等效介質參數萃取法

第二章提到在基於長波極限下，人造介質材料可以當作等效均勻介質，並可 以用介電係數ε、導磁係數 μ 和折射係數 n 來描述此人造介質材料的特性。在這 一節中，將利用散射參數(scattering parameter)來求得等效的參數。

人造介質材料是屬於週期性結構，單晶格(unit cell)在某些軸向週期性延伸，

如圖3-1 之示意圖，其在 x 軸、y 軸和 z 軸方向延伸，可將單晶格在 z 軸的週期 性延伸看成厚度d 的平板之堆疊。等效參數萃取法是將電磁波入射至此平板，而 得到複數的反射和穿透係數去求得等效的參數。

x z

y

d x

z y x

z y

d

圖 3-1 x、y 方向週期性無窮延伸和 z 方向的延伸看成多層平板堆疊 反射和穿透係數是來自於電磁模擬的散射參數，以圖3-1 來說，模擬環境的 設定是對x 軸和 y 軸方向的兩組平面分別設定週期性邊界條件，週期邊界條件如 下：

Φ

(

)

差，相位差是表示入射波入射至X-Y平面，因為波行進的路徑長不同而產生，當 垂直入射時，x方向和y方向的相位差皆為零。週期性邊界條件的是表示在相對的 面上電場和磁場大小相同，只是相位不同，而可以表示無窮延伸之週期性結構。

z方向的這組平面是設為Floquet port，Floquet port是連結週期性邊界條件的 port，在Floquet port可以設定激發的電磁波模態，有各種平面波(plane wave)的組 合，包含TEmn和TMmn，m和n可以為-∞,~-1, 0, +1,~∞，TE和TM表示電磁波的極化 方向，m和n則是表示在x方向和y方向的space harmonic index，其中(m, n)=(0,0)稱 為基礎模態(fundamental mode)。

等效介質萃取法，是建立在電磁波的傳遞是以基礎模態在(i)入射和穿透的介 質(ii)人造介質材料內傳播的基礎上。在入射和穿透的介質內，以正方晶格(square lattice, dx=dy)來說，必須要滿足(3.1.2)式[8]

dx

β ≤ π (3.1.2)

β是電磁波在入射和穿透的介質內之波數，dx和dy是電磁波傳播方向橫截面的晶 格常數。在此萃取方法下，入射和穿透的介質是空氣。

於是 Floquet port 模態設定就只設定基礎模態，但是對頻帶結構而言，其它 高階模態在Bragg regime 會對基礎模態產生模態偶合如 contra-flow 或 co-flow，

而影響到反射和穿透係數[9]。因此，等效介質參數萃取法所得的結果，在 Bragg regime 附近是不夠嚴謹的。

以rod medium來說明模擬條件的設定，如圖 3-2，X-Z平面和Y-Z平面分別設 定週期性邊界條件，X-Y平面設定Floquet port，兩條黑色實線的向量為此晶格組 成的基底，port模態設為基礎模態，極化方向為x方向，以此設定去做全波模擬，

獲得S11和S21。

z

y x

Floquet port

Floquet port

z

y x

Floquet port

Floquet port

圖 3-2 Rod medium 的模擬條件設定

當要分析之單晶格如圖3-3，單晶格由有金屬線圖案的介質基板組成，而且 介質板延伸至port 上，也就是 port 的面上有不同介電係數的介質，但模擬軟體 不允許這樣的設定。因為port 是針對面上的邊界條件去得到特徵模態，在介電 係數較大的介質上有較強的電場，而不是原始的平面波入射至單晶格的型態。

圖 3-3 TW-SRR 的模擬條件設定

要解決以上的問題，可以導入de-embedding 的觀念，是指當待測物和量測 的port 無法直接相接時，必須在這兩者之間加上一段和 port 阻抗匹配的傳輸線，

並且需要知道此段傳輸線的電氣長度(electrical length)，即可由 port 得到的 S 參 數對相位進行修正，得到待測物的S 參數。模擬設定上，在單晶格+z 和-z 方向

上加上一段空氣柱，空氣柱的X-Z 平面和 Y-Z 平面緊貼著邊界條件，於是兩個

上式的z是以port的波阻抗對等效介質的波阻抗作歸一化的值。R01是波由port入射 至介質平板的反射係數，由以上三式獲得人造介質材料的等效波阻抗(effective wave impedance)和等效折射係數(effective refractive index)[10]。

₂ 材料是被動(passive)的介質，必須滿足以下兩個條件：

z'≥0 (3.1.9) n"≥0 (3.1.10)

得到了等效介質的折射係數和阻抗後，便直接利用μ =nz和ε =n /z的關係 得到等效導磁係數μ 和等效介電係數 ε，由以上四個參數可以描述人造介質材料 的特性。