第一節 國小六年級學童分數運算概念之學習表現
本節根據台東縣 6 所國小 9 個班級，一共 200 人施測的結果進行資料分析與比 對，瞭解學童在各選項中之答題情形，並統計出各題作答時所呈現的概念人數比 例。本研究以自行編製之分數運算二階段式診斷評量試卷，作為施測的工具。評 量試題一共有二十六題，每一題都分為答案選項與理由選項兩部分，首先學生必 須先依據題目要求算出答案，再根據問題解答選擇出正確的理由選項。以下就學 童在各題所選出的答案和選出的理由之表現分佈情形進行說明。
壹、學童在分數運算二階段式診斷評量各題答題情形 表 4-1-1 學童在各題答題情形
第一階段
答案選項正確（人）
第二階段
理由選項正確（人）
第一階段答案選項 正確 而且 第二階段理由選項
正確（人）
答對人數
題 號
人數 比例 人數 比例 人數 比例 第一題 164 0.82 162 0.81 162 0.81 第二題 141 0.71 130 0.65 129 0.65 第三題 172 0.86 168 0.84 167 0.84 第四題 172 0.86 156 0.78 153 0.77 第五題 176 0.88 163 0.82 163 0.82 第六題 167 0.84 169 0.85 167 0.84 第七題 172 0.86 155 0.78 154 0.77 第八題 190 0.95 182 0.91 180 0.90
第一階段
答案選項正確（人）
第二階段
理由選項正確（人）
第一階段答案選項 正確 而且 第二階段理由選項
正確（人）
答對人數
題 號
人數 比例 人數 比例 人數 比例 第九題 161 0.81 154 0.77 154 0.77 第十題 141 0.71 140 0.70 137 0.69 第十一題 138 0.69 138 0.69 138 0.69 第十二題 177 0.89 177 0.89 177 0.89 第十三題 132 0.66 132 0.66 132 0.66 第十四題 169 0.85 170 0.85 169 0.85 第十五題 156 0.78 157 0.79 156 0.78 第十六題 156 0.78 156 0.78 156 0.78 第十七題 152 0.76 152 0.76 152 0.76 第十八題 154 0.77 154 0.77 154 0.77 第十九題 169 0.85 130 0.65 130 0.65 第二十題 120 0.60 120 0.60 120 0.60 第二十一題 123 0.62 123 0.62 123 0.62 第二十二題 147 0.74 147 0.74 145 0.73 第二十三題 160 0.80 158 0.79 157 0.79 第二十四題 154 0.77 143 0.72 143 0.72 第二十五題 148 0.74 134 0.67 132 0.66 第二十六題 100 0.50 100 0.50 100 0.50
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
由表 4-1-1 及圖 4-1-1 的結果中研究者發現：
（一）這一份試題得到六年級學童的平均答對率為.7，大部分題目的答對率都 介於.50～.80 之間。
（二）經由第一階段答案選項要求學生選擇出對於題目內容最適當的答案，
接著進一步藉由第二段的測試，可以運用理由選項的誘答過程將不會此一概念的 學童篩選出來，所以從表 4-1-1 的數據我們清楚發現第二階段答對率都不會高於 第一階段答對率。在圖 4-1-1 中顯然發現，第一階段答案選項正確同時第二階段 理由選項也正確的人數比例更低。
（三）從答題結果表 4-1-1 的數據也得知，六年級學童在前十四題的平均答對 率勝過後十三題的平均答對率，研究者相較之下發現六年級學童在加減法試題上 表現優於在分數的乘除法試題上的表現。
貳、學生在個別題目的答題結果 一、試題分析說明：
我們可以依據學生在正式施測所得到的結果，加以整理之後，可以統計出學 生在分數運算概念各題中每一個選項選答的結果。透過答題結果的分析，可以提 供教師教學時的參考。
（一）答題表現：此部份將學童的選答情形作量化的呈現
1.橫向說明：可分為答案選項 1、2、3、4、總和與填答選擇情形。
2.縱向說明：可分為理由選項 A、B、C、D、E、F、總和與填答選擇情形。
（二）答題結果分析說明：逐題將題目類型與評量目標加以說明，同時針對學童 的答題情形之量化數據，進行初步的分析和說明。
一理 * 一答 交叉表 個數
14 0 0 0 14
0 2 8 0 10
0 0 0 9 9
0 0 0 5 5
0 162 0 0 162
14 164 8 14 200
A B C D E*
一理
總和
1 2* 3 4
一答
總和
二理 * 二答 交叉表 個數
0 0 51 1 52
0 1 0 0 1
1 0 0 129 130
6 0 0 0 6
0 0 0 11 11
7 1 51 141 200
A C D*
E F 二理
總和
1 2 3 4*
二答
總和 二、答題表現分析
（一）第一題分析 1 答題結果
表 4-1-2 學童在第一題答題結果
2.答題結果說明
此題是對於學童在分數運算概念中用分數數詞來描述部分跟全體的分割關係 的學習，診斷學生在這種類型易發生的錯誤。該題的正確答案是 2E，有 162 位學 生答對，佔全體學童人數之 81％。其中學生容易犯的錯誤是 1A，有 14 位學童選 擇這個選項：學童透過直觀誤以
5
3為全部。其次，有 10 位學童選擇理由 2B 或 3B：
1 等份加上 1 等份合起來等於 1 塊布。再者，有 9 位學童選擇 4C：
5 1＋
5 1＝
5 2，所 以是 2 塊布。有 5 位學童選擇 4D：斜線部分是全部的其中 2 等份，也就是 2 塊布。
（二）第二題分析 1.答題結果
表 4-1-3 學童在第二題答題結果交叉表
三理 * 三答 交叉表 個數
0 9 0 0 9
4 0 5 0 9
1 0 0 3 4
167 0 1 0 168
0 0 3 0 3
0 7 0 0 7
172 16 9 3 200
A B C D*
E F 三理
總和
1* 2 3 4
三答
總和
2.答題結果說明
此題是評量學童在部分量跟全體量的關係，求全體量的表現情形。該題的正確答 案是 4D，有 129 位學童答對，佔全體學童人數之 64.5％。其中學童容易犯的錯誤 是 3A，有 51 位學童選擇這個選項：5 張中的其中 1 張是全部的
5
1，所以全部是 5 張；學童直觀將 5 張愛心卡視為全部愛心卡之數量。其次有 11 位學童選擇 4F：一 張愛心卡數量的 25 倍是 25 張愛心卡，所以全部是 25 張。再者，有 6 位學童選擇 1E：一張愛心卡是全部愛心卡數量的 5 倍，所以全部是
5
1張。有 1 位學童選擇 2C：
圖中愛心卡數量原本有全部的 5
1，所以愛心卡是 5 張的 5
1倍，所以全部是 1 張。此 外，有 1 位學童選擇 1D，這一位學童雖然選擇了對的理由選項，不過卻選擇了錯 誤的答案選項，所以並不代表此學童具有正確的概念。
（三）第三題分析 1.第三題答題結果
表 4-1-4 學童在第三題答題結果交叉表
2.答題結果說明
此題是評量學童在同一的二維的基準量，不同的分割方式，合成其中幾份的 量相等（等積異形）的表現情形。該題的正確答案是 1D，有 167 位學童答對，佔 全體學童人數之 83％。其中學童容易犯的錯誤是 2A 和 1B，有 18 位學童選擇 2A
四理 * 四答 交叉表 個數
0 7 0 0 7
0 0 19 0 19
0 0 0 1 1
15 0 0 0 15
0 0 0 2 2
2 1 153 0 156
17 8 172 3 200
A B C D E F*
四理
總和
1 2 3* 4
四答
總和
或 1B：2A：誤以 2 等份的三角形蛋糕合起來會等於小花吃的著色部分蛋糕；1B：
儘管題目已是同樣的蛋糕平分成 8 等份，但學童仍以直觀判斷蛋糕的大小，顯然 是學童沒有等份概念。有 7 位學童選擇 2F：誤以巧虎吃 2 等份的蛋糕會大於小花 吃 1 等份的蛋糕。有 4 位學童選擇 1C 或 4C：巧虎吃的是切成三角形的蛋糕，小花 吃的是切成長方形的蛋糕，僅管題目已告知平分成 8 等份，但學童仍是認為三角 形和長方形無法比較大小。有 3 位學童選擇 3E，誤以為小花吃 1 等份的長方形蛋 糕等於吃 2 等份的三角形蛋糕。此外，有 1 位學童選擇 3D，這一位學童雖然選擇 了對的理由選項，不過卻選擇了錯誤的答案選項；有 5 位學童分別選擇了 1B、1C，
雖然他們選對了答案選項，可是卻選擇了錯誤的理由選項，所以並不代表這些學 童具有正確的概念。
（四）第四題分析 1.答題結果
表 4-1-5 學童在第四題答題結果交叉表
2.答題結果說明
此題是評量學童能在連續量的情境中，進行相同單位量分子相同之分數的加法 的表現情形。該題的正確答案是 3F，有 153 位學童答對，佔全體學童人數之 72％。
其中學童常犯的錯誤是 3B，有 19 位學童選擇了 3B：通分後沒有將分母改為通分
五理 * 五答 交叉表 個數
0 0 14 1 15
0 1 0 11 12
0 0 1 0 1
2 0 0 1 3
0 0 0 163 163
0 6 0 0 6
2 7 15 176 200
A B C D E*
F 五理
總和
1 2 3 4*
五答
總和
後的分母。雖然他們選對了答案選項，可是卻選擇了錯誤的理由選項，所以並不 代表這些學童具有正確的概念。有 15 位學童選擇 1D：分母通分忽略分子使得,使 得分子不變就直接相加
5 4＋
10 4 ＝
10 4 4+
＝10
8 條；有 7 位學童選擇 2A：異分母分數
加法誤以分母加分母，分子加分子；有 2 位學童選擇了 4E：
5
4條繩子和 10
4 條繩子
合起來就是 1 條繩子；有 1 位學童選擇了 4C：
5 4＋
10 4 ＝
10 8 ＋
5 2＝
10
10＝1 條。此
外，有 3 位學童分別選擇了 1F、1F，雖然他們選對了答案選項，可是卻選擇了錯 誤的理由選項，所以並不代表這些學童具有正確的概念。
（五）第五題分析 1.答題結果
表 4-1-6 學童在第五題答題結果交叉表
2.答題結果說明
此題是評量學童能在離散量的情境中，單位分數內容為多個時，進行異分母 同分子分數的加法的表現情形。該題的正確答案是 4E，有 163 位學生答對，佔全 體學童人數之 81.5％。其中有 13 位學童分別選擇了 4A、4B 及 4D，雖然他們選擇 了對的答案選項，不過卻選擇了錯誤的理由選項，所以並不代表這些學童具有正 確的概念。在這一題中，學童常犯的錯誤是 3A，有 14 位學童選擇了這一個選項，
六理 * 六答 交叉表
七理 * 七答 交叉表
八理 * 八答 交叉表 個數
1 7 0 8
180 2 0 182
9 0 0 9
0 0 1 1
190 9 1 200
B C*
E F 八理
總和
2* 3 4
八答
總和
九理 * 九答 交叉表 個數
0 0 7 0 7
4 1 0 26 31
0 0 154 0 154
0 0 0 2 2
2 1 0 0 3
0 3 0 0 3
6 5 161 28 200
A B C*
D E F 九理
總和
1 2 3* 4
九答
總和
（八）第八題分析 1.第八題答題結果
表 4-1-9 學童在第八題答題結果交叉表
2.答題結果說明
此題是評量學童能在離散量的情境中比較相同單位量同分母分數的大小之表 現情形。該題的正確答案是 2C，有 180 位學童答對，佔全體學童人數之 90％。其 中有 10 位學童，分別選擇了 2B 和 2E，他們雖然選擇了正確的答案選項，不過卻 選擇了錯誤的理由選項；另外，有 2 位學童選擇了 3C 的選項，雖然選擇了正確的 理由選項，但卻選擇了錯誤的答案選項。所以，以上 12 學童並不代表具有正確的 概念。在這一題中，學童常犯的錯誤是 3B，有 7 位學童選擇了這一個錯誤選項，
錯誤是在於同分母分數減法誤以分母減分母，分子減分子處理。
（九）第九題分析 1.第九題答題結果
表 4-1-10 學童在第九題答題結果交叉表
十理 * 十答 交叉表 個數
0 0 3 0 3
0 36 0 0 36
4 0 0 0 4
0 11 0 2 13
0 0 0 4 4
137 3 0 0 140
141 50 3 6 200
A B C D E F*
十理
總和
1* 2 3 4
十答
總和
2.答題結果說明
此題是評量學童能在離散量的情境中進行同分母分數的加法之表現情形。該 題的正確答案是 3C，有 154 位學童答對，佔全體學童人數之 77％。有 7 位學童選 擇了正確的答案選項，不過，他們卻選擇了錯誤的理由選項，所以，以上 7 學童 並不代表具有正確的概念。在這一題中，有 31 位學童選擇了 B 的理由選項，學生 常犯的錯誤是 4B：
6
4×2＝8，
6
5×2＝10，分數乘以整數，忽略分母。有 3 位學童選
擇了 E 的理由選項：
6 4×2＝
12 8 ，
6 5×2＝
12
10，在分數乘以整數的乘法中，分子及分 母都同時乘以一個整數，顯然將通分法則過度類化到分數乘法算則。
（十）第十題分析 1.第十題答題結果
表 4-1-11 學童在第十題答題結果交叉表
2.答題結果說明
此題是評量學生能在連續量的情境中進行同分母分數的加減法之表現情形。
該題的正確答案是 1F，有 137 位學童答對，佔全體學童人數之 68.5％。有 4 位學 童選擇了 1C，雖然是選對了正確的答案選項，但卻錯選了理由選項；有 3 位學童
該題的正確答案是 1F，有 137 位學童答對，佔全體學童人數之 68.5％。有 4 位學 童選擇了 1C，雖然是選對了正確的答案選項，但卻錯選了理由選項；有 3 位學童