

3.2 ln

國民所得的時間數列圖．．．．．．．．．．．．．．．

36

圖

3.3 ln

國民所得的

ACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．

37

圖

3.4 ln

國民所得的

PACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．

38

圖

3.5 ln

國民所得一次差分後的時間數列圖．．．．．．．．．．

38

圖

3.6 ln

國民所得一次差分後的

ACF

圖．．．．．．．．．．．

39

圖

3.7 ln

國民所得一次差分後的

PACF

圖．．．．．．．．．．．

40

圖

3.8 ln

國民所得一次差分與一次季節差分後的時間數列圖．．．

40

圖

3.9 ln

國民所得一次差分與一次季節差分後的

ACF

圖．．．．

41

圖

3.10 ln

國民所得一次差分與一次季節差分後的

PACF

圖．．．

41

圖

3.11 SARIMA(0,1,0)×(1,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

47

圖

3.12 SARIMA(0,1,0)×(1,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

48

圖

3.13 SARIMA(4,1,0)×(0,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

49

圖

3.14 SARIMA(4,1,0)×(0,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

49

圖

3.15 SARIMA(0,1,4)×(0,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

50

圖

3.16 SARIMA(0,1,4)×(0,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

50

圖

3.17 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

51

圖

3.18 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

51

圖

3.19

國民所得的實際值與預測值的比較圖．．．．．．．．．

57

圖

3.20

國民所得的預測值與

95%

信賴區間圖．．．．．．．．．．

57

圖

4.1

貨幣供給的時間數列圖．．．．．．．．．．．．．．．．

60

圖

4.2

一次差分後的貨幣供給的時間數列圖．．．．．．．．．．

61

圖

4.3 ln

貨幣供給的時間數列圖．．．．．．．．．．．．．．．

61

圖

4.4 ln

貨幣供給的

ACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．

62

圖

4.5 ln

貨幣供給的

PACF

圖．．．．．．．．．．．．．．．．

62

圖

4.6 ln

貨幣供給一次差分後的時間數列圖．．．．．．．．．．

63

圖

4.7 ln

貨幣供給一次差分後的

ACF

圖．．．．．．．．．．．

64

圖

4.8 ln

貨幣供給一次差分後的

PACF

圖．．．．．．．．．．．

64

圖

4.9 ln

貨幣供給一次差分與一次季節差分後的時間數列圖．．．

65

圖

4.10 ln

貨幣供給一次差分與一次季節差分後的

ACF

圖．．．．

65

圖

4.11 ln

貨幣供給一次差分與一次季節差分後的

PACF

圖．．．．

66

圖

4.12 SARIMA(1,1,0)×(1,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

72

圖

4.13 SARIMA(1,1,0)×(1,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

72

圖

4.14 SARIMA(1,1,0)×(2,1,0)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

73

圖

4.15 SARIMA(1,1,0)×(2,1,0)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

73

圖

4.16 SARIMA(1,1,0)×(1,1,1)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

74

圖

4.17 SARIMA(1,1,0)×(1,1,1)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

74

圖

4.18 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的殘差的

ACF

圖．．．．．．

75

圖

4.19 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的殘差的

PACF

圖．．．．．

75

圖

4.20

貨幣供給的實際值與預測值的比較圖．．．．．．．．．．

81

圖

4.21

貨幣供給的預測值與

95%

信賴區間圖．．．．．．．．．．

81

圖

5.1

一次差分與一次季節差分後的

ln

國民所得、失業率與

ln

貨幣

供給的

CCM

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

86

圖

5.2

一次差分與一次季節差分後的

ln

國民所得、失業率與

ln

貨幣

供給的

PAR

圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

88

圖

5.3

國民所得的實際值與預測值的比較圖．．．．．．．．．．

100

圖

5.4

失業率的實際值與預設值的比較圖．．．．．．．．．．．

100

圖

5.5

貨幣供給的實際值與預測值的比較圖．．．．．．．．．．

101

圖

6.1

多變量模式的國民所得的實際值與預測值的比較圖．．．

104

圖

6.2 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的國民所得的實際值與預測值的

比較圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

104

圖

6.3

多變量模式的失業率的實際值與預測值的比較圖．．．．

105

圖

6.4 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的失業率的實際值與預測值的比

較圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

106

圖

6.5

多變量模式的貨幣供給的實際值與預測值的比較圖．．．

107

圖

6.6 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的貨幣供給的實際值與預測值的

比較圖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

107

表目錄

表

2.1

敘述統計表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

21

表

2.2 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

22

表

2.3 SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

23

表

2.4 SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

23

表

2.5 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

28

表

2.6 SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

29

表

2.7 SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

29

表

2.8

模式的比較．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

31

表

2.9 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式失業率的預測結果．．．．．．

32

表

2.10

失業率模式的預測能力的比較．．．．．．．．．．．．

33

表

3.1

敘述統計表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

43

表

3.2 SARIMA(0,1,0)×(1,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

44

表

3.3 SARIMA(4,1,0)×(0,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

44

表

3.4 SARIMA(0,1,4)×(0,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

45

表

3.5 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

46

表

3.6 SARIMA(0,1,0)×(1,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

52

表

3.7 SARIMA(4,1,0)×(0,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

53

表

3.8 SARIMA(0,1,4)×(0,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

53

表

3.9 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

54

表

3.10

模式的比較．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

55

表

3.11 SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式國民所得的預測結果．．．．

56

表

3.12

國民所得模式的預測能力的比較．．．．．．．．．．．

58

表

4.1

敘述統計表．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

67

表

4.2 SARIMA(1,1,0)×(1,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

68

表

4.3 SARIMA(1,1,0)×(2,1,0)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

69

表

4.4 SARIMA(1,1,0)×(1,1,1)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

70

表

4.5 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的參數估計值．．．．．．．．

70

表

4.6 SARIMA(1,1,0)×(1,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

76

表

4.7 SARIMA(1,1,0)×(2,1,0)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

77

表

4.8 SARIMA(1,1,0)×(1,1,1)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

77

表

4.9 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的

Box-Ljung

檢定結果．．．．

78

表

4.10

模式的比較．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

79

表

4.11 SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式國民所得的預測結果．．．．．

80

表

4.12

貨幣供給模式的預測能力的比較．．．．．．．．．．．

82

表

5.1

一次差分與一次季節差分後的

ln

國民所得、失業率與

ln

貨幣

供給的交互相關矩陣及顯著性指示．．．．．．．．．．．

84

表

5.2

一次差分與一次季節差分後的

ln

國民所得、失業率與

ln

貨幣

供給的偏自迴歸相關矩陣、顯著性指示及其相關統計量．．

89

表

5.3

殘差之交互相關矩陣及顯著性指示．．．．．．．．．．．

96

表

5.4

多變量模式的國民所得的預測值．．．．．．．．．．．．

98

表

5.5

多變量模式的失業率的預測值．．．．．．．．．．．．．

98

表

5.6

多變量模式的貨幣供給的預測值．．．．．．．．．．．．

99

表

5.7

多變量模式預測能力的比較．．．．．．．．．．．．．．

101

表

6.1

多變量模式與

SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的國民所得的預測

值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

103

表

6.2

多變量模式與

SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的失業率的預測值

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

105

表

6.3

多變量模式與

SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的貨幣供給的預測

值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

106

表

6.4

多變量模式與

SARIMA(0,1,5)×(0,1,0)

4模式的國民所得的預測

能力的比較．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

108

表

6.5

多變量模式與

SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的失業率的預測能

力的比較．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

108

表

6.6

多變量模式與

SARIMA(1,1,0)×(0,1,1)

4模式的貨幣供給的預測

能力的比較．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

108

附錄目錄

附錄

1

：

1982

年

Q1

至

2006

年

Q4

的實際失業率．．．．．．．．

113

附錄

2

：

1982

年

Q1

至

2006

年

Q4

的預測失業率．．．．．．．．

114

附錄

3

：失業率模式的預測．．．．．．．．．．．．．．．．．

115

附錄

4

：

1982

年

Q1

至

2006

年

Q4

的實際國民所得．．．．．．．

118

附錄

5

：

1982

年

Q1

至

2006

年

Q4

的實際國民所得．．．．．．

119

附錄

6

：國民所得模式的預測．．．．．．．．．．．．．．．．

120

附錄

7

：

1982

年

Q1

至

2006

年

Q4

的實際貨幣供給．．．．．．

124

附錄

8

：

1982

年

Q1

至

2006

年

Q4

的實際貨幣供給．．．．．．

125

附錄

9

：貨幣供給模式的預測．．．．．．．．．．．．．．．．

126

附錄

10

：交互相關矩陣、

CCM

圖、偏自迴歸相關矩陣、

PAR

圖的

S-plus

指令與報表．．．．．．．．．．．．．．．．

130

附錄

11

：狀態空間模式的

SAS

指令與報表．．．．．．．．．．

139

第一章 前言

1.1 研究的背景

早期的經濟學家以貨幣的功能作為定義的基礎，認為貨幣是一 種交易的媒介，可以用來衡量價格，具有價值的儲藏，遞延支付的標 準。一般來說，貨幣與其他資產的區別在於具有高度的流動性，廣為 大眾所接受。貨幣學派認為貨幣的數量是總體經濟中一項重要的變 數，對名目所得及物價都有很大的影響，對國民所得的變動最具解釋 能力。貨幣學派的先驅者美國芝加哥大學傅利曼(Milton Friedman)教 授曾說物價膨脹(inflation)是一種貨幣的現象，貨幣政策對所得、消 費、投資與失業率等總體變數景氣波動有影響。

貨幣政策係指中央銀行掌握貨幣供給的政策，央行可透過公開市 場操作(直接到市場拋售新台幣或是回收新台幣；亦或是拋售他國貨 幣)、調整重貼現率(指遠期支票等等因日期未到卻需提前換現所能夠 變現的多寡)、調整法定存款準備率(一般銀行要貸款給客戶需要向央 行申請資金，所以央行可控制此存款準備率來影響一般銀行的貨幣供 給)、道德勸說(指央行只皆以口頭的方式勸說一般銀行增加或降低利 息，一般來說，央行直接勸說沒有一個銀行是不敢不聽的)。

經濟學者曾指出台灣過去七年來的貨幣政策過於被動，政府貨幣 政策並未主動利用貨幣政策工具來提升我國國民所得。反而是因經濟

的成長與國民所得的增加使貨幣需求增加，才被動的增加貨幣供給。

由經濟學可知貨幣供給與失業率、國民所得之間存在直接或間接 的關係，例如，失業率、物價與國民所得三者關係為：當物價上漲→

貨幣購買力下降→有效需求減少，人民消費降低→由於供給大於需 求，將會導致經濟蕭條(物價下跌)→當物價膨脹到了一定的階段就會 變成物價緊縮→物價緊縮(即表示市面上商品價格急速的下跌)→商 品價格下跌，產生供給(生產量)就會減少→生產量減少就意謂著失業 率將會增加→失業率增加，人民的有效需求就會低更低→如此的循環 將會導致國民所得急速下降。又例如，當貨幣流通速度驟降時，政府 應該做的，是增加貨幣供給以抵消低迷的流通速度，若是繼續採行固 定的貨幣法則，將會造成國內生產毛額的大幅下降，而失業率的增加 將是可預期的結果。

由於國民所得、失業率與貨幣供給三者均對國家的經濟發展有很 大的影響，因此本論文將選擇國民所得、失業率與貨幣供給作為本研 究的主題。

1.2 研究變數的介紹

由於本論文要研究的變數有國民所得、失業率和與貨幣供給三 個，下面先對這些變數分別加以介紹。

1.2.1 失業率的簡介

在經濟理論當中，由於價格、工資都可以上下調整，市場始終處 於均衡，即使是勞動市場也不例外，供給恆等於需求，願意工作者在 均衡工資下均可找到工作，因此無失業(非自願性)問題。但事實上不 然，現實生活裡，時時刻刻都可以見到失業的人潮。

圖 1.1 勞動力之分類

失業的統計在台灣是由行政院主計處調查而來，在美國是由勞動 部(Department of Labor)調查。統計的方法是先將所有的人口分為兩大 類：15 歲(或是 16 歲)以上或以下者，也就是分為適齡人口與非適齡 人口兩大類。在適齡人口當中，扣除武裝勞動力及監管人口後的民間 人口，再分為勞動力人口與非勞動力人口。非勞動力人口係指在資料 標準週內，年滿十五歲不屬於勞動力之民間人口，包括因就學、料理 家務、高齡、身心障礙、想工作而未找工作及其他原因等而未工作亦

未滿十五歲人口 十五歲以上人口

監管人口 武裝勞動力

（現役軍人）

民間人口

（民間）勞動力 非勞動力

就業者 失業者

臺灣地區總人口

未找工作者。如果這個人在過去一段時間雖然沒有工作，但是努力找 工作，仍算是勞動力人口。

所以根據這個定義，家庭主婦、學生、看管人員等等都不算是勞 動力人口。在勞動力人口當中，又區分為就業人口與失業人口。失業 人口係參採國際勞工組織(ILO)之規定，與先進國家所公布之失業率 定義相同，即凡在資料標準週內，年滿十五歲，同時具有(1)無工作；

(2)隨時可以工作；(3)正在尋找工作（尋找工作的方法包括託親友師 長介紹、向私立就業服務機構求職、應徵廣告、招貼、向公立就業服 務機構求職、參加政府考試分發等）或等待工作結果等三項條件者，

謂之失業人口。而就業人口是指過去一段時間有過全職或兼職工作的 人口。

將所有人口區分為上述幾類之後，我們就可以明確的定義失業率 (unemployment rate)為失業人口除以勞動力人口的百分比。

失業率＝ ×100% 勞動力人口

失業人口

因此失業率不是以全部的總人口作為統計的分母，所以失業率的定義 為失業人口占勞動力人口的比率，旨在衡量閒置中的勞動產能。在美 國失業率於每月第一個週五公佈，在台灣則於每月23日由行政院主計 處公佈。失業數據的月份變動可適當反應經濟發展。大多數資料都經 過季節性調整，失業率被視為落後指標。

1.2.2 國民所得的簡介

國民所得(national income)，係指在一定區間內全國所創造之附加 價格的總和，或全國所生產的最終產品與勞務價值的合計。若以GNP 計算，則是本國國民在國內外參加與生產而得到的報酬總和，稱為國 民要素所得。若以 GDP 來計算，則稱為國內要素所得。本論文，採 用以 GNP 來計算的資料。此外，名目貨幣的供給量與國民所得成正 比。

1.2.3 貨幣供給的簡介

貨幣供給(money supply)是指某一時點一國大眾所持有的貨幣數 額。故貨幣供給額為衡量一國貨幣數量的存量統計。貨幣供給量的掌 握，有

M

₁即

M

₂兩種方法。所謂「

M

₁」是指「狹義的貨幣供給量」

而「

M

₂」則是指「廣義的貨幣供給量」。

M

₁又細分為

M

_1A及

M

_1B，現 將

M

_1A、

M

_1B及

M

₂定義如下：

M

1A=通貨+活期存款+支票存款；

1B 1A

M = M

+活期儲蓄存款；

2 1B

M = M

+定期存款+郵政儲蓄總數+外匯存款+外國人持有之台 幣存款+企業及個人持有貨幣機構之附買回交易證券。

由於台灣的企業多是中小企業，中小企業又對利率的改變特別敏

感，而利率的變動又受

M

₁貨幣供給影響很大，因此

M

₁貨幣供給的預 測就相當重要了，本論文中的貨幣供給是採用

M

_1B。

1.3 研究的目的

國民所得、失業率與貨幣供給之間可能會互相影響，因此在對 失業率預測時是否應將國民所得與貨幣供給考慮進去，同理在對國民 所得預測時是否應將失業率與貨幣供給考慮進去，另外在對貨幣供給 預測時是否應將失業率與國民所得考慮進去，將是本論文研究的目的 之一。

本論文透過兩種不同的時間數列分析的方法，找出較佳的國民所 得、失業率與貨幣供給的預測模式。研究方法除採一般時間數列資料 常用的單變量時間數列分析外，基於三個時間數列之間可能直接或間 接有關係存在，為保有此部份資訊，另採多變量時間數列分析。進行 多變量時間數列的研究主要是因為多變量時間數列模式滿足了以下 的兩個目的：一是加入另外相關的數列後更能解釋過去僅由單變量建 立模式的不足之處；另一則經由分析一個時間數列與其他時間數列的 關係藉以獲得數列間的相關訊息，更能符合現實情況的需求。研究最 終目的乃在於替臺灣地區國民所得、失業率與貨幣供給找出一個最適 當的預測模式。

1.4 資料的來源

本 研 究 之 資 料 取 自 於 中 華 民 國 統 計 資 訊 網 (http://www.stat.org.tw/other/other3.htm)，下載1982年Q1至2006年Q4 共25年100筆國民所得、失業率與貨幣供給的季資料做為原始資料，

然後以統計軟體SPSS 11.0進行單變量ARIMA模式之適配，多變量 VARMA模式之適配則利用統計軟體SAS v8進行。

1.5 研究的方法

由於國民所得、失業率與貨幣供給都具有時間數列的特質，因應 前述的研究目的，本論文即採取了時間數列分析法。在進行時間數列 分析前都會事先地檢查該數列是否符合平穩的假設，實務上多會採用 圖形去初步判斷時間數列的平均數與變異數是否平穩。若判斷出該數 列並非平穩，則務必使其平穩後才能進行後續的時間數列的分析，平 均數不穩定時，最常用的方法就是對資料進行差分(differencing)，變 異數不穩定時，則多採用轉換(transformation)。本論文所使用之時間 數列模式建構方法乃採用1970年代由Box與Jenkins所提出的建構模 式 ， 包 括 ： 模 式 確 認(model identification) 、 模 式 估 計 (model estimation) 、 模 式 診 斷 檢 查 (model diagnostic checking) 及 預 測 (forecasting)。

1.5.1 模式的確認

本 論 文 在 實 證 上 將 運 用 單 變 量 之ARIMA 模 式 及 多 變 量 之 VARMA模式，下面將分別介紹模式的結構及模式確認的方式：

單變量時間數列(ARIMA)

單變量季節自迴歸整合移動平均模式(Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Model) 以 SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s表 示 之，SARIMA模式將利用自相關函數(autocorrelation function，簡稱 ACF)和偏自相關函數(partial autocorrelation function，簡稱PACF)的截 斷(cut off)特性來決定模式的階次，以達到模式確認的目的。SARIMA 模式的形式如下：

( ) ( ^S)(1 ) (1^{d S})^D 0 ( ) ( ^S)

p

B

P

B B B X

t q

B

Q

B a

t

φ

Φ − − =

θ θ

+ Θ

其中

X 是一個時間數列；p, d, q是非負整數，分別代表著自迴歸、移

_t 動平均的參數個數及差分階次；同樣地，P, D, Q也是非負整數，分別 代表著季節性自迴歸平均參數個數、季節性移動平均參數個數及季節 差分階次； B 為後退算子(backward shift operator)，即

B X

^m _t =

X

_{t m−} ；

p( )

B

φ

、

θ

_q( )

B

分別表示非季節性 p 與 q 階次之 B 的多項式；Φ_P(

B

^S)、 ( ^S)

Q

B

Θ 分別代表著季節性 P 與 Q 階次之 B 的多項式；

a

_t為白干擾 (white noise)，且假設滿足

a

_t ~ (0,

N σ

_a²)的條件。

多變量時間數列(VARMA)

多變量ARMA模式(Multivariate ARMA model)也稱為向量ARMA 模 式 (Vector ARMA model ， 簡 稱 VARMA 模 式 ) 。 假 設

L L { }, 0 , 1 , 2 , },

{ },

{ X

_1t

X

_2t

X

_mt

t

= ± ± 表示m個等長度的時間數列，以向 量表示為

X

_t =

[ X

1_t

, X

2_t

, ,

L

X

_mt

]

′，並稱此為m維度的向量時間數列。

VARMA

模式的形式如下：

t s Q t q

s

p(

B

)ΦP(

B

)

X

=

θ

₀ +

θ

(

B

)Θ (

B

)

a

φ

其中 (B)

φ

p 、

θ

_q(B)分別表示非季節性 B 的矩陣多項式；Φ_P(

B

^s)、 )

( ^s

Q

B

Θ 分別代表著季節性之 B 的矩陣多項式，

θ

₀為

m

×1的常數向

量，

a 為白干擾向量，其平均向量為 0 ，共變數矩陣為

t ∑ 。多變量 VARMA模式以交互相關矩陣(cross correlation matrix，簡稱CCM)和偏 自迴歸相關矩陣(partial autoregression matrix，簡稱PAR)作為決定階次 模式確認的重要工具。

1.5.2 模式的估計

時間數列模式參數估計最常用的方法大概有兩種：一種是最小平 方法(method of conditional least squares)，另一種是最大概似法(method of maximum likelihood)。通常都用最小平方法來計算最佳或最有效的 估計值，亦即使得實際值與預測值之間的誤差平方和最小，而當樣本 觀察值夠大時，利用最大概似法亦可得到有效的估計值。本論文在單

變量ARIMA模式參數估計採用最小平方法(method of unconditional least squares)，以SPSS軟體進行參數的估計；VARMA模式參數的估 計採用最大概似法，以SAS軟體進行之。

1.5.3 模式的診斷檢查

求得配適模式參數之估計值後，即應做模式適當性的診斷，判斷 模式的基本假設是否滿足，在單變量ARIMA模式部份乃透過其殘差

項

ˆ

t t t

e = X − X

檢查

a

_t是否符合白干擾(white noise)的假設，也就是檢查 殘差的ACF與PACF是否皆落在

− 2 n

與

2 n

的信賴界限內；而 VARMA模式則利用殘差的交互相關矩陣CCM，看其值是否都介於

2 n

−

與

2 n

之間來判定所配適的模式是否適當，否則必須利用殘 差項所反應的訊息重新假設模式，重覆上述之步驟，直到一合理且可 接受之模式出現為止。

當時間數列有多個可能的模式供配適時，可利用AIC(Akaike’s information criterion)準則與SBC(Schwart’s Bayesian criterion)準則來 評估模式的品質以免模式參數過度配適(over fitting)，通常AIC值與 SBC值是越小表示階次組合越好，AIC與SBC的公式可參考本論文之 2.4節或參考吳柏林(1994)及Wei(2006)兩本書籍。

1.5.4 預測

當尋得一最佳配適模式之後，就可以用此模式對未來作預測。另 外可以進行預測效益評估，這是基於希望預測模式與實際模式間差距 最小的考量，採用最小均方預測誤差(minimum mean square error forecast)的概念，以平均百分誤差(mean percentage error，簡稱MPE)、

均方誤(mean square error，簡稱MSE)、平均絕對誤差(mean absolute error ， 簡 稱 MAE) 和 平 均 絕 對 百 分 誤 差 (mean absolute percentage error，簡稱MAPE)來進行模式預測能力的度量，以上四種方式公式如 下：

1

1

^{M l}

100%

l n l

MPE e

M

=

Z

+

= ∑

2 1

1

^M

l l

MSE e

M

=

= ∑

1

1

^M

l l

MAE e

M

=

= ∑

1

1

^{M l}

100%

l n l

MAPE e

M

=

Z

+

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ∑ ⎠

其中

M

為預測總期數，

Z

_{n l+} 為未來第

l

期的實際值，

e

_l為未來第

l

期的預 測誤差。以上準則為

MPE

、

MSE

、

MAE

與

MAPE

值越小表示模式預測 能力越好。

1.6 分析的流程

分析的步驟用流程圖表呈現出，以期讓大家對資料分析的方法與

先後順序有更具體的概念，如圖

1.2

所示。

Model identification

Model estimation

Model diagnostic checking

Forecasting

圖 1.2 分析的流程圖

第二章 失業率的單變量時間數列 的分析與預測

本章將以時間數列的 ARIMA 模式，對台灣地區的失業率做分析 與預測，分析與預測的步驟將依據第一章中所介紹的流程圖進行，所 以在 2.1 節先做模式的確認，2.2 節則是模式的估計，2.3 節為模式的 診斷檢查，2.4 節是模式的比較與選擇，最後 2.5 節則是失業率的預 測。

2.1 模式的確認

在 模 式 確 認 部 份 首 先 將 失 業 率

X

_t 的 時 間 數 列 圖 (time series plot)、自相關函數圖(autocorrelation function plot，簡稱 ACF 圖)及偏 自相關函數圖(partial autocorrelation function plot，簡稱 PACF 圖)畫 出，然後判斷失業率的變動是否符合平穩性，再決定是否需要對

X

_t做 差分或轉換，若需要，再將差分及/或轉換後的時間數列圖、ACF 圖 及 PACF 圖畫出，再根據圖所顯現的樣式找出其所適配的季節自廻歸 移動平均整合模式(seasonal autoregressive integrated moving average model，簡稱 SARIMA)及階次 p, d, q，最後再檢定模式中是否要包含 常數項。

2.1.1 失業率的時間數列圖

將自中華民國統計資訊網取得的由 1982 年 Q1 至 2006 年 Q4 共 25 年 100 筆失業率的季資料，放在附錄 1 中，然後用統計軟體 SPSS 11.0 繪圖，得到失業率的原始時間數列圖，如圖 2.1 所示。

Time Series Plot

date

2006Q1 2003Q1 2000Q1 1997Q1 1994Q1 1991Q1 1988Q1 1985Q1 1982Q1

unemployment rate

6

5

4

3

2

1

圖 2.1 失業率的時間數列圖

由失業率的時間數列圖可明顯看出平均數不穩定，失業率由 1982 年起上升，在 1982 年後半年到 1986 年之間，一直都在 2％到 3％之 間變動，1986 年第一季曾高達將近 4％，之後 1987 年到 1995 年共 9 年間，失業率下降回到 1％到 2％之間內變動，但自 1996 年起失業率 又開始上升，但到 2000 年之前，仍維持在 3.2％之內，值得注意的是，

自 2000 年起，失業率快速攀升，短短二年時間，失業率上升到 5.2

％左右，然後一直居高不下，直到 2003 年起才漸漸有下降的趨勢，

但失業率仍在 4％以上變動，還是遠高於過去的水準。所以平均數不

穩定，變異數變化不大，大致穩定。

至於從 2000 年起，失業率會有這樣幅度的變化，除了因全球經 濟的大環境不佳外，主要也歸因於政黨輪替後，新政府的財經政策失 當，加上許多企業將生產製造移往大陸，導致大量裁員，失業率大幅 度的提升，因此政府必須從兩岸與財經政策著手，除了改善國內投資 環境，建立投資誘因外，應早日開放三通及大陸人士來台觀光，方能 活絡勞力市場，紓解失業問題。

2.1.2 失業率的 ACF 圖與 PACF 圖

unemployment rate

Lag Number

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ACF

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Confidence Limits

Coefficient

圖 2.2 失業率的 ACF 圖

接著將失業率的 ACF 圖及 PACF 圖畫出來並作進一步的分析，

如圖 2.2 及圖 2.3 所示。

unemployment rate

Lag Number

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Partial ACF

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Confidence Limits

Coefficient

圖 2.3 失業率的 PACF 圖

失業率的 ACF 有漸漸減小，但很慢，而失業率的 PACF 在時 差一期(lag 1)時最大，之後有漸漸消失，由圖 2.1、2.2 及 2.3 知，失 業率的時間數列的平均數不符合平穩性，所以需做一次差分。

2.1.3 一次差分後的失業率的時間數列圖

Time Series Plot (1st differencing)

date

2006Q1 2003Q1 2000Q1 1997Q1 1994Q1 1991Q1 1988Q1 1985Q1 1982Q1

DIFF(UR,1)

1.5

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

圖 2.4 一次差分後的失業率的時間數列圖

先計算失業率的一次差分，公式為

(1 − B X )

_t

= X

_t

− X

_t−1，然後繪 出一次差分後的失業率的時間數列圖，放在圖

2.4

中。由圖

2.4

可知，

失業率取一次差分後，平均數穩定，變異數在前面較大，但

1987

年 後大致穩定。

2.1.4 一次差分後的失業率的 ACF 圖與 PACF 圖

接著將一次差分後的失業率的

ACF

圖及

PACF

圖畫出，並進一 步觀察是否仍需做二次差分或季節差分，如圖

2.5

及圖

2.6

所示。

DIFF(UR,1)

Lag Number

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ACF

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Confidence Limits

Coefficient

圖

2.5

一次差分後的失業率的

ACF

圖

由一次差分後的失業率的

ACF

圖，可看出

ACF

在

lag 4

、

8

、

12

、

16

_{、L季節週期}

4

的倍數時消失很慢，所以有季節因素的影響，因此 還需做一次季節差分。另外由圖

2.6

知一次差分後的

PACF

在

lag 3

、

4

、

5

時較大，之後有漸漸消失。

4

8 12 16

DIFF(UR,1)

Lag Number

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Partial ACF

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Confidence Limits

Coefficient

圖

2.6

一次差分後的失業率的

PACF

圖

2.1.5 一次差分與一次季節差分後的失業率的時間數列圖

用公式

W

_t = −(1

B

)(1−

B X

⁴) _t計算一次差分與一次季節差分後的 失業率，然後畫時間數列圖，如圖 2.7 所示。失業率經一次差分及一 次季節差分後，平均數穩定，變異數則有遞減再遞增的現象。

Time Series Plot

(1st diff and 1st seasonal diff)

DATE

2006Q1 2003Q1 2000Q1 1997Q1 1994Q1 1991Q1 1988Q1 1985Q1

unemployment rate

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

圖 2.7 一次差分與一次季節差分後的失業率的時間數列圖

3 5 4

2.1.6 一次差分與一次季節差分後的失業率的 ACF 圖與 PACF 圖

unemployment rate

Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 4)

Lag Number

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ACF

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Confidence Limits

Coefficient

圖 2.8 一次差分與一次季節差分後的失業率的 ACF 圖

一 次 差 分 與 一 次 季 節 差 分 後 的 失 業 率

W

_t = −(1

B

)(1−

B X

⁴) _t 的 ACF，除了在 lag 1、4、5、6、10 外，其餘都幾乎為 0。

unemployment rate

Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 4) Lag Number

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Partial ACF

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

Confidence Limits

Coefficient

圖 2.9 一次差分與一次季節差分後的失業率的 PACF 圖

1

4 6 5

10

1

3

8

一 次 差 分 與 一 次 季 節 差 分 後 的 失 業 率

W

_t = −(1

B

)(1−

B X

⁴) _t 的 PACF， 除了在 lag 1、3、8 外，其餘都幾乎為 0，因此不必再做任 何差分了。

2.1.7 模式階次的建立

根 據 圖 2.8 及 圖 2.9 ， 考 慮 符 合 失 業 率 的 可 能 SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s模式有

SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)4

SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)4

SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)4

，因此在後面的章節中將會針對這三個模式做比較與選擇。

2.1.8 常數項的檢定

由於失業率的時間數列有經過差分，所以需要檢定模式中是否需 包含常數項

θ

₀，因此接著將執行下面假設檢定：虛無假設

H

₀:

θ

₀ = ，0 對立假設

H

₁:

θ

₀ ≠ ，檢定統計量為 0

0 W

t W S

θ

= −

當

H 為真時，

₀

S

W

t

=

W

，所以決策法則為若

t

>1.96時則拒絕

H ，其中

₀

4

1 1

1 1

(1 )(1 )

n n

t t

t t

W B B X W

n

⁼

n

⁼

=

∑

− − =

∑

n S

_W

S

^W

≈ 2

4 2 2

1 1

((1 )(1 ) ) ( )

n n

t t

t t

W

B B X W W W

S n n

= =

− − − −

= ∑ = ∑

表

2.1

是用統計軟體

SPSS 11.0

所計算出來的平均數與標準差的敘述 統 計 表 ， 再 計 算 出 統 計 檢 定 量

t

的 值 。 統 計 量

0.079

0.02850541 0.28434

95

t = − = −

_，由於

t = 0.02850541 1.96 <

，因此在模

式中不必包含常數項

θ

₀。

表

2.1

敘述統計表

n Minimum Maximum Mean Std. Deviation 失業率

X

_t 100 1.3 5.3 2.7474 1.17580

DIFF(UR,1)

一次差分 99 -0.69 1.26 0.0245 0.33324

SDIFF(UR,1,4)一次

季節差分 96 -0.94 2.05 0.0741 0.55963

SDIFF(UR_1,1,4) 一次差分與一次季

節差分

W

_t

95 -0.89 0.60 -0.0179 0.28434

2.2 模式的估計

在 這 一 節 裡 將 用 統 計 軟 體

SPSS 11.0

對 所 找 出 的 暫 時 的 三 個

SARIMA

模式進行參數的估計，估計的方法是採用最小平方法，另外

用

t

檢定判斷各參數是否顯著，最後寫出估計的模式。

2.2.1 SARIMA(2,1,2) × (0,1,2)

4

模式的估計

SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式為

2 4 2 4 8

1 2 1 2 1 2

(1 − φ B − φ B )(1 − B )(1 − B X )

_t

= − (1 θ B − θ B )(1 − Θ B − Θ B a )

_t

表

2.2 SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式的參數估計值

Estimates Std Error t p-value Non-Seasonal

Lags AR1 -1.412

= φ ˆ

₁ ^{.095 14.894 .000}

AR2 -.811

= φ ˆ

₂ ^{.099 -8.214 .000}

MA1 -.938

= θ ˆ

₁ ^{.155 -6.065 .000}

MA2 -.356

= θ ˆ

₂ ^{.155 -2.297 .024}

Seasonal Lags Seasonal

MA1 -.222

= Θ ˆ

₁ ^{.127 1.741 .085}

Seasonal

MA2 -.642

= Θ ˆ

₂ ^{.127 5.041 .000} 由上表得知，

φ

₁、

φ

₂、

θ

₁、

θ

₂、

Θ

₂的

p-value

值都小於

α = 0.05

，所以

φ

1、

φ

₂、

θ

₁、

θ

₂、

Θ

₂都顯著

(

不為

0)

，因此符合參數的顯著性。估計 的

SARIMA(2,1,2)×(0,1,2)

4模式為

2 4

2 4 8

(1 1.412 0.811 )(1 )(1 )

(1 0.938 0.356 )(1 0.222 0.642 )

t

t

B B B B X

B B B B a

+ + − −

= + + + +

2.2.2 SARIMA(0,1,2) × (2,1,0)

4

模式的估計

SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式為

4 8 4 2

1 2 1 2

(1 − Φ B − Φ B )(1 − B )(1 − B X )

_t

= − (1 θ B − θ B a )

_t

表

2.3 SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式的參數估計值

Estimates Std Error t p-value Non-Seasonal

Lags MA1 -.553

= θ ˆ

₁ ^{.105 -5.258 .000}

MA2 -.213

= θ ˆ

₂ ^{.102 -2.091 .039}

Seasonal Lags Seasonal

AR1 -.315

= Φ ˆ

₁ ^{.103 -3.063 .003}

Seasonal

AR2 -.343

= Φ ˆ

₂ ^{.098 -3.493 .000} 由上表得知，

θ

₁、

θ

₂、

Φ

₁、

Φ

₂的

p-value

值皆小於

α = 0.05

，所以

θ

₁、

θ

2 、

Φ

₁、

Φ

₂都 顯 著

(

不 為

0)

， 因 此 符 合 參 數 的 顯 著 性 。 估 計 的

SARIMA(0,1,2)×(2,1,0)

4模式為

4 8 4 2

(1 0.315 + B + 0.343 B )(1 − B )(1 − B X )

_t

= + (1 0.553 B + 0.213 B a )

_t

2.2.3 SARIMA(0,1,2) × (0,1,2)

₄

模式的估計

SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)

4模式為

4 2 4 8

1 2 1 2

(1 − B )(1 − B X )

_t

= − (1 θ B − θ B )(1 − Θ B − Θ B a )

_t

表

2.4 SARIMA(0,1,2)×(0,1,2)

4模式的參數估計值

Estimates Std Error t p-value Non-Seasonal

Lags MA1 -.531

= θ ˆ

₁ ^{.102 -5.222 .000}

MA2 -.277

= θ ˆ

₂ ^{.097 -2.854 .005}