節 一元一次方程式的應用

將方程式應用到日常生活當中，我們可以將某項數量設成未知數，再利用一元一次方 程式來解它：

解題步驟：

1. 分析題意，將適當的未知數用符號(x)表示。

2. 利用符號列出一元一次方程式。

3. 解一元一次方程式，並寫出答案。

例題 1.5-1

爸爸在便利商店買了3 瓶相同價格的飲料，付給店員 100 元，找回 28 元。請問 1 瓶飲料的價格是多少元？

詳解：

(1) 設 1 瓶飲料的價格為x元，則3 瓶飲料的價格為x33x元。

(2) 買了 3 瓶相同價格的飲料，付給店員 100 元，找回 28 元。

100 元減去 3 瓶飲料的價錢，即為找回的錢。列式如下：

28 3 100 x

(3) 解一元一次方程式：

28 3 100 x

100 28 100 3

100 x   (等號二邊同減去 100) 72

3 

 x

) 3 ( ) 72 ( ) 3 ( ) 3

( x       (等號二邊同除以( ) 3)

24 x

所以1 瓶飲料的價格為 24 元。

答：1 瓶飲料的價格為 24 元。

1-100

例題 1.5-2

1 杯珍珠奶茶比 1 杯紅茶貴 5 元，全班 20 個人買了 15 杯珍珠奶茶和 5 杯紅茶，

總共花了 275 元。試回答下列問題：

(1) 如果 1 杯紅茶是x元，則1 杯珍珠奶茶是多少元？(用x表示) (2) 5 杯紅茶是多少元？15 杯珍珠奶茶是多少元？ (用x表示)

(3) 15 杯珍珠奶茶和 5 杯紅茶總共花了 275 元，依題意列出一元一次方程式。

(4) 1 杯珍珠奶茶是多少元？(用數字表示) 詳解：

(1) 1 杯珍珠奶茶比 1 杯紅茶貴 5 元，所以若 1 杯紅茶是x元，則1 杯珍珠奶茶是 )

5

(x 元。

(2) 5 杯紅茶的價格是 1 杯紅茶價格的 5 倍，1 杯紅茶是x元，5 杯紅茶就是 x

x55 (元)

15 杯珍珠奶茶的價格是 1 杯珍珠奶茶的 15 倍，1 杯珍珠奶茶是(x5)元，15 杯珍珠奶茶就是(x5)1515(x5)(元)

(3) 15 杯珍珠奶茶和 5 杯紅茶總共花了 275 元，也就是 15 杯珍珠奶茶的價格加上 5 杯紅茶的價格，等於 275 元，列方程式：

275 5

) 5 (

15 x  x (4) 解方程式：

275 5

) 5 (

15 x  x 275 5

75

15x  x 275 75 20x 

75 275 20x 

200 20x

20020

 x

10 x 。

所以 1 杯紅茶是 10 元，1 杯珍珠奶茶則是 15 元。(10＋5＝15) 答： (1) 1 杯珍珠奶茶是(x5)元；

(2) 5 杯紅茶是 x5 元；15 杯珍珠奶茶就是15(x5)元 (3)15(x5)5x275；

(4) 1 杯珍珠奶茶是 15 元。

1-101

例題 1.5-3

1 袋紅豆重x公斤，1 袋花生重 2 公斤。小周買了 4 袋紅豆和 3 袋花生，共重 10 公斤，請問 1 袋紅豆重多少公斤？

詳解：

(1) 1 袋紅豆重x公斤，買了 4 袋紅豆，總重量為x44x(公斤) (2) 1 袋花生重 2 公斤，買了 3 袋花生，總重量為236(公斤)

(3) 4 袋紅豆和 3 袋花生，共重 10 公斤。也就是 4 袋紅豆的重量，加上 3 袋花生 的重量，結果為 10 公斤。

列方程式與解方程式：

10 6

4x  (4 袋紅豆的重量，加上 3 袋花生的重量，結果為 10 公斤) 6

10 4x 

4 4x

4 4

 x

1 x

所以 1 袋紅豆重 1 公斤。

答：1 袋紅豆重 1 公斤。

例題 1.5-4

兄弟二人共有 800 元，且哥哥的錢比弟弟多 100 元，請問弟弟有多少元？

詳解：

(1) 哥哥的錢比弟弟多 100 元，我們設弟弟的錢為x元，則哥哥有(x100)元。

(2) 兄弟二人共有 800 元，也就是哥哥與弟弟的錢加起來等於 800 元，列方程式：

800 )

100 (x x

1-102

(3) 解方程式：

800 )

100 (x x

800 100 

 x x

800 100 2x 

100 800 2x 

700 2x

7002

 x

350 x

所以弟弟有350 元。

答：弟弟有 350 元。

例題 1.5-5

有大小二數，其和為 36，且大數為小數的 1.25 倍，則小數為多少？

詳解：

(1) 我們設小數為x，因為大數是小數的1.25 倍，

所以大數可表示成：x1.251.25x。

(2) 大小二數，其和為 36，也就是大數加小數等於 36：1.25x x36 解方程式：

36 25

.

1 x x 36 25 . 2 x

25 . 362

 x

100 36225

 x

4 369

 x

9 364

 x

16 x

所以小數為 16。

答：小數為 16。

1-103

例題 1.5-6

若甲數的 5 倍再減去 7，剛好是 23。請回答下列問題：

(1) 若設甲數為x，則甲數的5 倍應如何表示？

(2) 甲數的 5 倍再減去 7，應如何表示？

(3) 依題意列式並求出甲數之值。

詳解：

(1) 甲數為x，則甲數的5 倍為x55x。 (2) 甲數的 5 倍再減去 7，也就是5x7。

(3) 甲數的 5 倍再減去 7，剛好是 23。列式為5x723 求出甲數：

23 7 5x 

7 23 5x 

30 5x

5 30

 x

6 x

所以甲數為 6。

答：(1) 5x；(2) 5x7；(3) 5x723，甲數為6。

1-104

例題 1.5-7

有 3 個連續整數，其和為 42。請問此 3 數分別為多少？

詳解：

(1) 什麼是連續整數？

意思是有一組整數，從小排到大，每個相鄰的數字，其差都為1。

例如11、12、13、14 這組為連續整數。

而15、16、18、19，因為 16 和 18 的差為 2，所以這組非連續整數。

(2) 題目說有 3 個連續整數。

我們可以設最小的整數為x，因為每個相鄰的數字都差1，

所以x的下一個整數是x1，再下一個整數是(x1)1，也就是x2 3 個連續整數可設成：x、x1、x2

(3) 有 3 個連續整數，其和為 42 也就是：x(x1)(x2)42 解方程式：

42 ) 2 ( ) 1

(    

 x x x

42 2 1  



x x x

42 3 3x 

3 42 3x 

39 3x

3 39

 x

13 x

所以最小的整數是x13 下一個整數是x113114 再下一個整數是x213215 3 個連續整數為：13、14、15 答：此 3 數分別為 13、14、15。

1-105

例題 1.5-8

有3 個連續奇數，其和為 27。請問此 3 奇數分別為多少？

詳解：

(1) 什麼是連續奇數？

意思是有一組奇數，從小排到大，每個相鄰的數字，其差都為2。

例如13、15、17、19 這組為連續奇數。

而21、23、25、26，因為 25 和 26 的差為 1，所以這組非連續奇數。

27、29、31、35，因為 31 與 35 的差為 4，所以這一組也不是連續奇數。

(2) 題目說有 3 個連續奇數。

我們可以設最小的奇數為x，因為每個相鄰的數字都差 2，

所以x的下一個奇數是x2，再下一個奇數是(x2)2，也就是x4 3 個連續奇數可設成：x、x2、x4

(3) 有 3 個連續奇數，其和為 27 也就是：x(x2)(x4)27 解方程式：

27 ) 4 ( ) 2

(    

 x x x

27 4 2  



x x x

27 6 3x 

6 27 3x 

21 3x

213



x

7 x

所以最小的奇數是x7 下一個奇數是x2729 再下一個奇數是x47411 3 個連續奇數為：7、9、11 答：此 3 奇數分別為7、9、11。

1-106

例題 1.5-9

3 和－9 各加一個數x後，便互為相反數，請問x為多少？

詳解：

(1) 做本題之前，我們先複習什麼是相反數：

若a、 b 兩數互為相反數，則ba 例如： 3、－3 互為相反數

7、－7 互為相反數

5、－2 則不互為相反數(因為(2)25) (2) 3 和－9 各加一個數x後，便互為相反數。

也就是(3 和x) (9x)互為相反數 依相反數定義：(3x)(9x) 解方程式：

) 9 ( ) 3

( x   x x x 

 9 3

3 9 

 x x

x x 6

6

 x x

6 2x

2 6

 x

3 x 答：x3。

1-107

例題 1.5-10

已知x5是方程式3x7k4的解，求k ？ 詳解：

因為x5是方程式的解，我們可直接將x5代入方程式中。

4 7

3   

 x k

4 7

5 ) 3

(   k (將x5代入) 4

7 ) 15

(  k 4 8 

 k

k



8 4

k

12

12

 k

答：k 12。

例題 1.5-11

若x57與2x a10中的x值相等，則a？ 詳解：

7 5



x 與2x a10中的x值相等，也就是兩方程式解出的x是相同的。

先解出x57的x之值：

7 5

 x

5 7

 x

2 x

因為兩方程式中的x相同，所以2x a10中的x也等於2 將x2代入2x a10：

10 2

2 a 10 4 a

4 10

 a

6 a

答：a6。

1-108

例題 1.5-12

一條繩子長x公分，剪掉 20 公分後，剩下的繩子長度為原長的 5

3倍，請問繩子原 長是多少公分？

詳解：

(1) 繩子長x公分，剪掉 20 公分後，可用(x20)公分表示 (2) 繩子原長的

5

3倍如何表示？原長為x，x的 5

3倍也就是 ^x 5

3 ，所以繩子原長的 5 3倍

可 ^x 5

3 用表示。

(3) 剪掉 20 公分後，剩下的繩子長度為原長的 5 3倍

也就是剪掉 20 公分後的繩子長度，與原長的 5

3倍相等

列式； ^{x x} 5 203

 解方程式：

x

x 5

20 3



5 5 5 3 ) 20

(x   x x x 100 3

5  

100 3

5x x 100 3

5x x 100 3

5x x 100 2x

2 100

 x

50 x

所以繩子原長是50 公分。

答：繩子原長是 50 公分。

1-109

例題 1.5-13

一條繩子原長4x公尺，平均剪成等長的 5 段後，發現每段繩子剛好是(x2)公尺，

請問繩子的原長是多少公尺？

詳解：

(1) 一條繩子原長4x公尺，平均剪成等長的 5 段。

想要表示剪下的每段繩子長度，我們可以將繩子原長除以 5： ^{x x} 5 5 4 4   (2) 每段繩子剛好是(x2)公尺

也就是繩子原長除以 5 會等於(x2)，列式： ² 5

4x x 解方程式：

5 2

4x x

5 ) 2 ( 5 5

4x  x  (等號二邊同乘以 5) 10

5 4x x

10 5

4x x

10



 x

) 1 ( ) 10 ( ) 1 ( )

(x       (等號二邊同乘以( ) 1)

10 x

繩子原長4x公尺，將x10代入 繩子原長：4x41040

答：繩子原長是 40 公尺。

1-110

例題 1.5-14

有紅、藍 2 條繩子，紅繩長 60 公分，藍繩長x公分，若藍繩長度的 1.2 倍剛好是 紅繩的長度，則藍繩的長度應是多少公分？

詳解：

(1) 藍繩長度的 1.2 倍如何表示？

藍繩長x公分，1.2 倍也就是x1.21.2x

(2) 藍繩長度的 1.2 倍等於紅繩的長度，列式：1.2x60 解方程式：

60 2 . 1 x

2 . 1 60

 x

10 6012

 x

12 6010

 x

50

x 所以藍繩長度是 50 公分。

答：藍繩長度是 50 公分。

1-111

例題 1.5-15

有紅、藍、綠 3 條繩子，紅繩長 40 公分，藍繩長x公分，綠繩長 80 公分，若紅、

藍繩長度和的 1.6 倍剛好是綠繩的長度，則藍繩的長度應是多少公分？

詳解：

(1) 紅、藍繩長度和如何表示？

紅、藍繩長度和就是紅繩長度加上藍繩長度：40x(公分) (2) 紅、藍繩長度和的 1.6 倍如何表示？

紅、藍繩長度和的 1.6 倍就是紅藍繩長度相加後乘以 1.6：

6 . 1 ) 40 (  x 

(3) 紅、藍繩長度和的 1.6 倍剛好是綠繩的長度，也就是紅、藍繩長度和的 1.6 倍 等於綠繩的長度：(40 x)1.680

解方程式：

80 6 . 1 ) 40

(  x   80 6 . 1 64 x

64 80 6 .

1 x  16 6 . 1 x

6 . 1 16

 x

10 1616

 x

16 1610

 x

10

x 所以藍繩長 10 公分 答：藍繩長度是 10 公分。

1-112

例題 1.5-16

有一塊土地，土地面積的 5

2圍成公園，公園面積的 4

1規劃成草地，若草地的面積 是 400 平方公尺，請問這塊土地的總面積是多少平方公尺？

詳解：

(1) 我們設土地的總面積是x平方公尺。

土地面積的 5

2圍成公園，也就是土地面積乘以 5

2等於公園面積。

所以公園面積可表示成：

5

2 x (2) 公園面積的

4

1規劃成草地，也就是公園面積乘以 4

1等於草地面積。

所以草地面積可表示成：

4 ) 1 5 (x2 

(3) 草地的面積是 400 平方公尺，依題意列式： ⁴⁰⁰ 4

) 1 5

(x2   解方程式：

4 400 ) 1 5

(x2  

4 400 1 5

2x 

202 x 400 20 400 2

 x

2 40020

 x

4000 x

所以土地的總面積是4000 平方公尺。

答：土地的總面積是4000 平方公尺。

1-113

例題 1.5-17

百貨公司年終大拍賣，某自行車打 8 折之後的價格是 7200 元，請問此自行車的原 價應是多少元？

詳解：

在第1 節我們學過折數的計算，再來複習一次：

打9 折：原價的 90% 打8 折：原價的 80%

打5 折：原價的 50% 打1 折：原價的 10%

打95 折：原價的 95% 打75 折：原價的 75%

設自行車的原價是x元

依題意，x元打8 折之後是 7200 元。也就是x乘以 80%等於 7200 元 列式如下：

7200

% 80 

 x

10080 7200

 x

54 7200

 x

5 72004

 x

4 72005

 x

9000 x

所以自行車的原價是9000 元 答：自行車的原價是9000 元。

1-114

比例式應用題

在 1.5 節中，我們曾學過與比例式相關的一元一次方程式解法，這些比例式可以衍伸 出其他的應用。

例題 1.5-18

某飲料店，1 杯奶茶與 1 杯綠茶價錢之比為4 ，若 1 杯綠茶為 15 元，則 1 杯奶:3 茶應為多少元？

詳解：

(1) 設 1 杯奶茶為x元，因1 杯綠茶為 15 元，所以 1 杯奶茶與 1 杯綠茶價錢之比 可表示為x:15。

(2) 根據題目，1 杯奶茶與 1 杯綠茶價錢之比為4 ，因此可列式：:3 x:154:3 (3) 解方程式：

3 : 4 15 :  x

4 15 3 



x (外項乘積等於內項乘積) 60

3x 3 60

 x

20

x 所以1 杯奶茶為 20 元。

答：1 杯奶茶為 20 元。

1-115

例題 1.5-19

若(7x5):3之比值為3，則x? 詳解：

(1) (7x5):3之比值可表示成 3

5 7x

，依題意列式： ³

3 5 7x 

。 (2) 解方程式：

3 3 5 7x 

3 3 3 3

5

7x    9 5 7x 

5 9 7x 

14 7x

7 14

 x

2 x 答：x2

例題 1.5-20

有大小兩數，大數與小數之比為7 ，若大數與小數之和為 50，則大數之值為？ :3 詳解：

(1) 大數與小數之比為7 ，但我們不知道兩數的實際數值為何，在條件只知道比:3 例的情形下，可以將兩數設成 x7 與 x3 。 (7x:3x7:3)

(2) 大數與小數之和為 50，列式：7x x3 50 (3) 解方程式：

50 3 7x x

50 10x

5010

 x

5

x 所以大數 x7 7535；小數 x3 3515 答：大數為 35。

1-116

例題 1.5-21

有一個分數，分子與分母之比為5 ，若將分子、分母同時加 6 後，其值與:3 5

7相等，

試求此分數為何？

詳解:

(1) 分子與分母之比為 35 ，設分子為 x: 5 ；分母為 x3 。 (2) 若將分子、分母同時加 6 後，其值與

5

7相等，列式：

5 7 6 3

6

5 



 x x

5 7 6 3

6

5 



 x

x (交叉相乘) 7 ) 6 3 ( 5 ) 6 5

( x   x  42 21 30

25x  x 30 42 21

25x x  12 21 25x x

12 21 25x x

12 4x

4 12

 x

3

x 所以分子 x5 5315；分母為3x339。 答：此分數為

9 15。

1-117

例題 1.5-22

今年小佑與父親的年齡比是4 ，而 3 年前小佑與父親的年齡比是 12:9 5: ，則小佑今 年的年齡是多少歲？

詳解：

(1) 今年小佑與父親的年齡比是4 ，設今年小佑的年齡是 x:9 4 歲；父親的年齡是 x9 歲。

(2) 3 年前，小佑的年齡可表示為(4x3)歲；父親的年齡可表示為(9x3)歲。

(3) 3 年前小佑與父親的年齡比是 125: ，列式：(4x3):(9x3)5:12 (4) 解方程式：

12 : 5 ) 3 9 ( : ) 3 4

( x x  5 ) 3 9 ( 12 ) 3 4

( x   x  (外項乘積等於內項乘積) 15

45 36

48x  x 36 15 45

48x x  21 45 48x x

21 45 48x x

21 3x

213

 x

7

x 所以今年小佑的年齡是4x4728歲。

答：小佑今年的年齡 28 歲。

1-118

1-119

例題 1.5-24

有甲、乙 2 個袋子，都裝有相同數量的球，若從甲袋拿出 6 顆球放入乙袋，則乙 袋球的數量會變成甲袋的 4 倍，請問 2 個袋子內總共有多少顆球？

詳解：

(1) 甲、乙 2 個袋子，都裝有相同數量的球，設 2 個袋子內都有x顆球。

(2) 從甲袋拿出 6 顆球放入乙袋

則甲袋少了 6 顆球，甲袋的球表示為：x6 乙袋多了 6 顆球，乙袋的球表示為：x6 (3) 乙袋球的數量變成甲袋的 4 倍

甲袋的 4 倍表示為：(x6)4

乙袋球的數量等於甲袋的 4 倍，列式： x6(x6)4 解方程式：

4 ) 6 (

6  

 x x

24 4 6 

 x x

24 4

6 

 x x

24 6 3  

 x

6 24 3  

 x

30 3 

 x

) 3 ( ) 30 (  

 x

10 x

所以甲袋與乙袋原本都有10 顆球，總共有 20 顆球(101020)。

答：2 個袋子內總共有 20 顆球。

1-120

例題 1.5-25

大賣場進了一種新商品，每件商品進貨價為x元，老闆按進貨價加 3 成作為定價，

再以定價的 8 折賣出，每件賣價為 364 元，請問：

(1)以 x 表示定價。

(2)以 x 表示定價的 8 折。

(3)一件商品的進貨價為多少元？

詳解：

(1) 按進貨價加 3 成作為定價，即為價錢增加 30%。

我們可以將定價表示成：^{x x x 0.3x 1.3x} 100

30   

 (元)

或是：^{x x 1.3x} 100

130 100

130 

 (元)

(2) 定價是1.3x元，打 8 折就是乘以 80%：

x x

x 80% 1.3 0.8 1.04 3

.

1     (元)

(3) 以定價的 8 折賣出，賣價為 364 元。

也就是1.04x364 解方程式：

364 04

. 1 x

04 . 3641

 x

350 x

所以進貨價為 350 元。

答：(1)定價是1.3x元； (2)定價的 8 折是1.04x元； (3) 進貨價為 350 元。

1-121

例題 1.5-26

三年前，裘裘的年紀是校長的

三年前，裘裘的年紀是校長的

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