國 立 臺 東 大 學 教 育 學 系 所 課程與教學碩士班研究論文
指導教授：熊 同 鑫 博士
國小六年級學童分數運算之概念研究
研究生：陸雅林 撰
中 華 民 國 九 十 六 年 七 月
謝 誌
求學的三年時光已悄悄流逝，這三年的日子裡我從對研究一知半解，到現在 對於研究有了基礎的認識，這些都需歸功於所內老師們諄諄教導，以及班上同學 們的提攜，讓我有這個機會及緣份得以在教學生涯中更上層樓，也藉此提昇自己 的專業知識。經過這一年來的研究歷程，讓我對於評量問題的觀察力提昇不少，
有助於我日後在教學工作上的精進及成長。
人生旅途因為有貴人提攜而顯得燦爛耀眼，因著緣份及榮幸，我得以接受恩 師熊同鑫教授的指導，讓我在論文寫作歷程中獲益良多，每當論文寫作遭遇瓶頸 時，熊教授總是能及時給予協助，化解困難。在熊教授的論文指導過程中，個人 深刻體會到恩師對做研究的投入及執著，不但使我對研究有了更深入的瞭解，其 豐富的學識使我能以更多元、周延的角度進行研究，對於往後我的教學研究上有 莫大的幫助。此外，也要感謝張英傑教授，在我的論文研究計畫及口試時，對我 懇切的指導，讓我在文獻整理及研究方法的運用上釐清了許多觀念，並且提醒我 在研究的過程中所疏忽的事項，讓我的論文得以更臻完備。同時也要感謝鍾靜教 授給我的建議，激發我許多的靈感，讓我能更深入去瞭解我的研究問題，在二階 段式診斷評量的運用上有更深一層的認識，並且在鍾教授的言談中也體會到學者 樂觀積極的治學態度。
特別感謝國立臺南教育大學謝堅教授在評量試題中專業的指導，以及東海國 小同事們的協助，尤其數學領域輔導團員順利校長、琇瑩校長、振興主任、玉英 老師、靖雯老師及安妮老師們，花了許多時間和我討論研究內容及試題分析，並 給我許多寶貴的意見，讓我在研究的過程中，能夠深入瞭解自己研究的優缺點，
以減少自己過於主觀的想法。感謝研究期間和我一起成長、一同學習的學伴瑾瑜 和莒瑋，由於妳們不時給我的鼓勵，使我在陷入困頓時還能以喜樂的心來面對，
因而化解了不少難題。此外，更謝謝所有協助及接受評量施測的六年級師生。
最後，要謝謝親愛的爸爸、媽媽及公公、婆婆各方面的協助。研究期間，我 與老公正一彼此關懷、相互鼓勵，在您愛的支持下，讓我無後顧之憂的從事論文 寫作；還有那對寶貝--晴萱、晴佑，因為你們的配合媽媽得以完成論文的考驗。僅 以此論文，獻給所有支持我、關心我的師長、同事、親友與家人。
雅林 謹誌 中華民國九十六年七月
國小六年級學童分數運算之概念研究
陸雅林
國立台東大學教育學系所
摘 要
本研究採研究者自編國小分數運算二階段式診斷評量工具，調查台東縣 200 名 國小六年級學童分數運算概念學習的表現，並探討在分數運算錯誤迷思概念的類 型及分數運算概念之連貫性。
研究結果顯示，國小六年級學童在分數運算概念中有以下錯誤迷思概念類型：
部分、全體分割關係及等分概念的錯誤類型；單位量概念的錯誤類型；等值分數、
帶分數及假分數概念的錯誤類型；未能理解語句之間的關係及意義；分數加減法 運算法則錯誤：分數乘除法中數概念過度類化、運算法則錯誤。學童在分數運算 概念之連貫性出現下列關鍵點：分數等分割概念；分數加減法；假分數、等值分 數、帶分數；分數乘法；分數除法。學童在分數運算的錯誤類型之原因有概念的 過度類化、分數概念不清以致學生自行建構一些認為是對的概念同時也導致運算 法則錯誤、未能理解語句之間的關係及意義造成題意誤解。針對以上研究結果，
提出教師教學與評量的建議。
關鍵字：分數、錯誤迷思概念、二段式診斷評量
Utilizing a Two-Tier Test to Identify Sixth Grade Students’
Conceptions of Fraction Calculation
Lu,Ya-Lin
Department of Education , Nation Taitung University
Abstract
The purpose of this study is to investigate elementary students’ conceptions of fraction calculation. Based on 1 to 9 mathematical curriculum guidelines and theory of 2-tier test, researcher developed a paper-and-pencil instrument to reach research purpose. A total of 200 Grade 6 students of Taitung County were invited and administrated the instrument.
Results of this study showed types of misconceptions in fraction calculation were:
(a) error types of partial or whole separate relationship and equivalent fraction concept, (b) the error type of unit measurement concept, (c) the concepts of equivalent fraction, mixed fraction and improper fraction, (d) the lack of understanding the relationship and meaning between sentences, (e) error in fraction calculation (Addition and subtraction method), (f) over-generalization in fraction calculation (multiplication and division method), and (g) error in the rule of calculation.
The key points of students’ sequential conceptions of fraction calculation are: (a) the equal division concept of fraction, (b) fraction addition and subtraction method, (c) fraction multiplication and division method, (d) improper fraction, equivalent fraction, mixed fraction; fraction multiplication, and (e) fraction division. The reasons of error occurring in the fraction calculation among the students were: over-generalization in concepts, the lack of understanding the concept of fraction; all of these errors lead to the result that students develop their own concept and calculation methods, they don’t know the relations and meaning between sentences, and often get misinterpretation.
According to the results of this study, suggestions of teaching and assessing are addressed.
Keywords: Fraction, misconception, 2-tier test.
第一章 緒論
本章陳述研究之背景動機、目的與待答問題，並針對研究的重要名詞與研究 限制說明之。全章共分成四節：第一節為研究背景動機；第二節為研究目的與待 答問題；第三節為重要名詞釋義；第四節為研究範圍；第五節為研究限制。
第一節 研究背景動機
分數（fraction）是國民小學數學課程中不可忽視的一個環節，因為分數具有多 重的意義與分割概念，屬於既複雜又重要的概念，學生在學習分數時常遭遇許多 困難，也是多數國小學童的夢靨，而部分的國小教師也視之為畏途。學童在分數 的運算的概念不清表現，往往成為數學學習問題的一大來源。
「培養學童主動思考數學問題，甚至願意用數學的語言與人溝通、表達自己 的想法。」一直以來是個人希望在數學課室內營造的情境，然而在大班級教學時，
總是被班上固定幾位善於發言的孩子佔據了大部分的時間，儘管如此研究者卻發 現，其餘的孩子事實上是有在思考的，但並沒有來得及表達自己的想法。只是，
從研究者的教學經驗也發現，許多孩子的想法是零碎的、片段的，甚至需要去組 織、並系統化之引導出來。數學評量的另類思考，是以多元的觀點，來論述評量 的工具與功能。主張評量不但要檢驗學生的能力，也要診斷學生學習的方法。因 此評量也是協助學生能力發展的一種工具（黃敏晃、林文生與鄔瑞香，2001，頁 231）。在概念的學習過程，學生經常會產生一些錯誤，若教師對於學生的錯誤概念 無法立即診斷並加以補救，將會影響往後其他概念的學習。透過錯誤類型分析，
教師可以發現學生學習困難之處，了解學生犯錯的原因，同時所得到診斷資料可 作為設計補救教學時的依據，並針對學生的問題做有效的矯治。
傳統的數學教學經常強調公式算則的背誦和紙筆反覆演算，以期在最短的時 間內解出精確的答案，這在應付學力測驗和聯考成效上似乎不錯，但機械式的演
算常會阻礙學生學習的發展，並使學生逐漸喪失解題過程答案合理性的監控能 力。傳統的評量較無法了解學生學習上易犯的錯誤與困難，教師較難透過傳統 的評量來收集學生的錯誤概念類型與錯誤原因。研究者曾在 2004 年暑假參加國立 教育研究院籌備處針對全國數學領域深耕種子教師舉辦的第 1390 期數學研習，根 據研習中學習得知 Treagust(1989)提出二階段式診斷評量工具，對學生的錯誤概念 之測量具有經濟、快速、便捷的好處。柳賢(2001)指出二階段式診斷評量能診斷出 學生錯誤概念，幫助教師對學生學習情況能更進一步的深層了解其內涵。
傳統的班級教學中，教師在完成階段性的教學後，會利用成就評量來驗收學 生的學習成效，學生為了回應教師的期待，得到較高的分數，對分數的學習可能 流於對定義、定理做機械性的記憶操作及計算，難以建構完整的程序性知識 (procedure knowledge)，更無法發展出數學的概念性知識(conceptual knowledge)，讓學 生減少錯誤概念的產生，對課程內容做有意義的學習而非囫圇吞棗，是研究者在 教學過程中發現值得研究的課題。
基於以上所言，本研究採用二階段式診斷評量，探討國小學童在數學領域分 數運算學習內容有哪些錯誤概念類型？國小學童在數學領域分數運算學習內容錯 誤概念形成之影響關鍵為何？研究結果期能作為教師教學參考，並提供相關評量 策略及設計的依據。
第二節 研究目的與待答問題 壹、研究目的
研究者基於上述研究動機，提出以下的研究目的：
一、以九年一貫課程數學領域綱要為依據，探討國小六年級學童分數運算概念之 表現。
二、探討國小六年級學童在分數運算學習內容之錯誤概念的類型。
三、綜合前兩項，發展國小數學二階段式分數運算診斷評量工具，以利教師判定 學生之概念類型，作為教材準備依據，進行有效教學。
貳、待答問題
根據研究目的，研究者列出待答問題如下：
一、國小六年級學童在分數運算概念之表現為何？
二、國小六年級學童在數學領域分數運算學習內容有哪些錯誤概念類型？
三、國小數學二階段式分數運算診斷評量工具，用於診斷國小分數運算之情形為 何？
第三節 重要名詞界定 壹、分數
教育部國立編譯館依據 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引有如下的說 明：當使用分數數詞（字）來描述有理數時（以
5
3為例），至少可以從下列六種角 度，來討論分數數詞（字）的意義：（一）部分與全體的比較：全體為 5 時，3 是 5 的部份；（二）除法的活動：3 除以 5 活動的另一種記法；（三）等分割：對於物 件 1，進行一個運作，將 1 等分割成 5 份，再取出其中的 3 份；（四）小數的另一 種記法；（五）比的意義：表示兩數量的相對關係（3:5），（六）測量：
用來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量的對等關係進行數值 化（比值）（國譯編譯館，2000）。
貳、錯誤、迷思概念
迷思概念產生，可能源自於學生日常生活經驗的自我學習所得；也可能來自 於學生對老師機械式敎學的一知半解（呂溪木，1985）。Maurer（1987）也指出在 數學學習中，若存有迷思概念，則在演算時，將會產生有系統的錯誤演算規則，
此種錯誤的演算規則並非由於學生粗心大意的結果，而是因為不瞭解才產生的。
從概念的發展、聯結與分析，導出學習者所具有的最初想法，從而明瞭與發 現學習者所具有的錯誤迷思概念。因此，錯誤迷思概念的診斷與釐清有助於教學 的進行，經過概念改變的教學或引導，才能使教學與學習成為有效的活動。就數 學知識本身而言，學習新的知識又以舊有的知識經驗作為基礎，依靠學生認知結 構進行同化，這過程就是知識的正遷移；相反的，這過程產生的消極作用就是知 識的負遷移。當學習的概念混淆不清時，負遷移對數學學習的干擾就可能表現在 定理、公式、法則的誤用，及範例的應用錯誤等等情形（邱明星，2006）。
參、二階段式診斷評量
為使一些科學學科迷思概念的研究獲得更多結果，及能更有效、實際地應用 於教學現場上，有些學者提倡發展二階段式(two-tier)概念診斷測驗之必要性(Odom
& Barrow, 1995; Treagust,1997)。所謂的二階段式診斷評量方式共分為二層次，其中 第一層次是核心概念的內容，第二層次則為解釋回答第一層次之原因。
在一個含有四個選項的典型選擇題測驗中，猜對答案的機率是 2.5％；但在二階段 的選擇題中，如果第一階段含有兩個選項，第二階段含四個選項，兩階段能作正 確連結而猜對者，其機率只有 12.5％。換句話說，如果第一階段含有四個選項，第 二階段也含四個選項，兩階段能作正確而猜對者，其機率只有 6.25％，可見在兩階 段的評量工具可以減低猜題猜對之機率，相對的也提高題目評量的效果。本研究 所指的二階段診斷評量為診斷性測驗，測驗方式分為二階段；第一階段共有四個 答案選項；第二階段至少有四個以上的理由選項，主要了解學生所選擇的答案及 理由敘述是否為正確概念。其測驗題型式如下：
題目：一條繩子長 100 公尺，
5
4條繩子和 10
4 條繩子接起來和幾條繩子一樣長？
答案選項：（ ）○1 10
8 條 ○2 15
8 條 ○3 10
12條 ○4 1 條
理由選項：（ ）【A】
5 4＋
10 4 ＝
10 5
4 4
+ + ＝
15 8 條。
【B】
5 4＋
10
4 ＝8＋4＝
10 12條。
【C】
5 4＋
10 4 ＝
10 8 ＋
5 2＝
10
10＝1 條。
【D】
5 4＋
10 4 ＝
10 4 4+
＝10 8 條。
【E】
5
4條繩子和 10
4 條繩子合起來就是 1 條繩子。
【F】
5 4＋
10 4 ＝
10 8 ＋
10 4 ＝
10 12條。
圖 1-1-1 二階段評量診斷工具格式
第二階段 第一階段
第四節 研究範圍
本研究係依照研究對象，所使用之數學領域課程教材版本，及教育部 2003 年 11 月 14 日台國字第 0920167129 號，頒布之國民中小學九年一貫數學領域課程綱要 為研究理論架構，作為國小學童「分數運算」診斷測驗工具編製的依據，瞭解如 何發展出國小數學分數運算二階段式診斷評量工具，以檢測國小學童分數運算學 習內容之錯誤概念的類型，和形成概念之影響關鍵。
從研究者的教學經驗發現，學童學習初對於「子集 / 集合」較「部分 / 整體」
容易理解，因為連續量情境學童需要較好的預期基模，離散量只要簡單的分割，
再加上連續量與離散量對分數意義的認知結構也會有所不同。故本研究的內容涵 蓋分數概念是從離散量情境及連續量下進行等分、相同單位量比較大小、不同單 位量比較大小、分數加減、分數乘除之處理。
至於比、比值、比例內容在國小數學教材的處理上，通常是把分數的這種意 義與上述內容分開處理，故不在本研究範圍內。
第五節 研究限制
本研究是屬於初探性研究，旨在瞭解學童在分數運算上的概念類型。受限於 研究者之教職工作、研究是屬於初探、及研究工具尚未能確定其信度與效度等情 況下，造成研究者在研究場域與研究對象選取上，存有許多限制。研究者在人力、
時間及經費等因素之考量，僅以台東縣為研究場域，研究對象是以國小六年級學 童為母群，在此研究條件之下，研究結果在推論與廣泛性上確實存有其限制，但 對於以二階層測驗工具瞭解學生數學概念，及學生在分數運算概念類型的探究，
應有其可參考性。
第二章 文獻探討
本章就分數概念和迷思、錯誤類型及二階段式診斷評量工具這三方面進行探 討。第一節為分數概念，第二節為迷思、錯誤概念之探究，第三節為二階段式診 斷評量工具之探討。
第一節 分數概念 壹、分數的意義
一、分數之定義
我們對於分數的了解，可能從切水果開始。將蘋果切為兩半，一半就是二分 之一，二分之一就是用來數一半的東西的數。無疑這是分數的主要用途之一。但 是數學家把分數視為一種關係，為 m/n 的關係。m/n 可以表示兩種量數之間除法的 結果，m÷n 的商是 m/n。在除法關係中，亦可以說 m/n 表示 m 有幾個 1/n，此時 1/n 可以為 2/3,4/6,6/9……等無數個分數（劉秋木，2004）。
分數概念的意義具有多重的特性，在不同的問題情境中就有不同的意義，綜 合學者提出的分數意義彙整如下（林碧珍，1990；教師研習會，2001；國立編譯館，
1997～2001；康軒文教事業，1997～2006；南一書局企業，1997～2006；翰林出版 事業，1997～2006；黃權貴，2002；龐嘉芬，2002；曾靖雯，2003；黃寶彰，2003；
蔡麗蓉，2003；顏素霞 2003；孫碧霞 2004；劉秋木，2004；Hunting，1986）。研究 者將上述文獻整理如表 2-1。
表 2-1-1 學者對分數概念意義的看法
學者 對分數的看法
Kieren（1976）
1. 整數係的擴展
2. 具有稠密性、無窮可屬的數系
3. 可代表測量的量或數線上的一點，能被用來互相比較並加 以計算
4. 具有等值分數的特徵
5. 可用來代表比例、乘法的操作
國立編譯館（1981）
1. 表示操作 2. 表示量的大小 3. 表示比值 4. 表示除法的商
5. 表示數線上的一個數值
Behr,Lesh,Post,＆ Silver（1983）
分數具有五個面向：
1. 部分---全體（part-whole）
2. 比（ration）
3. 商（quotient）
4. 運算子（operator）
5. 測量（measure）
Behr et al.（1983）
1. 分數測量（fraction measurement）
2. 比（ration）
3. 速率（rate）
4. 商（quotient）
5. 線性座標（linear coordinate）
6. 小數（decimal）
7. 運算子（operator）
Gibson（1984）
1. 整塊面積的一部份 2. 離散量集合中的子集合 3. 數線上的一點
4. 兩數相除所的的商 5. 比例
6. 分數同時還有幾種與整數不同的意義，如等值分數
Nesher（1985）
1. 部分---全體（part-whole）
2. 兩數相除的結果（a result of division between two whole numbers）
3. 比（ration）
4. 運算子（operator）
5. 機率（probability）
林碧珍（1987）
分數視為某區域的一部分，數線上的一數值；看成小數；看 成商；集合的一部分；用來比較；單位分數的相加；看成比 值，當作運算；當成度量。
Ohlsson（1988）＆劉秋木（1996）
＆吳昭容（1996）
從數學的建構來看，認為 m/n 形式符號指示四種建構：
商的函數（等分、包含除、縮小、引出）
有理數（分數、測量）
二元向量（比、內涵量、比例、速率）
合成函數（運算子）
楊壬孝（1989） 一個整數的相等的部分；一個集合等分組後的幾組；數線上 的某一數值；兩數相除的結果。
國立編譯館（1990）
1. 部分與全體的比較 2. 除法的活動 3. 等分割
4. 小數的另一種記法 5. 比的意義
6. 測量
教育部
（國小課程標準）（1993）
1. 表示操作：即在具體物或圖像上進行「分的活動」，重視 具體物操作與分數符號兩者的連結。
2. 「部分/全體」：包括連續量與離散量的情境。
3. 線上的一數值：此意義又分為兩種（1）表是數線長（2）
表徵為數線上的一點 4. 兩數相除的結果 5. 比例、比值。
6. 表示量的大小：如 1/10 加上名數「公尺」即為固定長度 量 1/10 公尺。
從國內外學者對於分數的意義來看，大部分的學者都認為分數的意義中包含 部分-全體的意義，一般而言又可細分為連續量情境（區域與部分區域的關係）及 離散量情境（子集與集合的關係）。我們在國小數學教材的情境中也呈現這兩種分 數的意義，如在下面的圖中，黑色部分的面積佔全部面積的幾分之幾？（連續量 情境）以及「1包吸管有10枝，2枝吸管是幾包？（離散量情境）。此外，也有部 分學者認為分數是一個數，可以是數線上的一個點。在本研究中，將探究學生在 上述各種分數意義上的表現，透過給定一個分數詞請學生在規定的情境中（離散 量、連續量、數線…）將該分數詞表徵出來（如：在給定的情境中表徵出
5
2）；以及給定一個情境，請其用分數來表示該情境（如圖2-1中的黑色部分面積
是全部面積的幾分之幾；圈出來的吸管是幾分之幾包？）。
【圖 2-1-1】分數意義的連續量情境與離散量情境
二、兒童的分數概念發展
瑞士心理學家皮亞傑（J.Piaget）指出學童的認知發展是漸近的。由相關研究
（引自林宏仁，2003；蔡麗蓉，2003；曾靖雯，2003）得知：
（一）Piaget 等人（1960）發現：
3-8 歲的孩童在處理長度、面積的分數問題時，孩童會先處理 2
1的分數問題，
依序再為 4 1、
3 1、
5 1、
6
1 。故兒童的分數概念發展依序為：
○1 四歲到四歲半的兒童，對一物分為二半甚為困擾，在分割之前缺乏預期目 標的能力，也未注意分配的各部分是否相等。關於不同形狀的分割，長方 形比較容易，圓形次之，正方形較難。這階段的兒童最大的特徵是缺乏部 分與全體之間任何的關係。
○2 四歲到六歲的兒童對於規則的與小範圍的東西有分半的能力，但如果原來 整體的大小增大了，其分成一半的能力更要延緩。將一物分成相等的三部 分的能力尚未表現，在分割圓形中利用長方形的餅比較容易解決。
○3 六歲到七歲能成功的實施三等分的做法，不用嘗試錯誤的方式。但其操作 的瞭解，還是在具體的操作層次。在這個階段的兒童具有整體性的保留概 念，兒童了解到將各個塊數的總量與整個餅是一樣的。但對五等分仍有困 難。
連續量情境 離散量情境
○4 十歲左右兒童能實施六等份的分法，首先利用三分法分一個餅，然後將所 得的三塊餅再二分法。
（二）Pothier（1981）、Pothier＆Sawada（1983）發現：5-9 歲的兒童，在分割圓 形或長方形的分數板的能力表現為
2 1、
n
21 、 3 1及
5 1、
9 1及
15
1 。故針對五歲 至九歲兒童的分割能力的發展依序為：
○1 分配（sharing）
這階段兒童開始學習分半的機制，及如何從圖形的中間建構一條線，如此 使兒童能夠分割矩形和圓形一半和四份。但此階段的兒童會有無法達到公 平分配的要求，或分的份數比要求的份數多，或未將圖形分盡等現象。
○2 分半算則（algorithmic halving）
此階段以熟悉對摺（halving）步驟為明顯特徵，兒童不僅能夠將圖形分為二 份或四份，也可以分成八份，甚至十六份。換句話說，兒童能夠獲得雙倍 的塊數，即以 2 的次方為分母的分數。但此階段兒童仍未擁有等份的概念。
○3 偶數等分（evenness）
此階段當兒童再分割物體時開始注意到部份的大小與形狀，兒童開始注意 每一部分是否等分。雖然兒童尚無法將一物等分為三等分或五等分，但已 能辨別公平或不公平。這階段的兒童已能處理偶數塊的等分動作。
○4 奇數等分（oddness）
兒童在積數等分階段會使用數數算則，就是一快一塊的分，以數數確定份 數以後，再加以調整已分割線條已達到等分的條件。
○5 合數等分（composition）
在第四階段的數數算則，只是適合於小的奇數質數而已，對於 9、15 等較大 奇數的等分就顯得笨拙，且使兒童不易注意到等分的要求。要等分 9、15 等合數的分割，應以更有效率的方法。例如要等分 9 份，先將圖形三等份，
再將每一等份再分成三等份，即達成九等份。也就是兒童在此階段以可採 取乘法算則，去確定分割後的份數，如此兒童則能有效地建構所有的單位 分數。
（三）Streefland（1987）發現：兒童先會處理 2 1、
4
1的分數問題，然後才會處理
3
1的分數問題。
三、分數概念的難易水準
依據楊壬孝針對國中小學生分數概念所做的研究報告，將分數概念的難易程 度分為五個水準，參考劉秋木特別加以說明的部分，整理如下：（楊壬孝，1989；
劉秋木，2004）：
水準 1：【能由具體操作，說出分數的概念。】
（1）一個圖形的一部分：【例如：下圖黑色部分是佔圖形的幾分之幾？】
（2）比較分數的大小（同分母）
（3）分數的擴分
水準 2：【能由一或多個基準單位量 1 等分割成若干份，再合成其份數，算出 實際數量，】
（1）集合的一部分：
（例如：建國贏得下圖中彈珠的 3
2，問建國贏了多少彈珠？）
（2）比較分數的大小（同分子）
（3）分數的約分
（4）同分母分數的加法 （5）從 1 減去一部分：
（例如：小明爸爸用薪水的 5
3繳所得稅，問繳稅後薪水剩幾分之幾？）
水準 3：【在離散量、以度量化的連續量，或以「全部」為單位量的情境下，
解決單位分數倍問題。】
（1）找出圖形的一部分：
（例如：小明贏得下圖彈珠個數的 3
1，畫一個圈表示小明所贏得的彈珠。）
（2）比較分數的大小（異分母）
（3）分數的乘法（例如：一袋李子有 12 個，桌上有 3
1袋，哥哥吃了桌上李子
的4
1，它吃掉了多少袋李子？）
（4）數線上的數值（例如：請在下列數線標出所給的各數：）
（ 5 3、
5 1 、1
5 9）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
水準 4：【透過兩量關係的圖示，表現帶分數與 1 的關係，解決分數除法的問 題。】
（1）圖形的一部分：（例如：有一個正方形的客廳，要在地板上鋪磁磚，
如下圖，黑色部分是全部的幾分之幾？）
（2）兩分數之間有無數個分數（稠密性）
（3）分數的除法 （4）分數是數的觀念
水準 5：【能使用通分、約分、擴分的方法解決異分母比較的問題。】
（1）兩分數之間的通分與次序的觀念 （例如：寫出一個在
2 1與
3
2之間的分數）
（2）基準量
（例如：小英將她零用錢的 4
1買糖果，建國也將他零用錢的 2
1買糖果 ○1 小英可能比建國花的錢多嗎？
○2 請說明理由。）
（3）代表數與不等數
（例如：甲、乙、丙三數均為正整數，當在甚麼情形下，
乙 甲＜
丙 甲 ？）
由以上文獻得知，在學童尚未學習分數概念前通常倚靠知覺做判斷，無法使 用不同分數詞表示不同情境的意義。一旦兒童引進累進性合成運思於分數的情
境，就可以說出 5
1是「五等分的其中一等分」，雖然如此，但仍無法進行單位分數
的累積活動，例如：
5 1＋
5
1的答案可能是 10
2 ，而不是 5
2。此時，教師會進行子分
割活動，經過部分全體運思的運作，發展出加法性分數，兒童開始認為 5 1＋
5 1的答
案可能是5
2，換句話說 1 個 5
1加上 1 個 5
1和起來是 2 個 5
1也就是 5
2，而不是 10
2 。
接著處理 10 個積木的 5
2時，兒童開始認為 10 個積木的 5
1是 2 個積木，2 倍的 5 1個
積木是 4 個積木，所以 10 個積木的 5
2是 4 個積木。學童在這裡會發現 10 個積木的
5
2和 10 個積木的 10
4 是相同的，但是覺得 5 2與
10
4 卻是不同的，因為 5 2與
10
4 的子分
割活動是不同的。換句話說，學童會無法掌握單位分數與部分分數（非單位分數）
之間的關係。
當學童能察覺 10 個積木的 5
2和 10 個積木的 10
4 是相同的，同時也認為 5 2與
10 4
是同一分量的測量值時，學童會有雙向的部分全體運思與子分割單位化概念，當 從全部中拿取二次部份時，學童不會失去全部，在這一個階段，學童會具有分數 乘法的概念，分數單位已由加法性分數會逐漸變成有等值分數的概念。
總之，分數概念的發展會經過建立整數的複合基模之概念基礎，藉由離散量、
連續量情境的應用形成多重等分的協調基模，進而提昇到部分等份的協調基模。
因此，以上分數的概念發展都是在為分數的乘除運算作合理的鋪陳。
貳、分數教材分析
一、分數之教材綱要
（一）我國數學課程分數之教材綱要比較
表 2-1-2 我國 64 年、82 年、90 年、92 年版數學課程分數之教材綱要比較
年
級 64 年 82 年 90 年 92 年
一 年 級
無 無 無
二 年 級
1. 分數的初步概念。
(21 、41 的意義)
1.分數概念的初步認 識。
2.分數的讀法轉換成 記法。
2-n-10 能在平分的情 境，認識分母在 12 以 內的單位分數，並比 較不同單位分數的大 小。
三 年 級
1. 分母為一百以內的 真分數的認 識。
1. 分母為 20 以內的真 分數的認識。
2. 分 母 為 10 的 真 分 數。
N-1-7 在等分好、
整體 1 能明顯出現 之 具 體 生 活 情 境 中(包含連續量、離 散量)，能以真分數 (分母在 20 以內) 描 述 內 容 物 為 單 一個物的幾份，並 能 延 伸 真 分 數 的 意義，進行同分母 真分數的合成、分 解活動(和<1)。
3-n-09 能在具體情境 中，初步認識分數，
並解決同分母分數的 比較與加減活動。
年
級 64 年 82 年 90 年 92 年
四 年 級
1.分數的種類。
2.同分母分數的加減。
1.分數的種類。
2.真分數的概念。
3.假分數的認識。
4.同分母分數的加減 5.小數與分數（分母為 十、一百、一千）的 雙向連結。
4-n-06 能在平分情境 中，理解分數之「整 數相除」的意涵。
4-n-07 能認識真分 數、假分數與帶分 數，熟練假分數與帶 分數的互換，並進行 同分母分數的比較 較、加、減與非帶分 數的整數倍的計算。
4-n-08 能理解等值分 數，進行簡單異分母 分數的比較，並用來 做簡單分數與小數的 互換
五 年 級
1.分數和整數小數的 相互關係。
2.分數的約分、擴分及 大小比較。
3.異分母分數的加減。
4.分數乘除以整數。
1.等值分數。
2.分數的數線。
3.把分數視為整數除 法的結果。
4.分數乘以整數的乘 法。
N-2-5 在等分好、
整體 1 能明顯出 現 之 具 體 情 境 中，能以真分數來 描 述 單 位 分 數 內 容 物 為 多 個 個 物 的幾份，進行同分 母 真 分 數 的 合 成、分解活動，並 理 解 等 值 分 數 的 意義。
N-2-6 在具體情境 中，能以假分數或 帶 分 數 描 述 具 體 的量，並能解決分 數的合成、分解以 及 簡 單 整 數 倍 的 問題。
N-2-19 能利用等分好 的線段上，做出一條 簡單的整數數線，並 能進一步延伸至簡單 的 分 數 和 小 數 的 數 線。
5-n-04 能用約分、擴分 處理等值分數的換 算。
5-n-05 能用通分作簡 單異分母分數的比較 與加減。
5-n-06 能在測量情境 中，理解分數之「整 數相除」的意涵。
5-n-07 能理解乘數為
分數的意義及計算方 法，並解決生活中的 問題。
5-n-11 能將分數、小數 標記在數線上。
年
級 64 年 82 年 90 年 92 年
六 年 級
1.整數、小數、分數的 統整。
2.乘數、除數是分數的 乘除。
3.分數乘除混合。
4.分數、小數的混合計 算。
1.約分和擴分。
2.通分。
3.分數除以整數的除 法。
N-3-3 在具體情境 中，理解通分的意 義並運用通分解決 異分母分數的合 成、分解問題。
N-3-4 在具體情境 中，解決分數乘 以分 數的問題，進而形成 分數倍的概念。
N-3-6 在具體情境 中，能用分數、小 數表示除的結果 (除的結果為有限 小數)
-3-9 能理解同類量 中 不 同 單 位 間 的 關係，並作化聚活 動(可以有分數、小 數)。
6-n-03 能理解除數為 分數的意義及計算方 法，並用來解決生活 中的問題。
6-n-05 能作分數的兩 步驟四則混合計算
（兩步驟）
註：參考自楊禮綾、洪淑君、黃淑君
64 年版數學教材強調數學知識的重要，82 年版及 90 年版課程暫行綱要重視的 是社會歷程的學習模式，而 92 年版課程綱要又回過頭強調 64 年版的數學知識。換 句話說，除了數學知識外，92 年版課程綱要也將演算能力、抽象能力及推論能力 的培養視為是整個數學教育的主軸。由以上教材綱要之比較研究者也發現，特別 以分數學習更是如此，一至三年級分母大致為 20 以內的真分數的認識，可是在九 年一貫課程之後數學綱要中三年級就出現解決同分母分數的比較與加減活動，再 經由分年細目具體陳述，若要學童在四年級理解分數之「整數相除」的意涵，認 識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，進行簡單異分母分數 的比較，並用來做簡單分數與小數的互換，促使至六年級得以能作分數的兩步驟 四則混合計算，如此快速的從具體情境提昇至抽象情境來解決問題，勢必要透過
教材脈落清楚呈現及教師適當之引導。總之，教師若能掌握學童分數概念之發展，
在這課程銜接之際至未來全面實施 92 年版課程綱要時才不至於做出錯誤的診斷及 引導。
二、現行各主要國小教科書版本中與分數相關的教材內容，研究者分析九十 五學年度國小數學領域課程分數四則教材，以表 2-3 呈現之。
表 2-1-3 九十五學年度國小數學領域課程分數四則教材分布
年級 K 教材 N 教材 H 教材
一上
一下 無 無 無
二上 無
＊在等分成 10 份以內的 連續量的情境中，以單 位分數說出其中的 1 份
無
二下
＊在連續量的情境中，
認識單位分數的意義
＊單位分數的說、讀、
聽、寫、做
＊在具體的情境中，比 較單位分數的大小
＊在離散量的情境中，
認識單位分數的意義
無 無
年級 K 教材 N 教材 H 教材
三上
＊認識分母為 20 以內的 真分數及其意義
＊認識分子、分母
＊真分數的說、讀、聽、
寫、做
＊建立分數的數詞 序列
＊在等分成 10 份以內的 連續量與離散量情境 中，以真分數描述其中 的幾份及說、讀、聽、
寫
＊認識分母、分子合真 分數的數詞序列
＊進行單位分數的命名活 動
＊認識分數的記法與讀法
＊真分數的說、讀、聽、寫 及數詞序列
＊認識分子與分母
＊連續量同分母真分數的
＊在具體情境中分數的 大小比較
加法
＊連續量同分母真分數的 減法
＊同分母真分數的大小比 較
三下
＊透過具體活動，解 決分母為 20 以內，
同分母真分數的合 成與分解問題（和＜1）
＊用算式紀錄同分 母真分數的加減問題
＊透過具體操作，解決 生活情境中已列出的 分數加減算式填充題
＊在等分成 20 份以內的 連續量與離散量的情 境中，以真分數描述其 中的幾份，及說讀、
聽、寫、做
＊建立分母為 20 以內真 分數的數詞序列
＊在連續量的情境下，進行
10
10和 1 的比較活動。
年級 K 教材 N 教材 H 教材
四上
＊認識真分數、假分數、
帶分數的意義
＊了解假分數、帶分數和 整數的互換
＊以真分數描述單位分數 內容物為多個個物的幾 分
＊理解在平分情境中，分 數是整數相除結果的意 涵
＊能以真分數來描述單 位分數內容物為多個 個物的幾份
＊ 能 利 用 等 分 好 的 線 段，做出 1 條分數數線
＊認識假分數和帶分數
＊假分數和帶分數的關 係
＊假分數和帶分數的互 換
＊以連續量的情境，從
10
1 累加的過程中，認 識假分數並命名之
＊以連續量的情境，從
10
1 累加的過程中，認 識帶分數並命名之
＊整數相除以分數表示
＊假分數和帶分數的等 值意義及互換
四下
＊ 進 行 同 分 母 分 數 的 合 成、分解活動
＊能透過具體表徵，解決 生活情境問題中列出的 加減算式填充題
＊兩步驟加減混合題，並 用算式紀錄
＊在等分好、整體 1 能 明 顯 出 現 之 具 體 情 境中，能以真分數來 描述單位分數內容物 為多個個物的幾份，
進行同分母真分數的 合成、分解活動，並 理 解 等 值 分 數 的 意 義。
＊在「單位分數所指示的 內容物為多個個物」的情 境下，解決同分母（分母
≦12）分數的合成分解問 題，並利用算式紀錄問題 與答案。
年級 K 教材 N 教材 H 教材
五上
＊在整體「1」能明顯出 現之具體情境中，認識 等值分數
＊了解擴分的意義、方 法及其應用
＊了解約分的意義、方
法及其應用 無
＊經由操作認識等值分 數
＊連續量分數的擴分
＊離散量分數的擴分
＊離散量分數的約分
＊連續量分數的約分
＊察覺兩異分母分數的 公倍數，並進行大小的 比較（分母不互質）
＊以通分的方式將兩個 異分母分數相加
＊以通分的方式將兩個 異分母分數相減
＊認識分數的數線
＊認識分數乘以整數的 意義，並解決之
＊將情境中分數的整數 倍問題記成算式填充 題
＊能解決分數除以整數 的問題
＊認識通分的意義
＊ 會 做 異 分 母 分 數 的 加、減計算
五下
＊能做分數和小數的互 換
＊在具體情境中，能 以 假 分 數 或 帶 分 數 描述具體的量，並能 解決分數的合成、分 解 以 及 簡 單 整 數 倍 的問題。
＊在「單位分數所指示的 內容物為單個個物」的情 境下，解決單位分數的真 分數倍（分母為 10 或 100）的問題，並用有乘 號、除號的算式紀錄解題 過程與結果。
年級 K 教材 N 教材 H 教材
＊理解分數乘以分數、
整數乘以分數的意義
＊經驗分數乘法的計算 格式
＊根據乘數與 1 的大小 關係，判斷被乘數與積 的關係
＊認識最簡分數的意義
＊異分母分數的大小比 較（分母互質；分母不 互質）
＊定義通分
＊異分母分數的加、減
＊整數乘以分數
＊分數乘以分數
＊假分數和帶分數的乘 法
＊分配律 六上 ＊能解決同分母分數除
以分數的問題
＊能解決異分母分數除 以分數的問題
＊根據除數與 1 的大小 關係，判斷商和被除數 的大小
＊能在具體情境中，理 解約、通分的意義
＊透過約分，將分數約 成最簡分數
＊能在具體情境中，透 過通分，進行異分母 分數的大小比較
＊能在具體情境中，透 過通分，進行異分母 分數的加法問題
＊能在具體情境中，透 過通分，進行異分母 分數的減法問題
＊透過通分，解決異分 母分數的連加、連減 和加減混合的問題
＊分數除以整數
＊分數除以分數
＊整數除以分數
＊分數的四則運算
六下
＊解決分數加、減、乘、
除混合的四則問題
＊解決分數與小數四則 混合計算問題
＊在具體情境中，解決 分 數 乘 以 分 數 的 問 題，進而形成分數倍 的概念
＊解決「帶分數的、整數 倍、分數倍、帶分數倍、
真分數倍（分母為 10）」
問題，並討論「先將帶分 數化為假分數」的解題策 略，以重新表現其解題過 程，並用分數算式紀錄解 題過程。
各版本在分數教材的設計方面，除了部分—整體的分數之外，也安排一些子 集—集合的分數意義，在連續量情境下更少不了以離散量情境佈題，足以促進學 生分數概念的成長；在分數合成分解教材的安排，集中在四年級教材完整出現，
並做加深加廣，不同情境的討論及解題；在等值分數教材安排也在四下、五上出 現，各版本的處理方式，分別在連續量情境下採直覺認知上的對照，而在離散量 情下採數量上確定的方式上解題，倘若在此時加入分數數線的學習，相信必能使
學童更加瞭解分數的意義；就分數乘法教材而言，研究者認為，大部份教材到六 年上才完整呈現，似乎稍嫌慢了一點，由於學童五年上學期分數的約分、擴分的 學習內容已習之，事實上可以在五年級下學期，將分數乘法教材納進來，如此學 童的分數概念發展會較為連貫，並做六年級學習分數除法內容之合理鋪陳；就分 數除法教材而言，分數除以整數方面，各教材皆以分割份數的方式解題，在分數 除以分數方面，大多是從整數除法的解題方式進行，所以在解題過程中，會出現 強調題意的澄清及算則的歸納兩種情境。總之，在分數概念的發展當中，儘管各 版本雖然進度有些微差異，教師備課時，則需要檢視所使用版本安排了哪些前置 經驗，學童究竟已習得哪些舊經驗。換言之，倘若教師能針對學生進行學習需要 分析，屆時必將能拉近師生之間溝通的距離及時間，同時也能與主題更加契合。
三、美國數學教師協會《學校數學的原則和標準》（NCTM,2000）與分數有關 的內容如下：
學前幼稚園至二年級，學生需要暸解並表徵常用的分數，例如：
4 1、
3 1和
2 1。
三年級至五年級發展分數是「單位整體的部分」，或是「全數除法的結果」之 理解，而且使用模型、基準點和等值形式，判斷分數的大小，辨認並產生常用分 數、小數和百分數的等值形式；在計算方面，發展與使用策略估算與學生經驗相 關的分數問題情境及加減運算。
六年級到八年級，有效率地比較和排序分數、小數和百分數在數線上找到它 們近似的位置，彈性運用分數解決問題；在計算方面，發展、瞭解、分析分數算 術運算的意義、演算法則及效果，依據不同的情境，選擇適當的方法和工具，流 暢地使用這些算則。
參、本節文獻對研究的啟示
具體而言，文獻中學者及教材對分數意義有以下共通看法：最核心的部分—
全體的關係、子集-集合的關係、數線上的一點、兩數相除的結果及比的意義。而 這五種意義，在國民小學分數教材中，是較容易接觸到的。
現行我國國小數學領域課程，分數運算更佔了較大篇幅，研究者認為其教材 呈現的順序如下較為適宜：
二年級學習內容為對分數概念的初步認識、分數的讀法轉換成記法，學生主 要學習分數的概念。
三年級有了對分數概念的初步認識之後，開始學習簡單的真分數，不過分母 僅限於 20 以內的真分數認識。
四年級學生的學習，在具有真分數的基礎下進行同分母的加減，並且瞭解分 數的種類同時認識假分數、帶分數及其換算。
五年級學生的分數學習，在於把分數視為整數除法的結果，藉由分數的數線 認識等值分數，菁華在於熟練通分、約分和擴分，進而學習分數的乘法。
六年級分數的學習重點在於熟練分數的運算上進階到處理分數的除法。
綜合上述，在本研究中將更聚焦在分數的運算，換句話說，評量試題內容也 將以前面四種：全體的關係、子集-集合的關係、數線上的一點、兩數相除的結果 為核心主軸，來發展評量工具。
第二節 迷思、錯誤概念與分數學習的困難 壹、迷思概念的意義
一個主題的問題或現象的個別概念是合理的，但和這個主題上專家已建立 的概念是不同的。對學生的學習，當學生面對之前從未學習過的單元時，往往 不當的教學容易導致學習知識上的缺陷，困惑與誤解，而這些因素常常造成所 謂認知上的迷思概念(Dawson,1993)。
貳、研究迷思概念的目的
學者們認為分析學生的錯誤概念可以了解學生內在的概念，使我們更清晰地 瞭解學生的心理運作，對於教學策略的修正、補救教學的實施有相當大的幫助。
有關研究迷思概念的目的，（引自黃馨緯，1995）分成近程、中程、終極目的三各 層次來說明，依序如下：
一、近程目的在於了解迷思概念的內容及成因
目前學術界探討迷思概念的途徑有二：（一）探討迷思概念的內容，著重於描 述迷思概念。（二）探討迷思概念的原因。這些研究結果可提供教師教學時判斷學 生的思考形式方法，必要時可以根據迷思概念的成因加以修正，以促進概念學習。
同時，亦可提供課程編製者重新省思課程的編排與選擇的內容。
二、中程目的在修正迷思概念
發現學生的迷思概念後，接著就是要針對其癥結加以修正。迷思概念的修正 主要是指修改錯誤的修改方式，包括重組整個認知結構、增強充實或修改局部知 識。此外，迷思概念的產生也可能是因為推理思考的時間不足，所以盡可能提供 讓學生足以充分思考推理的時間，以修正其迷思概念。
三、終極目的在於追求教學績效
1980 年代受到建構主義的影響與研究典範的轉變，許多教學者及研究者體會 到學生所學到的概念與專家概念有相當大的差距，學校的正式課程與學生所經驗
的課程間也有相當大的距離。為了不使學生的迷思概念影響教學效果，首要之務 就是要研究學生的迷思概念為何？了解形成的因素為何？配合課程改革，讓教師 在介紹新概念時，能先克服學生先入為主的先備概念，確保教育績效的達成。
參、迷思概念的成因及特性
在數學評量上，除了一時不小心外，常發現學生的錯誤是具有系統性的錯誤，
而且錯誤常發生在學生應解題需要，而自己所「發明」的方法。學生的錯誤大致 包括：缺乏概念或概念不正確，使用不適當或錯誤的過程，憑直覺或關鍵字作反 應（蘇慧娟，1998）。
造成學生產生迷思概念的原因很多，一般建構主義者認為，學生常習慣於用 原有觀點來解釋遇到的新情境，因此，他們的迷思概念不僅來自無法吸收新的知 識，更是來自於學習者本身直覺地錯誤解釋（邱慧珍，2002）。
一、迷思概念的成因
吳訓生（2003）指出學生迷思概念的原因大致包括：
（一）、從日常生活經驗而來。
（二）、不精熟的先備知識或技能。
（三）、將新知識或就經驗做錯誤的連結或類推。
（四）、正式或非正式的教學。
（五）、不完全的學習或學習的知識相互干擾混淆。
（六）、從字義的聯想、混淆或知識的缺乏而來。
（七）、來自環境、文化和漸漸養成的習慣。
（八）、由隱喻（metaphor）的使用而來。
（九）、使用了錯誤規則。
由上所述，老師在教學時，若能了解學生可能產生的迷思概念，設計一些避 免或修正迷思概念的教學活動，這樣不但能避免學生產生迷思概念，對於學生的 學習也更有所助益。
二、迷思概念的特性
迷思概念除了學生本生所建構的之外，上有一些特性，吳訓生（2003）指出迷 思概念具有以下特性：
（一）不完備性：在各類迷思概念中，可發現其知識不夠完整，對問題的思考不 夠周全，以致說出的概念也失之片面或零碎。
（二）過程式：迷思概念是在概念形成的過程中出現的。
（三）思考性：迷思概念雖然是一種陳述出來的內容，但它含有概念思考的成分。
（四）非正統性：與科學家的或專家的說法相比，這些迷思概念就有別於前者。
（五）普遍性：某些迷思概念確實普遍性較高，綜觀全球各地可發現許多一樣的 迷思概念。
（六）個別性：有許多迷思概念及其想法是相當特別的，屬於受訪者專有。
（七）不穩定性：因學生對概念沒有清楚認識，因而沒有確定的見解，想法容易 改變，顯得不穩定。
（八）頑固性：有些迷思概念很容易經過教學或解說，就得到改變；但有些迷思 概念雖經過一再講解，它仍會一再出現。
（九）歷史性：有些迷思概念具有歷史前導（historical precedence），即同樣的錯 誤，以前的學生也發生過。
肆、兒童分數迷思、錯誤概念之相關研究
表 2-2-1 對於學生分數迷思、錯誤概念相關之研究
研究者 分數迷思、錯誤概念及相關研究
Lankford（1972）、Edwards
（1983）及 Painter（1989）
1.分數乘法錯誤：
（1）先通分，再計算。
（2）將第二個分數顛倒後，再計算。
（3）交叉相乘而得到分子與分母。
（4）分母相乘，分子卻作加法運算。
（5）分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。
（6）帶分數乘整數時，分數不變，只處理分數部分。
（7）帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法運 算。
2.分數除法錯誤：
（1）計算方法錯誤（用乘法計算）。
（2）計算錯誤。
（3）不瞭解計算步驟：
○1 被除數倒置。
○2 除數及被除數均倒置。
○3 加分子，乘分母。
（4）約分時發生錯誤：
○1 分母相約分。
○2 分子相約分。
（5）分母不變，但分子直接做除法運算。
（6）帶分數除以整數時，只做整數之間的運算。
（7）分母不變，但分子相減。
（8）未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。
例如：
4 1÷
3 2＝
4 1×
3 2＝
12 2
Tatsuoka（1984）
及
Painter（1989）
1.分數的加法運算錯誤：
（1）分子加分子，分母加分母。
（2）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。
（3）分母相乘，分子相加。
（4）分母相乘，分子相乘。
2.分數的減法運算：
（1）通分後，分子為大數減去小數。
（2）分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。
（3）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。
黃金鐘（1987）
1.分數意義不瞭解。
2.不把分數當數來看。
3.分數在數線上的表現能力很弱。
劉天民（1992）
＊針對國中一年級：
1.學生在進行加減法運算時，誤用乘法運算性質。
2.學生在進行分數的四則運算時，各自對分子、分母及 整數分開進行計算。
3.學生在處理帶分數化成假分數的問題時，常將分子計 算錯誤。
4.學生在處理通分的問題時，常將分子計算錯誤。
吳相儒（2001）
＊針對國小四年級以下：
1.對分數的意義不瞭解，包括以整數來思考與來回答分 數問題，或是只知道分數的型式，但不瞭解其所代表 的意義。
2.對於單位量與單位分量無法明確辨認。
3.分量與單位分量間的化聚發生錯誤。
4.假分數化為帶分數時，受到整數十進位位值概念的干 擾。
5.進行兩個分數的比較時，以分子或分母的大小作為判 斷分數大小的依據。
陳和貴（2002）
＊針對國小五年級：
1.缺乏『等分』概念。
2.誤認為『等分』就是除了面積相等以外，形狀以必須 相同。
3.忽略給定的單位量或對基準量的指認有困難。
4.將數線上的點表示分數時，未能考慮分數間的相對位 置。
5.在『商』模式中，哪一個數該當分子或分母的概念上 不清楚。
6.數感及估測能力欠佳。
7.相對關係型概念較弱。
8.在處理分數的大小比較及等價分數時，僅以分子或分 母作為判斷的依據及作答文字題時不瞭解題意，對於 單位的疏忽或缺乏判別多於數字的經驗或能力。
黃寶彰（2003）
＊針對國小六、七年級：
1.對分數意義中的「部分-全部」、「數線上的一個數」、「比 值」三各部分的了解不清楚，有缺乏等分概念、基準 量混淆、二分法、忽略「全部」的量，忽略參考點將 數線全長當作一單位、受到整數或小數數線的影響、
除數和被除數顛倒、分子分母顛倒、用錯運算符號所 形成的錯誤。
2.在分數運算方面，發現學童對分數的加、減、乘、除 的運算並不熟練，造成學童在解決有關分數運算的應用 問題時出現許多運算上的錯誤。
3.在比較分數大小方面，則受到學童分數運算不熟練的 或對分數倍不熟悉影響，而出現錯誤。
分數的學習困難在學生學習過程中處處可見，從以上文獻中，我們可以發現 分數的錯誤概念大致上可分成分數概念的迷思及分數運算的錯誤類型。郭昇欣
（2005）指出學生在分數詞的迷思概念，主要可分成「等分概念的不足」、「辨識 單位基準量有困難」、「數線上標出分數或讀分數有困難」三類，茲分述如下：
一、分數概念的迷思
（一）等分概念的不足：
大部分兒童知道一半就是要分成兩塊，但沒有等分的概念。在處理「部份/全部」
的分數問題時不瞭解各部份均需等分。
（二）辨識單位基準量有困難：
處理分數問題最重要的一個概念是指認單位基準量，也就是「１」。從文獻中發 現學生無論在處理「部分/全部」，「子集/集合」或數線的分數問題時，學生都有 指認單位基準量的困難。學生無法指認問題中的單位量、只考慮到問題中的分子
（分割後的量）及分母（分割份數），解題過程深受分子、分母的影響。
（三）數線上的標分數與讀分數
在數線上對單位量的指認時，有些學生把數線的分數問題看成是「部分/全部」
的分數問題，而不注意其單位的標示。
透過觀察其在「等分」、「單位量」、「數線」方面的解題，可以大致了解 學生對於分數概念的發展情形是否完備。若其等此三個子概念的表徵沒有困難，
則兒童對於分數概念就有一個大致的了解，在處理接下來的分數運算過程中，就 能夠掌握「分數」在解題過程中每一個步驟的意義，不會淪為只是熟練算則的「計 算機」。
二、分數運算的錯誤類型
由於目前我國國小教材四年級學生在處理分數的加減、等值分數等問題所產 生的迷思概念或兒童法會影響到五年級的分數學習。因此，學童在運算方面的錯 誤]迷思概念也會對日後更高深分數概念學習造成影響。Grady ＆ Hutcherson（1981）
分析三、五和七年級的學生所犯的錯誤，並分成六大類：1.演算的錯誤。2.基本事 實的錯誤。3.概念的錯誤。4.位值的錯誤。5.多方面的錯誤。6.省略的錯誤；Engelhardt
（1982）的研究中指出，他將學生所犯的錯誤分成四種基本的類型：1.機械性的錯 誤。2.粗心的錯誤。3.計算上的錯誤。4.演算過程的錯誤；Ashlock（1986）將學生 所犯的錯誤分成三大類：1.運算的錯誤：使用錯誤的運算符號。2.明顯的計算錯誤。
3.算則的錯誤：步驟及運算次序上的錯誤（引自林彥宏，2002）。
學生在運算上的錯誤，除了「粗心」之外，錯誤類型往往起因於分數概念的 不了解，而學生在解決情境題時發生了運算錯誤到底是因為對於算則的記憶錯 誤，仰或是因為記憶算法，也就是大量熟練的結果，不可得知。因此，在探究兒 童的分數運算方面時，另外加入學生對於計算記錄的情境回顧，也就是希望學生 對於一個計算記錄選擇合適的情境問題，或是說明計算過程中的步驟是如何操作 分數，被操作的分數單位為何。
伍、對本研究的啟示
探討學生迷思概念的主要目的，在於提供教師在教學時作為判斷思考形式及 方法之用，使學生發展更正確的概念系統。根據上述文獻，學生在分數概念及運 算上有許多錯誤迷思概念，因此本研究將針對學童對分數意義的瞭解、分數的四
則運算、等值分數、分數的比較大小的學習困難作為評量的細目。由於各種迷思 概念的產生都各有不同的因素影響，因此也同時提醒研究者本人，在分析資料時，
需細心地從學生的答題紀錄、解題過程及訪談紀錄去抽絲剝繭，才能找出真正的 原因。若是教學者在進行分數教學前，能夠先了解學生可能的分數四則迷思概念，
而在教學活動中，針對這些迷思概念加以釐清，並進行檢驗，則學生的分數概念 將更清楚。除此之外，大部分的研究都是一個普遍性測驗，而在探究兒童所持錯 誤概念理由時訪談的人數減少；或者是少數個案長期的觀察，對於個別學童的等 分概念及單位量概念是否有不足，則往往在經過紙筆測驗後更需實施晤談工作，
否則不足以了解其錯誤答案背後所持的理由，但是晤談工作除了耗時之外，每個 教師晤談的技巧以及晤談的內容是否都能讓學生呈現其概念表徵背後的心像，實 在有待商榷。而本研究另一個目的，就是希望改進評量方式，幫助教師能更快速 發現學生概念錯誤之處。
第三節 二階段式診斷評量的工具 壹、二階段式診斷評量的定義
一般學科的的評量方式多半採用紙筆測驗，分為開放式與封閉式兩種方式，
封閉式測驗較有固定且客觀的評分標準，而開放式測驗的評分則較主觀，不同評 分者，結果可能不一樣(郭生玉，1985)。封閉式測驗常採用選擇題，其缺點為不知 學生是猜對的或真正了解。開放式測驗常採用計算題或問答題，教師可以透過學 生的回答了解學生的思考過程，但學生易因表達能力不足使得填答意願低落。為 了讓教師能夠透過紙筆確切掌握學生的學習狀況，並使以往在各科學學科的迷思 概念之研究所獲致的許多結果能更有效、實際地應用於教學上，Treagust(1986)提倡 發展二階段式(two-tier)概念診斷測驗之必要性。
Treagust(1986)所提出之開放式兩階段紙筆診斷評量分為兩部分，第一階段為選 擇內容的知識，第二階段是探索理由的部分。若兩階段均為選擇題形式，稱為封 閉式兩階段評量；若第一階段為選擇題形式，第二階段採開放式作答，稱為開放 式兩階段評量。此種評量方式彌補傳統紙筆測驗的缺失，幫助教師了解學生在概 念學習的狀態，也可診斷學生的錯誤概念。柳賢(2000)針對高一學生進行開放式兩 階段評量測驗後提出，經由這種開放式兩階段的評量方式，教師可了解學生是否 真正理解所學的知識而非一知半解。因此，若能針對某一特定的學科內容，應用 既有的研究發現為基礎，設計成紙筆式、選擇題型的二階段式診斷測驗，當更可 幫助科學教師了解學生在教學前、後所存的迷思概念，以對症下藥(楊坤原、張賴 妙理，2001)。
二階段診斷評量工具的發展分為三階段：(1)確定內容，(2)從學生處獲得資訊，
(3)發展診斷(Treagust，1989)。首先必須確定命題所涵蓋的相關內容，建構內容效度。
接著透過非結構性晤談，蒐集學生錯誤概念類型，或參考相關文獻，獲取與學生 的想法與學習情形有關的資訊，將所蒐集的資料歸納作為第二階段理由選項的選
目。最後的階段必須經由不斷的精鍊過程讓工具趨於完備。
陳建蒼(2001)利用二階段診斷評量診斷高一學生在對數函數的錯誤概念後形 個別化補救教學，發現有效減少學生錯誤概念的產生；陳俊廷(2002)利用二階段診 斷評量診斷高中生空間向量學習困難；李浩然(2003)利用二階段診斷評量分析國一 學生分數成除法運算錯誤概念類型；陳忠雄(2003)利用二階段診斷評量分析高中學 生三角函數概念學習錯誤概念類型；以上研究均指出二階段診斷評量較一般的紙 筆測驗更能診斷出數學錯誤概念，並建議教師採用，由此可知利用二階段診斷評 量作為數學科之學習診斷工具已成為趨勢。
本研究所採用的封閉式二階段診斷評量，第一階段是有四個答案選項，可判 斷學生的概念發展是否達到概念獲得程序的分類層次，第二階段為理由選項，也 是有四個理由選項，可診斷學生的錯誤概念，不採開放式作答而採取選擇題形式，
是為避免學生填寫意願低落，空白率過高而無法蒐集學生錯誤概念類型。
貳、二階段式診斷評量的發展步驟
由 Treagust 所發展出來的二階段評量工具，兼具了晤談法之質性的優點與測驗 法之量性的優點；二階段評量工具設計的編製程序，依據 Treagust(1988，1995)所載 將其分為三大部分：一、定義內容；二、獲得有關學生概念之證據；三、發展－
診斷性工具，及其所包含的十項步驟，研究者彙整後茲將其發展步驟說明如下：
一、定義內容（Defining the content）
前四個步驟是定義主題的概念範圍，使能適合於特殊的階層。這部分牽涉到 命題內容知識陳述的確認，和概念發展關係。
步驟一：鑑定命題知識陳述
就研究主題的內容中，找出包含在此一特定領域內的知識，並將其中的概念 逐項條列出來，以確定命題之範圍。
步驟二：確認概念發展關係
對研究主題相關之概念進行逐步確認，研究者可利用概念之間彼此的關聯 性，仔細思考被選為教學內容的本質與範圍。
步驟三：連結命題知識與概念發展內容
每個命題知識的陳述皆要與概念發展內容中其對應之概念直接相關，確保被 檢測的內容是具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個主題。這是一種信度檢核：
看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。
步驟四：將試題內容效度化
命題陳述和概念發展關係是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容 效度化。有任何矛盾或是不規則將被刪除，命題陳述和概念發展關係內容將因而 被修正。如此是為了檢證所有被發展的診斷題目，都能清楚的聯繫到被教過的概 念，使被研究的內容和概念是合乎科學的精確，而最後完成修定的命題表和概念 發展關係內容，反映出在此內容領域中來自專家的投入。
二、獲得有關學生概念的資訊（Obtaining information about students＇ conceptions）
第二部分是發展－診斷工具評鑑學生概念的過程。首先透過對先前研究文獻 的檢視，之後來自晤談和開放式紙筆問題的自由反應資料，鑑定學生對該研究之 學科內容的理解，如此該主題的學生概念的典型範圍就被確定。
步驟五：檢測相關研究文獻
收集該主題之相關研究文獻中有關學生的另有概念和概念化的困難範圍，可 獲得學生的迷思概念以及學習時有困難的概念，作為發展二階段含另有概念的內
容選擇題選項之基礎資料，以建立資料庫。
步驟六：對學生實施非結構式之晤談
利用非結構化開放式的問題對學生進行晤談，來廣泛鑑定學生的另有概念之 面向，以及誤解和（或）迷思概念的範圍，以獲取學生對此概念理解的程度。這 部分也可以是事件訪談或事例訪談的卡片來引導，訪談題目內容來自前四步驟效 度化後所定義的內容，來收集學生所反應的另有概念。
步驟七：發展學生可回答理由之選擇題
由來自文獻與晤談的概念資料，編製含命題知識陳述的選擇題紙筆測驗，題 目內容來自前四個步驟效度化後所定義的內容。對一個班級或是一群學生進行施 測，每題都留有空白給學生完成其為何選此答案的理由，以便從中獲取學生正確 或迷思得概念。
三、發展－診斷性工具（Developing a diagnostic instrument）
第三部分工具的建構牽涉到兩階段題目的發展，第一階段要求學生對內容之 反應，第二階段要求學生針對該反應所持的理由為何。這些理由選項的產生來自 步驟五、六、七，並用來發展題目的第二階段。
步驟八：發展兩階段式診斷工具
兩階段式診斷工具的發展是來自選擇題，就如同 Tobin 和 Capie（1981）所設 計之「邏輯思考測驗」的格式。每一測驗題中的第一階段選擇的是內容問題，通 常有 2 至 4 個選項；第二階段是選擇第一階段的理由，通常包含 4 個以上可能理由 選項，選項為綜合上述文獻、晤談、和開放式紙筆測驗所獲得的該題作答之理由，
其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。
步驟九：設計雙向細目表
此一設計雙向細目表用來確保診斷性試題的題目皆能問到所列出之命題陳 述，且概念發展關係中的概念皆涵蓋在主題範圍之下。
