目錄 第一章 緒論...1 第一節 研究動機……….1 第二節 研究目的………..………...3 第三節 研究背景……….………...4 第四節 研究限制……….………...6 第二章 相關理論與文獻探討………...7 第一節 竹谷誠之 LFT 計分理論………..7 第二節 劉湘川知識結構有向圖形類似度之改進指標………..23 第三章 解決 LFT 計分理論困境之技術……….26 第一節 LFT 計分理論在處理不同權重邊長之困境………..26 第二節 解決 LFT 計分理論在處裡不同權重邊長困境的技術……….28 第四章 竹谷誠 LFT 計分理論與諸家理論改良模式之比較與結果探討……….41 第一節 概說………..………..41 第二節 範例………..………..42 第五章 結論與建議………..57 第一節 結論………..………..57 第二節 建議………..………..59
表目錄 <表 4-2-1>邊重要度比較表………54 <表 4-2-2>類似度比較表………56 圖目錄 【圖 2-1-1】LFT 計分理論說明圖………8 【圖 2-1-2】LFT 計分理論範例圖……….16 【圖 3-1-1】考慮邊長權重計分理論說明圖………27 【圖 3-2-1】非單一邊數相鄰兩頂點考慮邊長權重說明圖………28 【圖 3-2-2】擴充圖示意圖………30 【圖 3-2-3】擴充圖之鄰接矩陣示意圖………31 【圖 3-2-4】擴充圖之邊重要度示意圖………34 【圖 4-2-1】考慮邊長權重 LFT 計分理論範例圖………42 【圖 4-2-2】範例圖【圖 4-2-1】之擴充圖………43
第一章 緒論
第一節 研究動機
蓋聶(M. Gagné)於 1962 年提出學習階層理論,理論中指出任何一項學 習皆存在適當的順序,且一種學習為後一種學習之先決條件。自概念圖中 可以發現學習脈絡與前後邏輯概念,對於學習者與教學者而言,概念圖是 一項重要且幫助極大的工具,在學習的過程中,藉由概念圖的脈絡與先後 邏輯概念的呈現,教學者可針對學習者概念間銜接薄弱之處加強指導,學 習者可依教學者概念圖重要度計分明暸整個學習單元之重點何在,並可透 過教學者概念圖與學習者概念圖之比較,判讀兩者異同,以為改進學習缺 失之參考。 是此之故,概念圖計分遂成為當前概念圖研究最重要課題。概念圖研 究學者 Shavelson(1972)與佐伯卓也(1981)二人以量化觀點提出不同的圖形 計分方法,此後,Novak-Gowin(1984)、余民寧(1996)等學者在概念圖計分 的研究上亦多有貢獻,自此,概念圖之計分理論眾議紛呈,在單元概念學 習上,對學習者自是裨益良深。然而諸多概念圖計分理論皆存在計分結果 與現實狀況相悖的缺失。概念圖計分學者針對此一繆誤解決的努力,在日 本拓殖大學教授竹谷誠提出 LFT 計分理論之後,可說到達一新階段的里程 碑。 然而 LFT 計分理論在所有的概念圖計分案例中並非所向披靡,相反 的,在部分要求更精確的概念圖計分中,LFT 計分理論便呈現計分失效的 疲態。研究者認為概念圖中,概念間之邊長權數無法合理呈現於 LFT 計分 理論之類似度計分中,必定大幅壓縮 LFT 計分理論在概念圖計分上的空間,尤有甚者,對依據概念圖作為教學與學習手段的教學者與學習者而 言,LFT 此一不足之處或許也引起相當程度的不便。研究者期望透過對 LFT 計分理論架構嫺熟研讀,在 LFT 計分理論的數理邏輯架構之下,針對其不 足之處提出補救之道。 此外,對於概念圖邊長權數意義的延伸,研究者也滿懷興趣。在現實 案例中必須考量之教學時間、教學投入、概念間困難度差異等等議題,如 何透過合理的轉化,量化為概念圖邊長權數,亦是引人入勝的有趣議題。
第二節 研究目的
本研究以諸家概念圖理論學者提出之概念圖計分理論為研究基礎,先 以數理邏輯角度評核諸家概念圖計分理論之異同,再以日本拓殖大學竹谷 誠教授於 1999 年提出之 LFT 計分理論為研究標的,針對 LFT 計分理論在 考慮邊長權重時產生之計分失效情況,應用合於數理邏輯架構與 LFT 計分 理論原則之手段,加以補救。 本研究除教學應用之外,對於其他可以非循環有向圖表徵之活動,亦 能在釐清概念間重要度關係、單一概念重要度、兩非循環有向圖類似度等 等課題上提供參考資訊。現整理本研究之研究目的條列如下:一、以三維非循環有向圖定義概念圖
(一) 以頂點表徵概念:單一頂點表徵一活動中的一項概念,若這一活 動單元含有 n 項概念,則此一以三維非循環有向圖表徵之概念圖含 有 n 個頂點。 (二) 以邊表徵兩概念間關係:若兩概念間的對應關係存在,則在概念 圖中表徵這兩個概念對應關係的邊存在。 (三) 在此一活動中兩概念對應關係存在權重,則在表徵此一活動的三 維非循環有向圖中,表徵此對應關係的邊權重存在。二、透過合理的轉化,將兩概念間的差異量化為概念圖邊長
權數。
三、在 LFT 架構下,以合乎數理邏輯的手段重新建立重要度
與類似度計分定義,解決現實中 LFT 計分理論計分失效
之困境。
第三節 研究背景
非循環有向圖相關發展奠基於圖型理論,對於圖形理論(graph theory) 中關於非循環有向圖的定義及定理,在本研究中多有援引,且相對於單純 概念圖觀念,圖形理論提供本研究更豐富多元的資訊。由於竹谷誠教授提 出之 LFT 計分理論以非循環有向圖為研究主體,故,整體上 LFT 計分理 論亦以圖形理論為基礎。 在非循環有向圖探討中,較具重要性之圖形理論部分定義與定理,玆根據新近之學者文獻(Balakrishnan, 2000; Chartrand & Lesniak, 1986; Clark & Holton, 1991),條列如下: 【定義 1.3.1】非循環有向圖G =
(
V,E)
中,V={
v1,v2,...,vn}
表頂點集合, E ={
e1,e2,...,em}
表有向邊集合。 【定義 1.3.2】非循環有向圖G =(
V,E)
中,若vi,vj∈V且相鄰,則以 vi,vj 表此二點之間的邊。 【定義 1.3.3】有向圖G =(
V,E)
中,若vi,vj∈V且 vi,vj ∈E,則以vi →vj 表示間的對應關係,其中vj稱為 head,vi稱為 tail。 【定義 1.3.4】有向圖G=(
V,E)
中,v( )1,v( )2 ,...,v( )j ∈V,其中,若前述任意 前後兩點皆相鄰,則稱 v( )1,v( )2 ,...,v( )j 為G=(
V,E)
的 walk。【定義 1.3.5】有向圖G=
(
V,E)
中,v( )1,v( )2 ,...,v( )j ∈V, v( )1 ,v( )2 ,...,v( )j 為 G =(
V,E)
的 walk,若此 walk 中頂點不重複,則稱 v( )1 ,v( )2 ,...,v( )j 為(
V,E)
G = 之 path。 【定義 1.3.6】有向圖G =(
V,E)
中,定義W(
vi,vj)
為所有以vi為起點,以vj 為終點之 walk 所成之集合。 【定義 1.3.7】有向圖 G=(
V,E)
中,V={v1,v2,...,vn},其中 ∉ ∈ = E; v , v if , 0 E; v , v if , 1 a j i j i ij 則我們稱A=[ ]
aij n×n 為 G 的鄰接矩陣(adjacency matrix). 【定理 1.3.1】(Chartrand et al., 1986) A=[ ]
aij n×n為G=(
V,E)
之鄰接矩陣, V={v1,v2,...,vn},(
)
( )[ ]
n n k ij k a I A+ = × ,k≥1 ,則aij( )k 表示G=(
V,E)
中, 起點vi,終點vj,長度為 k 之步道數。第四節 研究限制
心理學界對知識表徵相當關切,對心理計量研究的投入更導致心理計 量理論極大變革。學者宋德忠等人(民 87)認為探討知識結構問題時,極大 部分的研究者仍然依據訊息處裡模式對知識結構表徵的看法;在本研究中 提出之 LFT 計分理論根據網路表徵模式,奠基於訊息處理理論,故,本研 究在知識結構的測量中之適用條件及應用範圍可能受訊息處理理論之限 制。 若本研究運用於其他非知識結構表徵之範疇,則本研究限制亦隨範疇 不同而異。第二章 相關理論與文獻探討
第一節 竹谷誠之 LFT 計分理論
一、LFT 計分理論概述
自概念圖中可發現學習脈絡與前後邏輯概念,而根據學習者繪製之概 念圖與教育者所繪製之標準圖,評定其得分,可提供豐富資訊以作為教學與 評量之參考。分析概念圖計分方法多元,計分效率迥異。 然而,諸多概念圖計分方法存在計分與現實狀況明顯歧異的問題,現 舉一竹谷誠教授開創之例說明如下:假定某一課程教學,學習單元共計 9 個概念,圖 2-1-1 中,G1為一教學者所繪製標準圖,G2、G3、G4 為三位學習者分別繪製之概念圖,現依據 Shavelson & Stanon(1975) 與佐伯卓也 (1981)、 Novak-Gowin(1984)等學者之計分理論,G2、G3、G4對G1之計分 相同,但細究G2、G3、G4圖之結構發現這三位學習者的理解狀況截然不 同,因為G2圖結構支離破碎,永遠無法達到最終學習目標概念v9,與其他 二人所繪製之概念圖相較,顯然存在更大學習困境。 Shavelson(1972)與佐伯卓也(1981)二人以量化觀點提出不同的圖形計 分方法,前者考慮任意二頂點間距離作為定量評分,卻忽略此二頂點途經 哪些頂點;後者以任二頂點間有無邊作為定量評分,卻未衡量邊之方向性。 因此,二人的結構圖計分均存在著不合理的同分問題(竹谷誠與佐佐木整, 1997;竹谷誠, 2004)。
1 G G2 G3 G4 圖 2-1-1 針對此一不合理狀況,日本拓殖大學教授竹谷誠於 1997 年提出 Logical flow test(簡稱 LFT)計分理論加以改進。LFT 計分理論自分析概念圖的 過程中得出各概念間之重要度、差異度等資料,據此分析學習者概念理解 之階層關係、概念彼此間之影響程度,提出補救教學之有效措施,並以符 合數理邏輯之類似度定義計算兩概念圖之類似度分數。若依 LFT 計分理論 計算標準圖與概念圖之類似度得分,G1與G2之類似度得分最低,符合現實 狀況。 簡言之,日本拓殖大學教授竹谷誠等人(1997) 引入 LFG(屬概念圖之 一) 中二頂點間距離與有向邊重要度(importance index) 及二 LFG 間類似 度(similarity measure) ;到達度(reachability measure)三項重要觀念,發展而 成新計分理論,此計分理論便是 LFT。
二、LFT 計分理論定理定義彙整
關於 LFT 計分理論,日本拓殖大學教授竹谷誠已針對部分重要定理提 出數理證明(竹谷誠等人, 1997; 竹谷誠, 1999),繼而,國立台中師範學院廖 寶貴、曾智鈿、胡豐榮與許天維(民 93) 則完成 LFT 其餘定理之證明。現 茲整理 LFT 計分理論之定義定理如下:【定義 2.1.1】有向圖G=
(
V,E)
中,若連結W(
vi,vj)
≠φ,定義先行點集合 與可到達點集合如下: 先行點集合A( )
vi ={
vk :W(
vk,vi)
≠φ}
可到達點集合R( )
vj ={
vl :W(
vj,vl)
≠φ}
【定義 2.1.2】有向圖G=(
V,E)
中,若vi,vj,vk,vl∈V,且步道 W= vi,...,vk,vl,...,vj ∈W(
vi,vj)
存在,則稱有向邊 vk,vl 為W(
vi,vj)
的 經由邊。 【定義 2.1.3】有向圖G=(
V,E)
中,定義C(
vk,vl;G)
為所有經由 vk,vl 的連 結, 其起點集合與終點集合之笛卡兒積。 即C(
vk,vl;G)
≡{(
vi,vj)
∈V×V: vk,vl 是W(
vi,vj)
的經由邊}。 【定義 2.1.4】有向圖G=(
V,E)
中,若頂點數 N[V]=n,在 V 中之相鄰兩頂 點vk,vl所構成之有向邊 vk,vl ,其重要度(
v ,v ;G)
I k l =(
)
[
]
( ) N[
C(
v ,v ;G)
]
max G ; v , v C N j i V V v , v l k j i ∈ × 【定義 2.1.5】在頂點vi處的重要度I(
vi;G)
=∑
[
(
) (
)
]
= + n 1 j i j j i,v ;G Iv ,v ;G v I 其中, 若vi,vj無對應關係,則I(
vi,vj;G)
=I(
vj,vi;G)
=0【定義 2.1.6】有向圖G=
(
V,E)
中,若W(
vi,vj)
為非空集合, 定義A( )
vj ={vi:W(
vi,vj)
為非空集合}為vj之先行頂點集合; R( )
vi ={vj:W(
vi,vj)
為非空集合}為vi之可到達頂點集合。 【定義 2.1.7】矩陣 R=[ ]
rij n×n為有向圖G =(
V,E)
之 可到達矩陣(reachability matrix),其中rij=(
)
[
]
(
)
[
]
= ≠ 0; v , v W N if , 0 0; v , v W N if , 1 j i j i 【定義 2.1.8】有向圖G=(
V,E)
中, 定義T(
vi,vj;G)
≡{ vk,vl ∈E: vk,vl 為W(
vi,vj)
之經由邊}可知,(
v ,v ;G)
T i j 乃構成連結(
vi,vj)
之全數有向邊所成之集合, 所以N[
T(
vi,vj;G)
]
=∑∑
= = n 1 k n 1 l lj kl ika r r ,N[
T(
vi,vj;G)
]
為連結(
vi,vj)
的長度, 亦表示連結(
vi,vj)
在有向圖 G 中之連結度。 【定理 2.1.1】N[
C(
vi,vj;G)
]
= ∑
∑
= = n 1 l jl ij n 1 k ki a r r 。【定理 2.1.2】若G=
(
V,E)
為非循環有向圖,頂點數 N[V]=n,vi,vj為相鄰二 頂點,則max(vk,vl)∈V×VN[
C(
vi,vj;G)
]
≤ 4 n2 。 【證明】 由於 G 是一非循環有向圖,因此A( )
vi Ι R( )
vj 為空集合。 故 N[A( )
vi Υ R( )
vj ]=N[A( )
vi ]+N[R( )
vj ]-N[A( )
vi Ι R( )
vj ] = N[A( )
vi ]+N[R( )
vj ]-0= N[A( )
vi ]+N[R( )
vj ]又A( )
vi Υ R( )
vj ⊆V, 所以 N[A( )
vi Υ R( )
vj ]≤n 設 N[A( )
vi ]=x,則 N[R( )
vj ]≤n-x 即 N[C(
vi,vj;G)
]=N[A( )
vi ×R( )
vj ]≤x(n-x)= 2 x -nx 又C(
vi,vj;G)
必為正整數,當 x= 2 n 時, N[C(
vi,vj;G)
]≤max(v,v) V VN[
C(
vi,vj;G)
]
j i ∈ × = 4 n2 。 【定理 2.1.3】I(
vi,vj;G)
=[
(
)
]
4 n G ; v , v C N 2 j i =( )
( )
× 4 n ] v R v N[A 2 j i【定理 2.1.4】在頂點數 N[V]=n 的有向圖G=
(
V,E)
中,∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N =∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v T N 【證明】∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N =∑∑
∑
∑
= = = = n 1 i n 1 j n 1 l jl ij n 1 k ki a r r =∑∑∑∑
= = = = n 1 i n 1 j n 1 k n 1 l jl ij kia r r 由於N[
T(
vi,vj;G)
]
=∑∑
= = n 1 k n 1 l lj kl ika r r , 所以∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N =∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v T N 【定義 2.1.9】兩有向圖G =(
V,E)
與 '(
')
E V, G = 中,V={
v1,v2,...,vn}
定義 G 與 G’之類似度 S(G,G’)為(
G,G')
S =(
) (
)
[
]
(
) (
)
[
]
∑∑
∑∑
= = = = n 1 i n 1 j j i j i n 1 i n 1 j j i j i G' ; v , v C G ; v , v C N G' ; v , v C G ; v , v C N Υ Ι 【定理 2.1.5】G =(
V,E)
,G' =(
V,E')
為任意含相同頂點之二有向圖, 則 0≤S(
G,G')
≤1 【證明】 由於N[
C(
vi,vj;G) (
Ι Cvi,vj;G')
]
≤ N[
C(
vi,vj;G) (
ΥCvi,vj;G')
]
所以∑∑
N[
C(
vi,vj;G) (
Ι Cvi,vj;G')
]
≤∑∑
N[
C(
vi,vj;G) (
ΥCvi,vj;G')
]
且 0≤∑∑
N[
C(
vi,vj;G) (
Ι Cvi,vj;G')
]
故 0≤S(G,G’)=(
) (
)
[
]
(
) (
)
[
]
∑∑
∑∑
= = = = n 1 i n 1 j j i j i n 1 i n 1 j j i j i G' ; v , v C G ; v , v C N G' ; v , v C G ; v , v C N Υ Ι ≤1【定義 2.1.10】兩有向圖G=
(
V,E)
與G' =(
V,E')
中,另一類似度R(
G,G')
定義(
')
G G, R = 100× S(G,G'),R(
G,G')
又稱為到達度。 【定義 2.1.11】兩有向圖G =(
V,E)
與G' =(
V,E')
中,vi,vj∈V,定義兩圖相 對應之邊 vi,vj 差異度 ) G' G, ; v , D(vi j =N[
C(
vi,vj;G) (
ΥCvi,vj;G')
]
-N[
C(
vi,vj;G) (
Ι Cvi,vj;G')
]
。 定義兩圖相對應之邊 vi,vj 最大差異量為 )] ' ; , ( ) ; , ( [ )} ' , ; , ( {D v v G G N C v v G C v v G Max i j = i j ∪ i j 【定理 2.1.6】兩有向圖G =(
V,E)
,G' =(
V,E')
中,V={
v1,v2,...,vn}
則G=(
V,E)
, '(
')
E V, G = 之類似S(
G,G')
=(
) (
)
[
]
(
) (
)
[
]
∑∑
∑∑
= = = = n 1 i n 1 j j i j i n 1 i n 1 j j i j i G' ; v , v T G ; v , v T N G' ; v , v T G ; v , v T N Υ Ι 【證明】 由於N[
C(
vi,vj;G) (
Ι Cvi,vj;G')
]
= ∑
∑
= = n 1 l ' jl jl ' ij ij n 1 k ' ki kir a a r r r 所以∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι =∑∑
∑
∑
= = = = n 1 k n 1 l n 1 i n 1 j ' lj lj ' ik ik ' kl kla r r r r a =∑∑∑∑
= = = = n 1 i n 1 j n 1 k n 1 l ' lj ' kl ' ik lj kl ika r r a r r =∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G T v ,v ;G' v T N Ι 又∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N =∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v T N 所以∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Υ =∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G T v ,v ;G' v T N Υ 即S(
G,G')
= =(
) (
)
[
]
(
) (
)
[
]
∑∑
∑∑
= = = = n 1 i n 1 j j i j i n 1 i n 1 j j i j i G' ; v , v T G ; v , v T N G' ; v , v T G ; v , v T N Υ Ι【定理 2.1.7】G =
(
V,E)
, '(
')
E V, G = 為二有向圖,則(1),(2),(3),(4)互為 等價 (1).就任意vi,vj∈V 而言,C(
vi,vj;G)
=C(
vi,vj;G')
(2).就任意vi,vj∈V 而言,T(
vi,vj;G)
=T(
vi,vj;G')
(3).S(
G,G')
=1 (4).G= ' G 【證明】 1.若(4)成立,則(1),(2),(3)顯然成立。 2.假設(1)成立, *1 若 vi,vj ∈E,則N[
C(
vi,vj;G)
]
=N[
C(
vi,vj;G')
]
≠0,故 vi,vj ∈ ' E *2 若 vi,vj ∉E,則N[
C(
vi,vj;G)
]
=N[
C(
vi,vj;G')
]
=0,故 vi,vj ∉ ' E 由*1,*2 知 E= ' E ,即 G=G' 3.假設(2)成立, *1 若T(
vi,vj;G)
為空集合,即 vi,vj ∉E 則T(
vi,vj;G')
為空集合,可知 vi,vj ∉ ' E *2 若T(
vi,vj;G)
為非空集合,即 vi,vj ∈E 則T(
vi,vj;G')
為非空集合,可知 vi,vj ∈ ' E ,由*1,*2 知 E=E', 即 G= ' G 4.若S(
G,G')
=1,則可知∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι =∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Υ 即(
)
[
]
∑∑
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N +∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G' v C N =2∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G C v ,v ;G' v C N Ι整理可得 0≤
∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N -∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι =∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι -∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G' v C N ≤0∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N -∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι =∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι -∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G' v C N =0 故∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G v C N =∑∑
[
(
) (
)
]
= = n 1 i n 1 j j i j i,v ;G Cv ,v ;G' v C N Ι =∑∑
[
(
)
]
= = n 1 i n 1 j j i,v ;G' v C N 可知 C(
vi,vj;G)
=C(
vi,vj;G')
,又根據(1)得證 G= ' G 5.由 1. 2. 3. 4. 【定理 2.1.7】證成三、LFT 計分理論範例操作
對於 LFT 計分理論的邊重要度與類似度的計分,學生舉一例說明。在 圖 2-1-2 中,G1,G2,G3為三非循環有向圖,現在根據竹谷誠教授之圖形邊 重要度與類似度計分公式計算此三圖形間之重要度與類似度。 竹谷誠 LFT 計分理論: 1.邊重要度 在G1中: 1 v 的先行點集合A( )
v1 ={ }
v1 ,v2的可到達點集合R( )
v2 ={
v2,v4,v5}
, 所以所有經由 v1,v2 的連結集合(
v1,v2;G1)
C =A( )
v1 ×R( )
v2 ={
(
v1,v2) (
, v1,v4) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v1,v2;G1)
的元素個數N[
C(
v1,v2;G1)
]
=3, 所以 v1,v2 的重要度I(
v1,v2;G1)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 1 2 1 = 2 1 6 3 = =0.51 G G2 G3 圖 2-1-2 3 v 的可到達點集合R
( )
v3 ={ }
v3 , 所以所有經由 v1,v3 的連結集合(
v1,v3;G1)
C =A( )
v1 ×R( )
v3 ={
(
v1,v3)
}
, 因此集合C(
v1,v3;G1)
的元素個數N[
C(
v1,v3;G1)
]
=1, 所以 v1,v3 的重要度I(
v1,v3;G1)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 1 3 1 = 6 1 =0.1667 2 v 的先行點集合A( )
v2 ={
v1,v2}
, 4 v 的可到達點集合R( )
v4 ={
v4,v5}
, 所以所有經由 v2,v4 的連結集合(
v2,v4;G1)
C =A( )
v2 ×R( )
v4 ={
(
v1,v4) (
, v1,v5) (
, v2,v4) (
, v2,v5)
}
, 因此集合C(
v2,v4;G1)
的元素個數N[
C(
v2,v4;G1)
]
=4,所以 v2,v4 的重要度I
(
v2,v4;G1)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 1 4 2 = 3 2 6 4 = =0.6667 4 v 的可到達點集合R( )
v4 ={
v4,v5}
, 所以所有經由 v1,v4 的連結集合(
v1,v4;G1)
C =A( )
v1 ×R( )
v4 ={
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v1,v4;G1)
的元素個數N[
C(
v1,v4;G1)
]
=2, 所以 v1,v4 的重要度I(
v1,v4;G1)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 1 4 1 = 3 1 62 = =0.3333 4 v 的先行點集合A( )
v4 ={
v1,v2,v4}
,v5的可到達點集合R( )
v5 ={ }
v5 , 所以所有經由 v4,v5 的連結集合(
v4,v5;G1)
C =A( )
v4 ×R( )
v5 ={
(
v4,v5) (
, v2,v5) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v4,v5;G1)
的元素個數N[
C(
v4,v5;G1)
]
=3, 所以 v4,v5 的重要度I(
v4,v5;G1)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 1 5 4 = 2 1 6 3 = =0.5 在G2中: 1 v 的先行點集合A( )
v1 ={ }
v1 ,v2的可到達點集合R( )
v2 ={
v2,v4,v5}
, 所以所有經由 v1,v2 的連結集合(
v1,v2;G2)
C =A( )
v1 ×R( )
v2 ={
(
v1,v2) (
, v1,v4) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v1,v2;G2)
的元素個數N[
C(
v1,v2;G2)
]
=3,所以 v1,v2 的重要度I
(
v1,v2;G2)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 2 2 1 = 2 1 6 3 = =0.5 3 v 的可到達點集合R( )
v3 ={ }
v3 , 所以所有經由 v1,v3 的連結集合(
v1,v3;G2)
C =A( )
v1 ×R( )
v3 ={
(
v1,v3)
}
, 因此集合C(
v1,v3;G2)
的元素個數N[
C(
v1,v3;G2)
]
=1, 所以 v1,v3 的重要度I(
v1,v3;G2)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 2 3 1 = 6 1 =0.1667 2 v 的先行點集合A( )
v2 ={
v1,v2}
, 4 v 的可到達點集合R( )
v4 ={
v4,v5}
, 所以所有經由 v2,v4 的連結集合(
v2,v4;G2)
C =A( )
v2 ×R( )
v4 ={
(
v1,v4) (
, v1,v5) (
, v2,v4) (
, v2,v5)
}
, 因此集合C(
v2,v4;G2)
的元素個數N[
C(
v2,v4;G2)
]
=4, 所以 v2,v4 的重要度I(
v2,v4;G2)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 2 4 2 = 3 2 6 4 = =0.6667 4 v 的可到達點集合R( )
v4 ={
v4,v5}
, 所以所有經由 v1,v4 的連結集合(
v1,v4;G2)
C =A( )
v1 ×R( )
v4 ={
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v1,v4;G2)
的元素個數N[
C(
v1,v4;G2)
]
=2,所以 v1,v4 的重要度I
(
v1,v4;G2)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 2 4 1 = 3 1 6 2 = =0.3333 4 v 的先行點集合A( )
v4 ={
v1,v2,v4}
,v5的可到達點集合R( )
v5 ={ }
v5 , 所以所有經由 v4,v5 的連結集合(
v4,v5;G2)
C =A( )
v4 ×R( )
v5 ={
(
v4,v5) (
, v2,v5) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v4,v5;G2)
的元素個數N[
C(
v4,v5;G2)
]
=3, 所以 v4,v5 的重要度I(
v4,v5;G2)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 2 5 4 = 2 1 6 3 = =0.5 在G3中: 1 v 的先行點集合A( )
v1 ={ }
v1 ,v2的可到達點集合R( )
v2 ={ }
v2 , 所以所有經由 v1,v2 的連結集合(
v1,v2;G3)
C =A( )
v1 ×R( )
v2 ={
(
v1,v2)
}
, 因此集合C(
v1,v2;G3)
的元素個數N[
C(
v1,v2;G3)
]
=1, 所以 v1,v2 的重要度I(
v1,v2;G3)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 3 2 1 = 6 1 =0.1667 3 v 的可到達點集合R( )
v3 ={ }
v3 , 所以所有經由 v1,v3 的連結集合(
v1,v3;G3)
C =A( )
v1 ×R( )
v3 ={
(
v1,v3)
}
, 因此集合C(
v1,v3;G3)
的元素個數N[
C(
v1,v3;G3)
]
=1,所以 v1,v3 的重要度I
(
v1,v3;G3)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 3 3 1 = 6 1 =0.1667 4 v 的可到達點集合R( )
v4 ={
v4,v5}
, 所以所有經由 v1,v4 的連結集合(
v1,v4;G3)
C =A( )
v1 ×R( )
v4 ={
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
, 因此集合C(
v1,v4;G3)
的元素個數N[
C(
v1,v4;G3)
]
=2, 所以 v1,v4 的重要度I(
v1,v4;G3)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 3 4 1 = 3 1 6 2 = =0.3333 4 v 的先行點集合A( )
v4 ={
v1,v4}
,v5的可到達點集合R( )
v5 ={ }
v5 , 所以所有經由 v4,v5 的連結集合(
v4,v5;G3)
C =A( )
v4 ×R( )
v5 ={
(
v1,v5) (
, v4,v5)
}
, 因此集合C(
v4,v5;G3)
的元素個數N[
C(
v4,v5;G3)
]
=2, 所以 v4,v5 的重要度I(
v4,v5;G3)
=(
)
[
]
4 5 G ; v , v C N 2 3 5 4 = 3 1 6 2 = =0.3333 2.類似度 2 1,G G 之類似度S(
G1,G2)
: 因為∑∑
[
(
) (
)
]
= = 5 1 i 5 1 j 2 j i 1 j i,v ;G Cv ,v ;G v C N Ι =N[
C(
v1,v2;G1)
]
+N[
C(
v1,v3;G1)
]
+N[
C(
v2,v4;G1)
]
+N[
C(
v1,v4;G1)
]
+N[
C(
v4,v5;G1)
]
=3+1+4+2+3=13(
) (
)
[
]
∑∑
= = 5 1 i 5 1 j 2 j i 1 j i,v ;G Cv ,v ;G v C N Υ =N[
C(
v1,v2;G1)
]
+N[
C(
v1,v3;G1)
]
+N[
C(
v2,v4;G1)
]
+N[
C(
v1,v4;G1)
]
+N[
C(
v4,v5;G1)
]
=3+1+4+2+3=13 所以G1,G2之類似度S(
G1,G2)
= 1 13 13 = 故G1,G2之到達度R(
G1,G2)
= S(
G1,G2)
×100= 1×100=100 3 1,G G 之類似度S(
G1,G3)
: 因為∑∑
[
(
) (
)
]
= = 5 1 i 5 1 j 3 j i 1 j i,v ;G Cv ,v ;G v C N Ι =N[
{
(
v1,v2)
}
]
+N[
{
(
v1,v3)
}
]
+N[ ]
φ +N[
{
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
]
+N[
{
(
v4,v5) (
, v1,v5)
}
]
=1+1+0+2+2=6(
) (
)
[
]
∑∑
= = 5 1 i 5 1 j 3 j i 1 j i,v ;G C v ,v ;G v C N Υ =N[
{
(
v1,v2) (
, v1,v5) (
, v1,v4)
}
]
+N[
{
(
v1,v3)
}
]
+N[
{
(
v2,v4) (
, v1,v5) (
, v1,v4) (
, v2,v5)
}
]
+N[
{
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
]
+N[
{
(
v4,v5) (
, v1,v5)(
v2,v5)
}
]
=3+1+4+2+3=13 所以G1,G3之類似度S(
G1,G3)
= 0.4615 136 = 故G1,G3之到達度R(
G1,G3)
= S(
G1,G3)
×100= 0.4615×100=67.9338 3 2,G G 之類似度S(
G2,G3)
: 因為∑∑
[
(
) (
)
]
= = 5 1 i 5 1 j 3 j i 2 j i,v ;G Cv ,v ;G v C N Ι =N[
{
(
v1,v2)
}
]
+N[
{
(
v1,v3)
}
]
+N[ ]
φ +N[
{
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
]
+N[
{
(
v4,v5) (
, v1,v5)
}
]
=1+1+0+2+2=6(
) (
)
[
]
∑∑
= = 5 1 i 5 1 j 3 j i 2 j i,v ;G Cv ,v ;G v C N Υ =N[
{
(
v1,v2) (
, v1,v5) (
, v1,v4)
}
]
+N[
{
(
v1,v3)
}
]
+N[
{
(
v2,v4) (
, v1,v5) (
, v1,v4) (
, v2,v5)
}
]
+N[
{
(
v1,v4) (
, v1,v5)
}
]
+N
[
{
(
v4,v5) (
, v1,v5)(
v2,v5)
}
]
=3+1+4+2+3=13所以G2,G3之類似度S
(
G2,G3)
= 0.4615136 =
第二節 劉湘川知識結構有向圖形類似度之改
進指標
一、 知識結構有向圖形類似度之改進指標概述
竹谷誠(1997)之 LFT 分析法中,對於認知構圖形的類似度以「兩圖 形邊之連結集合的交集與聯集」之求取非常繁複艱困,臺中健康暨管理學 院 生物資訊所暨心理系教授劉湘川以「兩圖形交集與聯集之邉之連結集 合」為基點,解決求取「兩圖形邊之連結集合的交集與聯集」的不便之處, 而得計算簡便之「第一種改進類似度指標」。 此外,竹谷誠等人(1997)以連解的角度思索重要度、類似度與差異度, 對此臺中健康暨管理學院 生物資訊所暨心理系教授劉湘川提出「邊之不 同經由路徑之存在數量及邊之不同位序值」,此一方法將有效解決大量的 同分問題,對 LFT 的發展來說,這是一項更全面的突破。二、茲整理劉湘川教授改進 LFT 計分理論,歸納定義定理如
下:
【定義 2.2.1】有向圖G=(
V,E)
中,邊 vi,vj 之先行點集合 A1(
vi,vj ;G)
={
vk;vk ≠vj, vk,...,vi,vj 為G中路徑}
【定義 2.2.2】有向圖G=(
V,E)
中,邊 vi,vj 之可到達點集合 R1(
vi,vj ;G)
={
vl;vl ≠vi, vi,vj,...,vl 為G中路徑}
【定義 2.2.3】有向圖G=
(
V,E)
中, 邊 vi,vj 之經由路徑集合 P(
vi,vj ;G)
={
vk,...,vi,vj,...,vl ; vk,...,vi,vj,...,vl 為G中路徑}
【定義 2.2.4】有向圖G=(
V,E)
中, 邊 vi,vj 之先行路徑集合 A2(
vi,vj ;G)
={
vk,...,vi ; vk,...,vi,vj 為G中路徑}
【定義 2.2.5】有向圖G=(
V,E)
中, 邊 vi,vj 之先行路徑長集合 L(
vi,vj ;G)
={
N[
vk,...,vi]
; vk,...,vi ∈A2(
vi,vj ;G)
}
其中 N[
vk,...,vi]
表路徑 vk,...,vi 的長度 【定義 2.2.6】有向圖G=(
V,E)
中, 邊 vi,vj 之可到達路徑集合 R2(
vi,vj ;G)
={
vj,...,vl ; vi,vj,...,vl 為G中路徑}
【定義 2.2.7】有向圖G=(
V,E)
中, 邊 vi,vj 之位序值 oij=order(
vi,vj ;G)
=maxL(
vi,vj ;G)
【定理 2.2.1】C(
vi,vj;G)
=A1(
vi,vj ;G)
×R1(
vi,vj ;G)
【定理 2.2.2】P(
vi,vj ;G)
=A2(
vi,vj ;G)
×R2(
vi,vj ;G)
【定義 2.2.8】G=G V E
(
,)
,G′=G V E(
, ′)
為具相同頂點集合 V 之 兩非循環有向 圖,「G與G′第一種改進類似度指標」定義如下: SL1(
G,G')
=(
)
[
]
(
)
[
]
∑∑
∑∑
= = = = n 1 i n 1 j j i n 1 i n 1 j j i G' G ; v , v C N G' G ; v , v C N Υ Ι 【定義 2.2.9】G=G V E(
,)
,G′=G V E(
, ′)
為具相同頂點集合 V 之兩非循環 有向圖,「G與G′第二種改進類似度指標」定義如下: SL2(
G,G')
=(
)
[
]
(
)
{
}
(
)
[
]
(
)
{
}
∑∑
∑∑
= = = = + + n 1 i n 1 j j i j i n 1 i n 1 j j i j i G' G ; v , v order G' G ; v , v P N G' G ; v , v order G' G ; v , v P N Ι Υ Ι Ι三、結語
根據劉湘川教授研究指出,依竹谷誠類似度及第一種改進類似度,在 部分圖形類似度計分中是相等無法區辨的,但依第二種改進認知結構圖類 似度指標值,則能精確地區分。 故知第二種改進認知結構圖類似指標值較竹谷誠類似度及第一種改 進類似度指標更靈敏有效,更具鑑別力。第三章 解決 LFT 計分理論困境之技術
第一節 LFT 計分理論在處理不同權重邊長之
困境
LFT 計分理論在教學與評量上之應用效果顯著,雖然在學習者概念 圖的繪製這個層面依舊存在著技術性的困難,但這方面的難題可由心理計 量學者與教育測驗統計學者依學習者的能力,透過測驗的手段加以解決。 另一 LFT 計分理論在實務上較常遭遇的問題乃是計算繁複,此一問題 在劉湘川教授發表論文「知識結構有向圖形類似度之改進指標」,以求取 「兩圖形交集與聯集之邉之連結集」,簡化繁複計算,而得「第一種改進 類似度指標」。 而在精確度改進層面上,劉湘川教授考慮「邊之不同經由路徑之存在 數量,及邊之不同位序值之影響」,針對部分異圖同分的不合理現象加以 改進,在類似度計分課題上,提供一項更為靈敏有效更具鑑別力之計分法 則(劉湘川, 2005)。 至此,LFT 計分理論已獲致近乎完備的理論架構,在解決圖形的計分問 題上,已經實質發揮莫大效益,但在實作中必定遭遇的邊長權重(weight)問題 仍待解決。現針對邊長權重(weight)問題,舉一例說明如下:假定某一課程 教學,學習單元共計 5 個概念,圖 3-1-1 中,Ga、Gb與Gc分別為人員 a、 人員 b 與人員 c 考慮邊長權重之概念構圖,根據 LFT 計分理論,Ga Gb間 之類似度與GaGc間之類似度相等。然而,此一結論顯然與現實狀況不符, 而導致此一錯誤結論之原因,乃是因為 LFT 計分理論在處理考慮邊長權重之概念構圖類似度計分,存在不足之處。 a G Gb Gc 圖 3-1-1 探究此一不合理現象的原因不難發現,問題癥結乃是未考慮邊長權 重。依常理推斷,Ga Gb之類似度必為 1,而Ga Gc間之類似度必小於一。 但依據竹谷誠與劉湘川二位教授之計分理論,卻都無法有效將這兩組類似 度區分出來。此一計分失效的現象,便是玆所謂 LFT 計分理論在處裡不同 權重邊長的困境。 LFT 計分理論應用層面不單在教育評量,亦可廣泛應用於其他以非循 環有向圖為研究工具之領域。除教育評量之外,在其他領域中亦可能遭遇 因邊長權重問題,而致類似度計分失效的狀況。
第二節 解決 LFT 計分理論在處理多邊與不同
權重邊長困境的技術
一、 定義三維度非循環有向圖
【定義 3.2.1】在非循環有向圖G =(
V,E,w)
中,頂點集合V={
v1,v2,...,vn}
為 可量化之指標,若vi,vj為任意相鄰二頂點,則邊集合 E{
v ,v ( ), v ,v ( ),..., v ,v ( );mij vi,vj ,i 1,...,n,j 1,...,n}
m j i 2 j i 1 j i ij = = = 為 間邊數 權重集合w ={
w( )ij1,wij( )2 ,...,wij( )mij ;mij為vi,vj間邊數i=1,2,...,n,j=1,2,...,n}
權重為任何可量化之指標間之差距。 針對【定義 3.2.1】之非循環有向圖,茲舉一例如圖 3-2-12
1
( )1 12w
( )2 12w
( )3 12w
圖 3-2-1 此圖表示V={
v1,v2}
; ( ) ( ) ( ){
3}
2 1 2 2 1 1 2 1,v , v ,v , v ,v v E= ;{
( ) ( ) ( )3}
12 2 12 1 12,w ,w w w = ,三維度所構成之非循環有向圖。 【定義 3.2.2】在非循環有向圖G =(
V,E,w)
中,任意兩相鄰頂點vi,vj, 量化 邊之權重得邊之長度,長度集合{
( ) ( ) ( )mij}
ij 2 ij 1 ij ij w ,w ,...,w w =【定義 3.2.3】在非循環有向圖G=
(
V,E,w)
中,任意兩相鄰頂點vi,vj之邊 之集合{
( ) ( ) ( )mij}
j i 2 j i 1 j i j i,v v ,v , v ,v ,..., v ,v v = 其中,mij為相鄰兩點 vi,vj間的邊數。二、處裡權重邊長重要度的步驟
(1)正整數化: 非循環有向圖G=(
V,E,w)
中,Υ
G j i, ij w 相鄰 表G=(
V,E,w)
之邊長集合, 定義kG為足夠大之最小正整數,使得Υ
G j i, ij w 相鄰 中任意元素乘以kG後,皆 為正整數。 說明:在邊長權數為無理數或kG計算困難時,當權宜性地考慮取捨kG 值之設定。 【定義 3.2.4】定義轉換F:F( )
wij =Wij為一對一且映成函數,其中{
( )
( )( )
( )( )
( )mij}
ij 2 ij 1 ij ij f w ,f w ,...,f w W = , ( )( )
( ) ( )h ij ij G h ij h ij f w k w ,h 1,2,...,m W = = = 說明:轉換F:F( )
wij =Wij之目的在於將所有邊長權數正整數化。 【定義 3.2.5】{
( )
( )}
{
( ) ij}
h ij G ij h ij ij f w ;h 1,2,...,m k w ;h 1,2,...,m W = = = = 說明:計算Wij 的目的在於量化 ( ) ( ) ( ){
mij}
ij 2 ij 1 ij ij w ,w ,...,w w =(2)建立新頂點 【定義 3.2.6】定義轉換
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) = = ∈Υ
Υ E v , v 1) -w (k ij 2 ij 1 ij e h j i ij m ij G v ,..., v , v V V W E, V, H : H 說明:運作轉換H的目的在於建立新頂點。透過邊長權數正整數化與建 立新頂點這兩個步驟,我們已經可以看出新的非循環有向圖的雛形。 現在,我們將新的非循環有向圖定義為原始非循環有向圖的擴充圖。 (3)定義擴充圖 【定義 3.2.7】定義eG=(
eV,eE,ew)
為(
)
w E, V, G= 之擴充圖。其中 ( ) ( ) ( ) ( ) = ∈Υ
Υ E v , v h 1), -w (k ij h , 2 ij h , 1 ij e h j i h ij G v ,..., v , v V V ( ) ( ) ( ) ( ) = j 1 -w k ij 2 ij 1 ij 1 ij i e v , v ,..., v , v , v , v E ij m ij G Υ , ew , =1 if ,∈eE 註:玆針對【定義 3.2.7】中之擴充圖舉例如下: ( )1,2 12 v v12( )2,2 v12( )3,2 (k w( )-1),2 12 2 12 G v ( )1,1 12 v v12( )2,1 ( )3,1 12 v (k w( )-1),1 12 1 12 G v ( )1,3 12 v v12( )2,3 ( )3,3 12 v (k w -1),3 12 3 12 G v 圖 3-2-2 頂點 1 與頂點 2 之間有三條邊,經過正整數化之後,在這些邊中,依新權 數取前三新頂點分別 ( ( ) ) ( ( ) ) 12(k w( )-1),3 ,2 1 -w k 12 ,1 1 -w k 12 3 12 G 2 12 G 1 12 G v , v , v ;新邊長均為 1。【定義 3.2.8】eG=
(
eV,eE,ew)
為G =(
V,E,w)
之擴充圖,定義eG之鄰接矩陣 為[ ]
rs y y e e a A= × ,其中,y=N[ ]
eV , ∉ ∈ = E v , v if 0 E v , v if 1 a e s r e e s r e rs e 現以圖 3-2-3 為例作一鄰接矩陣,此時 p e G 中所有邊長皆為 1 p G ( )1 12 v ( )1 24 v v( )341 p e G 圖 3-2-3 p e G 之鄰接矩陣如下示: = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 A e , 其行元素順序由上至下為 ( ) ( ) ( )1 34 1 24 1 12 5 4 3 2 1,v ,v ,v ,v ,v ,v ,v v ; 其列元素順序由左至右為 ( ) ( ) ( )1 34 1 24 1 12 5 4 3 2 1,v ,v ,v ,v ,v ,v ,v v【定義 3.2.9】非循環有向圖G=
(
V,E,w)
之擴充圖eG=(
eV,eE,ew)
中,定義(
v ,v ; G)
C r s e 為所有經由e vr,vs 的連結,其起點集合與終點集合 之笛卡兒積。 說明:C(
vr,vs;eG)
≡{(
vg,vh)
∈ V V e e × : r s e v , v 是W(
vg,vh)
的經由邊 }。 【定理 3.2.1】非循環有向圖G =(
V,E,w)
之擴充圖eG=(
eV,eE,ew)
中, N[
C(
vr,vs;eG)
]
= ∑
∑
= = y 1 h sh e rs e y 1 g gr e r a r 。 說明: rs e sh e gr e a r r , , 為擴充圖之可到達矩陣與鄰接矩陣對應位置之元素。 【定理 3.2.2】若eG =(
eV,eE,ew)
為(
)
w E, V, G = 之擴充圖,頂點數[ ]
V y N e = ,vr,vs為相鄰二頂點,則max( ) N[
C(
v ,v ; G)
]
e s r V V v , vg h∈e ×e ≤ 4 y2 。 【證明】 由於eG=(
eV,eE,ew)
是一非循環有向圖,因此A( )
vr Ι R( )
vs 為空集合。 故 N[A( )
vr Υ R( )
vs ]=N[A( )
vr ]+N[R( )
vs ]-N[A( )
vr Ι R( )
vs ] = N[A( )
vr ]+N[R( )
vs ]-0= N[A( )
vr ]+N[R( )
vs ]又A( )
vr Υ R( )
vs ⊆V,所以 N[A( )
vr Υ R( )
vs ]≤y 設 N[A( )
vr ]=x, 則 N[R( )
vs ]≤y-x 即 N[C(
vr,vs;eG)
]=N[A( )
vr ×R( )
vs ]≤x(y-x)= 2 x -yx 又C(
vr,vs;eG)
必為正整數 當 x= 2 y 時, N[C(
vr,vs;eG)
]≤max(v ,v ) eV eVN[
C(
vr,vs;eG)
]
h g ∈ × = 4 y2【定義 3.2.10】非循環有向圖G=
(
V,E,w)
之擴充圖eG =(
eV,eE,ew)
中, 定義 T(
vr,vs;eG)
≡{ g h e v , v ∈ Ee : g h e v , v 為W(
vr,vs)
之經由邊}。 【定理 3.2.3】非循環有向圖G =(
V,E)
之擴充圖eG=(
eV,eE,ew)
中,∑∑
[
(
)
]
= = y 1 r y 1 s e s r,v ; G v C N =∑∑
[
(
)
]
= = y 1 r y 1 s e s r,v ; G v T N 【證明】∑∑
[
(
)
]
= = y 1 r y 1 s e s r,v ; G v C N =∑∑
∑
∑
= = = = y 1 r y 1 s y 1 h sh e rs e y 1 g gr e r a r =∑∑∑∑
= = = = y 1 r y 1 s y 1 g y 1 h sh e rs e gr e r a r 由於N[
T(
vr,vs;eG)
]
=∑∑
= = y 1 g y 1 h hs e gh e rg e r a r 所以∑∑
[
(
)
]
= = y 1 r y 1 s e s r,v ; G v C N =∑∑
[
(
)
]
= = y 1 r y 1 s e s r,v ; G v T N (4)重要度之計算 【定義 3.2.11】非循環有向圖G=(
V,E,w)
之擴充圖eG =(
eV,eE,ew)
中,頂 點數為N[ ]
eV ,在eV中之相鄰兩頂點vr,vs所構成之有向邊 r s e v , v , 其重要度為(
)
[
(
)
]
( ) N[
C(
v ,v ; G)
]
max G ; v , v C N G ; v , v I e h g V V v , v e s r e s r e e h g ∈ × = 即I(
v ,v ;eG)
s r =(
)
[
]
4 y G ; v , v C N 2 e s r ,其中,y 為擴充圖之頂點數, 此外,根據定義可改寫eG=(
eV,eE,ew)
之重要度公式如下 I(
vr,vs;eG)
=( ) ( )
× 4 y ] v R v N[A 2 s r【定義 3.2.12】在頂點vr處的重要度I
(
v ; G)
e r =[
(
) (
)
]
[ ]∑
= + V N 1 s e r s e s r e G ; v , v I G ; v , v I 其中,若 vr,vs不相鄰,則I(
v ,v ; G)
e s r =I(
v ,v ; G)
e r s =0 說明:在頂點處的重要度,定義為進出該頂點之邉的重要度總合。 【定義 3.2.13】非循環有向圖G=(
V,E)
之擴充圖eG =(
eV,eE,ew)
中, 定義eG=(
eV,eE,ew)
之頂點集合 V e 之子集合 V為基本點集合 定義eG=(
eV,eE,ew)
之頂點集合eV之子集合eV\V為非基本點集合 【定義 3.2.14】非循環有向圖G=(
V,E,w)
之擴充圖eG =(
eV,eE,ew)
中, vi,vj∈V 考慮路徑 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j 1 -w k ij 2 ij 1 ij i e h j i e v , v ,..., v , v , v v , v h ij G = ,h=1,2,...,mij 則此路徑之重要度定義如下:(
( ))
(
( ))
(
)
( ) ( ) ( ) + + =∑
= + j 1 -w k ij 2 -w k 1 m e 1 m m e 1 ij i e h j i e v , v I G ; v , v I G ; v , v I G ; v , v I h ij G h ij G 說明:針對【定義 3.2.14】中之擴充圖舉例如下: ( )1,2 12 v v12( )2,2 (k w -1),2 12 2 12 G v ( )(
v ,v ; G)
I 1 121,2 e ( ) ( )(
v ,v ; G)
I 122,2 e ,2 1 12 ( ) ( ) v ,v ; G I 2 e ,2 1 -w k 12 2 12 G 圖 3-2-4 此圖表示在v1,v2兩頂點間的第二條邊上,含有 ( )2 12 Gw k 個重要度,故在 2 1,v v 兩頂點間的第二條邊上,此邊之重要度便是這kG w12( )2 個重要度之和。【定理 3.2.4】非循環有向圖G=
(
V,E,w)
,vi,vj∈V在G中為相鄰兩點,vi,vj 間非單邊,則vi,vj間之權重 ( )∑
= = il m r r ij ij w w 1 1 1 , 其中,mij為邊數, ( )r ij w 為第 r 邊之權數。 【說明】1.假設,自一件工作的始點至終點存在 n 條路徑,若可同時自 此 n 條路徑著手進行這件工作。 2.每一路徑的長度跟自此一路徑完成工作的時間成正比,也跟 自此一路徑完成工作的難度成正比。 3.假設工作量為 W。 4.每一路徑的工作效率分別為 n t W t W t W ,..., , 2 1 ; 則這條 n 路徑的工作效率和為∑
∑
= = = n i i n i i t W t W 1 1 1 5.若存在一條路徑,工作效率等於上述 n 條路徑的工作效率 之和,假設此一路徑的工作時間為t。 根據假設,此一路徑的工作效率∑
= = n i ti W t W 1 1 ,即∑
= = n i ti t 1 1 1 。 【定義 3.2.15】非循環有向圖G=(
V,E,w)
之擴充圖為eG=(
eV,eE,ew)
, vi,vi+1,vi+2,...,vj 為G=(
V,E,w)
中之一路徑, 定義路徑W vi,vj = vi,vi+1,vi+2,...,vj 在G之重要度I(
W vi,vj ;G)
=∑
I(
vk,vl;G)
, 其中, vk,vl 為W vi,vj = vi,vi+1,vi+2,...,vj 之經由邊。 註:【定義 3.2.15】用意在於說明一路徑在圖形中,如何定義其重要度。 根據定義可知:路徑的重要度,等於此路徑中所有邊之重要度和。三、定義同頂點集合之非循環有向圖之類似度
【定義 3.2.16】定義Y[ ]p( )
G =eG其中G ={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
,(
l)
e l e l e l e w , E , V G = 為Gl =(
V,El,wl)
之擴充圖,l =1,2,...,p,其中 k[ ]p 為足夠大之最小正整數,使得Υ
G s r, rs w 相鄰 中任意元素乘以k[ ]p ,皆為正 整數。 【定義 3.2.17】若Y[ ]p( )
G =eG其中G={
G1,G2,...,Gp}
,{
p}
e 2 e 1 e e G ,..., G , G G= , 非循環有向圖Gt =(
V,Et,wt)
之擴充圖(
t)
e t e t e t e w , E , V G = 中,頂點數為[ ]
t e V N ,t =1,2,...,p 在 1 e V 中之相鄰兩頂點vr,vs所構成之有向邊 r s e v , v ,其重要度為(
)
[
(
)
]
( )[
(
t)
]
e h g V V v , v t e s r t e s r G ; v , v C N max G ; v , v C N G ; v , v I t e t e h g ∈ × = t=1,2,...,p 可改寫重要度公式(
t)
e s r,v ; G v I =[
(
)
]
[ ]
(
)
4 V N G ; v , v C N 2 t e t e s r ,t =1,2,...,p 【定義 3.2.18】若Y[ ]p( )
G =eG其中G={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
, 非循環有向圖Gt =(
V,Et,wt)
之擴充圖(
t)
e t e t e t e w , E , V G = 中,頂點數為[ ]
t e V N ,t =1,2,...,p,定義eVt之子集合V為基本點集合,子集合eVt \V 為非基本點集合。【定義 3.2.19】非循環有向圖Gt =
(
V,Et,wt)
之擴充圖(
t)
e t e t e t e w , E , V G = 中, vi,vj∈V 考慮路徑 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) j 1 -w k ij 2 ij 1 ij i e h j i e v , v ,..., v , v , v v , v h ij G t t = , [ ]t ij m 1,2,..., h= 則此路徑之重要度定義如下: ( )(
)
(
( ))
[ ](
)
( ) ( ) ( ) + + =∑
= + t e j 1 -w k ij 2 -w k 1 m t e 1 m m t e 1 ij i t e h j i e G ; v , v I G ; v , v I G ; v , v I G ; v , v I h ij G h ij p [ ]t ij m 1,2,..., h = 【定義 3.2.20】若Y[ ]p( )
G =eG其中G={
G1,G2,...,Gp}
,{
p}
e 2 e 1 e e G ,..., G , G G= 兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中,V={
v1,v2,...,vn}
定義Gy,Gz之類似度SY(
Gy,Gz)
為(
y z)
Y G ,G S =(
) (
)
(
) (
[
) (
)
]
[
]
(
) (
)
(
) (
[
) (
)
]
[
]
∑∑
∑∑
= = = = n 1 i n 1 j z j i y j i z j i y j i n 1 i n 1 j z j i y j i z j i y j i G ; v , v C G ; v , v C N G ; v , v I , G ; v , v I max G ; v , v C G ; v , v C N G ; v , v I , G ; v , v I min Υ Ι 其中,y=1,2,...,p;z=1,2,...,p 說明:此一類似度定義目的在於更精確計算兩非循環有向圖之類似程 度,透過此一類似度定義,吾人可解決同頂點集合同邉集合但不同邉 長權數集合 的兩非循環有向圖在計算類似度時遭遇的困境。【定義 3.2.21】若Y[ ]p
( )
G =eG其中G={
G1,G2,...,Gp}
,{
p}
e 2 e 1 e e G ,..., G , G G= 兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中,另一類似度(
Gy,Gz)
R ,定義R(
Gy,Gz)
= 100× SY(Gy,Gz) R(
Gy,Gz)
又稱為到達 度,其中,y=1,2,...,p;z=1,2,...,p 【定義 3.2.22】若Y[ ]p( )
G =eG其中G={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中,相鄰二頂點 vi,vj∈V, y=1,2,...,p;z=1,2,...,p,定義兩頂點間差異度如下: D(vi,vj;Gy,Gz)=max(
I(
vi,vj;Gy) (
,Ivi,vj;Gz)
) (
N[
Cvi,vj;Gy) (
ΥCvi,vj;Gz)
]
-min(
I(
vi,vj;Gy) (
,I vi,vj;Gz)
) (
N[
C vi,vj;Gy) (
Ι C vi,vj;Gz)
]
【定義 3.2.24】若Y[ ]p( )
G =eG其中G={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中, 相鄰二頂點 vi,vj∈V, 定義兩圖之最大差異量如下: 最大差異量=max(
I(
vi,vj;Gy) (
,Ivi,vj;Gz)
) (
N[
Cvi,vj;Gy) (
ΥCvi,vj;Gz)
]
【定理 3.2.5】若Y[ ]p
( )
G =eG其中G ={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中,相鄰二頂點 vi,vj∈V,V={
v1,v2,...,vn}
,Gy,Gz之類似度為SY(
Gy,Gz)
, 則0≤SY(
Gy,Gz)
≤1 【證明】 由於 C(
vi,vj;Gy) (
Ι Cvi,vj;Gz) (
⊆C vi,vj;Gy) (
ΥC vi,vj;Gz)
所以 N[
C(
vi,vj;Gy) (
Ι Cvi,vj;Gz)
]
≤N[
C(
vi,vj;Gy) (
ΥC vi,vj;Gz)
]
故 max(
I(
vi,vj;Gy) (
,I vi,vj;Gz)
) (
N[
Cvi,vj;Gy) (
ΥCvi,vj;Gz)
]
≥min(
I(
vi,vj;Gy) (
,Ivi,vj;Gz)
) (
N[
Cvi,vj;Gy) (
Ι Cvi,vj;Gz)
]
且 0≤ min(
I(
vi,vj;Gy) (
,Ivi,vj;Gz)
) (
N[
Cvi,vj;Gy) (
Ι Cvi,vj;Gz)
]
所以∑∑
[
(
(
) (
)
) (
[
) (
)
]
]
= = n 1 i n 1 j z j i y j i z j i y j i,v ;G ,Iv ,v ;G NC v ,v ;G C v ,v ;G v I max Υ∑∑
[
(
(
) (
)
) (
[
) (
)
]
]
= = ≥ n 1 i n 1 j z j i y j i z j i y j i,v ;G ,I v ,v ;G NCv ,v ;G Cv ,v ;G v I min Ι 因此0≤SY(
Gy,Gz)
≤1 【定理 3.2.6】若Y[ ]p( )
G =eG其中G ={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中,V={
v1,v2,...,vn}
Gy,Gz之到達度為R(
Gy,Gz)
,則0≤R(
Gy,Gz)
≤100【定理 3.2.7】若Y[ ]p
( )
G =eG其中G ={
G1,G2,...,Gp}
,eG={
eG1,eG2,...,eGp}
兩非循環有向圖Gy =(
V,Ey,wy)
與Gz =(
V,Ez,wz)
中,V={
v1,v2,...,vn}
則下列二敘述互為等價: (1)SY(
Gy,Gz)
=1;(2)Gy =Gz 【證明】 1. 若(2)Gy =Gz成立,則(1)SY(
Gy,Gz)
=1顯然成立 2. 若(1)SY(
Gy,Gz)
=1成立,則∑∑
[
(
(
) (
)
) (
[
) (
)
]
]
= = n 1 i n 1 j z j i y j i z j i y j i,v ;G ,Iv ,v ;G NC v ,v ;G C v ,v ;G v I max Υ =∑∑
[
(
(
) (
)
) (
[
) (
)
]
]
= = n 1 i n 1 j z j i y j i z j i y j i,v ;G ,Iv ,v ;G NC v ,v ;G Cv ,v ;G v I min Ι 又min(
I(
vi,vj;Gy) (
,I vi,vj;Gz)
)
≤max(
I(
vi,vj;Gy) (
,Ivi,vj;Gz)
)
N[
C(
vi,vj;Gy) (
Ι Cvi,vj;Gz)
]
≤N[
C(
vi,vj;Gy) (
ΥC vi,vj;Gz)
]
就任意兩相鄰頂點vi,vj∈V而言皆成立 所以min(
I(
vi,vj;Gy) (
,Ivi,vj;Gz)
)
=max(
I(
vi,vj;Gy) (
,I vi,vj;Gz)
)
N[
C(
vi,vj;Gy) (
Ι Cvi,vj;Gz)
]
=N[
C(
vi,vj;Gy) (
ΥCvi,vj;Gz)
]
故可知I(
vi,vj;Gy) (
=I vi,vj;Gz)
且C(
vi,vj;Gy) (
=Cvi,vj;Gz)
就任意兩相鄰頂點vi,vj∈V而言皆成立,故知Gy =Gz第四章 LFT 計分理論改良模式之比較
與結果探討
第一節 概說
對於竹谷誠之 LFT 計分理論與其改良者提出之新型態計分模式,在相 同圖形的點重要度、邊重要度與類似度的計分方面,存在的困境被突破正 是 LFT 計分理論不斷被修正以符合現實狀況需要的軌跡。在諸多現實景況 中,竹谷誠教授的 LFT 計分理論面臨計分困難甚或計分失效的困境,在劉 湘川教授針對部分內容提出修正之後,LFT 計分理論已經獲致某些領域近 乎全面的運用效益,惟在考慮權重邊長課題部分仍有改善空間。學生以解 決此一問題為論文寫作的主題,並獲得些許成果,當然,改進的空間仍然 很大,但對眼前的邊長權重問題希望已經提供一種解決的模式。第二節 範例
對於諸家 LFT 計分理論的點重要度、邊重要度與類似度的計分,學生 舉一例加以說明比較如下: 1 G G2 G3 圖 4-2-1 在圖 4-2-1 中,G1,G2,G3為三非循環有向圖,現在根據學生之圖形邊 重要度與類似度計分公式計算此三圖形間之重要度與類似度。一、現根據考慮權重 LFT 計分理論定義定理計算
G1,G2,G3之
邊重要度
(1)正整數化 取k[ ]3 =2,透過轉化Y[ ]( )
G G e 3 = 將G={
G1,G2,G3}
轉化成{
3}
e 2 e 1 e e G , G , G G= ,現根據定義作圖 4-2-1 之擴充圖圖 4-2-2: ( )1 12 v ( )1 13 v ( )1 24 v ( )1 45 v 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e G ( )1 12 v ( )1 13 v ( )1 24 v 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )1 14 v 2 e G ( )1 12 v ( )1 13 v 1 1 1 1 1 1 1 ( )1 14 v 3 e G 圖 4-2-2 (2)邊重要度 在 1 e G 中: 1 v 的先行點集合A
( ) { }
v1 = v1 ,v12( )1 的可到達點集合 ( )( )
{
( ) ( ) ( )}
5 1 45 4 1 24 2 1 12 1 12 v ,v ,v ,v ,v ,v v R = , 所以經過 ( )1 12 1,v v 的連結所成之集合 ( )(
)
{
(
( ))
(
)
(
( ))
(
)
(
( ))
(
)
}
5 1 1 45 1 4 1 1 24 1 2 1 1 12 1 1 e 1 12 1,v ; G v ,v , v ,v , v ,v , v ,v , v ,v , v ,v v C = 所以集合元素個數N[
C(
v ,v( ); G1)
]
6 e 1 12 1 =可知 ( )1 12 1,v v 的重要度