李潢《緝古算經考注》之內容分析
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(2) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. (1) 羅士琳，4〈李潢傳〉 ， 《疇人傳續編》 ，周駿富編， 《清代疇人傳》(台北： 明文書局，1991 年)，頁 205－208。 (2) 郭書春，〈《九章算術細草圖說》提要〉，郭書春主編，《中國科學技術 典籍通彙》數學卷第四分冊(鄭州：河南教育出版社，1993 年)，頁 945 －946。 (3) 洪伯陽、宋述剛， 〈關於李潢生平的幾個問題考證〉 ，《中國科技史料》 第十五卷第一期(北京：中國科學技術出版社，1994 年)，頁 89－91。 (4) 劉興祥， 〈對李潢出生年代的考證〉 ， 《中國科技史料》第十五卷第三期 (北京：中國科學技術出版社，1994 年)，頁 93－95。 (5) 劉興祥， 〈《九章算術細草圖說》研究之一版本、細草、圖、說的研究〉 ， 李迪主編， 《數學史研究文集》第六集(內蒙古：內蒙古大學出版社，1998 年)，頁 70－76。 (6) 陳鳳珠， 《清代算學家駱騰鳳及其算學研究》(台北：國立台灣師範大學 數學研究所碩士論文，2000 年)，頁 37－43。 (7) 林倉億，《中國清代 1723~1820 年間的借根方與天元術》(台北：國立 台灣師範大學數學研究所碩士論文，2001 年)，頁 78－82。 (8) 楊淑玲， 《顧觀光的《九數存古》內容分析》(台北：國立台灣師範大學 數學研究所碩士論文，2005 年)，頁 10－16。 (9) 洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師 範大學數學研究所碩士論文，2006 年)，頁 11－16。 第一篇詳盡地介紹李潢的生平事蹟。第二篇有李潢生平簡介和他對《九章 算術》的貢獻。第三篇是針對李潢的出生與死亡年代加以考證，結論為李潢生 於 1746－1748 年之間，死於 1812 年。第四篇亦是針對李潢的出生年代加以考 證，結論為李潢生於 1749 年。第五篇是有關《九章算術細草圖說》內容的體例 說明。第六篇到第八篇有提到李潢的生平和著作。第九篇是針對李潢的生平和 《九章算術細草圖說》作詳細的分析，也是筆者研究李潢生平的主要參考資料。 另外，李儼(1892~1963)、錢寶琮(1892~1974)的《科學史全集》和李儼、杜石然 的《中國古代數學簡史》內容中，也都有提到李潢的生平和著作。 對於《緝古算經考注》的原本《緝古算經》之研究，有清代的李潢、張敦 仁(1754~1834)、5揭廷鏘、陳杰(？-1806)、6李銳、駱騰鳳(1770~1841)和韓國李. 4. 羅士琳，字次璆，號茗香，江蘇甘泉人。曾算校朝鮮重刊本《算學啟蒙》 ，並著有《四元玉 鑑細草》 、 《勾股容三事拾遺》 、 《演元九式》 、 《台錐演積》 、 《三角和較算例》 、 《弧矢算術補》 、 《續 疇人傳》、 《勾股截積和較算例》等書。 5 張敦仁，字古餘，山西陽城人，乾隆四十年進士，官至雲南監法道。晚居金陵，與李銳相善。 著有《緝古算經細草》、 《求一算術》、 《開方補記》等書。 6 陳杰，字靜葊，浙江烏程人。考取天文生，任欽天監博士，供職時憲科兼天文科，司測量， 官至國子監算學助教。著有《緝古算經細草》、 《圖解》 、《音義》等書。 2.
(3) 第 1 章 緒論. 朝的南秉吉(1820~1869)等。7近代學者的著作，筆者僅收集到下列五篇： (1) 郭世榮，〈《緝古算經》造仰觀台題新解〉，《自然科學史研究》第十三 卷第二期(北京：自然科學史研究編輯部，1994 年)，頁 106－113。 (2) 錢寶琮，〈《緝古算經》提要〉，杜石然主編，《李儼、錢寶琮科學史全 集》第四卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年)，頁 371－373。 (3) 錢寶琮，〈王孝通《緝古算術》第二題、第三題術文疏證〉，杜石然主 編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第九卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年)，頁 578－613。 (4) 林炎全，《《緝古算經》探討》(台中：教育部台灣省中等學校教師研習 會，2001 年)，頁 1－37。 (5) 張復凱， 《從南秉吉(1820~1869)《緝古演段》看東算史上天元術與借根 方之「對話」》(台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2004 年)，頁 21－58。 第一篇是針對《緝古算經》第二題作探討。第二篇有《緝古算經》的內容 和研究學者簡介。第三篇是針對《緝古算經》第二題、第三題作詳盡的探討。 第四篇是《緝古算經》完整的白話翻譯和圖解。第五篇則是針對南秉吉《緝古 演段》的詳細探討。筆者多以第四和第五篇為研究《緝古算經考注》的主要參 考資料。研究王孝通《緝古算經》這本書內容的作品並不多，研究李潢《緝古 算經考注》這本書內容的作品筆者更是沒見過。. 1.3 研究取向 《緝古算經》是隋末唐初王孝通撰并注，並於唐顯慶元年(公元 656 年)立 于學官，當作算學教科書。 《緝古算經》共有二十道問題，每一道問題幾乎都必 須使用高次方程式來求解，這對唐代學習的人來說是比較艱深的。所幸在每一 段術文之下，都有王孝通的自注，說明方程式各項係數(隅、廉、方、實)的由 來，使我們可以了解王孝通列方程式的過程。但因為王孝通的原著詞旨深奧難 懂，傳世刻本又頗多誤文奪字，所以後人就另外作注以便通曉。清代的李潢、 張敦仁、揭廷鏘、陳杰、李銳、駱騰鳳和韓國李朝的南秉吉等對《緝古算經》 都有貢獻，尤其是李潢的貢獻非常大。 李潢的《緝古算經考注》有上下二卷，是以《九章算術》來解釋《緝古算 經》的全部內容，其中「潢案」主要是李潢的校勘意見，並列出詳細的演算過 7. 南秉吉，朝鮮人，字元裳、子裳，號惠泉、六一齋、晚香齋，亦名相吉，本貫宜寧。著有《緝 古演段》、 《無異解》 、《測量圖解》 、《算學正義》等書。 3.
(4) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 程。雖然有些部分仍誤解了王孝通的原來意思，但卻是目前最符合王孝通原義 的一本注解。 李潢所作《緝古算經考注》，全書還未定稿李潢就病故了，後來南豐劉衡 (1776~1841)授其鄉人揭廷鏘以西方開方法增補算草圖解，並由劉衡算校刻于江 西。李潢之婿程裔采(1783~1857)當時任廣東布政使，8認為揭廷鏘增補的算草 圖解與李潢的通體義例不合。於是，他就削去圖草，並請吳蘭修復校，9李兆洛 (1769~1841)為序，10仍以原考注刊布于廣州。所以，筆者所研究的《緝古算經 考注》，為道光壬辰(公元 1832 年) 劉衡算校，程裔采刊布于廣州之刊本。 筆者將在本論文的第 2 章介紹《緝古算經考注》的歷史脈絡，包含王孝通 的《緝古算經》 、時代背景和李潢的生平事蹟。第 3 章和第 4 章則是針對《緝古 算經考注》的內容做詳細的說明和分析，力求對此書有一全面性的認識與深入 的了解。第 5 章是總結《緝古算經考注》對後代學習者的幫助及對數學教育的 啟發，並以 HPM 的觀點做切入，使學生可以了解數學發展的歷史脈絡，進而 引發學習動機，能夠更輕鬆自在地學習數學。. 8. 程裔采，江西新建人，嘉慶十六年進士，官至湖廣總督。 吳蘭修，字石華，嘉慶舉人，官至信宜訓導。工詩文，尤精考據，兼擅算數之學。 10 李兆洛，字申耆，江蘇陽湖人，嘉慶十年進士。選庶吉士，改令鳳臺。著有《養一齋集》 、 《皇 朝文典》、 《大清一統輿地全圖》、 《鳳臺縣志》、 《地理韵編》等書。 9. 4.
(5) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡 《緝古算經考注》成書的主要關鍵有二：其一是王孝通《緝古算經》的文本， 其二是作者李潢。但因為王孝通的原著詞旨深奧難懂，傳世刻本又頗多誤文奪 字，所以，歷代研究《緝古算經》的學者非常稀少，以《九章算術》來解釋《緝 古算經》的學者，李潢更是第一人。目前傳世的《緝古算經》內容包括本文和王 孝通自注二個部份組成，因此，筆者特別先簡介王孝通和他的著作《緝古算經》。 自從李潢的《緝古算經考注》出版之後，已經成為後世學者研究《緝古算經》 不可或缺的一本參考書籍，而李潢是《緝古算經考注》的作者，所以，要瞭解《緝 古算經考注》這本書，一定要先認識作者李潢。要認識作者李潢，就要先清楚當 時的時代背景。因此，本章第二部份介紹李潢及其算學著述的歷史背景。. 2.1 王孝通《緝古算經》的介紹 2.1.1 王孝通的生平 王孝通，生卒和籍貫不詳，活動於六世紀下半葉至七世紀上半葉之間。他「長 自閭閻，少小學算。鐫磨愚鈍，迄將皓首。鑽尋秘奧，曲盡無遺。代乏知音，終 成寡和」 。1唐代時，才被起用為算學博士(一說曆算博士)。武德六年(公元 623 年) 時，因為傅仁均所造《戊寅元曆》推算出的日、月食屢次不準，於是，吏部郎中 祖孝孫受詔使王孝通執《開皇曆》駁之。武德九年(公元 626 年)時，祖孝孫又詔 崔善為和王孝通校正傅仁均《戊寅元曆》，提出三十餘條校正意見，教付太史施 行。王孝通後來為通直郎和太史丞，雖然他糾正傅仁均《戊寅元曆》中的某些錯 誤是有貢獻的，但是，他根據落後的《開皇曆》來指責傅仁均用定朔排曆譜、計 算中用歲差和恢復上元積年，這樣做卻是錯誤的，可以說他是天文學的守舊派。 2. 王孝通最大的貢獻就是撰注《緝古算經》，但撰注年代不詳。他在《上緝古 算經表》中批評祖暅之《綴術》「曾不覺方邑進行之術全錯不通，芻亭、方亭之 問於理未盡」，到底是《綴術》確實有錯誤，還是王孝通「莫能究其精奧」而妄 加批評，有待後世去考證。他還自詡《緝古算經》 「恐一旦瞑目，將來莫覩」 ，並 且「請訪能算之人，考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金」，可見得他對於. 1. 引自王孝通，《上緝古算經表》 。 參閱郭書春， 〈關於《算經十書》〉 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 21。. 2. 5.
(6) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 自己的著作《緝古算經》是非常有自信的。3. 2.1.2 《緝古算經》成書的原因 隋、唐盛世在文化、政治、經濟、外交等方面都有輝煌的成就，是當時世界 上最強大的國家之一。隋、唐時期，運河的開鑿和長城的修築，大規模的城市宮 殿建造，以及天文曆法的改進，都出現了大量比較複雜的計算問題，這些大量的 土木和水利工程都需要新的數學知識和計算技能來解決問題。中國傳統數學十分 著重靈活和廣泛的應用，最大的特點是一邊講究算法，一邊探討應用，把精益求 精的算法和靈活廣泛的應用緊密結合起來，從而推動數學的進一步發展。王孝通 的數學知識剛好和當時的社會需要有密切的相關，於是他潛心苦鑽，結合當時工 程上出現的大量實際問題，盡力探索有效的解決辦法，這就是《緝古算經》成書 的時代背景。 王孝通在《上緝古算經表》中提到「伏尋《九章》商功篇有平地役功受袤之 術，至於上寬下狹、前高後卑，正經之內闕而不論。致使今代之人不達深理，就 平正之間同欹邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？」於是，他「於平地之余，續 狹斜之法，凡二十術，名曰《緝古》」。「緝」有繼續的意思，所以，我們可以把 《緝古算經》當成《九章算術》的續篇。4. 2.1.3 《緝古算經》內容簡介 《緝古算經》又稱為《緝古算術》 ，唐王孝通撰並注， 《新唐書‧藝文志》和 5 北宋《崇文總目》俱稱李淳風注，實乃有誤。 《舊唐書‧經籍志》原記載為四 卷，宋代之後合為一卷。6《緝古算經》是《算經十書》中最晚問世的一部，也 是最難的一部。唐顯慶元年(公元 656 年)立於學官，當作算學教科書，從此被稱 為「經」。7全書共有二十道問題，涉及到的數學知識和計算技巧非常複雜。《四 庫全書總目提要》說：「其法頗不以深淺為次第，故讀者或不能驟通，而卒篇以. 3. 參閱郭書春， 〈關於《算經十書》〉 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 21。 4 參閱郭書春， 〈關於《算經十書》〉 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 21。 5 參閱錢寶琮，〈 《緝古算經》提要〉，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一(鄭州： 河南教育出版社，1993 年)，頁 353。 6 參閱郭書春， 〈關於《算經十書》〉 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 20。 7 參閱錢寶琮，〈 《緝古算經》提要〉，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一(鄭州： 河南教育出版社，1993 年)，頁 353。 6.
(7) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 後，由源竟委，端緒足尋，洵為思極毫芒，曲盡事理。唐代明算立學，習此書者 以三年為限，亦知其術之精妙，非旦夕所克竟其義矣。」所以「其書世罕流播」， 流傳到清初只剩下一孤本，是為北宋元豐七年(公元 1084 年) 秘書監趙彥若等校 定，南宋嘉定六年(公元 1213 年)鮑澣之汀州重刻元豐監本。清康熙甲子(公元 1684 年)毛扆從山東章邱李開先處得到，「因求善書者刻畫影摹，不爽毫末，襲而藏 之」，8現傳各本均源於此。9. 清康熙間毛氏汲古閣景寫宋嘉定六年鮑澣之汀州重刻元豐監本 (下載自國立故宮博物院善本古籍資料庫) 《緝古算經》的主要內容可以分成以下四類：10 第一題為曆法問題，已知某年某日合朔時刻，夜半時日所在赤道經度，求夜 半時月所在赤道經度。王孝通根據《九章算術》均輸章犬追兔問題的解法理論， 求出比舊法更簡潔的解法。 從第二題到第六題和第八題，這六題為土木工程中的土方體積問題。不但要 依據工程的實際情況計算體積和長、寬、高，還要從某一部分工程的體積，反推 回去求這一部分的長、寬、高。這些過程必須列出三次方程式，開帶從立方來求 8. 引自毛扆，〈《緝古算經》跋〉。 參閱郭書春， 〈關於《算經十書》〉 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 20－21。 10 參閱錢寶琮，〈 《緝古算經》提要〉，杜石然主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》第四卷(瀋陽： 遼寧教育出版社，1998 年)，頁 371－372。 9. 7.
(8) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 解。 第七題和從第九題到第十四題，這七題是儲糧用的倉房和地窖問題。要求這 些倉房和地窖的體積，也必須列出三次方程式，開帶從立方來求解。 從第十五題到第二十題，這六題為勾股問題。前四題必須列出三次方程式， 開帶從立方來求解。後二題則需要列出四次方程式，開帶從平方先得一正根，再 開平方來求解。 王孝通在題目中所使用到的三次方程式可以表示成 x3＋a x2＋bx＝c，其中 a、b、c 均為正數，求得的解只有正根。四次方程式可以表示成 x4＋a x2＝c，其 中 a、c 均為正數，求得的解也只有正根。這對唐代學習的人來說是比較艱深的。 所幸在每一段術文之下，都有王孝通的自注，說明方程式各項係數(隅、廉、方、 實)的由來，使我們可以了解王孝通列方程式的過程。 《緝古算經》可以說是《綴 術》失傳之後，中國數學史上第一次研究三次和四次方程式的著作。11 《緝古算經》是全世界最早使用代數解三次方程式的書，具有非常深遠的意 義，顯示出唐代的數學研究已達到了相當高深的水平。英國李約瑟曾說：「三次 方程最早是在《緝古算經》中發現的，這部書問世的年代肯定是在公元 625 年前 後。像往常那樣，這些方程是從工程師、建築師和測量人員的實際需要產生的。」 12 日本數學史家三上義夫也曾說： 「唐王孝通之《緝古算經》 ，使用三次方程式以 解各種問題。……中國成立三次方程式，乃在阿拉伯之前；而由術文推得之方程 式解法，亦與發達於阿拉伯者全不同也。」13由此可知，王孝通在解三次方程式 所得到的研究成果，比起阿拉伯人(公元 10 世紀之後)和義大利的斐波那契(公元 13 世紀)，14都還要來得早。 唐代以後，中國數學家在傳統數學的基礎上發展了新的代數方法，建立了「天 元術」和「四元術」 。但是， 《緝古算經》因為難易度排序失當，加上內容艱深難 懂，導致流傳不易，宋、元、明三代並無學者研究處理其書中問題。歐洲文藝復 興時期，代數學有了新的發展，由原來用文字說明的演算程序，轉變為用符號表 達出來，奠定了符號代數學的基礎。1545 年，義大利數學家卡當諾(Girolamo Cardano, 1501-1576)在他的數學大作《大法》(Ars Magna，英譯為 The Great Art) 11. 參閱郭書春， 〈關於《算經十書》〉 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 23。 12 引自李約瑟，《中國科學技術史》第三卷數學(北京：科學出版社，1978 年)，頁 111。 13 引自三上義夫，《中國算學之特色》(北京：商務印書館，1929 年)，頁 34。 14 阿拉伯數學家 al-khwârizmi（阿爾-花拉子米）在公元 820 年左右寫成「代數學」一書，書的全 名是《al-kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wál-muqābala》(《還原與對消計算概要》)。後來在公 元 1140 年左右被譯成拉丁文，書名《Liber algebrae et almucabala》 ，在歐洲被當成數學教科書長 遠數百年之久。 8.
(9) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 中，將「不完全(缺項)的三次方程式」的解法整理發表。在此同時，其弟子法拉 利(Ludovico Ferrari, 1522-1565)也成功發現了求解四次方程式的技巧。這些代數 學上的新知識和技巧，將在明末清初隨著西方傳教士飄洋過海而帶進中國，影響 清代的數學家。. 2.2 明末清初的數學環境 16 世紀末年，西方國家開始派遣天主教耶穌會的傳教士來中國傳教，最早 到中國的是義大利人利瑪竇(Matteo Ricci，1552~1610)。他於明萬曆十年(公元 1582 年)來到中國傳教，並帶來了德國數學大師克拉維斯的數學講義，之後與徐 光啟(1562~1633)合譯了《幾何原本》前六卷(1607)，15與李之藻(1565~1630)合編 了《同文算指》(1613)，16是西方數學傳入中國的開始。17 明代《大統曆》繼承了元代王恂(1235~1281)和郭守敬(1231~1316)所制定的 《授時曆》，到明代末年已經施行了三百餘年，預推的天象已經無法符合實際的 觀測，再加上欽天監的官員沒有能力修改曆法，於是在 1629 年，徐光啟奉命督 修曆法和接掌曆局，並聘請當時來華的西方傳教士協助，期望能「鎔彼方之材質 入《大統》之型模」 。自 1629 年到 1634 年，傳教士羅雅谷(Jacques Rho，1593~1638， 義大利人)、鄧玉函(Jean Terrenz，1576~1630，瑞士人)和湯若望(Jean Adam Schall Von Bell，1591~1666，德國人)等人翻譯成《崇禎曆書》一百三十七卷，其中有 《籌算》(1628)、 《比例規解》(1630)、 《測量全義》(1631)、 《大測》(1631)、 《割 18 圓八線表》等數學書共二十卷。 清順治二年(公元 1645 年)頒行「依西洋新法」的《時憲曆》 。順治中波蘭傳 教士穆尼閣(Jean Nicolas Smogolenski，1611~1656)在南京傳教時，薛鳳祚(？~1680) 和方中通(1633~1698)曾跟過他學習，19薛鳳祚更與他合編《曆學會通》(1664)，20 其中最重要的有《比例四線新表》和《比例對數表》。這些明、清西方傳教士傳 入的天文學和數學知識，對清代數學的發展產生了極大的影響。21 15. 徐光啟，字子先，號玄扈，諡文定，松江(今上海市)人。萬曆三十二年進士，官至禮部尚書兼 文淵閣大學士，通天文、曆算。 16 李之藻，字振之，一字我存，號凉庵居士，又號凉庵逸民，浙江仁和(今杭州)人。萬曆二十六 年進士，官至光祿寺少卿兼工部都水清吏司事，嫻於曆算。 17 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 256－257。 18 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 257。 19 方中通，字拉伯，號陪翁，安徽桐城人，著有《數度衍》。 20 薛鳳祚，字儀甫，號寄齋，山東淄川人。 21 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 274－275。 9.
(10) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 清康熙帝熱愛科學研究，他於 1689 年特召法國傳教士張誠(J.F. Gerbillon， 1654~1707)、白晉(J. Bouvet，1656~1730)等人進宮傳授西方數學。1712 年命梅瑴 成(1681~1763)、22陳厚耀(1648~1722)、何國宗、明安圖(？~1763)等人編撰《律 曆淵源》，1721 年完成《曆象考成》四十二卷、《律呂正義》五卷、《數理精蘊》 五十三卷，共一百卷。當時傳入中國的代數學書，有《數理精蘊‧借方根比例》 和《阿爾熱巴拉新法》(手抄本)，對清代數學的發展也產生了重大的影響。23 明末清初，西方數學經由傳教士傳入中國，造成相當大的衝擊，除了徐光啟 和李之藻虛心學習並翻譯西學之外，另有一些學者卻努力地比較中西數學的異 同，並試圖去會通，其中以梅文鼎(1633~1721)為最具代表性人物。24 梅文鼎是真正實踐「中西會通」的第一位學者。他認為不應該排斥先進的西 方數學知識，也不應該拋棄中國固有的數學傳統。因此，他開始闡發西學要旨， 表彰中學精萃，並致力於會通兩者，成為「西學中源」的領導者，對之後清代的 數學家有深遠的影響，也為接下來中國傳統數學的復興埋下了伏筆。25. 2.3 乾嘉學派的數學研究 清雍正元年(公元 1723 年)，雍正帝認為西方人來中國傳教對統治不利，於 是，除了少數在欽天監供職的傳教士之外，其餘的都被驅逐到澳門，造成此後一 百餘年間，西方數學暫停傳入中國。清朝廷在這段閉關自守時期，一面採取高壓 統治大興文字獄；一面吸引和鼓勵各方人才編撰《四庫全書》。因此，許多知識 份子紛紛投入古典考據學的領域，開始從事編輯和整理古代書籍的工作。 清乾隆三十八年(公元 1773 年)，乾隆帝下詔收集民間私家珍藏的善本書， 並輯錄明代《永樂大典》中一批當時罕傳罕見的佚書，編撰成《四庫全書》，全 套書籍共有三千五百零三部，七萬九千三百三十七卷。由於參與編撰《四庫全書》 的人大多是學有專長的一流學者，如李潢、戴震(1724~1777)、郭長發、陳際新、 倪廷梅等人都是精通天文和數學的專家。26因此，他們在天文和數學方面的選書 22. 梅瑴成，字玉汝，號循齋，安徽宣城人，官至左督御史。著有《增刪算法統宗》 、 《赤水遺珍》 等書。 23 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 258。 24 梅文鼎，字定九，好勿庵，安徽宣城人。其孫梅瑴成將其曆法、數學著述編成《梅氏叢書輯 要》。 25 參閱田淼， 《中國數學的西化歷程》(山東：山東教育出版社，2005 年)，頁 106－116。 26. 李潢擔任總目協勘官，協助編定總目和修改提要。戴震擔任校勘《永樂大典》纂修兼分校官， 負責校勘和撰寫提要。郭長發、陳際新和倪廷梅擔任天文算法纂修兼分校官，負責校勘和撰寫提 要。 10.
(11) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 和整理工作就比較細膩準確，水準也比較高。《四庫全書》中所收入的數學古籍 包括《周髀算經》 、 《九章算術》 、 《海島算經》 、 《孫子算經》 、 《五曹算經》 、 《夏侯 陽算經》 、 《張邱建算經》 、 《五經算術》 、 《數術記遺》 、王孝通的《緝古算經》 、秦 27 九韶(1202~1261)的《數書九章》、 以及李冶(1192~1279)的《益古演段》和《測 圓海鏡》。28但遺憾的是，南宋楊輝和元代朱世傑等人的數學著作並未被收入其 中。《四庫全書》的編成，使得部分數學古籍得以重新流傳於世，也帶動起一股 研究中國古代傳統數學的風潮。29 在清朝廷編撰《四庫全書》之後，民間人士也接著響應這股潮流。1773 年， 曲阜孔繼涵(1739~1783)刻《微波榭叢書》 ，依據戴震(1724~1777)的校訂本刻印《算 30 經十書》， 並附刻戴震自撰的《策算》(1744)和《勾股割圓記》(1758)。鮑廷博 (1728~1714)刻《知不足齋叢書》 ，分別於 1797 年收羅《益古演段》 、1798 年收羅 《測圓海鏡》 、1814 年自《永樂大典》輯錄《透簾細草》 、 《丁巨算法》和楊輝的 《續古摘奇算法》三書殘本。1842 年，上海郁松年(1799~1865)刻《宜稼堂叢書》 ， 包含秦九韶的《數書九章》(附宋景昌《札記》)、楊輝的《詳解九章算法》(缺方 田、粟米、衰分、少廣四章，附《纂類》和宋景昌《札記》)、 《乘除通變本末》、 《田畝比類乘除算法》和《續古摘奇算法》。由於這些叢書的刻印，才使得許多 數學古籍能夠更廣泛地流傳，進而使更多學者投入中國傳統數學的研究。31 清乾隆、嘉慶時期，乾嘉學派的戴震、阮元(1764~1849)、32李銳、李潢和張 敦仁等人以「興復古學、昌明中法」為職志，以「西學中源」說為中心思想，開 始認真地校勘和忠實地注釋中國數學古籍，使數學研究的主軸從學習西法翻轉為 復興中法，為晚清數學專業化的綻放埋下種子。李潢為乾嘉學派研究中國古代數 學的重要代表性人物，所以，我們可以透過認識他的生平、交遊與著作，更為瞭 解乾嘉學派的數學活動脈絡。. 2.4 李潢的生平、交遊與著作. 27. 秦九韶，字道古，四川安岳人，紹定四年進士。其著作《數書九章》中的「大衍求一術」和 「正負開方術」，為中國數學重要研究成果。 28 李冶，又名李治，字仁卿，號敬齋，真定欒城人。其著作《益古演段》和《測圓海鏡》是中 國最早對「天元術」進行系統敘述的書。 29 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 316－317。 30 戴震，字東原，安徽休寧人，乾隆二十七年舉人。曾擔任《四庫全書》纂修官，欽賜翰林院 庶吉士。 31 參閱陳鳳珠， 《清代算學家駱騰鳳及其算學研究》(台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論 文，2000 年)，頁 22。 32 阮元，字伯元，號芸台，江蘇儀征人，乾隆五十四年進士，官至體仁閣大學士。著有《疇人 傳》四十六卷。 11.
(12) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 2.4.1 李潢的生平 李潢(？~1812)，字雲門，湖北省安陸府鍾祥縣人。出生年代不詳，大約推 測是在乾隆十一年(公元 1746 年)至乾隆十四年(公元 1749 年)之間。33乾隆三十六 年(公元 1771 年)中進士，曾以翰林院編修的資格擔任《四庫全書》編撰的總目 協勘官，34協助編定總目和修改提要。35一生擔任過山西鄉試副考官(乾隆五十四 年)、侍講學士(乾隆？年~乾隆五十四年)、內閣學士(乾隆五十四年~乾隆六十 年)、江南鄉試副考官(乾隆五十七年)、浙江學政(乾隆五十七年~乾隆六十年)、 兵部右侍郎(乾隆六十年~嘉慶三年)、會試副考官(嘉慶元年)、武會試知武舉(嘉 慶元年)、江西學政(嘉慶二年~嘉慶四年)、兵部左侍郎(嘉慶三年~嘉慶四年)和工 部左侍郎。36嘉慶四年，因為和珅案遭受牽連而被降為翰林院編修，《清史稿》 〈和珅傳〉中有記載，引數語如下： 四年正月，高宗崩，給事中王念孫首劾其不法狀，仁宗即以宣遺詔日傳旨逮 治，命王大臣會鞫，俱得實。詔宣佈和珅罪狀，略曰：「朕於乾隆六十年九月初 三日，蒙皇考冊封皇太子，尚未宣佈，和珅於初二日在朕前先遞如意，以擁戴自 居，大罪一。······侍郎吳省蘭、李潢，太僕寺卿李光雲在其家教讀，保列卿階， 兼任學政，大罪十一。······家奴劉全家產至二十餘萬，並有大珍珠手串，大罪二 十。」內外諸臣疏言和珅罪當以大逆論，上猶以和珅嘗任首輔，不忍令肆市，賜 自盡。37 由這段記載可推知，李潢和和珅的關係密切，曾因和珅的保舉而升官，也因 和珅的連累而降職，真是成也和珅、敗也和珅。另外，在《鐘祥縣志》中也有關 於李潢的記載，引數語如下： 潢字雲門，乾隆乙酉解元，辛卯成進士，由編修累牽工部左侍郎，以受和珅 累，降編修。潢負異稟，讀書目十行下。父兆鈺官海州牧，被劾落職，卒於蘇州， 潢年尚少，扶喪歸邑。豪利其資，誣陷潢入獄，家人來視，輙取書一篋，逾數日 更取之，以為常，由是學亦富。雲南李公因培巡視湖北，廉知潢冤出之。······38. 33. 參閱洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師範大學數學研究所 碩士論文，2006 年)，頁 11－12。 34 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 330。 35 參閱司馬朝軍，《 《四庫全書總目》編纂考》(武昌：武漢大學出版社，2005 年)。 36 參閱錢實甫， 《清代職官年表》(上海：中華書局，1980 年)，第一冊，頁 638－640；第二冊， 頁 1003；第四冊，頁 2684－2686，2830，2939－2940。 37 引自趙爾巽主編， 〈和珅傳〉， 《清史稿》卷三一九。 38 參閱洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師範大學數學研究所 碩士論文，2006 年)，頁 12。 12.
(13) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 由這段記載可知，李潢天資聰穎，讀書能夠一目十行。李潢父親李兆鈺在海 州當官的時候，因為被彈劾而免職，最後死在蘇州，去世時年紀不到五十歲，當 時李潢年紀還小，扶著父親靈柩回故鄉鐘祥。地方土豪為了奪取他的家產，誣告 陷害他入獄，家人來探視他時，時常都會帶一箱的書來給他看，所以他的學問就 越來越好。乾隆二十九年(公元 1764 年)，雲南李因培擔任湖北巡撫，得知李潢 的冤屈而放他出獄。 關於李潢的卒年，現今已經考證為 1812 年。清代阮元(1764~1849)著《疇人 傳》四十六卷之後，羅士琳(1774~1853)又續著《疇人傳續編》六卷。在羅士琳 的《疇人傳續編》第四十九卷中有〈李潢傳〉，引數語如下： 書甫寫定，潢即一病不起，遺囑務俟吳門沈欽裴算校，方可付梓。越八年， 嘉慶庚辰歲，其甥儀部程矞采，不敢違垂死言，延沈至家，為之校刊，以成其志。······ 因為嘉慶庚辰歲是 1820 年，也就是李潢去世後越八年，推論得李潢的卒年 為 1812 年。再加上羅士琳 1853 年才去世，因此《疇人傳續編》中的〈李潢傳〉 應該有極高的可信度，所以，我們可以採信李潢的卒年為 1812 年。39. 2.4.2 李潢的交遊 李潢為乾隆三十六年進士，由翰林官至工部左侍郎，又「博綜羣書，尤精算 學，推步律呂，俱臻微妙」，40在官場和數學界交遊廣闊，其中最為著名的朋友 是「談天三友」中的李銳。41 李銳(1768~1817)，又名向，字尚之，號四香，江蘇元和縣(今屬蘇州市)人， 和李潢同為乾嘉學派重要的代表性人物。「其時有南李北李之稱，北李者謂雲門 侍郎，以侍郎為楚北人，南李則銳是也」，42由於兩人社經地位的不同，李潢總 是扮演照護和資助李銳的角色。他曾經請託張敦仁「可少分清俸，以贍其家，俾 得悉心著書」 ，使李銳深受感動，在日記中寫道： 「向與雲門先生未及一面，而蒙 43 垂念如此，真可感也」。 另外，在羅士琳的《疇人傳續編》第五十卷中有〈李 銳傳〉，引數語如下：. 39. 參閱洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師範大學數學研究所 碩士論文，2006 年)，頁 12－13。 40 引自羅士琳，〈李潢傳〉， 《疇人傳續編》第四十九卷。 41 「談天三友」是指焦循、李銳和汪萊。 42 引自羅士琳，〈李銳傳〉， 《疇人傳續編》第五十卷。 43 參閱洪萬生和劉鈍， 〈汪萊、李銳與乾嘉學派〉 ，洪萬生主編， 《談天三友》(台北：明文書局， 1993 年)，頁 23。 13.
(14) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 嘉慶九年甲子科，江南主司耳銳名，欲羅致之。未出京，詢之雲門侍郎，謂 如何而後可得李某？侍郎曰：「是不難，吾有策題一，能對者即李某。」主司如 其言，猶慮有失，並益以「天之高也」一節四書題文。闈中大索不可得，竊疑之。 及榜發，果無銳名，訪知銳是年因病未與試。主司嘆曰：「噫，是有命也。」 由這段記載可知，李潢對李銳真是照護得無微不至，李銳也以他的研究成果 來回報。在他的《觀妙居日記》中曾記載，他以八天的時間將張敦仁收集到的南 宋版《九章算術》前五卷算校整理過，可見得李銳對《九章算術》頗有研究。他 後來相繼撰成《勾股算術細草》(1806)和《方程新術草》(1808)二書，書成後都 寄一部抄本給李潢過目。當時李潢正在從事《九章算術》的研究，他曾經復函李 銳： 讀大著《方程新術草》一卷，正負相當各率，一出自然，正從前傳刻之誤， 闡古人未發之覆，愉快彌日。《勾股細草》前歲古愚太守見惠一本，條段各圖， 細入毫芒，真精思大力之作也。44 對照李潢《九章算術細草圖說》的〈勾股〉卷和李銳的《勾股算術細草》 ， 不難發現二者在論證勾股定理及其應用的「條段各圖」幾乎雷同。尤其是李潢書 中關於劉徽用「出入相補法」證明勾股定理的一段說明，45有可能是完全照搬李 銳的。此外，李潢書中關於「方程新術」的解釋，基本上也是因襲李銳的著作。 46 李銳也曾撰寫《海島算經細草》和《緝古算術衍》，但二書均已失傳。現今張 敦仁有《緝古算術細草》傳世，李銳曾為之算校並作跋，有人「疑此細草即以《緝 古算術衍》為藍本，而擴其意耳」。47 嘉慶十五年(公元 1810 年)，李銳從南昌張敦仁府邸出發，前往北京參加他 生平的最後一次考試。雖然這次順天府的鄉試結果仍告失敗，48但他終於和李潢 這位神交已久的學術知己見面了。在京期間，他們曾多次晤談，主要是討論《九 章算術》中的問題。嘉慶十七年(公元 1812 年)，李潢去世時， 《九章算術細草圖 說》尚未定稿，李潢遺囑務俟沈欽裴算校後方可付梓，史家嚴敦傑(1917~1988) 認為「李潢不囑李銳算校，是為可疑」。實情可能是李銳以自己的研究成果來報. 44. 參閱洪萬生和劉鈍， 〈汪萊、李銳與乾嘉學派〉 ，洪萬生主編， 《談天三友》(台北：明文書局， 1993 年)，頁 23－24。 45 劉徽，三國時代魏國數學家，山東淄鄉人。著有《九章算術注》和《重差》等書，唐以後《重 差》改稱為《海島算經》。 46 參閱洪萬生和劉鈍， 〈汪萊、李銳與乾嘉學派〉 ，洪萬生主編， 《談天三友》(台北：明文書局， 1993 年)，頁 24。 47 參閱嚴敦傑， 〈李尚之年譜〉 ，洪萬生主編， 《談天三友》(台北：明文書局，1993 年)，頁 370。 48 清代北京地區稱為順天府，是首都的最高地方行政機關。順天府的轄區在清初多有變化，乾 隆八年以後就固定下來，共領五州十九縣。 14.
(15) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 答李潢的知遇之恩，而李潢卻因此感到心虛，所以不好意思請李銳來算校。49 李潢另一位知己好友是同在朝廷為官的戴敦元(1768~1834)。戴敦元，字金 溪，浙江開化人，乾隆五十五年(公元 1790 年)進士，選庶吉士，改刑部主事， 後官至刑部尚書。生平無所嗜，篤好曆算之學，清介自持，嫻熟律例，清除陋規， 為當時名吏。史書記載其「任官四十年，逝世僅遺幾架書籍，幾幅畫，幾間舊房， 數畝薄田而已」，50應是難得的一位清官，卒諡簡恪。. 清代學者戴敦元 李潢和戴敦元交從甚密，在羅士琳的《疇人傳續編》第四十九卷〈李潢傳〉 中有記載，引數語如下： 李潢，字雲門，鍾祥人。乾隆三十六年進士，由翰林官至工部左侍郎，博綜 羣書，尤精算學，推步律呂，俱臻微妙。與開花戴大司寇簡恪公，共究中西之奧， 兩人皆宗中法，道同志合，交稱莫逆。著九章算術細草圖說九卷，附海島算經一 卷，共十卷，簡恪序其書，謂潢嘗言：「陳其數者，下學之言也。知其義者，上 達之功也。有數先有象，有象皆可繪。」······. 49. 參閱洪萬生和劉鈍， 〈汪萊、李銳與乾嘉學派〉 ，洪萬生主編， 《談天三友》(台北：明文書局， 1993 年)，頁 24。 50 引自趙爾巽主編， 〈戴敦元傳〉 ，《清史稿》卷三七四。 15.
(16) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 除了李銳和戴敦元之外，李潢與當時的算學家汪萊(1768~1813)、張敦仁 (1754~1834)、羅士琳(1774~1853)、沈欽裴等人也有學術上的互動與交流。51而且， 他還曾經指導劉衡(1776~1841)和駱騰鳳(1770~1841)等後進。 劉衡，字蘊聲，號廉舫，江西南豐(今廣昌)人。一生為官以循吏著稱，宣宗 帝賜其「公勤」二字。劉衡曾經受學於李潢，其長子劉良駒說：「昔先君學算於 李雲門侍郎，侍郎以算法名，當時獨許先君為可與語，先君亦好之不倦」，梅曾 亮(1786~1856)在為劉衡的書寫序時也曾提到此事。52 劉衡曾為李潢校算《緝古算經考注》 ，並於南昌刊刻。另外，劉衡還著有《六 九軒算書五種》(1807)，其中附有《輯古算經補注》二則，劉良駒認為其父「手 校侍郎輯古考注，又以常受之侍郎，不欲以自名也」，所以「以先君所補《輯古 考注》，附於自著五種後」。53 駱騰鳳，字鳴岡，號春池，淮安府山陽縣(今江蘇淮安市)人，一生清貧，潛 心數學。曾於嘉慶十六年(公元 1811 年)在北京拜李潢為師，「研精覃思，寒暑靡 間」 ，討論「天元術」和「開方術」等中國傳統數學。嘉慶十九年(公元 1814 年) 駱騰鳳再度入京時，李潢已經去世，這時李潢的《九章算術細草圖說》和《緝古 算經考注》二書已完成，但是尚留有大批手稿，李潢的家人「謬加珍惜，秘不示 人」。駱騰鳳為了不使這些數學研究成果被湮沒，於是，將老師和自己演繹的稿 紙加以整理和概括，寫成了《開方釋例》四卷。在〈《開方釋例》序〉中有記載， 引數語如下： 歲辛末問算術於李雲門夫子，獲聞緒論，而尤諄諄於天元一術。蓋見近日之 言開方者，創為可知、不可知之例，而於秦李之書且多詆議，其說本不足辨，第 恐斯術之不彰也，嘗商訂正負開方之法，屬稿未成，而先生已歸道山矣。甲戌計 偕入都，瞻拜影堂，檢求遺稿，惟《九章算經注》 、 《緝古算經注》二書已成，其 餘叢殘故紙中，尚多有發前人所未發者。······爰取先生手授舊稿數紙，衍為四卷， 名曰《開方釋例》。54 駱騰鳳尚著有《藝游錄》二卷，是關於中國傳統數學的研究札記，包括《九 章算術》 、 《緝古算經》 、 《孫子算經》 、 《數書九章》 、 《測圓海鏡》 、 《算法統宗》和 51. 沈欽裴，字俠侯，江蘇元和(今蘇州市)人，嘉慶十二年舉人。曾為李潢算校《九章算術細草圖 說》。 52 參閱洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師範大學數學研究所 碩士論文，2006 年)，頁 14－15。 53 參閱王錫熙， 《清代算學家梅啟照及其算學之研究》(台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士 論文，2002 年)，頁 5。 54 參閱陳鳳珠， 《清代算學家駱騰鳳及其算學研究》(台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論 文，2000 年)，頁 37－43。 16.
(17) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 《赤水遺珍》等算書的研究心得與評論。另外，駱騰鳳還為李潢校訂《海島算經 細草圖說》，並由沈欽裴為之補細草。55. 2.4.3 李潢的著作 李潢為乾嘉學派著名的數學家，當時數學研究的焦點逐漸從西學反身轉向中 算，而乾嘉學派所主導的數學研究特色之一，就是校注和整理中國古代數學典 籍。隨著《算經十書》的重新問世，引發當時許多數學家的興趣，紛紛投入注釋 和校勘的工作，李潢也跟上這股時代潮流。由於他曾經擔任《四庫全書》編撰的 總目協勘官，協助編定總目和修改提要。所以，能利用職務之便接觸到《九章算 術》、《海島算經》和《緝古算經》。這三本數學典籍是《算經十書》中有輝煌成 就且比較難理解的，李潢因為「博綜羣書，尤精算學」，便首先擔任它們的校注 工作，著有《九章算術細草圖說》九卷、《海島算經細草圖說》一卷和《緝古算 經考注》二卷。 李潢的《九章算術細草圖說》是用戴震校訂過的孔氏微波榭本《九章算術》 作為底本，並校正了許多錯誤文字。戴震所謂「舛誤不可通」的文字，經過他的 校勘之後，就能夠文從字順，容易理解了，但有些被戴震誤改的文字，他就難以 糾正過來。李潢為《九章算術》和《海島算經》中的每個問題，依照原術補圖演 草，基本上是正確的，也能夠將劉徽注中不容易理解的文字分析條理並解釋清 楚。可惜的是，1812 年李潢病故前，《九章算術細草圖說》全書未能寫成定稿。 1820 年由他的外甥程矞采遵守李潢遺囑，邀請沈欽裴算校後才付印。除此之外， 李潢的學生駱騰鳳也為他校訂《海島算經細草圖說》 ，並由沈欽裴為之補細草。56 李潢遺稿中還有《緝古算經考注》二卷，乃以九章解釋《緝古算經》之作。 李潢是以常熟毛氏汲古閣影宋抄本為底本，刊誤補闕七百多字，每一道題目的解 法都附以算草和割截分并、虛實比例之旨。後來，南豐劉衡授其鄉人揭廷鏘以西 方開方法增補算草圖解，並由劉衡算校刻于江西。李潢之婿程裔采當時任廣東布 政使，認為揭廷鏘增補的算草圖解與李潢的通體義例不合。於是，他就削去圖草， 並請吳蘭修復校，李兆洛為序，仍以原考注刊布于廣州。57 書前有李兆洛為序，引數語如下：. 55. 參閱陳鳳珠， 《清代算學家駱騰鳳及其算學研究》(台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論 文，2000 年)，頁 37－43。 56 參閱洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師範大學數學研究所 碩士論文，2006 年)，頁 14－16。 57 參閱羅士琳，〈李潢傳〉， 《疇人傳續編》第四十九卷。 17.
(18) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 於是書立法之根，如鉅解木，如錐劃土，又復補正脫誤，條理秩然，信王氏 之功臣矣。爰述大旨以告世之，習是書者，無復苦其難讀云。58 次有吳蘭修為序，亦引數語如下： 凡高臺、羨道、築隄、穿河等二十術，皆以從立方開之。······此則斜袤廣狹、 割截附帶，以法御之，無不曲中，可謂思極豪芒，妙入無間者矣。······顧其詞旨 深奧，卒不易曉，宋元以降，幾至廢絕。惟汲古閣有影鈔宋本，收於四庫、知不 足齋、微波榭、函海，並刻之，傳寫脫誤。李雲門先生嘗校正之，釐為二卷，刊 誤補闕凡七百餘字，每術附以算草及割截分并，虛實比例之旨。是書之蘊畢宣， 王氏之真盡出，無庸以天元一術推算矣。59 嘉慶年間，除了李潢以《九章算術》解釋《緝古算經》之外，張敦仁曾於嘉 慶八年(公元 1803 年)以「天元術」解釋《緝古算經》 ，並將第十六術以下爛脫字 據和術文補齊，撰寫成《緝古算經細草》三卷，但其內容卻完全不理會王孝通的 「自注」，只能算是一種數值驗證。另外，陳杰和揭廷鏘也曾以明清之際新傳入 的西法解釋《緝古算經》，60但內容顯然是很難符合王孝通的原來意思。61 在羅士琳的《疇人傳續編》第四十九卷〈李潢傳〉中也有論曰： 算自明際寖疎，古籍散佚，前賢精義，百無一存，西士因得逞其技。明人驟 見西法，詫為神奇，趨之若鶩，遂漫以為古法不逮，噫是何辭之傎歟。即有一二 知算之士，狃於眾習，昧於絕詣，雖欲崇中黜西，而是非曲直，先已糢糊，又安 能澈底窮源，直揭其短。侍郎信古能篤，實事求是，其於中西之學，孰優孰劣， 早經了了於胸中。故所著《九章細草》 、 《輯古考注》二書，能發古人之真解，與 古人息息相通，可謂力挽迴瀾，初非西學者所能窺其厓岸，倒置黑白也。 《考注》 第三問築隄下第四術，原稿奪注，劉君依例補之可也。惜其第三術羼列西法開方 兩算草，與侍郎通體義例不協，不解何意，因思此蓋揭某妄增之草，方伯芟之未 盡耳。余恐世支讀侍郎書者，以此議侍郎，故特表白之。. 58. 引自李兆洛， 〈《緝古算經考注》序〉 ，郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州： 河南教育出版社，1993 年)，頁 1217。 59 引自吳蘭修， 〈《緝古算經考注》序〉 ，郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州： 河南教育出版社，1993 年)，頁 1218。 60 西法指的是《數理精蘊》中的「開帶從立方法」。 61 參閱錢寶琮， 《中國數學史》 ，杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷(瀋陽：遼寧教 育出版社，1998 年)，頁 330。 18.
(19) 第 2 章 《緝古算經考注》之歷史脈絡. 由此可見，李潢在歷史上的評價是非常高的。李潢曾說過：「陳其數者，下 學之言也。知其義者，上達之功也。有數先有象，有象皆可繪。」62這段話恰好 和劉徽的「析理以辭，解體用圖」有異曲同工之妙。63雖然他在《九章算術細草 圖說》 、 《海島算經細草圖說》和《緝古算經考注》三書裡，還保留了幾處無法校 正的錯誤文字和難以確定的注疏。但是大體上，他的校注工作是值得我們肯定 的，也是後人學習《九章算術》、《海島算經》和《緝古算經》最佳的典範。. 62. 引自戴敦元， 〈《九章算術細草圖說》序〉 ，郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭 州：河南教育出版社，1993 年)，頁 947。 63 參閱洪正川， 《李潢《九章算術細草圖說》之內容分析》(台北：國立台灣師範大學數學研究所 碩士論文，2006 年)，頁 16。 19.
(20) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 20.
(21) 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上). 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上) 《緝古算經考注》是以《緝古算經》的體例為基礎，內容依序為「題目」、 「答曰」 、 「術曰」和王孝通的「自注」 ，再加上李潢的「潢案」及少部分「劉衡 謹案」所組成。李潢將《緝古算經》中的二十道題目拆成上下二卷，卷上包含 前面三道題目，卷下則包含後面十七道題目。他在內容中加入了非常多的「潢 案」，除了用來校勘文字和錯誤內容、補充說明王孝通的「術曰」和「自注」 ， 並用來詳細列出解題的過程，使研究《緝古算經》的人能夠更容易瞭解其內容。 但美中不足的是，李潢並沒有附上任何的圖解，這部份的工作只好由筆者根據 題意和《九章算術細草圖說》中同樣名詞的圖形來揣摩並繪圖，希望可以嘉惠 後學者。 由於《緝古算經考注》的內容非常艱深難懂，尤其是卷上第二和第三術。 因此，筆者打算在本章先分析卷上的三道題目，其中第一術為曆法問題，第二 和第三術為土木工程中的土方體積問題。卷下的十七道題目，則留待第四章再 分析。. 3.1 第一術 假令天正十一月朔、夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母， 朔月行定分九千，朔日定小餘一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分也。也當 作法，據戊寅元術校改。今不取加時脫日字度。問天正朔夜半之時月在何處？. 自注：推朔夜半月度，舊術要須加時日度。自古先儒雖復修撰改制，意見 甚眾，竝未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐 後代無人知者。今奉敕造曆，因即改制，為此新術。舊推日度之術已得朔夜半 日度，仍須更求加時日度，然當作乃知月處。臣今作新術，但得朔夜半日度，不 須加時日度，即知月處。此新術比於舊術，一年之中十二倍省功，使學者易知。 根據題目意思，得知某年十一月初一合朔時刻，夜半時日所在赤道經度， 求夜半時月所在赤道經度。王孝通根據《九章算術》均輸章犬追兔問題的解法 理論，求出比舊法更簡潔的解法。李潢認為「問語及注文多複亂，今校於後」。 假令天正十一月朔、夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母， 朔月定行分九千，朔日定小餘一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。舊推 日度之術已得朔夜半日度，仍須更求加時日度，乃知月處。臣今作新術，不取 21.
(22) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 加時日度。問天正朔夜半之時月在何處？ 自注：推朔夜半月度，舊術要加時日度。自古先儒雖復修撰改制，意見甚 眾，並未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐後 代無人知者。今奉敕造厤，為此新術。但得朔夜半日度，不須加時日度，即知 月處。比於舊術，一年之中十二倍省功，使學者易知。 答曰：在斗四度七百分度之五百三十。 術曰：推朔夜半月度新術，不復加時日度，月蝕乃可用之。潢案：不復當依前注作不須， 月蝕當作有定小餘。以章歲減朔月行定分，餘以乘朔日定小餘，滿日法而一，為先 行分。不盡者，半法已以通上收成一，已上當作下者棄之。若先行分滿日行分而 一，為度分，以減朔日夜半日所在度分。若度分不足減，加往宿度。其分不足 減者，退一度為行分而減之。餘即朔日夜半月行所在度及分也。 自注：凡入曆當月行定分即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一為度。 凡日一日行一度。然則章歲者即是日之一日行分也。今按《九章》均輸篇有犬 追兔術，與此術相似。彼問：犬走一百步，兔走七十步。令兔先走七十五步， 犬始追之。問幾何步追及？荅曰：二百五十步追及。彼術曰：以兔走減犬走， 餘者為法。又以犬走乘兔先走為實。實如法而一，即得追及步數。此術亦然。 何者？假令月行定分九千，章歲七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月 行數相減，餘八千三百分者，是日先行之數。然月始追之必用一日而相及也。 令當作今定小餘者，亦是日月相及之日分。假令定小餘一萬，即相及定分，此乃 無對為數。其日法者，亦是相及之分，此又同數為有，八千三百，是先行分也。 斯則異矣。但用日法除之，即當作得四千一百五十，即先行分。故以故以二字衍 文夜半之時日在月前，月在日後，以日月相去之數四千一百五十減日行所在度 分，即月夜半所在度分也。 由王孝通這段注文可知，本題算法是模仿《九章算術》均輸篇犬追兔術： 「今按《九章》均輸篇有犬追兔術，與此術相似。彼問：犬走一百步，兔走七 十步。令兔先走七十五步，犬始追之。問幾何步追及？荅曰：二百五十步追及。」 ， 但李潢提出第一個質疑： 「近刻《九章算術》均輸篇：今有兔先走一百步，犬追 之二百五十步，不及三十步而止。問犬不止，復行幾何步及之？1答曰：一百七 步七分步之一。與王氏所引不合。」2可見王孝通所引用的題目與現今版本不同。. 1. 引自《九章算術》 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 152。 引自李潢， 《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1223。 2. 22.
(23) 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上). 李潢提出第二個質疑： 「又古法：日一日行一度，月一日行十三度十九分度之七。」 3. 7 倍，所以，「假令月行定分九千，章歲 19 七百，即是日行七百分，月行九千分。」應該是為了方便計算，並不是真實數 據。4李潢提出第三個質疑： 「傅仁均《戊寅元術》 ：章歲六百七十六。亦名行分 法。日法一萬三十六。王氏校勘傅厤，而是術乃云章歲七百，日法二萬，與彼 數異，未審何據。」5可見「定小餘一萬」和「日法二萬」也與傅仁均《戊寅元 曆》中所記載的數據不同。另外，李潢還認為注文中「今不云異乘，亦脫文也。 無對為數、同數為有，疑是古算術語。」6 月亮運行的速度是太陽運行速度的 13. 本題解法由《九章算術》粟米篇今有術，7可得所求數＝. 所有數 所求率 ＝ 所有率. 10000 9000 700 4150 650 480 650 530 ＝4150， ＝5 ， 10 －5 ＝4 。李潢還 20000 700 700 700 700 700 提出了三種分數運算的方法，筆者以現代數學算式列出：. 解一： 10. 480 480 480 650 1180 650 530 －5＝ 5 ，5 － ＝4 － ＝4 。 700 700 700 700 700 700 700. 解二： 10. 480 650 1180 650 530 －5 ＝9 －5 ＝4 。 700 700 700 700 700. 解三：10 × 700＋480＝7480，7480－4150＝3330，. 3330 530 ＝4 。 700 700. 由此可見，李潢在處理分數運算方面技巧十分純熟，而這些方法也能帶給 我們對數學教育的一些啟發。 李潢又提到舊術的解法： 「加時者，合朔距子正後之時刻也。合朔無小餘， 則子正即合朔時刻。有小餘，則合朔在子正後矣。合朔時日月同度，故舊術以 加時月行分減月合朔行分，而得子正時月之度分也。」所以， 「如此問求加時日 度者，以三百五十分并子正日在斗四度七百分度之五百三十，得斗五度七百分 3. 引自李潢， 《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1223。 4 參閱林炎全，《 《緝古算經》探討》(台中：教育部台灣省中等學校教師研習會，2001 年)，頁 4。 5 引自李潢， 《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1223。 6 引自李潢， 《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1221。 7 參閱《九章算術》 ，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 99。 23.
(24) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 度之一百八十為子正後合朔加時日度。」8筆者認為李潢此注文有誤，應該更正 為「如此問求加時日度者，以三百五十分并子正日在斗十度七百分度之四百八 十，得斗十一度七百分度之一百三十為子正後合朔加時日度。」這樣子會比較 合理。. 正確解法： 10. 480 350 130 ＋ ＝ 11 700 700 700. 圖 3.1.1. 3.2 第二術 假令太史造仰觀臺，上廣、袤少，下廣、袤多。上、下廣差二丈，上、下 袤差四丈，上廣、袤差三丈，高多上廣一十一丈。甲縣差一千四百一十八人， 乙縣差三千二百二十二人。夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺 南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉， 乙縣四十三鄉，每鄉別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共 造仰觀臺，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高， 道自初登給袤。問臺道廣、高、袤，及縣別給高、廣、袤各幾何？ 答曰：臺高一十八丈；上廣七丈，下廣九丈；上袤一十丈，下袤一十四丈。 甲縣給高四丈五尺；上廣八丈五尺，下廣九丈；上袤一十三丈，下袤一十四丈。 8. 引自李潢， 《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1223。 24.
(25) 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上). 乙縣給高一十三丈五尺；上廣七丈，下廣八丈五尺；上袤一十丈，下袤一十三 丈。 羨道高一十八丈；上廣三丈六尺，下廣二丈四尺；袤一十四丈。 甲縣鄉人給高九丈；上廣三丈，下廣二丈四尺；上袤七丈，下袤一十四丈。 乙縣鄉人給高九丈；上廣三丈六尺，下廣三丈；下袤七丈。 李潢將上段「答曰」校勘，並依據體例正之如下： 臺高一十八丈；上廣七丈，上袤一十丈；下廣九丈，下袤一十四丈。 甲縣給高四丈五尺；上廣八丈五尺；上袤一十三丈。 乙縣給高一十三丈五尺；上廣七丈；上袤一十丈。 羨道高一十八丈；上廣三丈六尺，下廣二丈四尺；袤一十四丈。 甲縣鄉人給高九丈；上廣三丈；袤七丈。 乙縣鄉人給高九丈；上廣三丈六尺；袤七丈。 根據錢寶琮的考證，仰觀臺的四周應該有擋土牆，南面的牆是直立的，其 他三面具有一定的坡度。羨道的北面緊靠仰觀臺的南面，兩側也有一定的坡度。 9. 3.2.1 求仰觀臺上下廣袤高術 求臺上下廣袤高術曰：以程功尺數乘二縣人，又以限日乘之，為臺積。又以. 上、下袤差乘上、下廣差，三而一，為隅陽幂。以乘截高為隅陽截積幂幂字衍。 又半上、下廣差，乘斬當作壍上袤，為隅頭幂。以乘截高為隅頭截積。所得所得 二字衍并二積，以減臺積，餘為實。以上、下廣差并上、下袤差，半之，為正數。 加截當作壍上袤，以乘截高，所得增隅陽幂，加隅頭幂，為方法。又并截高及截 當作壍上袤與正數，為廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得臺下廣及 上下袤、高。 李潢依據《九章算術》商功篇的古法，10將仰觀臺切割成一個中央立方、11 二個短壍堵、12二個長壍堵和四個陽馬。13由於李潢的注文非常繁多，筆者將擷 取精要，以圖形來說明，並用現代數學符號和算式來表示，之後各題也都將採 用這種模式以方便讀者瞭解。. 9. 參閱錢寶琮，〈王孝通《緝古算術》第二題、第三題術文疏證〉，杜石然主編， 《李儼、錢寶 琮科學史全集》第九卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年)，頁 580。 10 參閱《九章算術》 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 132。 11 立方體積為「廣袤相乘，以高乘之」。 12 壍堵體積為「廣袤相乘，以高乘之，二而一」 。 13 陽馬體積為「廣袤相乘，以高乘之，三而一」 。 25.
(26) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 首先，我們先假設上寬(上廣)為 x 丈，則根據題意得下寬(下廣)為 x＋2 丈， 上長(上袤)為 x＋3 丈，下長(下袤)為 x＋7 丈，高為 x＋11 丈。仰觀臺體積為 75 × (1418＋3222) × 5＝75 × 4640 × 5＝348000 × 5＝1740000 立方尺＝1740 立 方丈。. x+3 x x+11. x+2 x+7 圖 3.2.1.1 於是，我們得到一個中央立方體積＝(x＋3)x(x＋11)＝x3＋11x2＋3x2＋33x。. 圖 3.2.1.2. 1 x 7 x 3 接著，我們得到二個短壍堵體積＝2 × × × x × (x＋11)＝ 2 2 2 x(x＋11)＝2x2＋22x。. 26.
(27) 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上). 圖 3.2.1.3. 1 x 2 x 再來，我們得到二個長壍堵體積＝2 × × × (x＋3) × (x＋11)＝ 2 2 (x＋3)(x＋11)＝x2＋11x＋3x＋33。. 圖 3.2.1.4. 1 x 7 x 3 x 2 x × 最後，我們得到四個陽馬體積＝4 × × × 3 2 2 8 8 88 8 1 (x＋11)＝ (x＋11)＝ x＋ ＝ x＋ 29 。 3 3 3 3 3. 27.
(28) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 圖 3.2.1.5 綜合以上圖形和數學算式，我們將得到以下結果：. 1 中央立方體積＋2 短壍堵體積＋2 長壍堵體積＋4 陽馬體積＝仰觀臺體積， 8 1 ∴ (x3＋11x2＋3x2＋33x)＋(2x2＋22x)＋(x2＋11x＋3x＋33)＋( x＋ 29 )＝ 3 3 1740， 2 2 ∴ x3＋17x2＋ 71 x＝ 1677 。 3 3 李潢除了依據《九章算術》商功篇的古法來分析解題之外，他還按照王孝 通的術文寫成詳細的解題過程。由於李潢的解題過程中都保留了王孝通自創的 許多名詞，例如「隅陽幂」、「隅陽截積」、「隅頭幂」、「隅頭截積」和「正數」 等，14而且，他在每個數字後面都會附上長度單位，最後，還會加上自己的驗 算。這些特點，筆者也都將其保留，以符合李潢的「原汁原味」。 同樣地，我們先假設上寬(上廣)為 x 丈，則根據題意得下寬(下廣)為 x＋2 丈，上長(上袤)為 x＋3 丈，下長(下袤)為 x＋7 丈，高為 x＋11 丈。仰觀臺體積 為 75 × (1418＋3222) × 5＝75 × 4640 × 5＝348000 × 5＝1740000 立方尺＝1740 立方丈。15截高為(x＋11)－ x＝11 丈。壍上長為(x＋3)－x＝3 丈。隅陽幂為. x 7 x 3 x 2 x ＝ 4 2 ＝ 8 ＝ 2 2 平方丈。隅陽截積為 8 × 11＝ 88 3. 3. 3. 14. 3. 3. 3. 王孝通自創這些專有名詞，是給一個稍微複雜而又重複使用的算式特別的稱呼，功用是為了 補救未能符號化的權宜之計。 15 李潢原來注文中的單位只有「尺」和「丈」 ，並無「立方」和「平方」 ，筆者為了讓大家更清 楚了解算式所代表的意義，特別加之。 28.
(29) 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上). 1 x 2 x 3 ＝ 2 3 ＝3 平方丈。隅頭截積為 3 × 11 ＝ 29 立方丈。隅頭幂為 3 2 2 1 1 2 ＝33 立方丈。實為 1740－( 29 ＋33)＝1740－ 62 ＝ 1677 。正數為 3 3 3. x 7 x 3 x 2 x ＝ 4 2 ＝3。方法為(3＋3) × 11＋ 2 2 ＋3＝66＋ 2. 2. 3. 2 2 2 ＋3＝ 71 。廉法為 11＋3＋3＝17。隅法為 1。x3 項係數稱為隅法，x2 項係 3 3 數稱為廉法，x 項係數稱為方法，常數項稱為實，整理之後得三次方程式 2 2 x3＋17x2＋ 71 x＝ 1677 ，通分乘以 3 得 3x3＋51x2＋215x＝5033，做開帶從 3 3 16 立方得 x＝7。 李潢在最後加入了自己的驗算過程：[(3 × 7＋51) × 7＋215] × 7＝[(21＋51). × 7＋215] × 7＝(72 × 7＋215) × 7＝(504＋215) × 7＝719 × 7＝5033，以表示此答 案正確無誤。所以我們得知：仰觀臺高 18 丈；上寬 7 丈，下寬 9 丈；上長 10 丈，下長 14 丈。. 3.2.2 求均給積尺受廣袤術 求均給積尺受廣袤術曰：以程功尺數乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。 三因之，又以高幂乘之，以上、下廣差乘袤差而一，為實。又以臺高乘上廣， 廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣 之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開 立方除之，即乙高。以減本高，餘即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙 高，以本高而一。所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一。所 得加上袤，即甲上袤。其甲上廣、袤即乙下廣、袤。臺上廣、袤即乙上廣、袤。 其後求廣、袤有增損者，皆倣此。 自注：此應六因乙積，臺高再乘，上、下廣差乘袤差而一。又以臺高乘上 廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。以上 廣之高乘上袤之高為小幂二。因下袤之高為中幂一。凡下袤、下廣之高即是截 高與上袤與上廣之高相連并數。然此有中幂定有小幂一，又有上廣之高乘截高 為幂一。又下廣之高乘下袤之高為大幂二。乘上袤之高為中幂一。其大幂之中 又有小幂一，復有上廣上袤之高各乘截高，為中幂各一。又截高自乘為幂一。 16. 王孝通並沒有提供「開帶從立方」的詳細過程，李潢也沒有。程大位《算法統宗》卷六有「開 立方帶縱法」一節，但其算法並不是正確解法。 29.
(30) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 其中幂之內有小幂一，又上袤之高乘截高為幂一。然則截高自相乘為幂二，小 幂六，又上廣、上袤之高各三，以乘截高為幂六。今皆半之，故以三乘小幂。 又上廣、上袤之高各三，今但半之，各得一又二分之一，故三之二而一。諸幂 乘截高為積尺。 李潢認為王孝通「注文淆誤」，所以「校正於後」： 其小大中三幂即小高大高中高三幂也。此應六因乙積，臺高再乘，上、下 廣差乘袤差而一為實。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘 上袤，袤差而一，為上袤之高。以上廣之高乘上袤之高為小幂二。又下廣之高 乘下袤之高為大幂二。又上廣之高乘下袤之高、上袤之高乘下廣之高為中幂各 一。凡下袤、下廣之高即是截高與上袤、上廣之高相連并數。其大幂之內有小 幂各一，復有上廣上袤之高各乘截高，為幂各一。又截高自乘為幂二。有中幂 定有小幂，其中幂之內有小幂各一，又上廣之高乘截高為幂一，又上袤之高乘 截高為幂一。然則截高自乘為幂二，小幂六，又上廣、上袤之高各三，以乘截 高為幂六。諸幂皆乘截高為積尺。今皆半之，得截高再自乘為立方。又三乘小 幂為方。又上廣、上袤之高各三，今但半之，各得一又二分之一，故三之二而 一為廉。 李潢依據《九章算術》商功篇芻童術來分析這一術的解題，17而且，他大 量地使用幾何圖形相似比例和代數比例計算。我們先假設乙縣負責的高為 h 丈，甲縣負責的高為 18－h 丈，上寬上延的高(上廣之高)為 m 丈，上長上延的 高(上袤之高)為 n 丈。乙縣負責的體積為 75 × 3222 × 5＝241650 × 5＝1208250 立方尺＝1208 . 25 立方丈。由相似形比例關係得 OP ： OR ＝ AB ： DE ， ∴ m：m＋18＝ AB ： DE ，∴ m：18＝ AB ：( DE － AB )，∴ m＝ OP ： OQ ＝ AB ： GH ，∴ m：m＋h＝ AB ： GH ，∴ GH ＝. ∴ GH － AB ＝. m h AB ， m. m h AB － AB ＝ h AB ＝h AB × DE AB ＝ h DE AB 。 m. m. 18 AB. 18. 同理， n：n＋18＝ BC ： EF ，∴ n：18＝ BC ：( EF － BC )，∴ n＝. n：n＋h＝ BC ： HI ，∴ HI ＝. 17. 18 AB 。 DE AB. n h BC ，. 18BC 。 EF BC. n. 參閱《九章算術》 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 136。 30.
(31) 第 3 章 《緝古算經考注》之內容分析 (卷上). ∴ HI － BC ＝. n h BC － BC ＝ h BC ＝h BC × EF BC ＝ h EF n. n. . BC 。18 18. 18BC. O m A C. P. 10. 7 B. G. h Q I. 18-h. H. D 9. R 14. F. E 圖 3.2.2.1. 依據「九章芻童術曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其 廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。」19我們可以得到下列結果：. 2BC HI AB 2HI BC GH PQ ＝1208 . 25， 6. ∴ (2 × BC × AB ＋2 × HI × GH ＋ HI × AB ＋ BC × GH ) × h＝6 × 1208 . 25， ∴ {2 × BC × AB ＋2 × [ BC ＋( HI － BC )] × [ AB ＋( GH － AB )]＋. [ BC ＋( HI － BC )] × AB ＋ BC × [ AB ＋( GH － AB )]} × h＝6 × 1208 . 25， ∴ [2 × BC × AB ＋2 × BC × AB ＋2 × BC × ( GH － AB )＋2 × ( HI － BC ) × AB ＋. 2 × ( HI － BC ) × ( GH － AB )＋ BC × AB ＋( HI － BC ) × AB ＋ BC × AB ＋ 18. 參閱林炎全， 《 《緝古算經》探討》(台中：教育部台灣省中等學校教師研習會，2001 年)，頁 7。 19 引自《九章算術》 ，郭書春、劉鈍點校， 《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 136。 31.
(32) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. BC × ( GH － AB )] × h＝6 × 1208 . 25，. ∴ [6 × BC × AB ＋3 × BC × ( GH － AB )＋3 × ( HI － BC ) × AB ＋2 × ( HI － BC ). × ( GH － AB )] × h＝6 × 1208 . 25， ∴ [3 × BC × AB ＋. 3 3 × BC × ( GH － AB )＋ × ( HI － BC )× AB ＋( HI － BC ) 2 2. × ( GH － AB )] × h＝3 × 1208 . 25， 1 1 1 ∴ BC × AB × h＋ × BC × ( GH － AB ) × h＋ × ( HI － BC ) × AB × h＋ × 2 2 3 ( HI － BC ) × ( GH － AB ) × h＝1208 . 25。 1 h BC 1 h AB 1 h BC h AB ∴ AB × BC × h＋ × × AB × h＋ × × BC × h＋ × × × h＝ 2 n 2 m 3 n m 1208 . 25， 3 AB BC AB BC AB BC × h2＋ ∴ 3 × AB × BC × h＋ × × h3＝ m n 2 mn 3 × 1208 . 25， 3 3mn ∴ h3＋ (m＋n) h2＋3 mnh＝ × 1208 . 25， 2 AB BC 3 18 18 3 ∴ h3＋ (m＋n) h2＋3 mnh＝ × 1208 . 25。 2 DE AB EF BC. . . . 在上面算式中，李潢將( DE － AB ) × ( EF － BC )＝2 × 4＝8 稱為「一率， 本廣差、本袤差相乘，即廣袤相乘率」； PR × PR ＝18 × 18＝324 稱為「二率， 本高自乘，即廣之高、袤之高相乘率」；[3 × BC × AB ＋ ＋. 3 × BC × ( GH － AB ) 2. 3 × ( HI － BC ) × AB ＋( HI － BC ) × ( GH － AB )] × h＝3 × 1208 . 25 稱為 2. 3 「三率，乙三因積，即乙十廣袤相乘，又乘乙高」；h3＋ (m＋n) h2＋3 mnh＝ 2 3 18 18 × 1208 . 25 稱為「四率，乙從立方實，即乙十廣之高、袤 EF BC DE AB. . . . 32.
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