第一節 研究動機
蓋聶(M. Gagné)於 1962 年提出學習階層理論，理論中指出任何一項學 習皆存在適當的順序，且一種學習為後一種學習之先決條件。自概念圖中 可以發現學習脈絡與前後邏輯概念，對於學習者與教學者而言，概念圖是 一項重要且幫助極大的工具，在學習的過程中，藉由概念圖的脈絡與先後 邏輯概念的呈現，教學者可針對學習者概念間銜接薄弱之處加強指導，學 習者可依教學者概念圖重要度計分明暸整個學習單元之重點何在，並可透 過教學者概念圖與學習者概念圖之比較，判讀兩者異同，以為改進學習缺 失之參考。
是此之故，概念圖計分遂成為當前概念圖研究最重要課題。概念圖研 究學者 Shavelson(1972)與佐伯卓也(1981)二人以量化觀點提出不同的圖形 計分方法，此後，Novak-Gowin(1984)、余民寧(1996)等學者在概念圖計分 的研究上亦多有貢獻，自此，概念圖之計分理論眾議紛呈，在單元概念學 習上，對學習者自是裨益良深。然而諸多概念圖計分理論皆存在計分結果 與現實狀況相悖的缺失。概念圖計分學者針對此一繆誤解決的努力，在日 本拓殖大學教授竹谷誠提出 LFT 計分理論之後，可說到達一新階段的里程 碑。
然而 LFT 計分理論在所有的概念圖計分案例中並非所向披靡，相反 的，在部分要求更精確的概念圖計分中，LFT 計分理論便呈現計分失效的 疲態。研究者認為概念圖中，概念間之邊長權數無法合理呈現於 LFT 計分 理論之類似度計分中，必定大幅壓縮 LFT 計分理論在概念圖計分上的空
間，尤有甚者，對依據概念圖作為教學與學習手段的教學者與學習者而 言，LFT 此一不足之處或許也引起相當程度的不便。研究者期望透過對 LFT 計分理論架構嫺熟研讀，在 LFT 計分理論的數理邏輯架構之下，針對其不 足之處提出補救之道。
此外，對於概念圖邊長權數意義的延伸，研究者也滿懷興趣。在現實 案例中必須考量之教學時間、教學投入、概念間困難度差異等等議題，如 何透過合理的轉化，量化為概念圖邊長權數，亦是引人入勝的有趣議題。
第二節 研究目的
本研究以諸家概念圖理論學者提出之概念圖計分理論為研究基礎，先 以數理邏輯角度評核諸家概念圖計分理論之異同，再以日本拓殖大學竹谷 誠教授於 1999 年提出之 LFT 計分理論為研究標的，針對 LFT 計分理論在 考慮邊長權重時產生之計分失效情況，應用合於數理邏輯架構與 LFT 計分 理論原則之手段，加以補救。
本研究除教學應用之外，對於其他可以非循環有向圖表徵之活動，亦 能在釐清概念間重要度關係、單一概念重要度、兩非循環有向圖類似度等 等課題上提供參考資訊。現整理本研究之研究目的條列如下：
一、以三維非循環有向圖定義概念圖
(一) 以頂點表徵概念：單一頂點表徵一活動中的一項概念，若這一活 動單元含有 n 項概念，則此一以三維非循環有向圖表徵之概念圖含 有 n 個頂點。
(二) 以邊表徵兩概念間關係：若兩概念間的對應關係存在，則在概念 圖中表徵這兩個概念對應關係的邊存在。
(三) 在此一活動中兩概念對應關係存在權重，則在表徵此一活動的三 維非循環有向圖中，表徵此對應關係的邊權重存在。
二、透過合理的轉化，將兩概念間的差異量化為概念圖邊長 權數。
三、在 LFT 架構下，以合乎數理邏輯的手段重新建立重要度
與類似度計分定義，解決現實中 LFT 計分理論計分失效
之困境。
第三節 研究背景
非循環有向圖相關發展奠基於圖型理論，對於圖形理論(graph theory) 中關於非循環有向圖的定義及定理，在本研究中多有援引，且相對於單純 概念圖觀念，圖形理論提供本研究更豐富多元的資訊。由於竹谷誠教授提 出之 LFT 計分理論以非循環有向圖為研究主體，故，整體上 LFT 計分理 論亦以圖形理論為基礎。
在非循環有向圖探討中，較具重要性之圖形理論部分定義與定理，玆 根據新近之學者文獻(Balakrishnan, 2000; Chartrand & Lesniak, 1986; Clark
& Holton, 1991)，條列如下:
【定義 1.3.1】非循環有向圖
G = ( V, E )
中，V = { v
1, v
2,..., v
n}
表頂點集合，
E = { e
1, e
2,..., e
m}
表有向邊集合。【定義 1.3.2】非循環有向圖
G = ( V, E )
中，若vi,vj∈V且相鄰，則以 vi,vj 表此二點之間的邊。【定義 1.3.3】有向圖
G = ( V, E )
中，若vi,vj∈V且 vi,vj ∈E，則以vi →vj 表示間的對應關係，其中vj稱為 head，v
i稱為 tail。【定義 1.3.4】有向圖
G = ( V, E )
中，v( )
1,v( )
2 ,...,v( )
j ∈V，其中，若前述任意 前後兩點皆相鄰，則稱 v( )
1,v( )
2 ,...,v( )
j 為G = ( V, E )
的 walk。【定義 1.3.5】有向圖
G = ( V, E )
中，v( )
1,v( )
2 ,...,v( )
j ∈V， v( )
1 ,v( )
2 ,...,v( )
j 為G = ( V, E )
的 walk，若此 walk 中頂點不重複，則稱 v( )
1 ,v( )
2 ,...,v( )
j 為( V, E )
G =
之 path。【定義 1.3.6】有向圖
G = ( V, E )
中，定義W(
vi,vj)
為所有以v
i為起點，以vj 為終點之 walk 所成之集合。【定義 1.3.7】有向圖
G = ( V, E )
中,V={v
1, v
2,..., v
n}
,其中
∉
= ∈
E;
v , v if , 0
E;
v , v if , 1 a
j i
j i
ij 則我們稱
A = [ ] a
ij n×n 為 G 的鄰接矩陣(adjacency matrix).【定理 1.3.1】(Chartrand et al., 1986)
A = [ ] a
ij n×n為G = ( V, E )
之鄰接矩陣，V=
{v
1, v
2,..., v
n}
，( ) [ ]
ij( )
k n nk a
I
A+ = × ,k≥1 ,則aij
( )
k 表示G = ( V, E )
中，起點
v
i，終點vj，長度為 k 之步道數。第四節 研究限制
心理學界對知識表徵相當關切，對心理計量研究的投入更導致心理計 量理論極大變革。學者宋德忠等人(民 87)認為探討知識結構問題時，極大 部分的研究者仍然依據訊息處裡模式對知識結構表徵的看法；在本研究中 提出之 LFT 計分理論根據網路表徵模式，奠基於訊息處理理論，故，本研 究在知識結構的測量中之適用條件及應用範圍可能受訊息處理理論之限 制。
若本研究運用於其他非知識結構表徵之範疇，則本研究限制亦隨範疇 不同而異。