LFT 計分理論在處理不同權重邊長之困境

LFT 計分理論在教學與評量上之應用效果顯著，雖然在學習者概念 圖的繪製這個層面依舊存在著技術性的困難，但這方面的難題可由心理計 量學者與教育測驗統計學者依學習者的能力，透過測驗的手段加以解決。

另一 LFT 計分理論在實務上較常遭遇的問題乃是計算繁複，此一問題 在劉湘川教授發表論文「知識結構有向圖形類似度之改進指標」，以求取

「兩圖形交集與聯集之邉之連結集」，簡化繁複計算，而得「第一種改進 類似度指標」。

而在精確度改進層面上，劉湘川教授考慮「邊之不同經由路徑之存在 數量，及邊之不同位序值之影響」，針對部分異圖同分的不合理現象加以 改進，在類似度計分課題上，提供一項更為靈敏有效更具鑑別力之計分法 則(劉湘川, 2005)。

至此，LFT 計分理論已獲致近乎完備的理論架構,在解決圖形的計分問 題上,已經實質發揮莫大效益,但在實作中必定遭遇的邊長權重(weight)問題 仍待解決。現針對邊長權重(weight)問題，舉一例說明如下：假定某一課程 教學，學習單元共計 5 個概念，圖 3-1-1 中，G_a、G_b與G_c分別為人員 a、

人員 b 與人員 c 考慮邊長權重之概念構圖，根據 LFT 計分理論，G_a G_b間 之類似度與G_aG_c間之類似度相等。然而，此一結論顯然與現實狀況不符，

而導致此一錯誤結論之原因，乃是因為 LFT 計分理論在處理考慮邊長權重

之概念構圖類似度計分，存在不足之處。

Ga G_b G_c

圖 3-1-1

探究此一不合理現象的原因不難發現，問題癥結乃是未考慮邊長權 重。依常理推斷，G_a G_b之類似度必為 1，而G_a G_c間之類似度必小於一。

但依據竹谷誠與劉湘川二位教授之計分理論，卻都無法有效將這兩組類似 度區分出來。此一計分失效的現象，便是玆所謂 LFT 計分理論在處裡不同 權重邊長的困境。

LFT 計分理論應用層面不單在教育評量，亦可廣泛應用於其他以非循 環有向圖為研究工具之領域。除教育評量之外，在其他領域中亦可能遭遇 因邊長權重問題，而致類似度計分失效的狀況。

第二節 解決 LFT 計分理論在處理多邊與不同 權重邊長困境的技術

一、 定義三維度非循環有向圖

【定義 3.2.1】在非循環有向圖

G = ( V, E, w )

中，頂點集合

V = { v

₁

, v

₂

,..., v

_n

}

為 可量化之指標，若

v

_i,vj為任意相鄰二頂點，則邊集合

^E=

{

^vi,vj

^{( )}

^{1, vi,vj}

^{( )}

^{2 ,..., vi,vj}

^{( )}

^{mij ;mij為vi,vj間邊數,i=1,...,n,j=1,...,n}

}

權重集合^w

{

^w

^{( )}

^,w

^{( )}

^,...,w

^{( )}

^;mij ^vi^,vj ^{i 1,2,...,n,j 1,2,...,n}

}

m ij 2

ij 1 ij

ij = =

= 為 間邊數

權重為任何可量化之指標間之差距。

針對【定義 3.2.1】之非循環有向圖，茲舉一例如圖 3-2-1

2 1

( )

1

w

12

( )

2

w

12

( )

3

w

12

圖 3-2-1

此圖表示

V = { v

1

, v

2

}

；^E=

{

^v1,v2

^{( )}

^{1 , v1,v2}

^{( )}

^{2 , v1,v2}

^{( )}

³

}

^；

{ ^{( ) ( )}

12

^{( )}

³

}

2 12 1

12,w ,w w

w = ，三維度所構成之非循環有向圖。

【定義 3.2.2】在非循環有向圖

G = ( V, E, w )

中，任意兩相鄰頂點

v

_i,vj, 量化 邊之權重得邊之長度，長度集合

{ ^{( ) ( ) ( )}

ij^mij

}

2 ij 1 ij

ij w ,w ,...,w w =

【定義 3.2.3】在非循環有向圖

G = ( V, E, w )

中，任意兩相鄰頂點

v

_i,vj之邊 之集合 ^{vi,vj =}

{

^vi,vj

^{( )}

^{1, vi,vj}

^{( )}

^{2 ,..., vi,vj}

^{( )}

^mij

}

^{其中，mij為相鄰兩點}

v

i,vj間的邊數。

二、處裡權重邊長重要度的步驟

(1)正整數化:

非循環有向圖

G = ( V, E, w )

中，

Υ

^G

j i,

wij 相鄰

表

G = ( V, E, w )

之邊長集合，

定義kG為足夠大之最小正整數，使得

Υ

^G

j i,

wij 相鄰

中任意元素乘以k_G後，皆 為正整數。

說明:在邊長權數為無理數或k_G計算困難時，當權宜性地考慮取捨k_G 值之設定。

【定義 3.2.4】定義轉換F:F

( )

wij =Wij為一對一且映成函數，其中

{ ( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ( )

ij

^{( )}

^mij

}

2 ij 1

ij

ij f w ,f w ,...,f w

W = ，

^{( )} ( ) ^{( ) ( )}

ij

h ij G h ij h

ij

f w k w , h 1,2,..., m

W = = =

說明:轉換F:F

( )

wij =Wij之目的在於將所有邊長權數正整數化。

【定義 3.2.5】

{ ( ) ^{( )} } { ^{( )}

ij

}

h ij G ij h

ij

ij f w ;h 1,2,...,m k w ;h 1,2,...,m

W = = = =

說明:計算W_ij 的目的在於量化

{ ^{( ) ( )}

ij

^{( )}

^mij

}

2 ij 1 ij

ij w ,w ,...,w w =

(2)建立新頂點

【定義 3.2.8】^eG=

(

^eV,eE,ew

)

為

G = ( V, E, w )

之擴充圖，定義^eG之鄰接矩陣

【定義 3.2.9】非循環有向圖

G = ( V, E, w )

之擴充圖^eG=

(

^eV,eE,ew

)

中，定義

(

^{v ,v ; G}

)

C _{r s} ^e 為所有經由^e v_r,v_s 的連結，其起點集合與終點集合 之笛卡兒積。

說明:^C

(

^vr^,vs^;eG

)

≡{

(

vg,vh

)

∈^eV×^eV: r s

e v ,v 是W

(

vg,vh

)

的經由邊 }。

【定理 3.2.1】非循環有向圖

^G = ( ^{V, E, w} )

之擴充圖^eG=

(

^eV,eE,ew

)

^中，

^N

[

^C

(

^vr^,vs^;eG

) ]

=

_



 



 



 



 ∑ ∑

=

=

y

1 h

sh e rs e y

1 g

gr

e

r a r

。

說明:^e

r

_gr

,

^e

r

_sh

,

^e

a

_rs為擴充圖之可到達矩陣與鄰接矩陣對應位置之元素。

【定理 3.2.2】若^{eG =}

(

^eV,eE,ew

)

^為

^G = ( ^{V, E, w} )

之擴充圖，頂點數

[ ]

^{V y}

N ^e = ，

v

_r，v_s為相鄰二頂點，則

^max ₍

v_g,v_h

₎

∈^eV×^eV

^N [ ^C ( ^v

r

^{, v}

s

^;

^e

^G ) ]

≤

_



 



 4 y

²

。

【證明】

由於^eG=

(

^eV,eE,ew

)

是一非循環有向圖，因此

A ( ) v

r Ι R

( )

vs 為空集合。

故 N[

A ( ) v

_r Υ R

( )

v_s ]=N[

A ( ) v

_r ]+N[R

( )

v_s ]-N[

A ( ) v

_r Ι R

( )

v_s ]

= N[

A ( ) v

_r ]+N[R

( )

v_s ]-0= N[

A ( ) v

_r ]+N[R

( )

v_s ]又

A ( ) v

_r Υ R

( )

v_s ⊆V,所以 N[

A ( ) v

_r Υ R

( )

v_s ]≤y 設 N[

A ( ) v

_r ]=x, 則 N[R

( )

v_s ]≤y-x

即 N[^C

(

^vr^,vs^;eG

)

]=N[

A ( ) v

r ×R

( )

vs ]≤x(y-x)=yx-x² 又^C

(

^vr^,vs^;eG

)

必為正整數

當 x=

2

y時， N[^C

(

^vr^,vs^;eG

)

]≤

^max ₍

v_g,v_h

₎

∈^eV×^eV

^N [ ^C ( ^v

r

^{, v}

s

^;

^e

^G ) ]

=

_



 





4

y

²

【定義 3.2.10】非循環有向圖

G = ( V, E, w )

之擴充圖^{eG =}

(

^eV,eE,ew

)

中，

【定義 3.2.12】在頂點

v

_r處的重要度^I

(

^vr^;eG

)

=

_∑

^{[ ]}

[ ( ) ( ) ]

【定理 3.2.4】非循環有向圖

G = ( V, E, w )

，v_i,v_j∈V在

G

中為相鄰兩點，v_i,v_j 間非單邊，則v_i,v_j間之權重

∑ ( )

=

=

mil

r r ij ij

w w

1

1

1

，

其中，

m

_ij為邊數，

w

_ij

^{( )}

^r 為第 r 邊之權數。

【說明】1.假設，自一件工作的始點至終點存在 n 條路徑，若可同時自 此 n 條路徑著手進行這件工作。

2.每一路徑的長度跟自此一路徑完成工作的時間成正比，也跟 自此一路徑完成工作的難度成正比。

3.假設工作量為 W。

4.每一路徑的工作效率分別為

t

n

W t

W t

W

, ,...,

2 1

； 則這條 n 路徑的工作效率和為

∑ ∑

=

=

=

ⁿ

i i

n

i i

W t

t W

1 1

1

5.若存在一條路徑，工作效率等於上述 n 條路徑的工作效率 之和，假設此一路徑的工作時間為

t

。

根據假設，此一路徑的工作效率

∑

=

=

ⁿ

i

t

i

t W W

1

1

，即

∑

=

=

_n

i

t

i

t

1

1 1

。

【定義 3.2.15】非循環有向圖

G = ( V, E, w )

之擴充圖為^eG=

(

^eV,eE,ew

)

， vi,vi₊1,vi₊2,...,vj 為

G = ( V, E, w )

中之一路徑，

定義路徑W vi,vj = vi,vi₊1,vi₊2,...,vj

在

G

之重要度^I

(

^{W v}i^,vj ^;G

)

⁼

_∑

^I

⁽

^vk^,vl^;G

⁾

，

其中，

v

k

, v

l 為W v_i,v_j = v_i,v_i+1,v_i+2,...,v_j 之經由邊。

註：【定義 3.2.15】用意在於說明一路徑在圖形中，如何定義其重要度。

根據定義可知：路徑的重要度，等於此路徑中所有邊之重要度和。

三、定義同頂點集合之非循環有向圖之類似度

【定義 3.2.19】非循環有向圖G_t =

(

V,E_t,w_t

)

之擴充圖

(

t

)

【定義 3.2.21】若

^Y _{[ ]}

p

( ) ^G =

^e

^G

其中G=

{

G1,G2,...,Gp

}

,

{

p

}

e 2 e 1 e

e

G = G , G ,..., G

兩非循環有向圖Gy =

(

V,Ey,wy

)

與

G

z

= ( V, E

z

, w

z

)

中,另一類似度

(

Gy,Gz

)

R ，定義R

(

Gy,Gz

)

= 100× S_Y(G_y,G_z) R

(

Gy,Gz

)

又稱為到達 度，其中,y=1,2,...,p;z=1,2,...,p

【定義 3.2.22】若

^Y _{[ ]}

p

( ) ^G =

^e

^G

其中G=

{

G1,G2,...,Gp

}

，

{

p

}

e 2 e 1 e

e

G = G , G ,..., G

兩非循環有向圖Gy =

(

V,Ey,wy

)

與

G

z

= ( V, E

z

, w

z

)

中，相鄰二頂點

v

i,vj∈V, y=1,2,...,p;z=1,2,...,p，定義兩頂點間差異度如下：

D(v_i,v_j;G_y,G_z)=max

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,Ivi,vj;Gz

) ) (

N

[

Cvi,vj;Gy

) (

ΥCvi,vj;Gz

) ]

-min

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,I vi,vj;Gz

) ) (

N

[

C vi,vj;Gy

) (

Ι C vi,vj;Gz

) ]

【定義 3.2.24】若

^Y _{[ ]}

p

( ) ^G =

^e

^G

其中G=

{

G1,G2,...,Gp

}

，

{

p

}

e 2 e 1 e

e

G = G , G ,..., G

兩非循環有向圖Gy =

(

V,Ey,wy

)

與

G

z

= ( V, E

z

, w

z

)

中， 相鄰二頂點

v

i,vj∈V, 定義兩圖之最大差異量如下：

最大差異量=max

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,Ivi,vj;Gz

) ) (

N

[

Cvi,vj;Gy

) (

ΥCvi,vj;Gz

) ]

【定理 3.2.5】若

^Y _{[ ]}

p

( ) ^G =

^e

^G

其中G =

{

G1,G2,...,Gp

}

，

{

p

}

e 2 e 1 e

e

G = G , G ,..., G

兩非循環有向圖Gy =

(

V,Ey,wy

)

與

G

z

= ( V, E

z

, w

z

)

中，相鄰二頂點

v

i,vj∈V,V=

{ v

1

, v

2

,..., v

n

}

,Gy,Gz之類似度為SY

(

Gy,Gz

)

，

則⁰≤^SY

(

^Gy^,Gz

)

≤¹

【證明】

由於 C

(

vi,vj;Gy

) (

Ι Cvi,vj;Gz

) (

⊆C vi,vj;Gy

) (

ΥC vi,vj;Gz

)

所以 N

[

C

(

vi,vj;Gy

) (

Ι Cvi,vj;Gz

) ]

≤N

[

C

(

vi,vj;Gy

) (

ΥC vi,vj;Gz

) ]

故 max

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,I vi,vj;Gz

) ) (

N

[

Cvi,vj;Gy

) (

ΥCvi,vj;Gz

) ]

≥min

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,Ivi,vj;Gz

) ) (

N

[

Cvi,vj;Gy

) (

Ι Cvi,vj;Gz

) ]

且

0 ≤

min

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,Ivi,vj;Gz

) ) (

N

[

Cvi,vj;Gy

) (

Ι Cvi,vj;Gz

) ]

所以

_∑∑ [ ( ( ) ( ) ) ( [ ) ( ) ] ]

= =

n

1 i

n

1 j

z j i y

j i z

j i y j

i

, v ; G , I v , v ; G N C v , v ; G C v , v ; G

v I

max Υ

_∑∑ [ ( ( ) ( ) ) ( [ ) ( ) ] ]

= =

≥

ⁿ

1 i

n

1 j

z j i y

j i z

j i y j

i

, v ; G , I v , v ; G N C v , v ; G C v , v ; G

v I

min Ι

因此⁰≤^SY

(

^Gy^,Gz

)

≤¹

【定理 3.2.6】若

^Y _{[ ]}

p

( ) ^G =

^e

^G

其中G =

{

G1,G2,...,Gp

}

，

{

p

}

e 2 e 1 e

e

G = G , G ,..., G

兩非循環有向圖Gy =

(

V,Ey,wy

)

與

G

z

= ( V, E

z

, w

z

)

中，V=

{ v

1

, v

2

,..., v

n

}

Gy,Gz之到達度為R

(

Gy,Gz

)

，則⁰≤^R

(

^Gy^,Gz

)

≤¹⁰⁰

【定理 3.2.7】若

^Y _{[ ]}

p

( ) ^G =

^e

^G

其中G =

{

G1,G2,...,Gp

}

，

{

p

}

e 2 e 1 e

e

G = G , G ,..., G

兩非循環有向圖Gy =

(

V,Ey,wy

)

與

G

z

= ( V, E

z

, w

z

)

中，V=

{ v

1

, v

2

,..., v

n

}

則下列二敘述互為等價：

（1）^SY

(

^Gy^,Gz

)

=¹；（2）G_y =G_z

【證明】

1. 若（2）Gy =Gz成立，則（1）^SY

(

^Gy^,Gz

)

=¹顯然成立 2. 若（1）^SY

(

^Gy^,Gz

)

=¹成立，則

_∑∑ [ ( ( ) ( ) ) ( [ ) ( ) ] ]

= =

n

1 i

n

1 j

z j i y

j i z

j i y j

i

, v ; G , I v , v ; G N C v , v ; G C v , v ; G

v I

max Υ

=

_∑∑ [ ( ( ) ( ) ) ( [ ) ( ) ] ]

= =

n

1 i

n

1 j

z j i y

j i z

j i y j

i

, v ; G , I v , v ; G N C v , v ; G C v , v ; G

v I

min Ι

又min

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,I vi,vj;Gz

) )

≤max

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,Ivi,vj;Gz

) )

N

[

C

(

vi,vj;Gy

) (

Ι Cvi,vj;Gz

) ]

≤N

[

C

(

vi,vj;Gy

) (

ΥC vi,vj;Gz

) ]

就任意兩相鄰頂點v_i,v_j∈V而言皆成立

所以min

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,Ivi,vj;Gz

) )

=max

(

I

(

vi,vj;Gy

) (

,I vi,vj;Gz

) )

N

[

C

(

vi,vj;Gy

) (

Ι Cvi,vj;Gz

) ]

=N

[

C

(

vi,vj;Gy

) (

ΥCvi,vj;Gz

) ]

故可知I

(

vi,vj;Gy

) (

=I vi,vj;Gz

)

且C

(

vi,vj;Gy

) (

=Cvi,vj;Gz

)

就任意兩相鄰頂點v_i,v_j∈V而言皆成立，故知G_y =G_z

第四章 LFT 計分理論改良模式之比較 與結果探討

第一節 概說

對於竹谷誠之 LFT 計分理論與其改良者提出之新型態計分模式，在相 同圖形的點重要度、邊重要度與類似度的計分方面，存在的困境被突破正 是 LFT 計分理論不斷被修正以符合現實狀況需要的軌跡。在諸多現實景況 中，竹谷誠教授的 LFT 計分理論面臨計分困難甚或計分失效的困境，在劉 湘川教授針對部分內容提出修正之後，LFT 計分理論已經獲致某些領域近 乎全面的運用效益，惟在考慮權重邊長課題部分仍有改善空間。學生以解 決此一問題為論文寫作的主題，並獲得些許成果，當然，改進的空間仍然 很大，但對眼前的邊長權重問題希望已經提供一種解決的模式。

第二節 範例

對於諸家 LFT 計分理論的點重要度、邊重要度與類似度的計分，學生 舉一例加以說明比較如下：

G

1

G

₂ G₃

圖 4-2-1

在圖 4-2-1 中，G1,G2,G3為三非循環有向圖，現在根據學生之圖形邊 重要度與類似度計分公式計算此三圖形間之重要度與類似度。

一、現根據考慮權重 LFT 計分理論定義定理計算

G1,G2,G3

之 邊重要度

(1)正整數化

取k

_{[ ]}

₃ =2，透過轉化

Y _{[ ]}

₃

( ) G =

^e

G

將G=

{

G1,G2,G3

}

轉化成

{

3

}

e 2 e 1 e

eG= G , G , G ，

現根據定義作圖 4-2-1 之擴充圖圖 4-2-2：

( )1

v12 v13^{( )1}

( )1

v24

( )1

v45

1 1

1

1

1

1 1

1 1

1 eG

( )1

v12 v13^{( )1}

( )1

v24

1 1

1 1

1

1 1

1 1

( )1

v14

2 eG

( )1

v12 v^{( )}13¹

1 1

1

1 1

1 1

( )1

v14

3 eG 圖 4-2-2

(2)邊重要度 在^eG₁中：

v

1的先行點集合

A ( ) { } v

₁

= v

₁ ，v₁₂

^{( )}

¹ 的可到達點集合

( ) ( ) { ^{( ) ( ) ( )}

5

}

1 45 4 1 24 2 1 12 1

12 v ,v ,v ,v ,v ,v

v

R = ，

所以經過 v1,v12

^{( )}

¹ 的連結所成之集合

( ( ) ) { ( ^{( )} ) ( ) ( ^{( )} ) ( ) ( ^{( )} ) (

1 5

) }

1 45 1 4 1 1 24 1 2 1 1 12 1 1 e 1 12

1,v ; G v ,v , v ,v , v ,v , v ,v , v ,v , v ,v

v

C =

所以集合元素個數^N

[

^C

(

^{v ,v}

^{( )}

^{; G}1

) ]

⁶

e 1 12

1 =

可知 v₁,v₁₂

^{( )}

¹ 的重要度

( ^{( )} ) ^0.3

( ) { ^{( ) ( )}

5

}

可知 v

^{( )}

₂₄¹ ,v₄ 的重要度

( ^{( )} ) ^0.6

( ) ( ) { ^{( ) ( )}

4 5

}

所以集合元素個數^N

[

^C

(

^v

^{( )}

^{,v ; G}2

) ]

²

所以經過 v

^{( )}

₂₄¹ ,v₄ 的連結所成之集合

在^eG₃中：

( )

1

( ) { ( ) ( ^{( )}

5

) (

4 5

) }

2 1

, v

v

的重要度

(

^{v ,v ;G}

)

^I

(

^{v ,v}

^{( )}

^{; G}

)

^I

(

^v

^{( )}

^{,v ; G}

)

^{0.125 0.125 0.25}

I _{1 2 3} = _{1 12}^{1 e} ₃ + ₁₂¹ ₂ ^e ₃ = + =

3 1

, v

v

的重要度

(

^{v ,v ;G}

)

^I

(

^{v ,v}

^{( )}

^{; G}

)

^I

(

^v

^{( )}

^{,v ; G}

)

^{0.125 0.125 0.25}

I _{1 3 3} = _{1 13}^{1 e} ₃ + ₁₃¹ ₃ ^e ₃ = + =

4 1

, v

v

的重要度

(

^{v ,v ;G}

)

^I

(

^{v ,v}

^{( )}

^{; G}

)

^I

(

^v

^{( )}

^{,v ; G}

)

^{0.25 0.1875 0.4375}

I _{1 4 3} = _{1 14}^{1 e} ₃ + ₁₄¹ ₄ ^e ₃ = + =

5 4

, v

v

的重要度^I

(

^{v ,v ;G}

)

^I

(

^{v ,v ; G}3

)

^0.1875

e 5 4 3

5

4 = =

(3)與第二章範例結果比較，作表 4-2-1 表 4-2-1

LFT 計分 考慮邊長權 重計分

2 1

, v

v

0.5 0.8

3 1

, v

v

0.1667 0.2

4 1

, v

v

0.3333 0.15

4 2

, v

v

0.6667 1.2

G

1

5 4

, v

v

0.5 0.8

2 1

, v

v

0.5 0.65

3 1

, v

v

0.1667 0.2

4 1

, v

v

0.3333 0.35

4 2

, v

v

0.6667 0.85

G

2

5 4

, v

v

0.5 0.3

2 1

, v

v

0.1667 0.25

3 1

, v

v

0.1667 0.25

4 1

, v

v

0.3333 0.4375

4 2

, v

v

0 0

邊重要度

G3

5 4

, v

v

0.3333 0.1875

二、現根據定義定理計算

G1,G2,G3

間之類似度

10.7251.125 =

到達度R

(

G₁,G₃

)

= S_Y

(

G₁,G₃

)

×100= 0.1049×100=32.3883

=0.65×3+0.25×1+0.85×4+0.4375×2+0.3×3=7.375 所以SY

(

G2,G3

)

= 0.2068

7.375 1.525 =

到達度^R

(

^G2^,G3

)

= ^SY

(

^G2^,G3

)

×¹⁰⁰= ^0.2068×¹⁰⁰=^45.4753

(4)與第二章範例結果比較，作表 4-2-2 表 4-2-2

LFT 計分 考慮邊長權

( G

₁

, G

₂

)

重計分

S

1 0.6429

(

G₁,G₃

)

S 0.4615 0.1049 類似

度 S

(

G2,G3

)

0.4615 0.2068

第五章 結論與建議

本研究主要目的為建立一項在考慮邊長權重時的圖形類似度計分，經 由定義三維非循環有向圖與相關定義的建立，在計算考慮邊長權重之非循 環有向圖類似度已經獲致良好的結果。

第一節 結論

ㄧ、在任意相鄰兩點邊數不為 1 的圖形中，LFT 計分理論無法計算相鄰兩 點重要度，但根據考慮邊長權重之圖形計分方法，任意相鄰兩點的重 要度可計算獲得。

二、在兩非循環有向圖中，若任意相鄰兩點間邊數不為 1，或邊長權重不 全為 1，則 LFT 計分理論失效，但本研究獲致之新計分方法，能突破 此一瓶頸，合理呈現兩圖之類似度。

三、有效解決 LFT 計分失效之困境。

現表列本研究中三種類似度計分方法，對第四章範例圖 4-2-1，三考慮 邊長權重之非循環有向圖，作類似度計分之結果：

1.根據表 4-2-2 可知，本研究根據 LFT 計分理論架構提出之新計分方 法，能針對考慮邊長權重圖形類似度計分，有效且靈敏計測圖形類似 度，這項方法能達到的效益在某些必須考慮邊長權重的圖形類似度計 分問題中，顯得相當重要。

2.由表 4-2-1 可知，在 LFT 計分理論中邊長的重要度必定小於 1，但在 考慮邊長權重計分中，邊長的重要度可能大於 1。

四、本研究考慮邊長權重計分亦適用於更繁複的圖形之中，包括相鄰兩點 多邊圖形與相鄰兩點多邊異權重圖形，舉凡非循環有向圖形皆適用考 慮邊長權重計分方法。

五、在計算考慮邊長權重，且邊長權重皆為 1 之圖形類似度問題時，考慮 邊長權重計分方法之計分結果，不論邊重要度、點重要度亦或圖形類 似度，與 LFT 計分理論得相同之結論。

第二節 建議

一、 劉湘川教授之新計分方法在邊長權重皆為 1 的案例中，判讀兩圖 形類似度的效益優良，若此一新計分方法能有效結合本研究之主題，

將考慮邊長權重計分的原則融入劉教授之新計分方法中，相信對於圖 形類似度的計算其適用範圍將再大幅度增加。

二、 考慮邊長權重計分方法可應用於概念階層圖類似度計分，唯概念 間的對應關係(邊)之權重如何定義，是關乎整項工作成敗的重點，在本 研究中，只試圖提出一種可行的方法計算圖形的類似度，對於邊長權 重的定義，仍有待此一領域的專家學者提出見解。

參考文獻

中文文獻

劉湘川(2005)。知識結構有向圖形類似度之改進指標。測驗統計年刊

13

輯，待刊登。國立臺中師範學院。

廖寶貴、曾智鈿、胡豐榮、許天維（2004）。LFT5 之計分理論分析。測 驗統計簡訊

58

期，14-21。國立臺中師範學院。

余民寧、陳嘉成、潘雅芳(民 85)：概念構圖法在測驗教學上的應用。中 國測驗學會測驗年刊。43，pp.195-212。

林瑞雪、陳佑誠、胡豐榮、許天維(民 93)：LFT 計分理論在教學上之

林瑞雪、陳佑誠、胡豐榮、許天維(民 93)：LFT 計分理論在教學上之

在文檔中 LFT計分方法在相鄰點多邊與邊長權重不恆為1之新計分理論 (頁 28-0)