等效參數萃取法的結果

首先，利用等效參數萃取法分析，其模擬環境的設定如3.1 節所述，在X-Y 平面和X-Z平面設定週期性邊界條件，在Y-Z平面設定port，由於此漁網結構之單 晶格有介質板延伸至port上，所以必須使用de-embedding的方法，其設置如圖 3-5。對於波垂直入射至單晶格，必須設定週期性邊界條件的相位差θy和θz皆為零 度，並設定port激發的波為極化方向z方向的基礎模態。

z x y

z x y

z x y

z x y

圖 3-5 漁網結構的 de-embedding 設置

圖3-6(a)、(b)分別是模擬所得S參數的大小和相位，等效參數萃取法將利用 此S參數，和視為等效介質的厚度dx來求得等效參數。

5 6 7 8 9 10 11 12 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Frequency(GHz) Magnitude of S-parameter

S11 S21

圖 3-6 (a) S 參數大小

5 6 7 8 9 10 11 12

-150 -100 -50 0 50 100 150

Frequency(GHz) Phase of S-parameter

S11 S₂₁

圖3-6 (b) S 參數相位

由3.1 節的方法求得等效參數，圖 3-7 是等效折射係數，可以看出在頻率 7GHz 之前，折射係數為純虛數，並不存在電磁波傳播的模態，7GHz為此結構的截止 頻率(cutoff frequency)，此截止頻率來自於此單晶格的結構。在截止頻率之後至 10.15GHz，neff為正實數，表示此頻率範圍為傳播的模態。

在10.15GHz之後，neff為負實數加上虛數，此區代表帶隙出現了。在3.1 節 亦提到，在Bragg regime附近，基礎模態會受到高階模態的影響，造成模態偶合；

Notomi亦提到光子晶體的異常折射現象是來自於帶隙附近的特殊色散關係 [11]，所以在帶隙附近用等效折射係數來描述材料特性是不完整的，也因此在帶 隙出現後，也就是10.15GHz之後，就不在等效係數萃取的討論範圍。

所以等效係數萃取法在7GHz~10.15GHz 是我們討論的範圍，此頻段內等效 折射係數都小於一，而不同於傳統材料的大於一或等於一，因此可以有新的運用。

5 6 7 8 9 10 11 12

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Frequency(GHz)

Ef fe ct iv e r e fr act iv e i n dex

Real(n) Imag(n)

圖 3-7 等效折射係數

在等效係數萃取的討論範圍內，非截止頻率的阻抗都為實部，因此人造介質 材料的特性就可以用等效波阻抗來描述，而視為傳輸線的特性阻抗(characteristic impedance)。此等效波阻抗對之後空間波束分歧器設計的阻抗匹配(impedance matching)是相當重要的。

5 6 7 8 9 10 11 12

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Frequency(GHz)

N o rm al iz ed ef fe ct iv e i m pedance

Real(z) Imag(z)

圖 3-8 正規化的等效波阻抗

圖3-9 是等效介電係數，在截止頻率介電係數為零，可以稱為此人造介質材 料的電漿頻率，在討論的頻率範圍內，介電係數皆小於一。

圖3-10 是等效導磁係數，在討論的頻率範圍內，導磁係數皆大於一。

5 6 7 8 9 10 11 12 -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Frequency(GHz)

E ffe c tiv e p e rm ittiv ity

Real(ε⁾ Imag(ε⁾

圖 3-9 等效介電係數

5 6 7 8 9 10 11 12

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

E ff e ct iv e per m eabi lit y

Real(μ⁾ Imag(μ⁾

由圖3-11 的色散關係可以知道電磁波在空氣中的傳播常數是隨頻率線性增 加，但在人造介質材料中，是由截止頻率才開始傳播，其傳播常數在截止頻率為 零，由圖上可看出人造介質材料的傳播常數在7GHz 到 10GHz 都低於在空氣的 傳播常數。當電磁波從人造介質材料入射至空氣時，因為遵循切線波數連續，折 射後的電磁波將往法線偏移，之後的高指向性空間波束分歧器設計就是利用這個 特性。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

βdx/2π Νοrmalized phase constant

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Frequency (GHz)

Γ−X Γ−M Light line Band structure in Brillouin zone

圖 3-11 電磁波在人造介質材料和空氣的色散關係

.4.2 特徵模態分析法的結果與討論

，使用特徵模態分析法來分析漁網結構的單晶格。圖3-4(a)是漁網結

構的單晶格，邊界條件的設定是在 和 平面設定週期性邊界條件，相位差

分別為 x和 y， 平面設為 ；模擬軟體計算的模態設為 個，計算特徵頻 3

接下來

X-Z Y-Z

θ θ X-Y PEC 5

率起始點為1GHz。

其計算得到的頻帶結構用布里淵區來表示，如圖3-12。由於單晶格結構的複 雜，可以看出特徵頻率點相當的混亂，整個布里淵區在7.5GHz 附近都有兩個模 態，而影響到人造介質材料想要的基礎模態之判定。所以，為了精準的得到基礎 模態的色散關係，必須對不同週期性邊界條件解得的電場結果作判斷，將正確的 電場對應的特徵頻率連成一線即為圖3-12 的基礎模態。

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Fr eq ue nc y (G H z)

Γ X M Γ

圖 3-12 布里淵區的頻帶結構

觀察由特徵模態求得的電場和Poynting’s vector，如圖 3-13 和圖 3-14。圖 3-13 是週期性邊界條件的相位差為0 度的電場分佈，可以看出在基礎模態下，電場的 方向為z 方向，和等效介質參數萃取法一致。圖 3-14 是週期性邊界條件的相位 差為10 度的 Poynting’s vector，可以看出能量傳播的方向和相位差的方向相同。

圖 3-13 單晶格的電場分佈

Phase difference=10°

Phase difference=10°

圖 3-14 相位差為 10°的 Poynting’s vector

將頻帶關係用三維的圖來表示，如圖3-15。x軸和y軸分別是單晶格x方向和y 方向的相位差，z軸是特徵頻率，對此圖每隔 0.5GHz做頻率的等高線，並將x軸 和y軸的相位差利用kx=θx/dx和ky=θy/dy的關係轉成kx和ky，得到等頻率面(equal frequency surface)的相位關係，如圖 3-16。

圖 3-15 三維頻帶結構

圖3-16，在頻率為 9.7GHz 之下，等頻率面為圓形，表示此漁網結構在 x 方 向和y 方向具備等向性。在 X-Y 平面上，不管波向量的方向為何，其傳播常數 大小皆為等頻率圓的半徑，這正是等效介質參數萃取法中只設定垂直入射，而不 需要設定斜向入射的原因。因此，等效介質參數萃取法和特徵模態分析法的結果 是否一致就是十分重要的問題。

在圖3-17 繪製出等效介質參數萃取法和特徵模態分析法的結果，比較等效 介質參數萃取法的等效折射係數，以及特徵模態的正規化相位常數作比較，對於 實部而言，可以看出在截止頻率至10.15GHz 是一致的，但是當參數萃取中帶隙 出現後，實部大小就不一致了，這可以對應至第3.4.1 節提到的在帶隙附近不能 夠用等效係數來描述等效介質的特性。以上兩種方法對於人造介質材料在基礎模 態的分析都有相當一致的結果。

6 8 10 12

5 7 9 11

Frequency(GHz) -2

-1 0 1 2

-1.5 -0.5 0.5 1.5

n

Real(n) from extraction Imag(n) from extraction Real(n) from Eigenmode

圖 3-17 等效介質參數萃取法和特徵模態分析法的結果比較

3.5 漁網結構等效電路模型

對於人造介質材料的特性，除了用等效參數來描述外，也希望能夠找出等效 電路，以加快分析速度。

在Marcuvitz 的 Waveguide handbook[12]裡，5.18 和 5.19 節給出了沒有厚度 而且上下無窮延伸的平面金屬柵(metallic strip)之等效電路，金屬柵方向分別有和 電場與磁場平行的兩種平面波入射形態，如圖3-18 和圖 3-19，等效電路數值如 Appendix A。

E

圖 3-18 (a) 金屬柵之正面與電場方向 (b) 等效電路

H

圖 3-19 (a) 金屬柵之正面與磁場方向 (b) 等效電路

本論文的漁網結構可以看成圖3-18 之金屬柵和圖 3-19 之金屬柵轉 90 度重 疊而成，水平和垂直的金屬柵結合成金屬網格，如圖3-20。此金屬網格的等效電 路由Ulrich[13]將Marcuvitz的兩種金屬柵延伸，提出了當波長小於金屬網格的週 期時，其穿透和反射的特性與金屬柵相近。以漁網結構而言，稱為電感性網格，

其行為與圖3-18 的電感性金屬柵類似，但在入射波的波長接近金屬柵週期時(通

網格的等效電路之電感再並聯電容，電感和電容如同Marcuvitz所提供(圖 3-18 和 圖3-19)，並再加入在λ=dx時完全穿透的修正項，此電容修正成為

B ⎟⎟⎠ ⋅B

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

−1 0

0

' 0

ω ω ω

ω ω where = , ω₀ =1

ω ^dλ^y (3.4.1) 電感為原始的數值

X'=X (3.4.2)

d_y d_x

a_z a_x

/2

d_y d_x

a_z a_x

/2

圖 3-20 金屬網格的單晶格

而金屬網格週期性在y方向的堆疊，可用傳輸線和金屬網格的等效電路作堆 疊，如圖3-21。其傳輸線的長度為dy的一半，傳輸線的特性阻抗為平行板波導的 波阻抗。

圖 3-21 金屬網格單晶格的等效電路模型

金屬網格在z方向和x方向週期性延伸的特性已包含至LC等效電路裡，現在 只要考慮在y方向的並聯LC和傳輸線的堆疊，把此單晶格表示成ABCD矩陣，以

兩端接特性阻抗為Z0的傳輸線，轉換為S參數，如圖 3-22。圖 3-22 是單晶格的S 參數，電磁波在18GHz附近完全穿透，此漁網結構具有濾波的特性；當串接三 個單晶格時，如圖3-23。在 7.4GHz和 9.3GHz完全穿透，15~20GHz是通帶(pass band)，並且有兩個峰值(peak)，這是來自於三個單晶格串接時，相鄰的漁網結構 形成兩個共振腔，而有兩個相鄰的峰值。

5 10 15 20

Frequency (GHz) 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

S-parameter

S11 simulation S11 model S21 simulation S21 model

圖 3-22 單晶格的散射參數

5 10 15 20 Frequency (GHz)

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 kxdx/2π

0 4 8 12 16 20

Freq uenc y (GHz)

Eigenmode solver Model

圖 3-24 正向入射的色散關係

等效電路的存在更是為了加快分析與設計，當改變金屬網格的結構參數時，

等效電路所得的色散關係也要因此而改變。因為漁網結構是屬於電感性金屬網格 中，在相同晶格常數下，對截止頻率影響最大的參數是ax的大小，越大的ax對應 至等效電路越大的並聯電感值，而使截止頻率降低。圖3-25 是不同ax由特徵模 態和等效電路所求得的截止頻率，截止頻率的差距在4%以內，因此，由等效電 路模型得到的截止頻率具有相當的準確性。

7 8 9 10 11 12 13

Cutoff Frequency (GHz)

dx=13.8mm dz=12.8mm az=9mm Model

Eigenmode solver

圖 3-25 金屬網格在不同結構參數下的截止頻率

由上式可以知道當考慮介質後，電容值加大，而導致諧振頻率下降，使得單 晶格的截止頻率下降。在本漁網結構中，介質基板相對於晶格常數而言是相當的 小，因此電容值的估算和(3.4.4)式的情形有所不同，對截止頻率的降低的程度較 小。

d_y

d_x h

d_y

d_x h

圖 3-26 兩層金屬網格堆疊的單晶格

圖 3-27 兩層金屬網格的電路模型

以上電路模型的討論都是多層堆疊的漁網結構，並未討論本論文提出的漁網 結構。電磁波垂直入射，X-Z 平面的等效電路是由水平和垂直的金屬柵構成，但 對Y-Z 平面而言， x 方向磁場正好對金屬網格上的環形成電感，因此對於漁網

3-28。此電感值和矩形環內面積的大小相

圖 3-28 漁網結構的電路模型

圖3-28 是漁網結構在基礎模態的電路模型，但在本論文裡還尚未找到Xy和k，

因此漁網結構的設計，還必須藉助圖3-21 的等效電路，精確的算出截止頻率和 色散關係。由以上的討論，知道當漁網結構的介質基板，相對於晶格常數很小時，

其上的雙面漁網結構的偶合以及基板的介電係數大小，對截止頻率的影響很小，

而可以用圖3-21 的等效電路來估計截止頻率。又圖 3-21 的等效電路，因為未考 慮y方向的電感，算出的截止頻率較漁網結構為低。

儘管目前尚未找出對應至漁網結構的等效電路參數，但仍可以用已知的金屬 網格堆疊的等效電路模型，估計漁網結構基礎模態的大致範圍和截止頻率，這對 單晶格尺寸上的設計有相當大的幫助。

值得一提的是，以上等效電路的討論都是基於多層堆疊週期性結構的觀點，

值得一提的是，以上等效電路的討論都是基於多層堆疊週期性結構的觀點，

在文檔中 利用漁網結構之人造介質材料設計空間波束分歧器 (頁 25-0)