正確解法：
700 10480＋
700 350＝
700 11130
圖 3.1.1
3.2 第二術
假令太史造仰觀臺，上廣、袤少，下廣、袤多。上、下廣差二丈，上、下 袤差四丈，上廣、袤差三丈，高多上廣一十一丈。甲縣差一千四百一十八人，
乙縣差三千二百二十二人。夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺 南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉，
乙縣四十三鄉，每鄉別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共 造仰觀臺，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，
道自初登給袤。問臺道廣、高、袤，及縣別給高、廣、袤各幾何？
答曰：臺高一十八丈；上廣七丈，下廣九丈；上袤一十丈，下袤一十四丈。
甲縣給高四丈五尺；上廣八丈五尺，下廣九丈；上袤一十三丈，下袤一十四丈。
8 引自李潢，《緝古算經考注》，郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四(鄭州：河南 教育出版社，1993 年)，頁 1223。
乙縣給高一十三丈五尺；上廣七丈，下廣八丈五尺；上袤一十丈，下袤一十三 丈。
羨道高一十八丈；上廣三丈六尺，下廣二丈四尺；袤一十四丈。
甲縣鄉人給高九丈；上廣三丈，下廣二丈四尺；上袤七丈，下袤一十四丈。
乙縣鄉人給高九丈；上廣三丈六尺，下廣三丈；下袤七丈。
李潢將上段「答曰」校勘，並依據體例正之如下：
臺高一十八丈；上廣七丈，上袤一十丈；下廣九丈，下袤一十四丈。
甲縣給高四丈五尺；上廣八丈五尺；上袤一十三丈。
乙縣給高一十三丈五尺；上廣七丈；上袤一十丈。
羨道高一十八丈；上廣三丈六尺，下廣二丈四尺；袤一十四丈。
甲縣鄉人給高九丈；上廣三丈；袤七丈。
乙縣鄉人給高九丈；上廣三丈六尺；袤七丈。
根據錢寶琮的考證，仰觀臺的四周應該有擋土牆，南面的牆是直立的，其 他三面具有一定的坡度。羨道的北面緊靠仰觀臺的南面，兩側也有一定的坡度。
9
3.2.1 求仰觀臺上下廣袤高術
求臺上下廣袤高術曰：以程功尺數乘二縣人，又以限日乘之，為臺積。又以 上、下袤差乘上、下廣差，三而一，為隅陽幂。以乘截高為隅陽截積幂幂字衍。 又半上、下廣差，乘斬當作壍上袤，為隅頭幂。以乘截高為隅頭截積。所得所得 二字衍并二積，以減臺積，餘為實。以上、下廣差并上、下袤差，半之，為正數。
加截當作壍上袤，以乘截高，所得增隅陽幂，加隅頭幂，為方法。又并截高及截
當作壍上袤與正數，為廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得臺下廣及 上下袤、高。
李潢依據《九章算術》商功篇的古法，10將仰觀臺切割成一個中央立方、11 二個短壍堵、12二個長壍堵和四個陽馬。13由於李潢的注文非常繁多，筆者將擷 取精要，以圖形來說明，並用現代數學符號和算式來表示，之後各題也都將採 用這種模式以方便讀者瞭解。
9 參閱錢寶琮，〈王孝通《緝古算術》第二題、第三題術文疏證〉，杜石然主編，《李儼、錢寶 琮科學史全集》第九卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年)，頁 580。
10 參閱《九章算術》，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 132。
11 立方體積為「廣袤相乘，以高乘之」。
12 壍堵體積為「廣袤相乘，以高乘之，二而一」。
13 陽馬體積為「廣袤相乘，以高乘之，三而一」。
首先，我們先假設上寬(上廣)為 x 丈，則根據題意得下寬(下廣)為 x＋2 丈，
上長(上袤)為 x＋3 丈，下長(下袤)為 x＋7 丈，高為 x＋11 丈。仰觀臺體積為 75 × (1418＋3222) × 5＝75 × 4640 × 5＝348000 × 5＝1740000 立方尺＝1740 立 方丈。
x+7
x+2 x
x+11 x+3
圖 3.2.1.1
於是，我們得到一個中央立方體積＝(x＋3)x(x＋11)＝x3＋11x2＋3x2＋33x。
圖 3.2.1.2
接著，我們得到二個短壍堵體積＝2 × 2
1×
2 3 7
x
x × x × (x＋11)＝
2 x(x＋11)＝2x2＋22x。
圖 3.2.1.3
再來，我們得到二個長壍堵體積＝2 × 2
1×
2 2 x x
× (x＋3) × (x＋11)＝
(x＋3)(x＋11)＝x2＋11x＋3x＋33。
圖 3.2.1.4
最後，我們得到四個陽馬體積＝4 × 3
1×
2 3 7
x
x ×
2 2 x x
× (x＋11)＝
3
8(x＋11)＝
3 8x＋
3 88＝
3 8x＋
3 29 。 1
圖 3.2.1.5
綜合以上圖形和數學算式，我們將得到以下結果：
1 中央立方體積＋2 短壍堵體積＋2 長壍堵體積＋4 陽馬體積＝仰觀臺體積，
(x
∴ 3＋11x2＋3x2＋33x)＋(2x2＋22x)＋(x2＋11x＋3x＋33)＋(
3 8x＋
3 29 )＝1 1740，
x
∴ 3＋17x2＋ 3 71 x＝2
3 1677 。 2
李潢除了依據《九章算術》商功篇的古法來分析解題之外，他還按照王孝 通的術文寫成詳細的解題過程。由於李潢的解題過程中都保留了王孝通自創的 許多名詞，例如「隅陽幂」、「隅陽截積」、「隅頭幂」、「隅頭截積」和「正數」
等，14而且，他在每個數字後面都會附上長度單位，最後，還會加上自己的驗 算。這些特點，筆者也都將其保留，以符合李潢的「原汁原味」。
同樣地，我們先假設上寬(上廣)為 x 丈，則根據題意得下寬(下廣)為 x＋2 丈，上長(上袤)為 x＋3 丈，下長(下袤)為 x＋7 丈，高為 x＋11 丈。仰觀臺體積 為75 × (1418＋3222) × 5＝75 × 4640 × 5＝348000 × 5＝1740000 立方尺＝1740 立方丈。15截高為(x＋11)－ x＝11 丈。壍上長為(x＋3)－x＝3 丈。隅陽幂為
3
2 3
7 x x x
x
＝ 3 2 4
＝3 8＝
3
2 平方丈。隅陽截積為2 3
8× 11＝
3 88
14 王孝通自創這些專有名詞，是給一個稍微複雜而又重複使用的算式特別的稱呼，功用是為了 補救未能符號化的權宜之計。
15 李潢原來注文中的單位只有「尺」和「丈」，並無「立方」和「平方」，筆者為了讓大家更清 楚了解算式所代表的意義，特別加之。
＝ 3
29 立方丈。隅頭幂為1
2 3 2
x
x ＝
2 3 2
＝3 平方丈。隅頭截積為 3 × 11
＝33 立方丈。實為 1740－(
3
29 ＋33)＝1740－1 3 62 ＝1
3
1677 。正數為2
2
2 3
7 x x x
x
＝ 2 2 4
＝3。方法為(3＋3) × 11＋
3
2 ＋3＝66＋2
3 2 ＋3＝2
3
71 。廉法為 11＋3＋3＝17。隅法為 1。x2 3 項係數稱為隅法，x2 項係 數稱為廉法，x 項係數稱為方法，常數項稱為實，整理之後得三次方程式 x3＋17x2＋
3 71 x＝2
3
1677 ，通分乘以 3 得 3x2 3＋51x2＋215x＝5033，做開帶從 立方得x＝7。16
李潢在最後加入了自己的驗算過程：[(3 × 7＋51) × 7＋215] × 7＝[(21＋51)
× 7＋215] × 7＝(72 × 7＋215) × 7＝(504＋215) × 7＝719 × 7＝5033，以表示此答 案正確無誤。所以我們得知：仰觀臺高18 丈；上寬 7 丈，下寬 9 丈；上長 10 丈，下長14 丈。
3.2.2 求均給積尺受廣袤術
求均給積尺受廣袤術曰：以程功尺數乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。
三因之，又以高幂乘之，以上、下廣差乘袤差而一，為實。又以臺高乘上廣，
廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣 之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開 立方除之，即乙高。以減本高，餘即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙 高，以本高而一。所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一。所 得加上袤，即甲上袤。其甲上廣、袤即乙下廣、袤。臺上廣、袤即乙上廣、袤。
其後求廣、袤有增損者，皆倣此。
自注：此應六因乙積，臺高再乘，上、下廣差乘袤差而一。又以臺高乘上 廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。以上 廣之高乘上袤之高為小幂二。因下袤之高為中幂一。凡下袤、下廣之高即是截 高與上袤與上廣之高相連并數。然此有中幂定有小幂一，又有上廣之高乘截高 為幂一。又下廣之高乘下袤之高為大幂二。乘上袤之高為中幂一。其大幂之中 又有小幂一，復有上廣上袤之高各乘截高，為中幂各一。又截高自乘為幂一。
16 王孝通並沒有提供「開帶從立方」的詳細過程，李潢也沒有。程大位《算法統宗》卷六有「開 立方帶縱法」一節，但其算法並不是正確解法。
其中幂之內有小幂一，又上袤之高乘截高為幂一。然則截高自相乘為幂二，小
∴ HI －
BC
＝
n BC h n
－
BC
＝ n BCh ＝h
BC
×BC BC EF
18
＝
18 BC EF
h
。1814
9
10 7
I
m
h
18-h R Q P O
G
H A B
D
F E
C
圖 3.2.2.1
依據「九章芻童術曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其 廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。」19我們可以得到下列結果：
6 2
2BCHI AB HIBC GH PQ
＝1208 . 25，
∴(2 ×
BC
×AB ＋2 × HI ×GH
＋HI × AB ＋BC
×GH
) × h＝6 × 1208 . 25，∴{2 ×
BC
×AB ＋2 × [BC
＋(HI －BC
)] × [AB ＋(GH
－AB )]＋[
BC
＋(HI －BC
)] ×AB ＋BC
× [AB ＋(GH
－AB )]} × h＝6 × 1208 . 25，∴[2 ×
BC
×AB ＋2 ×BC
×AB ＋2 ×BC
× (GH
－AB )＋2 × ( HI －BC
) ×AB ＋ 2 × (HI －BC
) × (GH
－AB )＋BC
×AB ＋( HI －BC
) ×AB ＋BC
× AB ＋18 參閱林炎全，《《緝古算經》探討》(台中：教育部台灣省中等學校教師研習會，2001 年)，頁 7。
19 引自《九章算術》，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 136。
BC
× (GH
－AB )] × h＝6 × 1208 . 25，之高相乘，又乘乙高」。20
＝146802 . 375。上廣之高為
2
所以我們得知：乙縣分派建造高 13 丈 5 尺，甲縣分派建造高 4 丈 5 尺。甲 縣築體的上寬＝乙縣築體的下寬＝
18 5 . 13 2
＋7＝8 . 5 丈＝8 丈 5 尺。甲縣築體 的上長＝乙縣築體的下長＝
18 5 . 13 4
＋10＝13 丈。
錢寶琮認為李潢忽視了王孝通「自注」中的「凡下袤、下廣之高即是截高 與上袤與上廣之高相連并數。」一語，所以解釋並未得要領，21不如駱騰鳳在
〈重訂《緝古算經》仰觀臺求乙高術注〉的解釋來得清楚。22
3.2.3 求羨道廣袤高術
求羨道廣袤高術曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉，又六因為積。又以道上 廣多下廣數加上廣少袤，為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，為下廣少高。
以乘下廣少袤為隅陽陽字衍文幂。又以下廣少上廣乘之，為鼈隅原脫積字。以減 積，餘，三而一，為實。并下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，為鼈從 橫廉幂。三而一，加隅陽幂，為方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下 廣少高加之，為廉法，從。開立方除之，即下廣。加廣差，即上廣；加袤多上 廣於上廣於上廣三字衍文，即袤；加廣廣當作高多袤，即道高。
李潢依據《九章算術》商功篇的古法，23將羨道切割成一個壍堵和二個鼈 臑。24首先，我們先假設羨道下寬為x 尺，則上寬為 x＋12 尺，長為(x＋12)＋
104＝x＋116 尺，高為(x＋116)＋40＝x＋156 尺。羨道體積為 6300 × 56＝352800 立方尺。
21 參閱錢寶琮，〈王孝通《緝古算術》第二題、第三題術文疏證〉，杜石然主編，《李儼、錢寶 琮科學史全集》第九卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年)，頁 589。
22 參閱駱騰鳳，〈重訂《緝古算經》仰觀臺求乙高術注〉，《藝游錄》，郭書春主編，《中國科學 技術典籍通彙》數學卷五(鄭州：河南教育出版社，1993 年)，頁 151。
23 參閱《九章算術》，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 135。
24 鼈臑體積為「廣袤相乘，以高乘之，六而一」。
x+12
x
x+116 x+156
圖 3.2.3.1
於是，我們得到一個壍堵體積＝
2
1× x × (x＋156) × (x＋116)＝
2
1x(x＋156)(x＋116)。
圖 3.2.3.2
接著，我們得到二個鼈臑體積＝2 × 6
1×
2 12 x x
× (x＋156) × (x＋116)＝
2(x＋156)(x＋116)。
圖 3.2.3.3
綜合以上圖形和數學算式，我們將得到以下結果：
1 壍堵體積＋2 鼈臑體積＝羨道體積，
∴2
1x(x＋156)(x＋116)＋2(x＋156)(x＋116)＝352800，
3x(x
∴ 2＋156x＋116x＋156 × 116)＋12(x2＋156x＋116x＋156 × 116)＝
6 × 352800，
3(x
∴ 3＋156x2＋116x2＋156 × 116 × x)＋12(x2＋156 × 116＋156x＋116x)＝
6 × 352800，
3x
∴ 3＋3 × 156x2＋3 × 116x2＋3 × 156 × 116 × x＋12 x2＋12 × 156x＋12 × 116x
＋12 × 156 × 116＝6 × 352800，
3x
∴ 3＋816 x2＋54288x＋12 x2＋3264x＋217152＝6 × 352800，
3x
∴ 3＋828 x2＋21360x＋217152＝2116800，
3x
∴ 3＋828 x2＋57552x＝1899648，
x
∴ 3＋276 x2＋19184x＝633216。
依據「九章羨除術曰：并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一。」25我 們也可以推得相同的結果：
6
116 156
12
x x x x
x ＝352800，
6
116 156
12
3x x x
＝352800，
25 引自《九章算術》，郭書春、劉鈍點校，《算經十書》(台北：九章出版社，2001 年)，頁 135。
∴2
1x(x＋156)(x＋116)＋2(x＋156)(x＋116)＝352800。
以下同上面算式。
李潢根據王孝通術文的解題過程：設羨道下寬為 x 尺，則上寬為 x＋12 尺，
長為(x＋12)＋104＝x＋116 尺，高為(x＋116)＋40＝x＋156 尺。六因積為 6300
× 56 × 6＝352800 × 6＝2116800 立方尺。下廣少袤為 12＋104＝116 尺。下廣少 高為40＋116＝156 尺。鼈隅幂為 156 × 116＝18096 平方尺。鼈隅積為 18096 × 12＝217152 立方尺。實為
3
217152 2116800
＝ 3 1899648
＝633216。方法為
3 12 156 116
＋18096＝
3 12 272
＋18096＝
3
3264＋18096＝1088＋18096＝
19184。廉法為 3
12＋156＋116＝4＋156＋116＝276。隅法為 1。整理之後得三 次方程式x3＋276x2＋19184x＝633216，做開帶從立方得 x＝24。
所以我們得知：登臺通道下寬 24 尺＝2 丈 4 尺；上寬 36 尺＝3 丈 6 尺；長 140 尺＝14 丈；高 180 尺＝18 丈。
3.2.4 求羨道均給積尺，甲縣受廣、袤術
求羨道均給積尺，甲縣受廣、袤術曰：以均賦常積乘甲縣一十三鄉，又六 因為積。以袤再乘之，以道上、下廣差乘臺高為法而一，為實。又三因下廣，
以袤乘之，如上、下廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘 甲袤，本袤而一。以下廣加之，即甲上廣。又以臺高乘甲袤，本袤除之，即甲
以袤乘之，如上、下廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘 甲袤，本袤而一。以下廣加之，即甲上廣。又以臺高乘甲袤，本袤除之，即甲