本章將針對本研究的問題，進行結果的呈現與討論。藉由分析學 生於「等號概念定義型態暨一元一次方程式試題」之解題過程策略的 填答，以了解國中一年級學生對於等號概念的理解與對一元一次方程 式的解題策略之使用情形。本章因應三個研究問題，分成三節加以呈 現結果並予以討論。第一節為等號概念理解型態，第二節為國中一年 級學生對一元一次方程式解題策略之使用情形，第三節為不同的等號 概念之下，國中一年級學生對於一元一次方程式的解題策略之使用情 形。
第一節 等號概念理解型態
本節主要探討國中生一年級學生對於等號概念理解之情形，藉以 等號概念定義型態之問題，參與學生對於等號名稱與等號所代表的意 義之描述與回答中，視其回答將分別進行歸類與分析，進而了解參與 的國中一年級學生階段對等號概念的理解情形。說明如下：
一、參與的國中生等號概念理解之分析
對於等號概念理解定義之型態，藉由「等號概念定義型態」問題 回答，再依據參與者所回答的內容加以分門別類成四個，一是「運算
型」定義，二是「關係型」定義，三為未明確定義，四為其他回應與 無反應者，以上四個分類向。將其分類結果加以統計並呈現，如下表：
表 4-1 等號概念理解之定義型態統計表
型態 人數 百分比（％）
第一種 運算型定義 52 25.62 第二種 關係型定義 92 45.32 第三種 未明確定義 29 14.29 第四種 其他／無反應 30 14.78 合計 203 100.00
依據上表所呈現的資料中顯示，參與學生當中屬於「運算型」定 義（表 4-1 中的第一種）的比率約兩成五，即表示有四分之一左右的 學生。這一型的學生將「＝」符號所代表的意思解釋為「答案」、「算 出來的答案」、「數字與數字加起來的和」、「兩個數字的總和」、
「數字加減乘除數字所得到的數」等等類似且較具體明確與可分辨性 的敘述解釋。換句話說，有「運算型」定義的參與學生對等號的解釋 中蘊含有運算、執行或做的意思。
參與學生當中屬於「關係型」定義（表 4-1 中的第二種）的比率 約達四成五，即代表近五成的學生是有關係型定義的理解概念。此型 的學生將「＝」符號所代表的意思解釋為「左右兩邊的數（值）相等、
一樣大」、「兩個數一樣大」、「左邊的數（值）等於右邊的數（值）」、
「等號兩邊會相等」、「前面的數（解）會和後面的數（解）相同」、
「左右數字是等量的」等等相似且較具有具體明確性與可區辨性的語 句敘述。依敘述內容的解釋，表示「關係型」定義的參與者對等號概 念的理解具備「關係性」的意思，即具有等號雙邊對等、平衡的概念。
屬於「未明確定義」（表 4-1 中的第三種）的參與學生約一成四，
這一型的學生將「＝」符號的回答為「相等」、「等於」、「等號」，
並未針對「＝」符號所代表的意思進一步做解釋說明，因此無法做明 確的歸屬分類，此皆歸類於第三種「未明確定義」類群。因概念分類 試題只有兩小題，若參與者無法將自己真正的概念理解付諸於紙筆與 文字說明，且本研究並無進行個案深入訪談，並無從探知其參與者真 正的理解。若欲探知此類群真正概念理解為何，則應進一步更深入的 調查訪談，以獲取真正理解概念屬性。
最後，類歸為「其他／無反應」者（表 4-1 中的第四種），其比 率約近一成五，與「未明確定義」類群之比率相近。參與者將「＝」
符號解釋為其他非正確性答覆或無回應問題。其他非正確性解釋或回 答，如「比」、「是」、「方程式」、「一元一次方程式」等等的解 釋「＝」符號所代表的意思。類似的解釋並不能真正回應「＝」符號 的含意，因此，歸類成第四種類群型態。
二、不同的等號概念理解型態解題成效
由於本研究對於參與學生試題的解題策略分析，係針對正確解題 成功之試題進行分析，因此，將呈現參與者在不同的等號概念理解之 型態之下，各型態解題完全正確（全對）與完全錯誤（全錯）之次數 加以統計並說明。
（一）運算型定義者之正確解題比率相當低
以運算型定義來看，運算型定義人數（52 人）之中，完全解 題正確的人數只有 2 人，其比率有 3.85％，近百分之四的比例，
而完全解題錯誤之人數有 10 人，比率達 19.23％，約一成九左右。
從數據中可知，其說明完全解題錯誤（失敗）之比率高於完全解題 正確（成功）之比率。換言之，數據當中隱含著一個意思，即相對 於關係型定義而言，在運算型定義之下的錯誤機率比較高，而完全 成功解題的比率相當低。
（二）關係型定義者之正確解題比率高
在所有理解型態的分類之中，以第二種「關係型定義」全對的 人數最多，有 23 人，占關係型定義人數（92 人）之比率約 25％，
達兩成五，大約占四分之一，即代表著每四個關係型定義人數之 中，則會有一個人是達到完全解題成功者。以全體人數觀之，有
11.33％的比率，約一成一左右達完全解題正確，即代表著平均每 10 個人之中，關係型定義就有 1 人達完全解題正確者。從完全解 題錯誤（失敗）的角度來看，其全錯的人數是 0 人，即表示在所有 試題之中，至少有解 1 題是正確（成功），而無全部解題失敗者。
換句話說，關係型定義的完全成功正確解題之比率遠高於完全失敗
（錯過）解題之比率。
（三）「未明確定義」的解題失敗高於解題成功
在第三種未明確定義的型態中，其完全解題正確人數（2 人）
占未明確定義人數（29 人）之比率約 6.90％，不及一成；而完全 解題錯誤人數（4 人）占未明確定義總人數之比率達 13.79％，近 一成四，即代表著完全解題錯誤的比率高於完全解題正確的比率。
換言之，解題失敗的機率比解題成功的機率較為高。
（四）「其他／無反應」的解題正確率低於解題錯誤率
在第四種「其他／無反應」型態中，其完全解題錯誤人數（6 人）
占「其他／無反應」人數（30 人）之比率有 20％，約兩成，而完全 解題正確人數（1 人）占「其他／無反應」人數（30 人）的比率有 3.33％，遠低於一成的比率。相較之下，完全解題正確（成功）的人
數與比率皆低於完全解題錯誤（失敗）的人數與比率。即代表著在此 型態中解題失敗之比率高於解題成功之比率，亦隱含著解題失敗的機 會比較高。
三、等號概念理解型態之綜合討論
研究者於此依據上述兩小節（概念理解類型、解題成效）所呈現 的資料綜觀之。首先，參與的國中一年級學生當中較多數已發展至「關 係型」定義的等號概念，而「運算型」定義的等號概念之比率次之，
最後，「未明確定義」與「其他／無反應」等兩型態之比率最低且相 近。整體來看，完全解題成功之比率（全對人數／全體人數＝28／203）
為 13.79％高於完全解題失敗之比率（全錯人數／全體人數＝20／
203）為 9.85％。
第二，根據資料顯示，參與者當中有「關係型定義」的人數最多 之外，「關係型定義」相對其他另外三類群的完全解題成功之比率為 最高，即表示具有「關係型定義」的人相較於另三類群的人，其解題 成功的機率較大。並且，相對於其他三類群而言，「關係型定義」於 完全解題失敗之人數與比率為所有類群之中最低者，即表示「關係型 定義」者完成解題失敗的機率較為低。
第三，依據國外研究，McNeil 和 Alibali (2005b)研究當中發現七 年級生於等號概念理解上皆有分屬於「運算型定義」與「關係型定
義」，且「關係型定義」的比例佔多數，另同時亦代表著國中學生為 學習代數與等號概念理解的過渡期與關鍵期，其本研究結果與相關研 究具有一致性。在此中學階段的參與學生當中，其等號概念的發展會 出現兩種主要等號概念，且確實以「關係型定義」的等號概念為多數。
再者，依其 Knuth 等人（2006）研究 6～8 年級中學生對等號概念的 定義類型中，發現無論在何種年級或學習階段，有關係型定義的學生 於解題正確的比例皆比非關係型定義的學生解題正確之比例較為 高。而 Alibali 等人（2007）也有相關研究顯示，無論在哪個學習階 段，有關係型定義的學生於正確陳述一元一次方程式解題的表現比非 關係型定義的學生之表現較佳。再者，依據國內楊喻惟（2009）的研 究，國中生對等號概念認知之定義類型中，國中一年級學生的等號概 念認知屬於「關係型定義」的比例超過 50％，多於屬於「運算型定 義」的比例，並且在解題的平均得分上較高。
在本節中的報告結果呈現對參與參與的國中一年級學生調查其 等號概念理解，以及對一元一次方程式試題測驗的結果成效與上述國 內外的相關研究結果相符。符應在國中一年級（相當於七年級）階段 的學生，對等號概念的理解大多屬於「關係型定義」，且對於一元一 次方程式試題測驗解題之成效較佳。換言之，參與者當中具有「關係
效較佳。不僅說明這個階段是運算型概念與關係型概念的過渡階段，
也同時代表著具體與抽象的轉捩點、算術與代數之間的過渡時期，此 現像亦回應一開始研究動機中所提及，從算式填充到代數的過渡期，
應用有意義的方式學習代數，對於學生學習代數結構階段而言，這是 個重要的關鍵時刻（戴政吉譯，2004；戴政吉、侯美玲、詹勳國，2002）。 因此，更應該注意其理解概念與發展，尤其是非關係型定義者的概念 發展，其中，本研究歸屬「未明確定義」的參與者，因無法從文字之 中得知其概念理解屬性而無法歸屬明確定義之列，並非參與者真正本 意，對此，若要切確探知參與者本意，則應深入訪談，詳加了解。本 研究並未訪談進行深入探討，因此，不進行討論與深究。
為了使學習者增加信心，助其概念穩定發展，應於學習過程之中 多製造成功經驗，以利於學習。其另隱含著，在學生學習等號概念發 展時，應協助學生朝向穩定性概念的發展，有助於學習代數或其他的 表現與成效有良好的發展。