＝
180 12
19600 14580
＝
2160 285768000
＝132300。都廉為
12 140 30 3
＝ 12 140 90
＝ 12 12600
＝1050。隅法為 1。整理之後得三次方程式 z3＋1050z2＋132300z＝14749000，
做開帶從立方得z＝70。
李潢在最後加入了自己的驗算過程：[(70＋1050) × 70＋132300] × 70＝
(1120 × 70＋132300) × 70＝(78400＋132300) × 70＝210700 × 70＝14749000，以 表示此答案正確無誤。所以我們得知：乙縣鄉人分派建造長＝70 尺＝7 丈。
在上面算式中，李潢將12 × 180＝2160 稱為「一率，本廣差乘本高，為各 廣高相乘率」；140 × 140 ＝19600 稱為「二率，本廣差袤本高袤相乘，即本袤 自乘，為各廣之袤各高之袤相乘率」；[(3 × 30＋6) × 90＋6 × 27 × 90] × 70＝
270900 × 6 稱為「三率，乙六因積，即乙一廣差，三下廣各為廣，乘乙高之四 幂。甲六中廣為廣，乘甲高之六幂，共十幂，乘乙袤」；[(70＋3 × 350) × 70＋6
× 315 × 70] × 70＝14749000 稱為「四率，從立方實，即乙一廣差袤，三下廣袤 各為廣，乘乙高袤為高之四幂。甲六中廣袤為廣，乘甲高袤為高之六幂，共十 幂，乘乙袤」。28
3.3 第三術
假令築隄，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸，東 頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十 六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九 千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二 升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負 土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其 平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步。上山三當四，下山六當五，
水行一當二。平道踟蹰十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積，四縣共 造，一日役畢。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問給斜、正袤與高，及下 廣，并每人一日自穿、運、築程功，及隄上、下高、廣各幾何？
答曰：一人一日自穿、運、築，程功四尺九寸二分當作六分。 西頭高三丈四尺一寸，上廣八尺，下廣七丈六尺二寸。
28 引自李潢，《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1236。
東頭高三尺一寸，上廣八尺，下廣一丈四尺二寸，正袤四十八丈，斜袤四十八 丈一尺。
甲縣正袤一十九丈二尺，斜袤一十九丈二尺四寸，下廣三丈九尺，高一丈五尺 五寸。
乙縣正袤一十四丈四尺，斜袤一十四丈四尺三寸，下廣五丈七尺六寸，高二丈 四尺八寸。
丙縣正袤九丈六尺，斜袤九丈六尺二寸，下廣七丈，高三丈一尺。
丁縣正袤四丈八尺，斜袤四丈八尺一寸，下廣七丈六尺二寸，高三丈四尺一寸。
這一道題目總共有 290 個字，是《緝古算經》全書中字數最多的一道題目。
3.3.1 求人到程功運、築積尺術
求人到程功運、築積尺術曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四 步，平道一十一步，踟蹰之間十加一，載輸一十四步，一返計一百二十四步。
以古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，為實。
却以一返步為法。除，得自運土到數也。又以一到負土數乘之，却以穿方一尺 土數除之，得一人一日運功積。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土數 除之，為法，除之，得穿用人數。復置運功積，以每人一日常積除之，得築用 人數。并之得六人，共成二十九尺七寸六分。以六人除之，即一人程功也。
李潢根據王孝通術文的解題過程：一趟來回的步數為(40＋25＋24＋11)
×10
11＋14＝124。一天能搬運的趟數為 124
62 192
＝ 124 11904
＝96。一人一天能搬運 的土方為 8
96 48 . 2
＝ 8 08 .
238 ＝29 . 76 立方尺。一人一天能挖掘的土方為 8
2 . 99 ＝
12 . 4 立方尺。挖掘 29 . 76 立方尺的土方需要人數為 4 . 12
76 .
29 ＝2 . 4。填築 29 . 76
立方尺的土方需要人數為29 100
76 ÷11 130
58 ＝ 100 2976×
1488 130 ＝
14880 38688
＝2 . 6。合計一 天完成搬運、挖掘和填築29 . 76 立方尺的土方需要人數為 1＋2 . 4＋2 . 6＝6。
∴ 一人一天能搬運、挖掘和填築的土方為 6
76 .
29 ＝4 . 96 立方尺＝4 立方尺 9 立方寸 6 立方分。
3.3.2 求隄上、下廣及高、袤術
求隄上、下廣及高、袤術曰：一人一日程功乘總人為隄積。以高差乘下廣 差，六而一，為鼈幂。又以高差脫乘字小頭廣差，二而一，為大臥壍頭幂。又半 高差乘上廣多東頭高之數，為小臥壍頭幂。并三幂，為大小壍鼈率。乘正袤多 小高之數，以減隄積，餘為實。又置半高差，及半小頭廣差與上廣多小頭高之 數，并三差，以乘正袤多小頭高之數。以加率為方法。又并正袤多小高、并上 廣多小高及半高差，而增之兼而增之兼四字衍文半小頭廣差加之為廉法，從。開 立方除之，即小高。加差即各得廣、袤、高。又正袤自乘、高差自乘，并，而 開方除之，即斜袤。
李潢依據《九章算術》商功篇的古法，29將築隄切割成一個平隄和一個羨 除，我們再把羨除切割成一個壍堵和一個鼈臑。小頭就是東端，小高就是東端 的高。首先，我們先假設小高為x 尺，則西頭高為 x＋31 尺，上廣為 x＋4 . 9 尺，正袤為x＋476 . 9 尺，東頭下廣為 x＋4 . 9＋6 . 2 尺，西頭下廣為 x＋4 . 9
＋68 . 2 尺。隄積為 4 . 96 × (6724＋16677＋19448＋12781)＝4 . 96 × 55630＝
275924 . 8 立方尺。
x+476.9 x+4.9
x
x+4.9+68.2
x+31
x+4.9+6.2 西
東
圖 3.3.2.1
於是，依據「九章求隄積術：并上下廣而半之，以高乘之，又以袤乘之，
即積尺。」30我們得到一個平隄體積＝
2
2 . 6 9 . 4 9
.
4
x
x × x × (x＋476 . 9)
29 參閱《九章算術》，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 129。
30 引自《九章算術》，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 129。
＝ 2 16 2x
× x × (x＋476 . 9)＝(x＋8)x(x＋476 . 9)。
圖 3.3.2.2
接著，我們得到一個壍堵體積＝
2
31 2 . 6 9 . 4 9
.
476
x
x ＝
2
1 . 11 9
. 476 31x x
。
圖 3.3.2.3
再來，我們得到一個鼈臑體積＝
6
31 62 9 .
476
x ＝
6 9 . 476 1922 x
。
圖 3.3.2.4
綜合以上圖形和數學算式，我們將得到以下結果：
1 平隄體積＋1 壍堵體積＋1 鼈臑體積＝隄積，
1922x＋152766 . 9＋
6 (6724＋16677＋19448＋12781)＝4 . 96 × 55630＝275924 . 8 立方尺。鼈幂為
6
＝275924 . 8－(234658.645＋158 . 9＋
6
3.3.3 求甲縣高、廣、正、斜袤術
求甲縣高、廣、正、斜袤術曰：以程功乘甲縣人，以六因取積。又乘袤幂，
以下廣差乘高差，以以當作為法，除之，為實。又并小頭上、下廣，以乘小高，
三因之，為垣頭幂。又乘袤幂，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正 袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，得小頭脫袤字即甲袤。又以下廣差 乘之，所得此二字衍文，以正袤除之。所得，加東頭下廣，即甲廣。又以兩頭高 差乘甲袤，以正袤除之，以加東頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以隄東頭高減 甲高，餘自乘，并二位，以開方除之，即得斜袤。求高廣以本袤及高廣差求之
以上十二字衍文。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣為後小 高、廣。凡廉母自乘為方母，廉母乘方母為實母。
自注：此平隄在上，羨除在下。兩高之差即除高除即羨除之省文，下同。其除 兩邊各一鼈臑，中一壍堵。今以袤再乘積當作再乘六因積，廣差乘高差而一，得 截鼈臑袤再脫自字乘為立方一。又壍堵袤自乘為幂一。又三因小頭下廣，大大當 作以袤乘之，廣差而一，與幂為高，故為廉法。又并小頭上、下廣，又三之，此 下當有以乘小頭高，為頭幂之文，意同六除當作六除幂。然此頭幂本乘截截字衍文袤。
又袤再乘之，差相乘而一。今還依數乘除一頭當作袤幂，為從。開立方除之，得 截袤為廣此下當有故為方法之文。
首先，我們先假設分派給甲縣築隄的正袤為 y 尺，則甲縣築隄兩頭的高差 為480
31y 尺，甲縣築隄兩頭的下廣差為 480 62y
尺。甲縣隄積為4 . 96 × 6724＝
33351 . 04 立方尺。
y 8
3.1 34.1
76.2 14.2
480
圖 3.3.3.1
我們模仿前術的作法，可以推得下列結果：
∴ 3＋10224 y2＋767232 y＝743620608，做開帶從立方得 y＝192。
李潢在最後加入了自己的「還元法」：[(192 × 31＋10224) × 192＋767232] × 192＝[(5952＋10224) × 192＋767232] × 192＝(16176 × 192＋767232) × 192＝
(3105792＋767232) × 192＝3873024 × 192＝743620608，以表示此答案正確無 誤。所以我們得知：甲縣築隄的正袤為192 尺＝19 丈 2 尺，下廣為 14 . 2＋
尺＝19 丈 2 尺 4 寸。
在這一術的後面注文，還留下劉衡鄉人揭廷鏘以西方開方法增補的兩算草 圖解，與李潢的體例不合。31在羅士琳的《疇人傳續編》第四十九卷〈李潢傳〉
中有提到，現引數語如下：
惜其第三術羼列西法開方兩算草，與侍郎通體義例不協，不解何意，因思 此蓋揭某妄增之草，方伯芟之未盡耳。余恐世支讀侍郎書者，以此議侍郎，故 特表白之。
3.3.4 求隄都積術
求隄都積術曰：置西頭高，倍之，加東頭高，又并西頭上、下廣，半而乘 之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又并東頭上、下廣，半而乘之。并二位積，
以正袤乘之，六而一，得隄積也。
此術李潢原稿只留有王孝通術文，並未留下注文和解題過程，而是由其學 生劉衡按照他所留下的注釋抄本來補之，羅士琳認為「原稿奪注，劉君依例補 之可也」。32現將劉衡補充注文抄錄於下：
劉衡謹案：立方上下高廣如一，故以一邊自乘，再乘得積。若邊數不齊，
則必齊其不齊，以致其齊，乃可相乘得積。一面不齊者，止須兩邊相并折半即 齊。若此隄積各邊不齊，而東西高為最，非僅兩邊相并折半之法所能齊也。故 必兩相互易，各三其數，始可致齊以求積。西高倍之，二數也，加東高，則三 矣。東高倍之，二數也，加西高，則三矣。東三西三并之，則二三而六矣。各 以取齊之廣乘之，得六幂，以袤乘之，得六積，故六而一得積。33
31 參閱李潢，《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1251－1253。
32 引自羅士琳，〈李潢傳〉，《疇人傳續編》第四十九卷。
33 引自李潢，《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1253。
＝16516 . 8＋105648＋153760＝275924 . 8 立方尺。
筆者已經分析完《緝古算經考注》卷上的三道題目。藉由李潢詳細的注文 說明、解題過程和筆者揣摩的圖解，並儘可能地使用現代數學符號和算式來做 輔助，相信可以幫助大家更了解《緝古算經》艱深難懂的內容。由此可見，李 潢的《緝古算經考注》真是我們學習《緝古算經》最快的入門途徑，也是最佳 的參考書籍。現在，筆者將帶領大家進入第四章，繼續為大家分析《緝古算經 考注》卷下的十七道題目。