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國立中山大學教育研究所 碩士論文
不同等號概念之下國中生一元一次方程式解題策略之研究
研究生：潘亨足 撰 指導教授：梁淑坤
博士中華民國 九十九 年 六 月
致 謝
本論文得以順利完成，由衷最想感謝梁淑坤教授的悉心指導與持續的鼓 勵。尤其論文撰寫期間，在與梁老師討論時，老師總是能一言點出我心中的疑 惑與論文中的盲點，並給予中肯的建議與方法。豁然開朗、頓悟、開竅，那種 感覺真的棒透了！每次與梁老師討論結束時，都覺得心中滿行囊，受益良多。
真心誠意、由衷感謝這兩年來老師的教導。感謝您—梁老師。
此外，承蒙兩位美麗大方、氣質非凡且學識淵博的口委教授姚如芬教授與 謝百淇教授於百忙之中願意撥冗擔任本論文的口試教授，對本論文給予最為寶 貴的建議與指正，令我感動又感激，實為受益非淺。於此，謹致以由衷最深的 感謝之意。銘感五內！
另外，也要感謝在修課期間，所上教授們給予的指導。因為有老師們的指 導，使我在學業上增益許多。同時也要謝謝遠在美國密西根大學的羅珍珍教授 與台南科技大學的陳埩淑教授，於修課期間，不斷給予新資訊與學業指導，讓 我知識與眼界大開，更令我佩服求學問的精神。
除了感謝老師之外，在撰寫論文的期間，另兩位伙伴—上官瑋茵、劉佩綺—
對我諸多的指導與協助、對我的提攜與包容，讓我感激不盡！尤其在撰寫論文 的期間，彼此之間討論、鼓勵與相互扶持，如此不離不棄，相互鼓舞，這期間 我並不孤獨，更不是一個人身處在孤軍奮戰的世界，而是奮力並肩齊步往前走 向成就學業之路。對你們的感激並非三言兩語就可以一語道盡，而是千言萬語 盡在不言中。留取感激之心照汗青吧！除了感謝、感激之外，就剩下感動了！
感謝你們！伙伴！
於兩年研究生涯，有一群樂觀活潑可愛且優秀至極的同學，令我於求學期 間對學業兢兢業業，忙得焦頭爛額之餘，還可以有許多歡笑。創意、搞笑源源 不絕，不但讓我佩服萬分，也讓我不斷發出狂笑聲！真的是非～常優秀的同 學：佳琪、筱雅、媄穗、子婷、靜雯、綺君、雅茵、子慧、昭儒、企傑、忠良、
苑伶、雅雯等，同時也受到他們很多的照顧與協助。謝謝你們！真的好、優、
秀！還有學長姐們：昆夏學長、榮貴學長、時省學姐、寰文學長、宜伶學姐、
曉琪學姐、姿伶學姐、雅竹學姐與馨嬪學姐，因為有他們的鼓勵與協助，是我 課業上的鎮定劑。謝謝學長姐們！還有，老師助理—淑怡，謝謝她兩年來的協 助，總是伸出援手給予最大的協助，謝謝您！另外，感謝曾在這兩年期間給予 協助的翁慶才校長與給予協助的國中小教師們，同時也感謝所辦的行政人員總 是耐心的給予諸多協助，誠心誠意的謝謝你們！
最後，獻給我親愛的家人！感謝他們在修課期間給予無比的體諒與無限的 包容，體諒我不方便與諸多無法參與的時候，包容我煩躁與無奈時的情緒，因 為如此的寬容，讓我順利完成學業。心中的感恩與悸動無法言語，更無法一言 以蔽之，無盡的感激任其無限延長～～～
亨足 謹誌 于中山教研所 2010.06
不同等號概念之下國中生一元一次方程式解題策略之研究
潘亨足
摘要
本研究主要目的在探討國中生對等號概念的理解、解一元一次方程式的 解題策略，以及在不同等號概念之下解一元一次方程式解題策略之情形。為 達成以上研究目的，採用調查法與紙筆測驗，編製「等號概念定義型態暨一 元一次方程式之試題」，其研究對象為國中一年級生，採便利取樣，共 203 人。
資料分析時，以描述性統計，呈現次數與百分比。
本研究主要結果為等號概念理解定義中，具「關係型定義」參與者近五 成；具「運算型定義」參與者約四分之一，且具「關係型定義」參與者成功 解題表現比「運算型定義」參與者佳。在一元一次方程式題型中，「等號左邊 包含運算」題型以四則運算策略為主；「等號右邊是未知數」題型以去括號變 號與異分母通分為主；「等號右邊是一個數字」、「等號右邊運算方程式」與「等 號雙邊運算方程式」等三項題型，皆以覆合取代法與移項原則為主要策略，
使用「嘗試與錯誤代入法」與「還原法」策略較為少數。具「運算型定義」
與「關係型定義」參與者於等號五大題型中所使用的主策略相似，但具「關 係型定義」參與者所應用的策略較為多元化，且多次出現較為特殊性與代數 性質的策略；具「運算型定義」參與者使用偏算術性質策略稍多於「關係型 定義」。
研究者因以上結果對教學的建議，應多呈現代數性質策略，助學習者對 等號概念理解朝更具穩定性發展，以利日後代數學習；且應多鼓勵學生應用 不同策略解題，多元思考。
關鍵字：等號概念、一元一次方程式、解題策略
A Study of Problem-Solving Strategies in Linear Equations with One Unknown for Junior High School Students under the Different
Understanding of the Equal sign
Heng-Tsu Pan Abstract
The purpose of this study is to investigate students’ understanding of the equal sign, problem-solving strategies of equations with one unknown, and the strategies of solving equations with one unknown under different understanding types of the equal sign. To achieve this purpose, the investigator did a survey and development instruments. The participants were 203 seventh-grade students in a convenient sample. Descriptive statistics were used to analyze data in frequency and percentages.
The main results was that participants with a relational definition of the equal sign were the most (close to 50%), and an operational definition of the equal sign was approximately 1/4. There was a higher successful performance associated with a relational definition than an operational definition. The primary strategy of operations on the left-hand side of equal sign is the mathematical operations; the main strategy of an unknown quantity on the right-hand side of the equal sign was by going to the parenthesis-reverse and bringing different denominators into a common denominator; the principal strategies of one number on the right-hand side of the equal sign, equations with operations on the right side of the equal sign and equations with operations on both sides of the equal sign are cover-up and transposing. To use the strategies of trial and error substitution and undoing is minority in a linear equation with one unknown. The strategy of an operational definition participant in five equal sign topics is similar to the strategy of one with a relational definition. However, those with a relational definition apply multiple strategies and exhibited varying particular and algebraic property. On the other hand, participants with an operational definition used arithmetic strategies more frequently than participants with a relational definition.
From the above results, the researcher suggested instruction to include strategies with algebraic property to help learners to develop stable understanding of the equal sign in Algebra. In addition, the recommendation is to have teachers to encourage students to apply multi-dimensional thinking and different strategies in algebraic problem-solving.
Keywords: Understanding of the equal sign, Linear equation with one
unknown, Problem-solving strategies
不同等號概念之下
國中生一元一次方程式解題策略之研究
目 錄
第一章 緒論……… 1
第一節 研究動機……… 1
第二節 研究目的與問題……… 5
第三節 名詞解釋……… 6
第四節 研究範圍與限制……… 8
第二章 文獻探討……… 9
第一節 文字符號與相關研究……… 9
第二節 一元一次方程式解題策略與相關研究……… 14
第三節 等號概念與相關研究……… 25
第三章 研究方法……… 34
第一節 研究設計原則與研究架構……… 34
第二節 研究對象……… 39
第三節 研究工具……… 40
第四節 資料分析……… 50
第五節 研究流程與時程表……… 52
第四章 研究結果與討論……… 54
第一節 等號概念理解型態……… 54
第二節 國中一年級學生一元一次方程式解題策略……… 62
第三節 不同的等號概念之下國中生一元一次方程式解題策略… 91 第五章 結論與建議……… 111
第一節 結論………111
第二節 建議………114
參考文獻……… 118
附錄一 「等號概念定義型態暨一元一次方程式之試題」試題卷（預 試）……… 124
附錄二 「等號概念定義型態暨一元一次方程式之試題」試題卷（正 式）……… 126
表 次
表 2-1 一元一次方程式解題策略綜合表……… 20
表 3-1 代數能力指標與六、七年級分年細目對照表……… 35
表 3-2 等號概念定義分類標準……… 42
表 3-3 等號概念類型之一元一次方程式試題雙向細目表……… 43
表 3-4 鑑別度指數之評鑑對應表……… 45
表 3-5 試題難度與鑑別度之分析表……… 45
表 3-6 刪除後原題號之一元一次方程式試題雙向細目表……… 48
表 3-7 修正後新題號之一元一次方程式試題雙向細目表……… 48
表 3-8 試題新舊題號對照表……… 49
表 3-9 研究進度時程表……… 53
表 4-1 等號概念理解之定義型態統計表……… 55
表 4-2-1 等號例題之題型與題號對照表……… 62
表 4-2-2 等號例題之各題型解題成效……… 63
表 4-2-3 等號例題情境之平均正確次數與比率統計表……… 64
表 4-2-4 「等號左邊包含運算」題型解題正確統計表……… 65
表 4-2-5 「等號左邊包含運算」題型使用策略次數統計表……… 66
表 4-2-6 「等號右邊是一個數字」題型解題正確統計表………… 68
表 4-2-7 「等號右邊是一個數字」題型使用策略次數統計表…… 69
表 4-2-8 「等號右邊是未知數」題型解題正確統計表……… 73
表 4-2-9 「等號右邊是未知數」題型使用策略次數統計表……… 75
表 4-2-10 「等號右邊運算方程式」題型解題正確統計表………… 78
表 4-2-11 「等號右邊運算方程式」題型使用策略次數統計表…… 79
表 4-2-12 「等號雙邊運算方程式」題型解題正確統計表………… 83
表 4-2-13 「等號雙邊運算方程式」題型使用策略次數統計表…… 85
表 4-2-14 五大題型之策略彙整表……… 88
表 4-3-1 「等號左邊包含運算」題型解題成效……… 92
表 4-3-2 「等號左邊包含運算」題型解題策略……… 92
表 4-3-3 「等號右邊是一個數字」題型解題成效……… 94
表 4-3-4 「等號右邊是一個數字」題型解題策略……… 95
表 4-3-5 「等號右邊是未知數」題型解題成效……… 97
表 4-3-6 「等號右邊是未知數」題型解題策略……… 98
表 4-3-7 「等號右邊運算方程式」題型解題成效………100
表 4-3-8 「等號右邊運算方程式」題型解題策略………101
表 4-3-9 「等號雙邊運算方程式」題型解題成效………104
表 4-3-10 「等號雙邊運算方程式」題型解題策略………105
表 4-3-11 不同等號概念之各題型策略彙整表………108
圖 次
圖 3-1 教材分析圖……… 37
圖 3-2 研究架構圖……… 38
圖 3-3 本研究之三角校正法示意圖……… 51
圖 3-4 研究流程圖……… 52
不同等號概念之下
國中生一元一次方程式解題策略之研究
第一章 緒論
本研究旨在探討國中一年級學生在不同的等號概念定義之下對 一元一次方程式的解題策略之研究。本章節共分為四小節，第一節為 研究動機，第二節為研究目的與問題，第三節為名詞解釋，第四節為 研究範圍與限制。
第一節 研究動機
於97 年公布與 92 年公布的九年一貫課程綱要，數學領域的基本 理念當中，不僅說明數學領域所注重的原則，更點出了數學是國民教 育基礎課程重點之一的原因。在數學領域課程當中認為，數學是人類 重要資產、語言、天賦的延伸。因此，基本理念即期望數學能力是素 質指標、培養正面態度以了解推動文明要素、協助智能發展與成為基 礎科學之工具。課綱數學領域中有五大主題，分別為數與量（N）、
幾何（S）、代數（A）、統計與機率（D）、連結（C）等五大主題。
在數學教材教法中提及，應用問題與解題教學是培養國小學生抽象能 力的方法，而應用問題在學生進入國中時，以代數的方法進行解題（教 育部，2003）。
代數的引入要在何時才是適當的時機呢？在國外，美國數學教師 協會出版之NCTM 標準 2000（引自 Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007）認為，學童於小學第一年就可引入代數活動，而正式介紹代數 則在小學三至五年級期間。在國內，92 年公佈的課程綱要數學領域 能力指標當中亦指出代數自小學一年級可以慢慢導入，與美國NCTM 標準所建議的一致。當學生學習數學時，都是從基本四則運算的加減 乘除起跑，漸進的引入代數。能力指標中的第一階段，從國小一、二 年級開始是用括號“（ ）＂、框框“□＂，或三角形“△＂等等做 為未知數的表示法，這可算是文字符號在國小數學引入的開始。接著 的介紹，慢慢利用各種代數的文字符號，如某人、某物、A、B、C、……
等等文字或符號，最常用的英文文字符號是 x、y、z 等等來代表未知 數。在代數主題能力指標中的第二階段—國小四、五年級—明列：用 未知數符號列出之單步驟算式填充題。在第三階段中—國小六年級與 七年級（國中一年級）—明列：用 x、y、…等符號表徵生活中的未 知量及變量（教育部，2003）。在國小六年級的課程中，以「怎樣解 題」單元逐漸地正式的將 x 帶入列式與計算式子之中。此時，學生形
式運思的認知正在萌芽當中，用文字符號來代表未知數是個抽象概 念，無法立即了解真意，有時必須透過具體實例理解題意。因此，從 基本的算式填充過度到代數之際，教師若沒有完全了解算式填充的真 意，可能會錯失教導學生代數結構之關鍵時刻（戴政吉、侯美玲、詹 勳國，2002）。於第三階段—六、七年級—除了熟悉基本代數運算、
用文字符號代表生活中的未知數與變量之外，更要能理解應用等量公 理、解決未知數之算式、熟練一元一次方程式與解法（教育部，2003）。 以上各個階段不僅說明了學習歷程，也意味著漸進螺旋式的深度學 習，代數學習的成敗關鍵。
研究者回想求學的過程與經驗，對於方程式與式子時常混淆，造 成個人成就表現的低落。後來經過老師點出混淆迷思之處後，研究者 終於了解混淆方程式與式子之癥結所在。沒想到的是，研究者在多年 之後任教時，卻發現學生跟當年的研究者一樣，對方程式與式子有著 同樣的混淆與迷思，分不清楚什麼何種是式子？何者是方程式？研究 者一再思索並探究其原因，此時才發現，學生對於等號概念的理解性 可能是造成混淆的主因之一。陳嘉皇（2007）研究國小三年級生的代 數推理中發現，學生對於符號與數量之間的轉換錯誤，且等價關係意 義與等號概念缺乏理解，致使易產生錯誤。若錯誤的觀念一直持續，
則會影響下一個階段的學習成效與表現。另一方面，陳彥廷、柳賢
（2009a）對中學生代數式文字符號理解研究中提及，學生不了解文 字符號代表特定數其實意含著學生不能分辨符號與物件代稱之間的 關係，且對於文字符號視為一般數是較為困難，如此，就容易產生迷 思概念或錯誤。依上述之報告所呈現的結果，皆相同的意涵，即學生 對於文字符號所代表的意思與等價關係理解的缺乏，是造成迷思與錯 誤的源頭。Walle 認為代數推理是需要從數學角度做執行符號表徵、
歸納與形式規律的能力（張英傑、周菊美譯，2005）。培養與發展代 數推理是需要語言與符號以進行溝通、認同思考，方程式就是其一。
學習代數卻不了解文字符號與等號真正的含意，就會影響學習，造成 學習上的障礙（戴政吉譯，2004）。
綜合以上所述，對於文字符號、符號表徵、等號概念與等價關係 理解、轉換與應用之誤解與不清楚含意，即是阻礙學習的關卡。因此，
若從正面角度觀點，期望藉由正確解題之下所使用的方法，進而協助 學習者更能成功解題，以收概念發展之成效。故結合代數文字符號與 等號概念，將研究聚焦在國中一年級學生在不同等號概念型態之下對 一元一次方程式解題策略之分析。希冀本研究能從學生在不同等號概 念定義型態之下，對於一元一次方程式的解題策略之題型分析，了解 學生真正的學習情況與等號理解之類型，以提供檢視學生學習表現之 參考依據，並且可作為教師實務教學與課程安排上的參考文本。
第二節 研究目的與問題
依上述研究動機，提出本研究之目的與問題，分述如下：
一、研究目的
（一）了解國中一年級學生對等號概念理解之情形。
（二）探討國中一年級學生一元一次方程式解題策略之情形。
（三）探討國中一年級學生在不同等號概念理解型態之下，學生可 行性的一元一次方程式解題策略之情形。
二、研究問題
根據研究目的，提出本研究之問題，如下：
（一）國中一年級學生的等號概念理解之型態為何？
（二）國中一年級學生的一元一次方程式解題策略為何？
（三）國中一年級學生在不同的等號概念理解型態之下，其一元一 次方程式解題策略為何？
第三節 名詞解釋
本節分別以「解題策略」與「不同等號概念」等兩個主要名詞進 行解釋，其分述說明如下：
一、解題策略
解題即解決問題，代表著解題者要思考從困境之中如何解決脫出 來的過程（黃敏晃，1991）。解題策略係以文字符號所形成之算式，
透過加減乘除等四則運算後，依題意與學生的解題步驟，求出解，將 解法羅列而出（教育部，2003）。即學生解數學題目時，求得最後答 案所呈現之解題歷程、每個步驟、型態、方法與技巧。換言之， 學 生羅列每一個步驟皆列為每個策略分析之準則。
二、不同等號概念
依據教育部（2003）所公佈的九年一貫課程綱要，數學領域分年 細目中，等號係指兩邊的數量一樣多、相等之意義。本研究主要參考 McNeil 等人（2006）學生對等號概念理解所分類的方式，主要分成
「運算型定義」與「關係型定義」，分述如下：
1、運算型定義
係指學生對等號的理解為經過加減乘除之後，所得到的結果答 案。因此，學生將等號理解結果解釋為「答案」、「總和」、「全部 數字加起來」、……等等。
2、關係型定義
係指學生對等號的理解為等號兩邊是一樣、相同。因此，學生會 將等號理解結果解釋為「兩數（量）相同」、「等價（量）」、……
等等。
本研究中所指不同等號概念，係指以上兩種主要概念。
第四節 研究範圍與限制
一、研究範圍
研究者以 98 學年度高雄縣鳳山市某國民中學一年級學生為研究 對象。另外，以 92 年所公佈的九年一貫課程綱要數學領域課程中的 一元一次方程式為主題，再依所施測之學校 98 學年度第一學期所採 用的國中一年級康軒版數學為主要試題編製參考之依據。
二、研究限制
本研究以高雄縣鳳山市某一國中的國一（七年級）學生為對象，
係屬單一個案學校為主，僅能推論至相似情境、性質（屬性）或區域 的樣本，故不宜過度推論至其他差異甚大的情境或區域。再者，定義 理解分類僅依紙筆文字說明而歸其屬性，並未深入進行個案訪談或探 討，非屬真正研究目標，故不宜過度推論。而試題僅僅參考康軒版本 國一數學教材，若有其他類型或版本，則需要再另行考量，並有待更 進一步的研究。
第二章 文獻探討
本章節將以代數與文字符號、一元一次方程式解題策略與相關研 究、等號概念與相關研究等三項主題進行文獻探討。
第一節 文字符號與相關研究
一、文字符號
代數的表示法，無論何數，皆可以以任何記號代替之。即利用文 字符號來代替數值的一種方式（洪萬生，1999）。代數之根源在於代 數運算，即利用加、減、乘、除、開方、…等等用以代數運算之問題，
皆為代數問題。代數的運算是具有一系列普遍成立(universally valid) 的運算規則(law of operations)，即加、乘的交換律與結合律、分配律、
指數規則等（項武義，2009）。代數之特點在於引進未知數，且對未 知數加以運算，依問題條件列出方程式，而後解方程求值（梁宗巨，
1995）。即透過數值運算與彼此間之關係，且未知數須從已知量的運 算推演而得，這就是代數題（洪萬生、英家銘、HPM 團隊譯，2008）。
對於代數的發展歷程，數學家 Nesselmann 曾將代數歷史分為文 詞代數(Rhetorische Algebra)、簡字代數(Synkopierte Algebra)、符號
代數(Symbolische Algebra)等三個階段（梁宗巨，1995；簡珮華，2000；
Kieran, 1992），於代數在進入符號時期屬於第三階段之際，文字符 號就成為數學表示通解。特點為代數方程係數用文字符號表示，可與 數學同樣計算，則方程式的另一端可以置入“0＂，逐漸將代數成為 一個可提供原理原則進行處理數字關係之工具。
國外一直對代數很關注，於數學教育領域中持續不斷的努力改革 與研究，許多數學教育認為，代數改革是需要察覺到學校數學代數的 本質，且國小代數整合意含著代數推理的覺知(Asquith, Stephens, Knuth, & Alibali, 2007 ; Knuth, Stephens, McNeil, & Alibali, 2006)。在 國內對代數的研究眾多，張素鎔（1987）曾研究 13 歲與 15 歲的青少 年對代數的了解情形，發現學生對代數概念的了解不足，致使對問題 的答對率並不高。另外，洪有情（2003）研究青少年對代數概念與迷 思，發現國中生的代數思維會緊緊關係著算術思維，且代表符號要當 成變數與文字符號代換概念是較困難的。即學生學習具體的算術過度 到抽象的代數之間並不容易，須用有意義方式學習代數，方能區辨算 數與代數之差異（戴政吉譯，2004）。
若語言利用符號所組成的系統加以處理，則包含的元素有四種
（楊世明，2000；蔡信行譯，2003），分述如下：
概念。
（二）運算符號，如＋、－、×、÷、…等等，以表示心中所運算，可 化分或聚合產生新概念或主題，仍用相同元素。
（三）關係符號，如：＝（恆等）、≡（同餘）、＞、＜、≧、≦、…
等等。
（四）邏輯符號，如：T（真）、F（假）、…等等；其他符號，如：
f（x）表 f（規律，對應數）、…等等。
一般而言，代數用文字符號表示數值，學生常用文字符號來代 表未知數，很少用圖形方式表現，或即使利用圖形表徵，亦難以與 代數之間順利連結（陳建廷，2007；鄭智元，2007）。文字符號就 成了通用的表示方式，學生使用文字符號並非一開始就能很順利的 運算符號進行問題的表達。即學生學習初等代數時是如何看待文字 符號？文字符號到底是什麼？它可以是單字的起頭字母、記號、特 定數、相同符號代表相同的數（張素鎔，1987）。
對於文字符號之概念，Collis (1975)將文字符號概念依序分為 六個類別層次，分述如下：
（一）文字符號代表可計算之值，換言之，即代表被設定或指派的一 數值。
（二）文字符號於計算中可忽略不用之，換言之，係指在整個求解的
過程之中，並不需要考量文字符號，它的存在並無意義性，是 可被忽略的。
（三）文字符號當成“物＂，換言之，即文字符號本身就是一個很單 純的簡單記號而已，代表某物。
（四）文字符號當成特定未知數，亦即文字符號是代表某一特定但是 個未知數，而且可以直接運算。
（五）文字符號當成一般數字，也就是代表一組數字，非單純的代表 一個數值。
（六）文字符號可當成變數，即代表一群非特定性的值，且文字符號 關係是存在於兩組數之間。簡言之，一個可依條件而更動的數。
二、文字符號相關研究
國內的相關研究指出，學生在不了解文字符號的狀況下，就會認 為不同的文字符號代表不同數之迷思的產生（王秀密，1987；洪有情，
2003；張素鎔，1987）。對國中小學生代數式文字符號之相關研究中，
學生於文字符號代表特定數時，學生的理解較為穩固，但在文字符號 代表一般數與未知數時之理解性較不穩固（陳彥廷、柳賢，2009a；
廖瓊菁，2001）。對於文字符號與數字的混用、文字與數字分開運算、
易忽略係數 1、不熟悉文字符號運用與運算法則、不了解文字符號代
表之“物＂或意義、符號當成變數與代換概念產生困難，且對於文字 符號的選用關係著作答情況（洪有情，2003；陳彥廷、柳賢，2009a），
在諸多的不了解或錯誤迷思之下，文字符號就容易成為學習代數的一 大阻礙。文字符號本身有其語意性質存在，陳彥廷、柳賢（2009b）
研究國中一年級 15 名學生對代數式文字符號語意理解之改變，運用 提問方式進行，其發現學生利用提問的主要方式有：前進式、聚焦式、
回顧式。不論用那些方式提問，皆能對學生的文字符號理解所有助益 與提升。研究當中也發現，教師面對不同層次的學生所應用的提問策 略也不盡相同。在熟悉問題情境中，教師應多提供反思問題，讓學生 精煉並穩固原有知識結構；不熟悉情境中，則教師應逐步引導並介入 協助其建構知識。
由以上關於文字符號之敘述，對於文字符號意義的了解扮演著學 習代數的重要關鍵角色。在一元一次方程單元中，文字符號是個要 角，不能沒有“它＂！應用符號之際，須了解符號在此時此刻所代表 的意義為何，方能解開所有的謎底，正確表達所要呈現的真意。
第二節 一元一次方程式解題策略與相關研究
本節針對一元一次方程式解題策略類型的描述，與一元一次方程 式相關研究之敘述。
一、一元一次方程式解題策略
學生在國小六年級學過「列式與等式」單元之後，可以說是正式 進入符號代數時期，即以x、y、z、……等等文字符號表徵情境中的 變量或未知數；且運用文字與數字之間的關係進行加減乘除四則運 算，甚至使用等量公理的觀念進行簡單的解題；而後在「怎樣解題一、
二」兩單元中，進行更高階的計算與解題，尤其，著重於與生活情境 的結合、應用問題的列式與解題（康軒文教事業，2009a），期望學 生能從問題解題當中，真正習得解決問題之能力，以解決生活中的真 實情境問題。
在真正進入符號代數時，隨即踏入一元一次方程的大門，著手進 行一元一次方程式解題與其他式子的應用。於解題的歷程之中，有其 解題的步驟或方式，Polya (1985)曾針對如何解題的方法提出了四個 步驟。第一：了解問題—在學生面對方程式問題時，首先要了解未知 數、已知數與條件，從問題的描述開始著手去認識了解整個問題，思
知之間的關係。在思索所有條件與線索之後，再決定並思考解題之計 劃。第三：執行計劃—在擬定解題計劃之後，接著就是將計劃付諸執 行，即檢核每一個步驟。第四：回顧—檢核所得到的答案。或許會發 現更好、更滿意的解答方式。
由上述步驟進行思考解題歷程，可由解題步驟或策略知其一二。
若能養成習慣，變成個人的一項資產，將會有利於解題時的思緒，更 有益於解題時程的精簡。個人若能在解題過程中，發展出有利於個人 的解題策略是學習數學相當重要的環節之一。
代數解法真正的重點並非引入未知的符號與列出方程式，而是能 由代數方程式解出未知數之值為何（項武義，2009）。因此，學生對 於一元一次方程式的解題策略有許多種類型表達方式，依目前國內的 國中數學領域教材（康軒文教事業，2009b）內容所提及的一元一次 方程式解題策略有主要七種，分述如下：
（康 1）利用交換律、分配律、結合律等運算性質，展開與化簡式子 或合併方程運算。
（康 2）分數式子若為異分母則須先通分後，再合併化簡。若同分母 者，則可直接合併計算與化簡。
（康 3）去括號規則與變號運算，即進行化簡時若要去括號之前，應
注意括號之前的正負符號，若為負號，則須進行變號運算。
（康 4）四則運算化簡，即利用先乘除後加減之規則進行係數與文字 符號的合併。
（康 5）代入法
係指當列出方程式之後，以數字代替未知數代入方程式之中，
找出並檢驗符合答案之值為止。
（康 6）等量公理
係指等號左右兩邊須同時加、減、乘、除一個數（但除數不得 為 0，除數為 0 無意義），等號兩端仍維持一樣。
（康 7）移項法則
係指文字符號與數字分別歸類移至等號兩邊，當進行移項至等 號另一邊時，則運算符號須進行變號，即加減、乘除變號。
國外學者 Kieran (1992) 認為學生在解代數題時，大致上可以歸 類為下列七種策略：
（K1）應用已知的數值(use of number facts)
當解 2＋x＝7 時，此時會回想起一些數字，2 加 5 會等於 7，
則x 就是 5。此為解題者已經知道數值，即應用已知的數所解得之 答案。這是剛接觸代數的學生較常用的策略之一。
這是一般基礎性策略，即利用計數方式進行，解出未知數值。
例如：2＋x＝6，利用數數技巧計數 3、4、5、6，四個數字後發現，
在 2 之後數四個數字後就是 6，此時就知道 x＝4。此策略亦為初學 代數學生常用的方法之一。
（K3）嘗試與錯誤代入法(trial and error substitution)
係指利用任何數代入方程式之中，不斷嘗試各個數值，直到求 得正確的解或數值。例如：解 3x＋1＝16，先嘗試以「4」或「6」
當 x 代入方程式當中，檢查是否符合方程式，均不能得到正確答 案，再嘗試其他數字（例如：「5」）再代入方程式之中，直到找 到正確答案。此種做法，與第一種「應用已知的數值」之不同，是 因為解題者尚未知道數值為何，故不斷代入許多數字嘗試，以達成 正確解答。這種策略可以說是相當耗時耗力之方法，而且有個缺 點，通常所代入的數字是整數，對於非整數型的值時，就無法順便 解出。
（K4）覆合取代法(cover-up)
此法隱含等量公理的運用，亦被稱之為「隱藏法」。其係指將 未知數或整個含有未知數的式子視為另外的未知數，再依序求出原 未知數的解。例如：解 3x＋8＝7x，可推知 8 等同 4x，即 4x＝8，
則進一步解出 x＝2。又例如，解 40÷（6＋x）＝4，將 6＋x 整個看
成是另一個未知數 Y，則變成 40÷Y＝4，Y＝40÷4，Y＝10，即表示 6＋x＝10，隨即求出 x＝4 之解。因為此法隱含著等量公理的做法，
解題者可能知道或可能不知道，並沒有明確的寫下運用等量公理的 解題或計算過程。
（K5）倒回還原法(undoing)
指將方程式中的數字逐步反向（反符號）運算，求得最後 x 真 正的數值解。通常將等式的右邊為數字，再由右至左依序運算，採 逆運算的方式逐步求解。例如：求解 4x＋1＝9，x 之值為何？原題 目之意，其做法為：x→×4→＋1→9；若利用還原逆運算的方式進 行求解，其做法就變成：9→－1→÷4→2，即解得 x＝2。在反算過 程中，＋1 變成－1、×4 變成÷4，最後得到一個數值。
（K6）等量公理法(performing the same operation on both sides) 指在等號雙邊同時進行相同符號的四則運算，即同加（等量加 法）、同減（等量減法）、同乘（等量乘法）、同除（等量除法）
等方式進行運算，運算的同時，雙邊必須保持衡等，以求得最後答 案。因此項法則是等號雙邊同時操作，具有等價關係的概念，是培 養學生了解等價意義的方式之一。
（K7）移項原則(transposing)
係指將方程式中的項，由等號的左邊移至右邊或右邊移至左
邊，且將移項的運算符號變號逆運算。即換邊且變號，換邊後運算 符號改變，“＋＂變“－＂或“－＂變“＋＂、“×＂變“÷＂或“÷
＂變“×＂。例如：解 3x－1＝8，將－1 移至等號右邊變成＋1，即 3x＝8＋1，3x＝9，接著將×3 移至右邊變成÷3，即 x＝9÷3，求出 x
＝3 之值。此方法乃為等量公理觀念的延伸，在學會等量公理概念 之後，這規則是簡化等量運算的方式，可強化計算速度。
另外，近年來有國外學者(Knuth et al., 2006)曾研究六、七、八 年級對一元一次方程式的解題表現，將學生的解題策略分為下列主要 幾類型：
（N1）「只有答案」型(answer only)：
係指將未知數（m）求解出，且只有寫出一個值。其中並無任 何計算過程或做法的呈現。
（N2）「猜測與測試」型(guess and test)：
指學生測試不同的變數代入方程式之中，直到數值是正確的為 止。此法同「嘗試與錯誤代入法」，嘗試不同數值代入方程，直到 出現正解。
（N3）「還原」型(unwind)：
當學生在解題時，利用倒回運算至問題之中，且用相反的運算
符號進行計算。此法同「倒回還原法」。
（N4）「代數法」(algebra)：
此法為一般傳統的代數法，即所謂「等量公理」法。
依據上述一元一次解題策略所陳列之方法，研究者將其解題策略 類型與各個研究者等兩面向综合之。如下表：
表 2-1 一元一次方程式解題策略綜合表
解題策略類型 Kieran Knuth 等人 康軒文教
（S1）交換律、分配律、結合律 康 1
（S2）分數異分母通分 康 2
（S3）去括號變號 康 3
（S4）四則運算 康 4
（S5）應用已知的數值 K1
（S6）應用數數策略 K2
（S7）嘗試與錯誤代入法
（猜測與測試）
K3 N2 康 5
（S8）覆合取代法 K4
（S9）倒回還原法（還原） K5 N3
（S10）等量公理法（代數法） K6 N4 康 6
（S11）移項原則 K7 康 7
（S12）只有答案 N1
以上所述十二數種策略之中，國中一年級教師手冊（康軒文教事 業，2009b）中提及解一元一次方程式以移項法與等量公理等兩種為 主要解題方式，因為它們具有代數結構的知識與概念；另外，手冊中 的教學目標提及，期望學生能應用移項法則解一元一次方程式而達成 目標。研究者以為此法既方便好用，且解題速度快，縮短解題時間。
綜合以上所述，Kieran 所提的策略幾乎已包含一元一次方程式解 題法，而 Knuth 等人所說之法亦已含一元一次方程式解法，但唯獨無
「移項原則」，這對許多國內中學生於解題策略上是個缺陷，最後，
康軒教科書所提之策略不但包含化簡一元一次模式，亦含一元一次方 程式主要解題策略一元一次方程式解題策略眾多，研究者以為在教導 學生使用解題策略之際，教師應多嘗試使用不同方式與角度進行解 題，讓學生多元思考方式解題的多元樣貌。無論應用何種策略或方 法，能使學生熟悉且可理解的方式進行解題，令學生感到最為上手、
易於操作的策略或方式，最後能達成解題之目的就是好策略。
二、一元一次方程式相關研究
國內課程正式將一元一次方程式的樣貌引入時機是在國小六年 級下學期，以一個未知數且次方為 1 次的正式型態呈現，如：x＋1
＝3，完整的方程式模型。對於一元一次方程式的研究，大多以代數 或文字符號為研究主題，進行解題策略、錯誤類型，或者迷思概念之 探討。首先，林清山、張景媛（1994）曾對國二學生 45 位進行代數 應用題教學策略效果之評估的實驗教學，其研究結果發現：學生在代 數應用題的學習產生系統性的錯誤概念，即學生對於關鍵詞無法充分 了解而產生問題轉譯錯誤、缺乏數學基本概念而產生問題整合錯誤、
未理解已知與未知之間的關係而產生解題計劃與監控錯誤，最後在解
方程式時因缺乏等號雙邊等值概念而導致移項的執行錯誤。
另外，陳彥廷、柳賢（2009a）針對國中一年級生探討不同管道 的代數文字符號的語意理解之研究，76 位進行紙筆測驗與 15 位個案 晤談，在紙筆測驗後分成高、中、低等三個層次，每個層次又分別抽 取 4 位、7 位、4 位進行個別訪談。研究結果發現，學生對於「文字 符號代表特定數」之類別理解比較穩固，但對於「文字符號代表特定 未知數或一般數」之類別理解較為不穩固，且對於代表特定未知數之 錯誤比較多；再者，高層次學生多發展出「文字符號代表一般數」之 類別、中層次學生則發展出「文字符號代表一般數或特定未知數」、
低層次學生大多發展成「文字符號代表特定數」類別理解。
上述兩種對一元一次方程式文字符號的研究當中，對於學生所產 生的錯誤皆有相似的發現。學生對於一元一次方程式與文字符號的理 解錯誤、缺乏概念或概念理解性不穩定，致使解題產生錯誤，無法進 行相關連結的執行。
鄭智元（2007）曾研究國小六年級學生使用代數文字符號，採紙 筆測驗後分高中低三組，三組中再各抽二名，即六位學生進行一對一 個案訪談，結果發現，學生對於文字符號表；或者，解決未知數問題 時，有不清楚題意或不清楚運算符號的困難未知數與代數表徵之連結
困難。
楊榮達（2007）探討國中一年級學在一元一次方程式解題策略與 錯誤類型，取 188 名三個學校的國中生進行紙筆測驗，其結果顯示，
學生解題策略大多以「移項原則」佔大多數，亦出現等量公理與列舉 評估法等兩種，但代入、還原與隱藏皆無人使用。另外，學生錯誤類 型大多以不知如何使用文字符號、不了解文字符號與括號之意義、不 同類合併錯誤、不會簡化方程式與作括號運算等等為多。且學生在解 方程式時，運算符號錯誤、未知數位置與題目是否為分數易造成解題 失敗之因。
依據陳嘉皇（2008）研究國小六年級生對等號概念的解釋性，其 中探討學生對等號兩邊運算的解題策略情形，分為使用「直接進行等 號兩邊解題」、「等式兩邊移位解題」、「代入答案解題」、「代入 並配合補償推理解題」與「關係解題」等 5 種策略。其主要結果發現，
受試者於解題的過程與使用的策略之中，有使用單一策略進行解題，
但仍有些會混合採用兩種或以上的策略進行解題。
依上述國內研究結果綜合觀之，學生在進行代數相關解題與一元 一次方程式解題時，因對文字符號意義不了解、未適當連結文字符號 所代表之意義、缺乏概念、轉譯錯誤、或意義與理解性的不足等等的 失誤，使得解決問題過程中產生錯誤，造成解題失敗。再者，策略使
用上的不同，有單純使用單一策略，亦有使用兩種以上的混合策略。
換句話說，學生並非僅固定使用單一策略或模式，在學習過程之中所 學得的方法，若能幫助解題或學習以達成目的，就運用一種以上的方 式或策略，以收成效。
因此，綜合以上觀點，若能從正確或成功面向觀點來看，利用正 確或成功的解題過程之中，給予正確或適當的理解或概念，使用適當 的策略，將使學習者更容易得到成功，增加信心學習更深層的知識，
以協助順利發展概念與學習。
第三節 等號概念與相關研究
本節分別主要描述等號概念的定義、等號概念的類型與等號概念 的相關研究等三面向。
一、等號概念之定義
國內施行九年一貫課程綱要的數學領域中提及，自國小一年級開 始學習代數，其中認識「等號兩邊數量要一樣多」的意義為首要（教 育部，2003）。國外學者Behr、Erlwanger 和 Nichols (1980)曾提及，
“＝＂最根本的意思是：「相同(
sameness
)」的一種抽象概念。而「等 價關係」是相等中較為複雜的觀念。無論是國內或國外，皆開宗明義 且清楚的說明了等號的涵意。而後在加減、乘除的互逆運算當中，讓 學生清楚了解等號的應用性，尤其在進入等量公理之後，真正的穩固 了等價等量關係之概念。“＝＂在文字符號的角色被視為是「關係符號」，是一種代表恆 等 之 意 。 在 國 外 學 者 (Baroody & Ginsburg, 1983; Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil, & Stephens, 2008; Knuth et al., 2006; McNeil &
Alibali, 2005a; McNeil & Alibali, 2005b; McNeil, et al., 2006)研究相關 等號概念定義，將等號概念分為兩種主要定義：一為「運算型定義」；
另一則為「關係型定義」。說明如下：
（一）運算型定義(operational definition)
等號是運算型概念，其指將“＝＂等號視為進行計算之後的結果 顯示。若以一般式子觀之，由左至右計算之後，於等號另一邊會有計 算結果之值。此時學生對於“＝＂等號所給予的定義是“全部、總和
＂(the total)、“答案＂(the answer)、“全部數字加起來＂(add up all the numbers; add the numbers)、或“問題的答案＂(the answer to the problem)等文字皆視為運算之後的結果之意。
（二）關係型定義(relational definition)
係指學生將“＝＂等號視為雙邊皆為等量或相等之概念，學生也 必須了解等號當成是一種關係，為了形成轉換概念以表現於方程式之 中。故學生對於“＝＂等號所下的定義為“兩數量相同（一樣）＂(two amounts are the same)、“相同、一樣＂(the same as)、“某一邊等於 另一邊＂(something is equal to another thing)或“等量（價）於＂
(equivalent to)等，皆可視為雙邊等量、雙邊平衡之意。
除了上述兩種型態主要定義之外，其餘有“相等＂(equal)、“相 等的意思＂(it means equals)、“相等於的意思＂(it means equal to)、
“問題的結果＂(the end of the problem)或“重複數字＂(repeat the numbers)等等文字說明，因無法指出等號定義之涵意，故皆屬未明確 定義(unspecified)之型態；尚有回答“是、就是＂（is）、直接回答
“不知道＂（I don’t know）者、不知如何回答，即無回應者；或回 答其他非上述所列舉之名稱者，亦分屬其他類別(other interpretation) 或無反應(no response)型態等， (Knuth et al., 2008; Knuth et al., 2006;
McNeil, & Alibali, 2005a; McNeil, & Alibali, 2005b; McNeil et al., 2006;)，因非主要回答或反應，故並未列入主要定義之中。
國內外對於等號之定義有大同小異之處，其最大的共同點就是將 等號最為簡單明確且言簡意賅的意涵直接點出，即等號雙邊一樣多或 一樣大，最為簡潔有力的解釋。
二、等號試題情境呈現之類型
教科書當中所出現的等號試題是否有助於國中學生對等號的理 解？在國內，教科書是一綱多本的型態，即主要單元相同，但內容則 由各大出版社所編製，大同小異。在美國，由於各州自治的行政特色，
各州教科書版本並不一致，McNeil 等人(2006)研究美國中等教育教科 書的四個大版本內容有關代數中等號試題分析，藉由等號試題情境呈 現類型的不同，以測驗學生對等號概念定義之類型。在等號例題中，
將等號試題情境呈現類型主要分類如下：
（一）（標準型）運算等於答案情境(standard operations equals answer context)：
即式子需要運算得到答案。此類型包括三種次型態：1.等號左邊
有運算(operations on the left-hand side of the equal sign)，如：2＋7
＝？；2.等號右邊是一個數(one number on the right-hand side of the equal sign)，例如：3＋5＝8、3x＋5＝8。或者，3.等號右邊是個未知 數(an unknown quantity on the right-hand side of the equal sign)，例 如：3＋5＝___、3＋5＝x。即一般典型較為正規的加減情境方式表示。
（二）非標準型情境(nonstandard context)：
係指除了運算等於答案情境以外的例題皆屬於非標準型情境。其 次型態又可分為：等號雙邊運算方程式(equations with operations on both sides of the equal sign)，例如：3＋5＝1＋7、3x＋5＝2x；等號右 邊運算方程式(equations with operations on the right side of the equal sign)，例如：8＝3＋5、y＝2x；雙邊無明顯運算方程式(equations without explicit operations on either side)，例如：8＝8、a＝b、1 公尺
＝100 公分；無方程式(no equation)，係指使用不等式＞、＜、≦、
≧、…等等符號完整的每個說明。
依上述研究提及的兩種等號概念題型呈現類型（標準型、非標準 型），皆能探究學生對等號概念定義之理解，了解學生對等號的概念 是處於何種層次，在教學上施予不同方式或途徑給予學生最適當的教 學方法，希冀學生能夠根深柢固將各類的學習向度紮根，以建立解決 問題之能力。
三、等號概念之相關研究
等號有其重要性，學生在學習的過程中，等號的使用是從認識 它、應用它，到最後真正的了解它，而延伸至各類解題的重要角色。
在國外，等號概念的相關研究一直不斷的持續著，McNeil 和 Alibali (2005b)研究有關數學上經驗與情境中變化之功能性質，則等號的理 解是如何變化？從國小（三、四、五年級）學生、國中（七年級）學 生、大學生與研究生進行等號類型情境測驗，利用問卷中的三種情境 題—單獨情境、加法情境、等量情境，以測驗學生等號概念的理解。
其結果發現，國小學生剛開始會有模糊不清之處，即無法較為準確將 等號概念定義清楚，但漸漸地會出現「運算型」定義；到了國中時，
就顯現「關係型」與「運算型」定義的理解，代表著「運算型」與「關 係型」的過度時期階段；且此時期是影響最大的關鍵階段，會因呈現 的情境不同，對等號概念的理解認知也會有所不同。再到了大學生與 研究生階段時，就完全顯示出「關係型」定義概念之理解。這般的研 究發現，說明了學生隨著年級或年齡的階段不同，會出現不同的等號 概念。
McNeil 等人(2006)研究教科書當中所出現的等號概念情境類 型，進一步調查學生依等號情境類型的呈現對等號概念的推論之情 形。其調查結果發現，在「非標準型情境」比「（標準型）運算等於
答案情境」更能夠顯現「關係型」等號概念的理解，其中「等號雙邊 運算」情境之效果最佳。即表示在顯現關係型等號概念理解時，其等 號雙邊運算更有效果。結果建議，很少在情境上出現等號的教科書內 容應該多呈現關係型推論於代數之中。
Alibali、Knuth、Hattikudur、McNeil 和 Stephens (2007)研究一群 約 81 位的國中學生對等號概念的理解，是個長達三年期的縱貫研 究。利用紙筆測驗的方式進行調查。研究結果顯示，等號概念理解較 複雜的情況與學生在等量方程式有好表現之間是有關連性的。從個人 層面觀之，學生在等號概念的理解與等量公理解題表現之中，會隨著 年級而展現不同的方式。有「關係型」等號概念的學生在解等量方程 式的題目時，比較能成功解題。即學生在等量公理的解題表現之變 化，須端視學生獲得深層的等號概念理解程度而定。
Li、Ding、Capraro 和 Capraro (2008)研究中國與美國小學六年級 生對等號概念的理解。利用 4 個等量方程式題型進行調查，分別以等 號右邊有未知數（例：6＋9＝□＋4）、等號左邊有未知數（例：□
＋8＝12＋5）、未知數在式子中的位置不同（例：□＋3＝5＋7＝□）
與判斷式子的真假（例：6＋8＝3＋11，辨真偽）等 4 個題型做紙筆 測驗。研究結果呈現出中國學生對於4 個題型的正確率遠高於美國學 生的正確率，美國學生在回答所有4 個題型中的第三個題型之正確率
較高，約86.7％（仍小於中國的 97.9％），但學生卻無法解釋答案。
似型1、型 2 的題型可以說明美國學生對於等號概念的理解大多數仍 比較偏屬「運算型」等號概念。
上述相關研究多屬國外，在國內對等號概念的理解探討並無明顯 的趨勢可尋。在國內，陳嘉皇（2008）研究國小六年級學童解釋等號 意義之概念理解，採 342 人進行紙筆測驗。其結果顯示出學童大多以
「運算型」等號概念定義為主，約 69.3％，則「關係型」定義的人 約 14％而已。換言之，學生大多將等號定義以運算後得到答案為主 的理解概念，仍認為處理某事物或需由運算後得到答案之指示。另一 種題型—等號兩邊同時運算之情境問題，有 50％以上的比例顯示出 學生成功運用解題方法獲得等式兩邊的值，進一步獲得等價等量之概 念，即學童呈現出「關係型」等號概念。
楊喻惟（2009）曾對 285 位國中生（國一、二、三年級）研究等 號概念與一元一次方程式解題歷程之探討，其研究資料顯示出超過 50％以上的比例對等號意義的解釋採「關係型」定義，且不同年級之 間對於等號概念的認知也有所不同；對等號概念定義會隨著年級的增 加，其「關係型」定義的比例亦會隨之增加。利用「關係型」定義者 其平均得分比「運算型」定義者還要高；且「關係型」定義者有較高 之機率使用代數策略解題，而「運算型」定義者較多的機率使用非代
數策略進行解題。在作答正確性方面，應用代數策略解題則產生較高 的答對率。
近來，謝闓如（2010）曾對國小二、三年級生對等號算式的理解 進行研究，其研究結果中指出，學童對□＝13＋25（二年級）或□＝
137＋251（三年級）試題類型正確率最高，但對 26－14＝14－26（二 年級）或 265－140＝140－265（三年級）試題類型的正確判斷力最 低；另外，其主要結果中提及，學童會有「等號必須在算式右方」、
「等號一方應為另一方的立即結果」、「等號右方應為算式中所有數 字運算的結果」、「算式中一定要有運算符號」、「等號是由外而內 運算」與「算式中一定要有未知的部份」等六種想法，其六種概念的 理解皆偏屬運算型等號概念的理解，其代表著國小二、三年級學童大 多數尚未具有關係型等號概念的理解。
綜合以上國內外相關研究，對等號概念的定義理解不同，其解題 歷程與解題正確性皆呈現不同的結果表現。愈傾向「關係型」定義者，
其解題歷程與正確性愈高，即愈能成功解題。另外，隨著年級與年齡 的增加，對於「關係型」等號定義就愈明顯；反之，年級與年齡愈小 者，其「運算型」等號定義類型較為明顯。再者，依國情文化或各國 課程與教科書使用實施的情況有異(Jones & Pratt, 2006; Li, et al., 2008)，因此，學生在學習一元一次方程式時，除了年級與年齡、各
國文化與課程之外，自身所擁有的等號概念類型定義，將會與解題成 功與否具有相關性連結。另外，若從等號概念情境的呈現角度來看，
應多呈現等號雙邊情境模式，促使學生思考等價的關係性，進而強化 與加深學生對等號概念的關係性，再配合使用正確或適當的解題策 略，以達成功解題，提高成功機率，以增強信心度，達到學習概念基 礎的穩固，助益於日後的學習成效。
第三章 研究方法
本研究對象為國中一年級學生，以調查研究法進行研究，採用問 卷調查方式與紙筆測驗題以蒐集研究資料。本章節針對研究方法進行 說明，以研究設計原則與架構、研究對象、研究工具、資料分析、研 究流程與時程表等五小節分述之。
第一節 研究設計原則與研究架構
本研究旨在探討國中一年級學生在不同等號概念定義之中，其一 元一次方程式的解題策略類型分析。依此理念，研究設計原則如下：
一、參考 92 年公佈的九年一貫課程綱要數學領域之能力指標（第三 階段）相關代數學習，了解學生應達成的學習階段。
二、參考 92 年公佈的九年一貫課程綱要數學領域之六、七年級代數 分年細目與康軒版國中一年級教科書一元一次方程式單元內 容，針對代數與七年級（國中一年級）範圍進行試題設計之依據。
綜合上述兩項設計原則，將整理成對照表。如下頁表 3-1。
表 3-1 代數能力指標與六、七年級分年細目對照表
代數能力指標 六、七年級分年細目 1.基本代數運算。（A-3-01）
2.理解並應用等量公理（A-3-02）
3.用文字符號表徵生活中的未知 量及變量。（A-3-03）
4.含未知數的等式或不等式，表 示具體情境中的問題，並解釋 算 式 與 原 問 題 情 境 的 關 係 。
（A-3-04）
5.理解生活中常用的數量關係，
並恰當運用於解釋問題或將問 題列成算式。（A-3-05; N-3-14）
6.發展策略，解決含未知數之算 式題，並驗算其解的合理性。
（A-3-06）
7.運用變數表示式。（A-3-07）
8.熟練一元一次方程式解法。
（A-3-08）
〈六年級〉
1.理解等量公理。（6-a-01）
2.使用未知數符號，將具體情境 中 的 問 題 列 成 兩 步 驟 的 算 式 題，並嘗試解題及驗算其解。
（6-a-02）
3.常用的數量關係，列出恰當的 算式，進行解題，並檢驗解的 合理性。（6-a-03）
4.比例情境或幾何公式中，透過 列表的方式認識變數。（6-a-04）
〈七年級〉
1.用文字符號列出生活中變量，
並列成算式。（7-a-01）
2.以代入法或枚舉法求解，並檢 驗解的合理性。（7-a-02）
3.熟練符號代數操作。（7-a-03）
4.具體情境中列出一元一次方程 式 ， 並 理 解 其 解 的 意 義 。
（7-a-04）
5.以等量公理來解一元一次方程 式，並作驗算。（7-a-05）
6.利用移項法則來解一元一次方 程式，並作驗算。（7-a-06）
資料來源：教育部（2003）。九年一貫課程綱要數學領域。
三、試題類型依 McNeil 等人(2006)所研究之等號概念的其中五種類 型例題—等號左邊包含運算、等號右邊是一個數字、等號右邊是 未知數、等號雙邊運算方程、等號右邊運算—進行試題設計與編 排。
依上述三項陳述之理念設計，並且參考現行教科書內容進行試題 分類與編製，相關資料的收集，以利於執行資料相關之分析，並達成 本研究之目的。
四、教材分析：
由於本研究一元一次方程式試題的單元目標與內容皆有承先啓 後的連貫性，因此，希冀藉由六、七年級教材分析，以了解學生學習 過程中一元一次方程式之地位與關係。本研究以 97 年度國小六年級 下學期與 98 年度國中一年級上學期數學教材康軒版做為教材分析之 參考版本。如下頁圖 3-1 教材分析圖。
圖 3-1 教材分析圖
資料參考來源：康軒文教事業（2009a：74）
97 年度六年級 下學期（過去）
98 年度國中一年級 上學期（現在）
98 年度國中一年級 下學期以後（未來）
能用 x、y……等等文 字符號表徵生活中的 變量
能由具體情境中列出 一元一次不等式。
從生活情境中，了解 代數式表示法與意義
給定文字符號數值，
能計算出代數式之值
能從生活情境中，用 文字符號列式，並了 解表徵式之異同。
能用文字符號表徵生 活情境問題中之未知 量，並列出等式。
能透過生活經驗進而 檢驗、判斷等式之 解，並解釋式子和解 與原問題情境之關係
能理解等式左右同加 減乘除一數時，等式 仍成立之概念。
簡化給定題目，經思 考、分析找出解題的 方法。
列式表徵生活情境的 數量關係與了解表徵 方式之異同。
以文字符號代表數並 簡記。
以文字符號代表數代 入算式求值。
從具體情境當中，列 出一元一次方程式。
以符號進行交換律、
結合律、分配律運算
利用等量公理或移項 法求一元一次方程式 之解，並判斷驗算。
理解一元一次方程式 解之意義。
從算式中進行文字符 號、常數之同類項合 併或化簡。
由具體情境中，用 x、
y 等符號列出一元一 次式。
將生活情境以文字符 號列式表示。
以代入法或列舉法求 一元一次方程式解、
並判斷其解是否適合 於原問題情境。
能利用移項法則在數 線上找出一元一次不 等式的解。
能由具體情境中描述 一元一次式解的意義
能由具體情境中列出 二元一次方程式，並 理解其解的意義。
由具體情境中列出二 元一次聯立方程式，
並能理解其解的意義
五、研究架構
理念設計原則
1.九年一貫課程綱要數學領域之代數能力指標與分年細目。
2.98 學年度國中一年級數學教科書（康軒版）。
3.McNeil 等人所提等號概念之五種類型例題題型。
圖 3-2 研究架構圖 編製試題
等號概念定義試題 等號概念類型之一元 一次方程式試題
等號概念定義之理解型態分析 等號概念類型之一元一 次方程式解題策略分析
不同等號概念之下
一元一次方程式解題策略之分析
第二節 研究對象
本研究將利用便利取樣，選取高雄縣鳳山市某國中一年級學生 6 個班級，進行施測。此國中於 98 學年度上學期為止，全校約 70 班。
此校座落於鳳山市市區，交通便利，其規模係屬大學校之一。此國中 於 98 學年度國中一年級上學期數學科教科書所採用的版本為康軒 版。
本研究參與施測之參與者為 98 學年度第一學期（上學期）之某 一國中一年級的學生，因選取時間上且願意配合參與施測的班級，有 6 個班級，其中，男生有 111 人、女生有 92 人，總共 203 人。施測 之班級均為常態編班且為男女混合班級，每個學生皆接受試題測驗，
填答時間皆相等，均為 45 分鐘（一節）。研究者施測作業皆透過任 該課教師進行測驗，向該任課教師說明施測原則與注意事項，測驗完 成後，統一由任課教師收回，再交由研究者收集、整理並進行統整分 析。在施測之前，請任課教師向學生說明填答原則與注意事項，以確 保如實作答。
第三節 研究工具
依本研究之目的，採用調查法與紙筆試題測驗，利用所編製之「等 號概念定義型態暨一元一次方程式之試題」卷主要問卷試題工具，此 為紙筆測驗。利用紙筆調查方式填答。本研究採用問卷與試題測驗合 併方式調查，以等號概念定義型態兩題開放式問題，調查國中一年級 學生對於等號概念定義理解型態之情形；另以一元一次方程式試題測 驗，調查學生對於一元一次方程式解題策略之使用情形。採用此法的 主要原因是此方法之優點為若參與者較多且為同一地點，則回收率較 高；且製作問卷的成本與費用較低。其缺點則為無法控制填答情境。
（王文科、王智弘，2009；張紹勳，2007；楊孟麗、謝水南譯，2003）。
因此，本研究之試題問卷內容分成三個部份，分述如下：
一、基本背景資料
本研究所需要的基本背景資料包含：年級、班級、座號等填答項，
此部份資料是做為記錄與方便追蹤參與者的原始檔案登入之用，以利 於分析與統計。
二、等號概念定義型態試題
試題編製過程係參考國內教育部 92 課綱與國外學者(Baroody &
Ginsburg, 1983; Knuth et al., 2008; Knuth et al., 2006; McNeil & Alibali,
2005a; McNeil & Alibali, 2005b; McNeil, et al. 2006)所定義之等號概 念，且主要依據 McNeil 等人(2006)所設計之問題，配合本國語言文 字，再與指導教授討論修正後，編製兩個開放式問題。依題目內容，
可以測得學生所具備的等號概念理解之定義型態分屬「運算型」定義 的等號概念與「關係型」定義的等號概念，或其他非屬「運算型」或
「關係型」以外的概念理解。問題如下：
請依下列的敘述回答問題：
6＋3＝9
1．箭頭所指之“＝＂的名稱是：_________________。
2．請寫下“＝＂所代表的意義是什麼：（請你用自己的話寫下來。）
以上所呈現的兩個問題，皆為欲測量學生對等號概念之定義為 何。因為試題係屬開放式問題填答，故無正確或標準答案，只針對學 生所回答的名稱與說明內容進行分類。試題的第 1 題係問箭頭所指的
“＝＂之名稱，請學生明確說出符號一般性名稱。第 2 題針對學生對 於“＝＂符號的意義說明，以作為概念定義之分類。定義類別之編碼 主要分為四項：（1）「運算型」定義；（2）「關係型」定義；（3）未明 確定義；（4）其他／無反應。編碼以利於資料收回之後，做為資料分 類與分析之用。若學生並未回答第 2 題者，則以第 1 題符號之名稱作 為定義分類標準。回答「等號」或「等於」皆屬正確。依多位國外學
者(Baroody & Ginsburg, 1983; Knuth et al., 2008; Knuth et al., 2006;
McNeil & Alibali, 2005a; McNeil & Alibali, 2005b; McNeil et al, 2006) 研究相關等號概念定義之分類標準如下表：
表 3-2 等號概念定義分類標準
型態類別 回答意義之內容與解釋
（1）運算型定義
1.全部、總和 2.答案
3.全部數字加起來 4.問題的答案
（2）關係型定義
1.相同、一樣 2.等量於
3.兩個數量相同（一樣）
4.某一邊等於另一邊
（3）未明確定義 1.相等
2.相等的意思 3.相等於的意思 4.問題的結果 5.重複數字
（4）其他／無反應 1.是、就是 2.不知道 3.無回應答
4.其他非上述列舉之答案
三、一元一次方程式試題
（一）編製原則
依據 92 年公佈的九年一貫課程綱要數學領域、康軒版國中一年 級數學教材內容與 McNeil 等人(2006)所列的等號題型分類，編修一 元一次方程式試題，共 20 題。經由指導教授與兩位資深數學專科國
採隨機置入，以同類型不相鄰為原則。另外，利用雙向細目表，以建 立內容效度。所謂「內容效度」係指一個測驗可否測得具代表性的教 材內容與所預期之行為改變；其中，含有兩要素—教學目標與教材內 容（陳英豪、吳裕益，2003）。而內容效度考驗即透過建立雙向細目 表來檢驗，係屬邏輯或合理性判斷（王保進，1999）。另外，試題題 號的排列方式採隨機，無固定或刻意編排。因此，本研究之試題雙向 細目表如下所示：
表 3-3 等號概念類型之一元一次方程式試題雙向細目表 題型
教學內容
等號左 邊包含 運算
等 號 右 邊 是 一 個數字
等號右 邊是未 知數
等號右 邊運算 方程式
等號雙 邊運算 方程式
總 計 式子的化簡 （1）、
（8）、
（15）、
（20）
4
解 一 元 一 次 方程式
（ 5 ）、
（ 7 ）、
（12）、
（18）
（3）、
（10）、
（14）、
（19）
（4）、
（9）、
（11）、
（17）
（2）、
（6）、
（13）、
（16）
16
總計 4 4 4 4 4 20
（二）計分方式
本研究試題係採計算題題型，於計算題空白處填寫計算過程的每 個步驟，以做為正誤判斷、試題分析與策略分類之用。答案正確以 1
分計，錯誤以 0 分計。全答錯者，最低 0 分；全答對者，最高 20 分。
（三）預試結果分析
參與預試者有男 15 人、女 14 人，共 29 人。因試題分析品質包 含難度（difficulty）與鑑別度指數（discrimination index），可提高信 效度。故將參與者的得分選最高三分之一（約 33％）為高分組，選 得分最低的三分之一為低分組（約 33％）。每個試題皆計算出高低 分組的答對百分比，即通過率，進而計算出每個試題的難度（P）與 鑑別度（D），其難度與鑑別度的說明和選取標準如下：（郭生玉，
2004；陳英豪、吳裕益，2003）
1.難度係指受試者答對的比率，若試題越簡單，比率越高，以 P 表 示；P 值介於 0～1 之間，越接近 0 或 1，越無法區分能力差異；
接近 0.50，則區別力越高。即難度適中。P 值越大，代表試題越 容易；反之，P 值越小，代表試題越困難。其試題難度以 0.40～
0.70 為取捨範圍。難度計算公式：P＝(PH＋PL)／2。
2.鑑別度係以高低分組通過試題之人數，以百分比示之，則高低分 組的百分比之差數，即為鑑別度，用以 D 表示。鑑別度 D 值介於
－1～＋1 之間，其試題選擇準則如下表，其值為 0，則表示無鑑 別力。鑑別度指數計算公式：D＝PH－PL。
