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# 不同等號概念之下國中生一元一次方程式解題策略之研究

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## 致 謝

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### Understanding of the Equal sign

Heng-Tsu Pan Abstract

The purpose of this study is to investigate students’ understanding of the equal sign, problem-solving strategies of equations with one unknown, and the strategies of solving equations with one unknown under different understanding types of the equal sign. To achieve this purpose, the investigator did a survey and development instruments. The participants were 203 seventh-grade students in a convenient sample. Descriptive statistics were used to analyze data in frequency and percentages.

The main results was that participants with a relational definition of the equal sign were the most (close to 50%), and an operational definition of the equal sign was approximately 1/4. There was a higher successful performance associated with a relational definition than an operational definition. The primary strategy of operations on the left-hand side of equal sign is the mathematical operations; the main strategy of an unknown quantity on the right-hand side of the equal sign was by going to the parenthesis-reverse and bringing different denominators into a common denominator; the principal strategies of one number on the right-hand side of the equal sign, equations with operations on the right side of the equal sign and equations with operations on both sides of the equal sign are cover-up and transposing. To use the strategies of trial and error substitution and undoing is minority in a linear equation with one unknown. The strategy of an operational definition participant in five equal sign topics is similar to the strategy of one with a relational definition. However, those with a relational definition apply multiple strategies and exhibited varying particular and algebraic property. On the other hand, participants with an operational definition used arithmetic strategies more frequently than participants with a relational definition.

From the above results, the researcher suggested instruction to include strategies with algebraic property to help learners to develop stable understanding of the equal sign in Algebra. In addition, the recommendation is to have teachers to encourage students to apply multi-dimensional thinking and different strategies in algebraic problem-solving.

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## 國中生一元一次方程式解題策略之研究

### 第一章 緒論

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（2009a）對中學生代數式文字符號理解研究中提及，學生不了解文 字符號代表特定數其實意含著學生不能分辨符號與物件代稱之間的 關係，且對於文字符號視為一般數是較為困難，如此，就容易產生迷 思概念或錯誤。依上述之報告所呈現的結果，皆相同的意涵，即學生 對於文字符號所代表的意思與等價關係理解的缺乏，是造成迷思與錯 誤的源頭。Walle 認為代數推理是需要從數學角度做執行符號表徵、

(14)

（一）了解國中一年級學生對等號概念理解之情形。

（二）探討國中一年級學生一元一次方程式解題策略之情形。

（三）探討國中一年級學生在不同等號概念理解型態之下，學生可 行性的一元一次方程式解題策略之情形。

（一）國中一年級學生的等號概念理解之型態為何？

（二）國中一年級學生的一元一次方程式解題策略為何？

（三）國中一年級學生在不同的等號概念理解型態之下，其一元一 次方程式解題策略為何？

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「運算型定義」與「關係型定義」，分述如下：

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1、運算型定義

2、關係型定義

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### 第二章 文獻探討

1995）。即透過數值運算與彼此間之關係，且未知數須從已知量的運 算推演而得，這就是代數題（洪萬生、英家銘、HPM 團隊譯，2008）。

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Kieran, 1992），於代數在進入符號時期屬於第三階段之際，文字符 號就成為數學表示通解。特點為代數方程係數用文字符號表示，可與 數學同樣計算，則方程式的另一端可以置入“0＂，逐漸將代數成為 一個可提供原理原則進行處理數字關係之工具。

（楊世明，2000；蔡信行譯，2003），分述如下：

(20)

（二）運算符號，如＋、－、×、÷、…等等，以表示心中所運算，可 化分或聚合產生新概念或主題，仍用相同元素。

（三）關係符號，如：＝（恆等）、≡（同餘）、＞、＜、≧、≦、…

（四）邏輯符號，如：T（真）、F（假）、…等等；其他符號，如：

f（x）表 f（規律，對應數）、…等等。

（一）文字符號代表可計算之值，換言之，即代表被設定或指派的一 數值。

（二）文字符號於計算中可忽略不用之，換言之，係指在整個求解的

(21)

（三）文字符號當成“物＂，換言之，即文字符號本身就是一個很單 純的簡單記號而已，代表某物。

（四）文字符號當成特定未知數，亦即文字符號是代表某一特定但是 個未知數，而且可以直接運算。

（五）文字符號當成一般數字，也就是代表一組數字，非單純的代表 一個數值。

（六）文字符號可當成變數，即代表一群非特定性的值，且文字符號 關係是存在於兩組數之間。簡言之，一個可依條件而更動的數。

2003；張素鎔，1987）。對國中小學生代數式文字符號之相關研究中，

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(24)

（康 1）利用交換律、分配律、結合律等運算性質，展開與化簡式子 或合併方程運算。

（康 2）分數式子若為異分母則須先通分後，再合併化簡。若同分母 者，則可直接合併計算與化簡。

（康 3）去括號規則與變號運算，即進行化簡時若要去括號之前，應

(25)

（康 4）四則運算化簡，即利用先乘除後加減之規則進行係數與文字 符號的合併。

（康 5）代入法

（康 6）等量公理

（康 7）移項法則

（K1）應用已知的數值(use of number facts)

(26)

（K3）嘗試與錯誤代入法(trial and error substitution)

（K4）覆合取代法(cover-up)

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（K5）倒回還原法(undoing)

（K6）等量公理法(performing the same operation on both sides) 指在等號雙邊同時進行相同符號的四則運算，即同加（等量加 法）、同減（等量減法）、同乘（等量乘法）、同除（等量除法）

（K7）移項原則(transposing)

(28)

＂變“×＂。例如：解 3x－1＝8，將－1 移至等號右邊變成＋1，即 3x＝8＋1，3x＝9，接著將×3 移至右邊變成÷3，即 x＝9÷3，求出 x

＝3 之值。此方法乃為等量公理觀念的延伸，在學會等量公理概念 之後，這規則是簡化等量運算的方式，可強化計算速度。

（N2）「猜測與測試」型(guess and test)：

（N3）「還原」型(unwind)：

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（N4）「代數法」(algebra)：

（S1）交換律、分配律、結合律 康 1

（S2）分數異分母通分 康 2

（S3）去括號變號 康 3

（S4）四則運算 康 4

（S5）應用已知的數值 K1

（S6）應用數數策略 K2

（S7）嘗試與錯誤代入法

（猜測與測試）

K3 N2 康 5

（S8）覆合取代法 K4

（S9）倒回還原法（還原） K5 N3

（S10）等量公理法（代數法） K6 N4 康 6

（S11）移項原則 K7 康 7

（S12）只有答案 N1

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「移項原則」，這對許多國內中學生於解題策略上是個缺陷，最後，

＝3，完整的方程式模型。對於一元一次方程式的研究，大多以代數 或文字符號為研究主題，進行解題策略、錯誤類型，或者迷思概念之 探討。首先，林清山、張景媛（1994）曾對國二學生 45 位進行代數 應用題教學策略效果之評估的實驗教學，其研究結果發現：學生在代 數應用題的學習產生系統性的錯誤概念，即學生對於關鍵詞無法充分 了解而產生問題轉譯錯誤、缺乏數學基本概念而產生問題整合錯誤、

(31)

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(34)

“＝＂最根本的意思是：「相同(

### sameness

)」的一種抽象概念。而「等 價關係」是相等中較為複雜的觀念。無論是國內或國外，皆開宗明義 且清楚的說明了等號的涵意。而後在加減、乘除的互逆運算當中，讓 學生清楚了解等號的應用性，尤其在進入等量公理之後，真正的穩固 了等價等量關係之概念。

“＝＂在文字符號的角色被視為是「關係符號」，是一種代表恆 等 之 意 。 在 國 外 學 者 (Baroody & Ginsburg, 1983; Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil, & Stephens, 2008; Knuth et al., 2006; McNeil &

Alibali, 2005a; McNeil & Alibali, 2005b; McNeil, et al., 2006)研究相關 等號概念定義，將等號概念分為兩種主要定義：一為「運算型定義」；

(35)

（一）運算型定義(operational definition)

（二）關係型定義(relational definition)

(equivalent to)等，皆可視為雙邊等量、雙邊平衡之意。

“問題的結果＂(the end of the problem)或“重複數字＂(repeat the numbers)等等文字說明，因無法指出等號定義之涵意，故皆屬未明確 定義(unspecified)之型態；尚有回答“是、就是＂（is）、直接回答

(36)

“不知道＂（I don’t know）者、不知如何回答，即無回應者；或回 答其他非上述所列舉之名稱者，亦分屬其他類別(other interpretation) 或無反應(no response)型態等， (Knuth et al., 2008; Knuth et al., 2006;

McNeil, & Alibali, 2005a; McNeil, & Alibali, 2005b; McNeil et al., 2006;)，因非主要回答或反應，故並未列入主要定義之中。

(37)

＝？；2.等號右邊是一個數(one number on the right-hand side of the equal sign)，例如：3＋5＝8、3x＋5＝8。或者，3.等號右邊是個未知 數(an unknown quantity on the right-hand side of the equal sign)，例 如：3＋5＝___、3＋5＝x。即一般典型較為正規的加減情境方式表示。

（二）非標準型情境(nonstandard context)：

＝100 公分；無方程式(no equation)，係指使用不等式＞、＜、≦、

≧、…等等符號完整的每個說明。

(38)

McNeil 等人(2006)研究教科書當中所出現的等號概念情境類 型，進一步調查學生依等號情境類型的呈現對等號概念的推論之情 形。其調查結果發現，在「非標準型情境」比「（標準型）運算等於

(39)

Alibali、Knuth、Hattikudur、McNeil 和 Stephens (2007)研究一群 約 81 位的國中學生對等號概念的理解，是個長達三年期的縱貫研 究。利用紙筆測驗的方式進行調查。研究結果顯示，等號概念理解較 複雜的情況與學生在等量方程式有好表現之間是有關連性的。從個人 層面觀之，學生在等號概念的理解與等量公理解題表現之中，會隨著 年級而展現不同的方式。有「關係型」等號概念的學生在解等量方程 式的題目時，比較能成功解題。即學生在等量公理的解題表現之變 化，須端視學生獲得深層的等號概念理解程度而定。

Li、Ding、Capraro 和 Capraro (2008)研究中國與美國小學六年級 生對等號概念的理解。利用 4 個等量方程式題型進行調查，分別以等 號右邊有未知數（例：6＋9＝□＋4）、等號左邊有未知數（例：□

＋8＝12＋5）、未知數在式子中的位置不同（例：□＋3＝5＋7＝□）

(40)

「運算型」等號概念定義為主，約 69.3％，則「關係型」定義的人 約 14％而已。換言之，學生大多將等號定義以運算後得到答案為主 的理解概念，仍認為處理某事物或需由運算後得到答案之指示。另一 種題型—等號兩邊同時運算之情境問題，有 50％以上的比例顯示出 學生成功運用解題方法獲得等式兩邊的值，進一步獲得等價等量之概 念，即學童呈現出「關係型」等號概念。

(41)

137＋251（三年級）試題類型正確率最高，但對 26－14＝14－26（二 年級）或 265－140＝140－265（三年級）試題類型的正確判斷力最 低；另外，其主要結果中提及，學童會有「等號必須在算式右方」、

「等號一方應為另一方的立即結果」、「等號右方應為算式中所有數 字運算的結果」、「算式中一定要有運算符號」、「等號是由外而內 運算」與「算式中一定要有未知的部份」等六種想法，其六種概念的 理解皆偏屬運算型等號概念的理解，其代表著國小二、三年級學童大 多數尚未具有關係型等號概念的理解。

(42)

(43)

### 第三章 研究方法

(44)

2.理解並應用等量公理（A-3-02）

3.用文字符號表徵生活中的未知 量及變量。（A-3-03）

4.含未知數的等式或不等式，表 示具體情境中的問題，並解釋 算 式 與 原 問 題 情 境 的 關 係 。

（A-3-04）

5.理解生活中常用的數量關係，

6.發展策略，解決含未知數之算 式題，並驗算其解的合理性。

（A-3-06）

7.運用變數表示式。（A-3-07）

8.熟練一元一次方程式解法。

（A-3-08）

〈六年級〉

1.理解等量公理。（6-a-01）

2.使用未知數符號，將具體情境 中 的 問 題 列 成 兩 步 驟 的 算 式 題，並嘗試解題及驗算其解。

（6-a-02）

3.常用的數量關係，列出恰當的 算式，進行解題，並檢驗解的 合理性。（6-a-03）

4.比例情境或幾何公式中，透過 列表的方式認識變數。（6-a-04）

〈七年級〉

1.用文字符號列出生活中變量，

2.以代入法或枚舉法求解，並檢 驗解的合理性。（7-a-02）

3.熟練符號代數操作。（7-a-03）

4.具體情境中列出一元一次方程 式 ， 並 理 解 其 解 的 意 義 。

（7-a-04）

5.以等量公理來解一元一次方程 式，並作驗算。（7-a-05）

6.利用移項法則來解一元一次方 程式，並作驗算。（7-a-06）

(45)

(46)

97 年度六年級 下學期（過去）

98 年度國中一年級 上學期（現在）

98 年度國中一年級 下學期以後（未來）

y 等符號列出一元一 次式。

(47)

1.九年一貫課程綱要數學領域之代數能力指標與分年細目。

2.98 學年度國中一年級數學教科書（康軒版）。

3.McNeil 等人所提等號概念之五種類型例題題型。

(48)

(49)

（王文科、王智弘，2009；張紹勳，2007；楊孟麗、謝水南譯，2003）。

Ginsburg, 1983; Knuth et al., 2008; Knuth et al., 2006; McNeil & Alibali,

(50)

2005a; McNeil & Alibali, 2005b; McNeil, et al. 2006)所定義之等號概 念，且主要依據 McNeil 等人(2006)所設計之問題，配合本國語言文 字，再與指導教授討論修正後，編製兩個開放式問題。依題目內容，

「關係型」以外的概念理解。問題如下：

6＋3＝9

1．箭頭所指之“＝＂的名稱是：_________________。

2．請寫下“＝＂所代表的意義是什麼：（請你用自己的話寫下來。）

“＝＂之名稱，請學生明確說出符號一般性名稱。第 2 題針對學生對 於“＝＂符號的意義說明，以作為概念定義之分類。定義類別之編碼 主要分為四項：（1）「運算型」定義；（2）「關係型」定義；（3）未明 確定義；（4）其他／無反應。編碼以利於資料收回之後，做為資料分 類與分析之用。若學生並未回答第 2 題者，則以第 1 題符號之名稱作 為定義分類標準。回答「等號」或「等於」皆屬正確。依多位國外學

(51)

McNeil & Alibali, 2005a; McNeil & Alibali, 2005b; McNeil et al, 2006) 研究相關等號概念定義之分類標準如下表：

（1）運算型定義

1.全部、總和 2.答案

3.全部數字加起來 4.問題的答案

（2）關係型定義

1.相同、一樣 2.等量於

3.兩個數量相同（一樣）

4.某一邊等於另一邊

（3）未明確定義 1.相等

2.相等的意思 3.相等於的意思 4.問題的結果 5.重複數字

（4）其他／無反應 1.是、就是 2.不知道 3.無回應答

4.其他非上述列舉之答案

（一）編製原則

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（8）、

（15）、

（20）

4

（ 5 ）、

（ 7 ）、

（12）、

（18）

（3）、

（10）、

（14）、

（19）

（4）、

（9）、

（11）、

（17）

（2）、

（6）、

（13）、

（16）

16

（二）計分方式

(53)

（三）預試結果分析

2004；陳英豪、吳裕益，2003）

1.難度係指受試者答對的比率，若試題越簡單，比率越高，以 P 表 示；P 值介於 0～1 之間，越接近 0 或 1，越無法區分能力差異；

0.70 為取捨範圍。難度計算公式：P＝(PH＋PL)／2。

2.鑑別度係以高低分組通過試題之人數，以百分比示之，則高低分 組的百分比之差數，即為鑑別度，用以 D 表示。鑑別度 D 值介於

－1～＋1 之間，其試題選擇準則如下表，其值為 0，則表示無鑑 別力。鑑別度指數計算公式：D＝PH－PL

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