代數第一章 目錄

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代數第一章

目錄

第一章 一元一次方程式 ... 1

學習目標 ... 1

1.1 節 以符號代表未知數 ... 2

1.1 節 習題... 7

1.2 節 運算式的化簡 ... 11

1.2 節 習題... 29

1.3 節 運算式的值 ... 31

1.3 節 習題... 32

1.4 節 一元一次方程式的列式與解法 ... 33

1.4.1 節 解一元一次方程式－第一級 ... 39

1.4.2 節 解一元一次方程式－第二級 ... 43

1.4.3 節 解一元一次方程式－第三級 ... 48

1.4.4 節 解一元一次方程式－第四級 ... 55

1.4.5 節 解一元一次方程式－第五級 ... 62

1-ii

1.4.6 節 解一元一次方程式－第六級 ... 66

1.4.7 節 解一元一次方程式－第七級 ... 69

1.4.8 節 解一元一次方程式－第八級 ... 71

1.4.9 節 解一元一次方程式－第九級 ... 74

1.4.10 節 解一元一次方程式－第十級 ... 85

1.4 節 習題... 87

1.5 節 一元一次方程式的應用 ... 99

1.5 節 習題... 137

第一章綜合習題 ... 141

基測與會考模擬試題... 153

習題解答 ... 160

1-1

第一章 一元一次方程式

在本章當中，我們首先介紹未知數的表示方式，並練習如何化簡含有未知數的運 算式，有了這些基本能力之後，開始學習應用問題的列式及求未知數的兩種方法，如 此，即可解決含有一個未知數的運算式問題。

學習目標

1.能用符號紀錄生活中的數學問題，並瞭解符號意義與運算規則。

2.能在情境中列出一元一次方程式，並瞭解其解的意義 3.能以等量公理與移項法則解一元一次方程式並驗算。

1-2

1.1 節 以符號代表未知數

我們在國小曾經學過利用”□”來表示一個未知數，其實除了”□”以外，還可 以用各種符號來表示未知數，例如：甲、乙、丙、…，ㄅ、ㄆ、ㄇ、…，a、b、c、…，

A、B、C、…等等，而目前世界各國大多是以英文字母來表示未知數。

例題 1.1-1

(1) 原本撲滿裡面有 80 元，再存了 10 元進去後，現在撲滿裡面有多少元？

(2) 原本撲滿裡面有 90 元，再存了 10 元進去後，現在撲滿裡面有多少元？

(3) 假設撲滿裡面原本有x元，再存10 元進去，現在撲滿裡面有多元？

（答案用x表示）

詳解：

題目問撲滿裡面有多少元，我們將原本裡面有的錢，加上再存進去的錢，即為答 案。

(1) 801090 （元）

(2) 9010100 （元）

(3) (x10)（元）

答：(1) 90元；(2) 100元；(3) (x10)元。

例題 1.1-2

(1) 小明的身上有 85 元，買了一枝 5 元的冰棒後，小明的身上剩下多少元？

(2) 小明的身上有x元，買了一枝5 元的冰棒後，小明的身上剩下多少元？

（答案用x表示）

(3) 如果x60，也就是小明的身上有多少元？ 結果還會剩下多少元？

詳解：

題目問小明的身上剩下多少元，我們將小明身上有的錢，減去買冰棒花的錢，即 為答案。

(1) 85580 （元）

(2) (x5)（元）

(3) 如果x60，也就是小明的身上有 60 元，買了一枝 5 元的冰棒，

還剩下60555（元）。

答：(1) 80元；(2) (x5)元；(3) 55元。

1-3

例題 1.1-3

(1) 如果 1 枝鉛筆賣x元，那麼買1 打的鉛筆需要花多少元？（答案用x表示）

(2) 假設x5， 那麼買 1 打鉛筆需要花多少元？

詳解：

1 打有 12 枝鉛筆，我們將鉛筆 1 枝的價格乘以數量，即為總共要花的錢。

(1) x12 （元）。

(2) x5表示1 枝鉛筆賣 5 元，總共要花51260（元）。 答：(1) x12元；(2) 60元。

例題 1.1-4

(1) 桌上有x顆蘋果，平均分給5 個人，則每個人可以拿到幾顆蘋果？（答案用x 表示）

(2) 若x10，則每個人可以拿到幾顆蘋果？

詳解：

要知道平均每個人可以拿到的蘋果數量，我們將蘋果總數除以人數，即為答案。

(1) x5（顆）

(2) x10 表示桌上原本有 10 顆蘋果，1052 （顆）。 答：(1) x5顆；(2) 2顆。

例題 1.1-5

(1) 長x公分，寬15 公分的矩形面積為何？（答案用x表示）

(2) 已知長方體的長、寬、高分別為 2、4、x，則此長方體的體積為何？

（答案用x表示）

詳解：

矩形面積為長寬；長方體面積為長寬高 (1) 矩形面積為 x15 （平方公分）

(2) 長方體的體積為 24x8x（立方公分）

答：(1) x15平方公分；(2) 8x立方公分。

1-4

例題 1.1-6

把下列各文字敘述列成式子：

(1) 比x大 5： 。 (2) 比y小 3： 。 (3) x的 8 倍： 。 (4) y的²

3 倍少 6： 。 (5) 比y 的一半多 4： 。【高雄市-翠屏國民中學 98 學年-段考】

詳解：

(1) 比x大 5 是將x加上 5，寫成式子為：x5 (2) 比y小 3 是將y減去3，寫成式子為：y3

(3) x的 8 倍是將x乘以8，寫成式子為：x8 (4) y的²

3 倍是 3

2

y ，

3

2

y 再少6，寫成式子為： ⁶ 32 

 y (5) y 的一半是

2

1

y ，

2

1

y 再多4，寫成式子為： ⁴ 21 

 y

例題 1.1-7

已知弟弟的體重是哥哥的 4

3倍少 2 公斤，若哥哥的體重是x公斤，則弟弟的體重 是多少公斤？（答案用x表示）

詳解：

弟弟的體重是哥哥的 4

3倍少 2 公斤 哥哥的4

3倍是 ⁾

4

(x3 ，再少2 公斤是 ²⁾ 4 (x3

答：弟弟的體重是 ²⁾ 4

(x3 公斤。

例題 1.1-8

將一條長為x公尺的鐵絲，剪下3 段各長 5 公尺的鐵絲，還剩下多少公尺？

（答案用x表示）

詳解：

長5 公尺的鐵絲有 3 段，總長度是：5315（公尺）

長為x公尺的鐵絲，剪下了15 公尺，剩下的長度為：x15（公尺）

答：剩下(x15)公尺。

1-5

例題 1.1-9

有一個二位數，其個位數字與十位數字的和為9，若十位數字為w，則

（1）個位數字為何？

（2）用w表示這個二位數字的數值。

（3）個位數字與十位數字對調後的新數數值為何？（用w表示）

詳解：

二位數的數值，我們可以將十位數乘以10，再加上個位數來表示 例如： 46 可以寫成：4106

79 可以寫成：7109

若某二位數之十位數字為x，個位數字為y，則此二位數的數值可以寫成：x10y

（1）題目的十位數字為w，個位數字與十位數字的和為9，故個位數字為(9w)。

（2）二位數字用定位值表示如右：

十位數字是w，在定位板上數值是w10， 個位數字是(9w)，在定位板上數值是(9w)， 二位數字的表示是w10(9w) 。

（3）個位數字與十位數字對調後：

十位數字是(9w)，

在定位板上數值是(9 w)10，

個位數字是w，在定位板上數值是w， 二位數字的表示是(9w)10w。

答：(1) 個位數字為(9w)；(2) w10(9w)；(3) (9w)10w。 十位 個位

w 9w

十位 個位

w

9 _w

1-6

例題 1.1-10

百貨公司周年慶，一件衣服原價x元，若打8 折出售，則一件衣服賣多少元？

（答案用x表示）

詳解：

我們在購物時經常可以看到商品打折的優惠，

以下簡單說明折數與價錢的關係：

打9 折：原價 100

 90 或原價 10

 9 打8 折：原價 100

 80 或原價 10

 8

打95 折：原價 100

 95 打75 折：原價

100

 75

所以一件衣服原價x元，打8 折出售時的價格是 10

 8

x 元。

答： 10

 8

x 元（算式的化簡我們將在下一個小節介紹）。

例題 1.1-11

郵局今年度儲蓄的利息比去年度儲蓄利息多 %10 。假設去年儲蓄利息x元，則今 年儲蓄利息為多少元？（答案用x表示）

詳解：

多 %10 即為增加 100

10 ，

100 元增加 100

10 為110 元，計算方式： ¹¹⁰

100 100 110 100)

1 10 (

100     （元）

去年儲蓄利息x元，今年儲蓄利息多 %10 ，今年儲蓄利息即為：

100 ) 110

100 1 10

(   

 x

x (元)

答： 100

110

x 元（算式的化簡我們將在下一個小節介紹）。

1-7

1.1 節 習題

(將答案用符號表示) 習題 1.1-1

1 本 146 頁的書，讀了a頁後，還剩多少頁？

習題 1.1-2

長100 公分的繩子，剪掉 4 段，每段各y公分，還剩下多少公分？

習題 1.1-3

1 個蛋糕 30 元，買x個，共需要多少元？

習題 1.1-4

若w罐罐頭，共重 280 克。請問平均 1 罐罐頭重多少公克？

習題 1.1-5

筆記本 1 本 80 元，自動筆 1 枝 50 元。小明買x本筆記本和2 枝自動筆，共需多 少元？

習題 1.1-6

1 個蛋糕a元，買4 個，若付了 1 張 500 元鈔票，請問可找回多少元？

習題 1.1-7

四年前，父親的年齡是兒子的 5 倍又少 2 歲，若現在兒子的年齡是x歲，則現在 父親的年齡是多少歲？

1-8

習題 1.1-8

百貨公司周年慶時，將皮包依原價打7 折出售。請問原價x元的皮包，打折後應 賣多少元？

習題 1.1-9

某長方體的長是x公分，寬是3 公分，高是 8 公分，請問此長方體的體積是多少 立方公分?

習題 1.1-10

小花和 5 位同學去看電影，買門票共花x元，爆米花共花80 元，請問平均 1 個人 要分攤多少元?

習題 1.1-11

某書店大特價，全部書籍8 折，某書特價後是x元，請問原價應是多少元?

習題 1.1-12

全班 28 人開同樂會，總共先預付x元，後來剩下 100 元，則平均每人花多少元?

習題 1.1-13

小明花了 3 小時走完x公里的路，請問小明平均時速為何？

習題 1.1-14

弟弟的身高是哥哥的

5

4倍多4 公分，如果哥哥的身高是x公分，那麼弟弟的身高是 多少公分?

1-9

習題 1.1-15

每顆橘子重 75 公克，把 z 顆橘子放入重 300 公克的盒中，則總重量為多少公克？

習題 1.1-16

中正國小去年學生人數比今年人數多 5 ％，請問：

(1)若今年學生人數是x人，則去年學生人數是多少人?

(2)若去年學生人數是y人，則今年學生人數是多少人?

習題 1.1-17

甲班有 50 名學生，若第一次段考平均分數為x分，則 (1)全班總分數為多少分？(用x作答)

(2)假設甲班男生有y人，則女生有多少人？(用y作答)

(3)承(2)，若男生的平均分數是 70 分，女生的平均分數是 65 分，則全班平均 分數是多少分？(用y作答)

1-10

習題 1.1-18

一本900 頁的書，前 10 天每天讀 20 頁，接下來的z天每天讀 30 頁，請問還剩下 幾頁？

習題 1.1-19

(1) 有連續 4 個奇數，其中最大的數為 a，則最小的數為__________。

(2) 有連續 5 個偶數，其中最大的數為 b，則中間的數為__________。

習題 1.1-20

有一個二位數，其個位數字與十位數字的和為14，若十位數字為x，則 (1) 個位數字為_________________________。

(2) 此二位數之值為_________________________。

(3) 個位數字與十位數字對調後的新數之值為________________________。

1-11

1.2 節 運算式的化簡

當遇到數字與未知數相乘的算式時，我們可以用””來代替乘號””，或者直接省 略乘號並將數字寫在未知數之前，避免混淆未知數與運算符號。例如：將7x改寫成

x

7 或 x7 來表示。

x x x 7 7 7   

當遇到除法算式時，我們將其改寫成分子分母的型式來表示，會比用除法符號”” 表示來的簡單明瞭，更有利於運算式的計算。

2 2 1 2

1 2

2 1 x

x x x

x      

※ 本節化簡過程會使用乘法交換律：abba 例題 1.2-1

化簡下列算式:

(1) 7x (2) x(3) (3) 1x (4) ( )8 x 詳解：

(1) 7x7x7x

(2) x(3)(3)x(3)x3x (3) 1x1xx

(4) (8)x(8)x8x

【練習】1.2-1

(1) 11x ＝ ________ (2) ( )9 x ＝ _____

1-12

例題 1.2-2

化簡下列算式:

(1) x5 (2) y9 (3) x(6) (4) x(1) 詳解：

(1) 5 5x x  (2) 9 9y

y 

(3) ( 6) x6 6x

x 

 





(4) ^{x x x}

 



( 1) 1

【練習】1.2-2

(1) y12 ＝ ______ (2) y(15) ＝ ______

例題 1.2-3

化簡下列算式:

(1) 8

5

x (2) ⁾ 13 (11



x (3) ^{ )y} 4

( 7 (4) y2.14

詳解：

(1) ^{x x x} 8 5 8

5 8

5  



(2) ^{x x x}

13 ) 11

13 ( 11 13)

(11    



(3) ^{y y} 4 ) 7

4

(7  

(4) y2.142.14y2.14y

【練習】1.2-3 (1) 6

5

x ＝ _____ (2) ⁾

8 (9



x ＝_____

1-13

例題 1.2-4

化簡下列算式:

(1) 5

6

x (2) ⁾ 7 (8



x (3) 4

3

y (4) ⁾ 5 (4

 y 詳解：

(1) ^{ } 5 x 6

6

5

x x x

6 5 6

5 



(2) ^{x x x x}

8 ) 7

8 ( 7 8) ( 7 7)

(8       



(3) ^{y y y y} 3 4 3

4 3 4 4

3     



(4) ^{y y y y}

4 ) 5

4 ( 5 4) ( 5 5)

(4       



【練習】1.2-4 (1) 6

1

x ＝______ (2) ⁾

9 (4



y ＝_____

例題 1.2-5

化簡下列算式:

(1) 3 y5 (2) 12 y1 (3) ^{  y} 6

3 5 (4) ³ 4

7 x

詳解：

(1) 3y53y5 (2) 12y112y1

(3) ^{y y}

6 3 5 6

35  



(4) ³

4 3 7 4

7x  x

1-14

【練習】1.2-5

(1) 4 x3＝_____ (2) 5 x2.7＝_____

例題 1.2-6

化簡下列算式:

(1) y38 (2) y(4)6 (3)

6 ) 5

7

( x (4) ⁾ 3 ( 2 9 x  詳解：

(1) ⁸

8 3 3  

 y

y

(2) ⁶

6 4 ) 4

(   

 y

y

(3) ^{x x x}

5 ) 6 7 5 ( ) 6

7 6 ( ) 5

7

(         

(4) ^{x x x x}

2 9 3 2 ) ( 3 9 2) ( 3 9

3) ( 2

9           

【練習】1.2-6

(1) x47＝________ (2) ) 2 ( 7 )

5

( x  ＝________

1-15

在一個算式中有 2 個以上x時，我們可以提出x合併化簡。

例如：將x 2 化簡成 xx 3 。同學可以想像成 1 公斤加上 2 公斤等於 3 公斤。

例題 1.2-7

化簡下列算式:

(1) 3x 2 x (2) 6x 5 x (3) 2x 7 x (4) x 8 x 詳解：

(1) 3x 2 x

x



(3 2)

x

 5 x

 5

(2) 6x 5 x

x



(6 5)

x

1

 x

(3) 2x 7 x

x



(2 7)

x



( 5) x

5



(4) x 8 x

x



(1 8)

x

 9 x

 9

【練習】1.2-7

(1) 5x 8 ＝ ＝______ (2) x 9x 4 ＝_________＝_______ x

(3) 7x 11 x＝ ＝______ (4) 13x 18 x＝________＝_______

1-16

在運算式中若一部份含有x，我們可以將含有x的部份合併化簡。

例如： 3x2x3(32)x35x35x3

9 5 9 5 ) 4 5 ( ) 3 2 ( ) 4 5 ( ) 3 2 ( 4 3 5

2x  x  x x     x   x  x

例題 1.2-8

化簡下列算式:

(1) 3x34x (2) 2x56x3 (3) 7x698x (4) 5x79x8 詳解：

(1) 3x34x 3 ) 4 3

(  

 x x 3 ) 4 3

(  

 x

3 7 

 x

(2) 2x56x3 ) 3 5 ( ) 6 2

(   

 x x

) 3 5 ( ) 6 2

(    

 x

2 4 2

4   

 x x 2 4 

 x

(3) 7x698x ) 9 6 ( ) 8 7

(   

 x x

) 9 6 ( ) 8 7

(    

 x

) 3 ( 1  

 x

3

 x

(4) 5x79x8 8 7 9

5   

 x x

) 8 7 ( ) 9 5

(     

 x

) 15 ( 14  

 x 15 14 

 x

注意：78(78)

1-17

【練習】1.2-8

(1) 9x211x4＝_______ (2) 7x x4 38＝________

(3) 5x38x6＝________ (4) 11x46x8＝_______

例題 1.2-9

化簡下列算式:

(1) ^{x x} 3 4 2 3

1   (2) ^{x x}

5 8 1 5 3

2   

(3) ^{ y9y} 2

1 5 (4) ⁷

2 5 1 4

3x  x

(5) ^{x x} 2 9 1 7 3

5   

詳解：

(1) ^{x x} 3 4 2 3

1  

4 3) 2 3

(1 

 x

3 4 2 1 

 x

3 4 3 

 x

4

 x

(2) ^{x x} 5 8 1 5 3

2   

) 8 3 ( 5) 1 5

(2   

 x

) 11 5 (

1 2  

 x

5 11 3 

 x

1-18

(3) ^{ y9y} 2

1 5

) 9 1 ( 2 )

(5   

 y y

10 ) 2 1

(5 

 y

10 2)

2 2

(5 

 y

10 2 )

2 (5 

 y

2 10

3 

 y

(4) ⁷

2 5 1 4

3x  x

) 7 5 ( 2 ) 1 4

(3    

 x x

2 2) 1 4

(3 

 x

2 4) 2 4

(3 

 x

2 4 )

2 (3 

 x

4 2

 x1  (5) ^{x x}

2 9 1 7 3

5   

) 9 3 ( 2 ) 1 7

(5   

 x x

) 9 3 ( 2) 1 7

(5  

 x

) 6 ( 14)

7 14

(10  

 x

14 6

17 x

【練習】1.2-9

(1) ⁶

9 3 5 9

2y  y ＝_______________

(2) ⁷ 5 14 2

2y  y ＝________________

(3) ^{ x3x} 3

8 4 ＝_________________

(4) ^{x x} 12 12 7 3 4

2    ＝________________

(5) ⁶ 4 11 5 2

14x  x ＝_________________

1-19

我們也可以將分配律應用在式子的化簡

1. 加法分配律：(a )b cacbc或a(bc)abac 2. 減法分配律：(a )b cacbc或a(bc)abac

例題 1.2-10

化簡下列算式:

(1) 3(2x8) (2) 5(x4) (3) 3(x1) (4) 7(x2) (5)  x3( 1) (6)  x9( 3) (7) 2(x1) (8) 3(2x2) 詳解：

(1) 3(2x8) 8 3 2 3  

 x 24 6 

 x

(2) 5(x4) 4 5 5  

 x 20 5 

 x

(3) 3(x1) 1 3 ) (

3   

 x 3 3 



 x

(4) 7(x2) 2 7 ) (

7   

 x 14 7 



 x

(5)  x3( 1)

1 ) 3 ( ) 3

(    

 x

) 3 ( 3  



 x 3 3 



 x

(6)  x9( 3)

3 ) 9 ( ) 9

(    

 x

) 27 ( 9  



 x 27 9 



 x

(7) 2(x1)

1 ) 2 ( ) ( ) 2

(     

 x

) 2 ( 2  

 x 2 2 

 x

(8) 3(2x2)

2 ) 3 ( ) 2 ( ) 3

(     

 x

) 6 ( 6  

 x 6 6 

 x

1-20

【練習】1.2-10

(1)  x7( 1)＝__________ (2) 8(x3)＝_____________

(3) 4(x2)＝__________ (4) 5(x3)＝_____________

例題 1.2-11

化簡下列算式:

(1)  x( 2) (2)  x( 8) (3) (2y4) (4) (3y6) 詳解：

(1)  x( 2) ) 2 ( ) 1

(  

 x

2 ) 1 ( ) 1

(    

 x

) (2





 x

2



 x

(2)  x( 8) ) 8 ( ) 1

(  

 x

8 ) 1 ( ) 1

(    

 x

) (8





 x

8



 x (3) (2y4)

) 4 2 ( ) 1

(   

 y

4 ) 1 ( ) 2 ( ) 1

(     

 y

) 4 ( 2  

 y 4 2 

 y

(4) (3y6) ) 6 3 ( ) 1

(   

 y

6 ) 1 ( ) 3 ( ) 1

(     

 y

) 6 ( 3  

 y 6 3 

 y

【練習】1.2-11

(1)  x( 3)＝_________ (2)  x( 5)＝_________

(3)  x( 7)＝_________ (4)  x( 9)＝__________

1-21

例題 1.2-12

化簡下列算式:

(1) ^{(10 5)} 5

1 x (2) ^{(2 4)}

2 1 x

(3) ^{(6 9)} 3

2 

 x (4) ^{(5 10)}

5

2 

 x

(5) ⁾ 3 2 1 4(

1 x (6) ⁾

6 3 1 8( 3 x

詳解：

(1) ^{(10 5)} 5

1 x

5 5 10 1 5

1  

 x

1 2 

 x

(2) ^{(2 4)} 2

1 x

2 4 2 1 2

1  

 x

2

 x

(3) ^{(6 9)} 3

2 

 x

9 3) ( 2 6 3)

(2    

 x

) 6 ( 4  



 x 6 4 



 x

(4) ^{(5 10)} 5

2 

 x

10 5) ( 2 5 5)

(2    

 x

) 4 ( 2  



 x 4 2 



 x

(5) ⁾ 3 2 1 4( 1 x

3 1 4 2 1 4

1  

 x

12 1 21 

 x

(6) ⁾ 6 3 1 8( 3 x

6 1 8 3 3 8

3  

 x

16 1 89 

 x

1-22

【練習】1.2-12 (1) ^{(2 6)}

3

1 x ＝__________ (2) ^{(8 4)} 2

1 

 x ＝____________

(3) ^{(5 2)} 4

3 x ＝___________ (4) ^{( 2 3 )} 7

2   x

 ＝__________

(5) ⁾ 2 4 1 3(

2 x ＝_____________ (6) ⁾ 3 2 1 5(

3 

 x ＝____________

例題 1.2-13

化簡下列算式:

(1) 2(x4)9 (2) 3(x2)18 (3) 7(x3)4x10 (4) 5(x1)2x8 詳解：

(1) 2(x4)9 9 8 2  

 x 1 2 

 x

(2) 3(x2)18 18 6 3  



 x 12 3 



 x

(3) 7(x3)4x10 10 4 21 7   

 x x

) 10 21 ( ) 4 7

(   

 x x 11 3 

 x

(4) 5(x1)2x8 8 2 5

5   



 x x

) 8 5 ( ) 2 5

(   

 x x 3 3 



 x

【練習】1.2-13

(1) 2(x1)5x＝__________ (2) 4(x3)8x7＝___________

(3) 3(x2)112x＝________ (4) 6(x1)10x3＝____________

1-23

例題 1.2-14

化簡下列算式:

(1) (x3)2(x4) (2) 6(x1)(x8) (3) 2(x2)7(x3) (4) 4(x2)8(x3) 詳解：

(1) (x3)2(x4) 8 2 3 





 x x 8 3 2  





 x x

) 8 3 ( ) 2

(    

 x x

) 8 3 ( ) 2 1

(    

 x

) (11



 x

11

 x

(2) 6(x1)(x8) 8 6

6   

 x x

) 8 6 ( ) 6

(    

 x x

) 8 6 ( ) 1 6

(    

 x

2 5 

 x

(3) 2(x2)7(x3) 21 7 4

2   

 x x

) 21 4 ( ) 7 2

(    

 x x

) 21 4 ( ) 7 2

(    

 x

) 25 ( 9  

 x 25 9 

 x

(4) 4(x2)8(x3) 24 8 8 4   



 x x

) 24 8 ( ) 8 4

(    

 x x

) 24 8 ( ) 8 4

(    

 x

16 12 



 x

【練習】1.2-14

(1) 3(x1)(x2)＝___________ (2) 2(x5)4(x2)＝_________

(3) 5(x3)3(x4)＝___________ (4) 7(x2)2(x1)＝_________

1-24

例題 1.2-15

化簡下列算式：

(1) ^{(3 9)} 3

) 1 6 4 2(

1 x  x (2) ^{( 12)}

4 ) 3 2 8 4(

1 x  x

(3) ^{( 4)} 5

) 1 1 6 3(

2 x  x (4) ^{(3 4)}

5 ) 4 1 2 6(

1   

 x x

詳解：

(1) ^{(3 9)} 3

) 1 6 4 2(

1 x  x

3 3

2   

 x x 3 3 2   

 x x

) 3 3 ( ) 2

(    

 x x

) 6 ( ) 1 2

(   

 x

6 3 

 x

(2) ^{( 12)} 4

) 3 2 8 4(

1 x  x

4 9 3 2

2 1 

 x x

2 9 1 4

2 3  

 x x

) 2 9 ( 1 4 ) 2 3

(    

 x x

) 2 9 ( 1 4) 2 3

(    

 x

2) 18 2 ( 1 4) 3 4

(8   

 x

2 17 45 

 x

(3) ^{( 4)} 5

) 1 1 6 3(

2 x  x

5 4 5 1 3

4 2 

 x x

5 4 3 2 5

4 1  

 x x

5) 4 3 (2 5) 4 1

(   

 x

15) 12 15 (10 5)

1 5

(20  

 x

15 22 19 5

 x

(4) ^{(3 4)} 5

) 4 1 2 6(

1   

 x x

5 16 5

12 6 1 3

1   



 x x

5 16 6 1 5 12 3

1   



 x x

5) 16 6 (1 5) 12 3

(1  

 x

30) 96 30 ( 5 15) 36 15

( 5   

 x

30) ( 91 15)

(41  

 x

30 91 1541 



 x

1-25

【練習】1.2-15

(1) ^{( 2)} 4

) 1 2 3(

2 x  x ＝ (2) ^{(2 1)}

5 ) 1 3 2(

1   

 x x ＝

(3) ^{(2 3)} 8

) 1 2 12 4(

3 x  x ＝ (4) ^{( 1)}

3 ) 2 2 ( 1 6

5    

 x x ＝

例題 1.2-16

化簡下列算式：

(1) (3x4)2(x2)5(x4) (2) 2(2x1)2(x3)5(x1)

(3) ^{( 5 10)}

5 ) 1 8 4 2( ) 1 9 6 3(

1 x  x   x (4) ^{( 7 28)}

7 ) 4 5 10 5( ) 2 12 6 6(

5       

 x x x

詳解：

(1) (3x4)2(x2)5(x4) 20 5 4 2 4

3     

 x x x

20 4 4 2 5

3     

 x x x

) 20 4 4 ( ) 2 5 3

(     

 x

20 10 

 x

(2) 2(2x1)2(x3)5(x1) 5

5 6 2 2

4     



 x x x

5 6 2 5 2

4     



 x x x

) 5 6 2 ( ) 5 2 4

(      

 x

) (1





 x

1



 x

(3) ^{( 5 10)}

5 ) 1 8 4 2( ) 1 9 6 3(

1 x  x   x

2 4

2 3

2     

 x x x

2 4 3 2

2     

 x x x

) 2 4 3 ( ) 1 2 2

(     

 x

1 3 

 x

(4) ^{( 7 28)}

7 ) 4 5 10 5( ) 2 12 6 6(

5       

 x x x

16 4 2 4 10

5     



 x x x

16 2 10 4 4

5     



 x x x

) 16 2 10 ( ) 4 4 5

(     

 x

) 4 ( ) 5

(  

 x 4 5 



 x

1-26

【練習】1.2-16

(1) (2x1)2(x3)4(2x3)＝_______________

(2) (3x2)5(2x7)2(x2)＝______________

(3) ^{(21 7)}

7 ) 1 18 6 3( ) 1 6 4 2(

1 x  x  x ＝____________

(4) ^{( 5 25)}

5 ) 2 4 16 4( ) 3 9 6 3(

2 x   x   x ＝____________

當一個運算式中含有多個括號時，我們可以先從最裡面的小括號開始運算，然後消除 中括號，最後消除大括號。

例題 1.2-17

化簡下列算式：

(1) 10x[4(2x1)] (2) 2[x x5( 1)]

(3) 3[44(y1)] (4) 3[53(2y3)]

(5) ^－3





詳解：

(1) 10x[4(2x1)]

] 1 2 4 [

10   

 x x

] 1 4 2 [

10   

 x x ] 3 2 [ 10  

 x x 3 2 10  

 x x 3 8 

 x

(2) 2[x x5( 1)]

] 5 5 [

2  

 x x ] 5 6 [ 2 

 x 10 12 

 x

1-27

(3) 3[44(y1)]

] 4 4 4 [

3  



 y

] 4 4 4 [

3  



 y

] 8 4 [ 3 



 y

24 12 

 y

(4) 3[53(2y3)]

] 9 6 5 [

3  

 y

] 9 5 6 [

3  

 y ] 14 6 [ 3 

 y 42 18 



 y

(5) 3[2(2y1)9]7 7 ] 9 2 4 [

3   



 y

7 ] 7 4 [

3  



 y

7 21 12  



 y 14 12 



 y

(6) 3{4[5(2y1)6]}7y y y 5 6]} 7 10

[ 4 {

3   





y y 1]} 7 10

[ 4 {

3  





y y 4} 7 40

{

3  





y y 12 7 120  





12 7 120  



 y y 12 113 



 y 【練習】1.2-17

(1) 3[2(1 x)3]＝_______________

(2) 9[52(x6)]＝______________

(3) 8[2(2x3)]＝____________

(4) 2[3(4y1)6]8y＝____________

(5) 3{8[5(y4)32]6}＝____________

(6) 7{2[3(6x1)8]}＝____________

1-28

有時候我們會將數字以符號代替，如a、 b 、c…。

在化簡時我們一樣將有x的項次與沒x的項次分別做合併。

例題 1.2-18

化簡下列算式：

(1) axb (2) axb2x

(3) 3(x )a b (4) 2(xa)3(bxc) 詳解：

(1) axb b a x 



) (a b x 



(2) axb2x b x ax 

 2 b x a 

( 2)

(3) 3(x )a b 3x3ab ) 3 ( 3x ab



(4) 2(xa)3(bxc) c bx a

x 2 3 3 2   



c a bx

x 3 2 3 2   



) 3 2 ( ) 3 2

(  b x a c



【練習】1.2-18

(1) axb＝ ___________ (2) 2xabx＝ ____________

(3) a(x )3 b＝_________ (4) ^{( )} 5

) 1 3 2(

1 ax  bxc ＝________

1-29

1.2 節 習題

習題 1.2-1

化簡下列算式:

(1) x(13)＝ ______ (2) x14 ＝ ______

(3) y(7) ＝ _______ (4) y8 ＝________

(5) ^{ )y} 10

( 7 ＝ ______ (6) y3.28＝______

(7) 8

5

x ＝______ (8) ⁾

14 (11



y ＝_____

(9) ^{  x} 3

6 8 ＝_____ (10) ^{ x} 4

9 1 ＝_______

(11)

4 ) 3

9

( x ＝______ (12) ⁾ 5 ( 2

11 x  ＝________

1-30

習題 1.2-2

化簡下列算式：

(1) 7x 5 x (2) 9x x

(3) 2x3x6 (4) 2x72x3

(5) x x 3 1 2

1 (6) x x

7 6 7 1

(7) 3 x(7  )5  (8) ( x 8)

(9) (10  )20  5

1 x (10) ( 2 3) 6

1  x

(11) (x3)(x3) (12) 2(2x5)3(x4)

(13) (x1)2(x2)3(x3)

(14)     (6 5) 6

) 1 5 6 3( ) 1 5 6 2(

1 x x x

(15) [ x3( 2)1]1 (16) 3[(x1)2x]

(17) ax1 bx 2 (18) 3(axb)6

1-31

1.3 節 運算式的值

一個包含未知數的運算式，在還沒有給予未知數數值的情況下，式子的值可能是任意 數，所以運算式的值是由未知數的值來決定的。

例如：當未知數x尚未給予數值的情況下，運算式x9可能是任意數，但 (1) 當x3的時候，x93912

(2) 當x5的時候，x9(5)94 即運算式的值是由x的值來決定的。

例題 1.3-1

計算下列式子的值：

(1) 若y1，則3 y? (2) 若y4，則4y2? (3) 若

3

1

x ，則6x5? (4) 若

5

4



x ，則610x? (5) 若y8，則y2? (6) 若y3，則9 y1? 詳解：

(1) 3 y3(1)3

(2) 4y244216214 (3) ^{5 2 5 7}

3 6 1 5

6x      

(4) ^{) 6 ( 8) 6 8 14} 5

( 4 10 6 10

6          

 x

(5) y2824

(6) 9 y19(3)1312

1-32

1.3 節 習題

習題 1.3-1

計算下列式子的值：

(1) 若x2，則3x 2____

(2) 若x5，則4x6____

(3) 若 7

1

x ，則14x3____

(4) 若

6

1



x ，則712x____

(5) 若y9，則27 y 3____

(6) 若y21，則y(3)5____

(7) 若 3

8

y ，則y(2)5____

(8) 若

4

1



y ，則9 y8 ____

1-33

1.4 節 一元一次方程式的列式與解法

含有 1 個未知數(一元)且未知數的次方數為 1(一次)的等式，我們稱作一元一次方程式。

例如：

(1) 2x10是一元一次方程式。（只有 1 個未知數x，且x的次方數為 1。）

(2) 3x y4 1是二元一次方程式。（有 2 個未知數x、y，x與y的次方數都為 1。）

(3) x² 90是一元二次方程式。（只有 1 個未知數x，x的次方數為 2。）

(4) 2x²  y5 30是二元二次方程式。（有 2 個未知數x、y，x的次方數為 2。）

在學習如何解一元一次方程式之前，我們需先瞭解等量公理，應用等量公理來解一元 一次方程式的問題。

等量公理

(1) 等號兩邊同加一個數後，等式仍然成立

在天平的左側放 1 個 20 公克的蛋糕，右側放 1 個 20 公克的砝碼，現在天平保持 平衡。

記成 ＝

若天平的左側多放 1 個 30 公克的砝碼，則右側也多放 1 個 30 公克的砝碼，就可 讓二邊重量相同，使天平保持平衡。

記成 ＋ ＝ ＋ 如果1 個蛋糕的重量，用x表示，則重量關係可記成：

20

x 天平左側放1 個 20 公克的蛋糕，右側放 1 個 20 公克的砝碼，可以保持平衡。

30 20 30 



x 左右各加1 個 30 公克的砝碼後，也可保持平衡。

也就是等號兩邊同加一個數後，等式仍然成立。

50 30 x

1-34

(2) 等號兩邊同減一個數後，等式仍然成立

在天平的左側放 1 個 20 公克的蛋糕和 1 個 10 公克的砝碼，右側放 1 個 20 公克 的砝碼和 1 個 10 公克的砝碼。二邊重量相同，天平保持平衡。

記成 ＋ ＝ ＋

若在天平的左側拿走 1 個 10 公克的砝碼，則右側也拿走 1 個 10 公克的砝碼，可 使二邊重量相同，天平仍保持平衡。

記成 ＋ － ＝ ＋ － 如果1 個蛋糕的重量，用x克表示，則重量關係可記成：

10 20 10 

x 天平左側放1 個 20 公克的蛋糕和 1 個 10 公克的砝碼，右側放 1 個 20 公 克的砝碼和1 個 10 公克的砝碼。二邊重量相同，可以保持平衡。

10 10 20 10

10   



x 左右各拿走1 個 10 公克的砝碼後，天平仍可保持平衡。

也就是等號兩邊同減一個數後，等式仍然成立。

20 x

(3) 等號兩邊同乘以一個數後，等式仍然成立。

在天平的左側放 1 顆 40 公克的蘋果，右側放 1 個 40 公克的砝碼，現在天平保持 平衡。

記成 ＝

若將天平的左側的蘋果數量乘以 4，右側砝碼數量也乘以 4，因為二邊物品數量 都是 4 倍，所以仍能保持平衡。

記成 ×4＝ ×4

1-35

如果1 顆蘋果的重量，用x克表示，則重量關係可記成：

40

x 天平左側放1 顆 40 公克的蘋果，右側放 1 個 40 公克的砝碼，可以保持平衡。

4 40 4 



x 左右的物品數量各乘以4，天平仍可保持平衡。

也就是等號兩邊同乘以一個數後，等式仍然成立。

160 4x

(4) 等號兩邊同除以一個非 0 的數後，等式仍然成立。

接續(3)，天平的左側有 4 顆各 40 公克的蘋果，右側有 4 個 40 公克的砝碼。二 邊重量相同，天平保持平衡。

記成記成 ×4＝ ×4

若將天平的左側的蘋果數量除以 4，右側砝碼數量也除以 4，因為二邊都變回 1 個，所以仍能保持平衡。

記成 ×4÷4＝ ×4÷4

 ＝

如果 1 顆蘋果的重量，用x公克表示，則重量關係可記成：

4 40 4 



x 天平左側放4 瓶各 40 公克的果醬，右側放 4 個各 40 公克的砝碼。二邊 重量相同，可以保持平衡。

4 4 20 4

4   



x 左右的物品數量各除以4，天平仍可保持平衡。

也就是等號兩邊同除以一個非 0 的數後，等式仍然成立。

40 x

1-36

等量公理的應用：

天平左側有 4 顆蘋果和 1 個 10 公克的砝碼，右側有 4 個 40 公克的砝碼和 1 個 10 公 克的砝碼，現在剛好可以保持平衡。要如何知道 1 顆蘋果的重量？

記成 ×4＋ ＝ ×4＋

先將二側都拿走 1 個 10 公克的砝碼

記成 ×4＋ － ＝ ×4＋ －

×4＝ ×4

再將二側的物品數量都除以 4

記成 ×4÷4＝ ×4÷4

＝ 最後可得到蘋果是 40 公克。

如果一個蘋果的重量，用x 公克表示，可列出式子：

10 4 40 10

4x   

10 10 4 40 10 10

4x      (等號兩邊同減 10) 4

40 4x 

4 4 40 4

4x    (等號兩邊同除以 4)

40 x

1-37

移項法則：

當我們要解一元一次方程式的時候，我們希望將未知數全部移到等式左邊，且將數字 全移到等式右邊，這時候在等式兩邊移動未知數與數字的技巧就是要運用移項法則。

移項法則是當將等式某一邊的正數移到等式另一邊時，要將此正數變號成負數，負數 變號成正數；若是乘號的話，就變號成除號，若是除號就要變成乘號。

我們可以利用剛剛學到的等量公理推導出移項法則：

法則一加減 abc c c b c

a    利用等量公理，等號二邊同減c。 b

c

a  所以右邊的 c 移到左邊，會變成c。

法則二減加 abc c c b c

a    利用等量公理，等號二邊同加c。 b

c

a  所以右邊的c移到左邊，會變成 c 。

法則三乘除 abc c c b c

a    利用等量公理，等號二邊同除以c。 b

c

a  所以右邊的c移到左邊，會變成c。

法則四除乘 abc c c b c

a    利用等量公理，等號二邊同乘以c。 b

c

a  所以右邊的c移到左邊，會變成c。

移項法則整理如下：

法則一 abc  acb (等號右邊的＋c，移到左邊變－c) 法則二 abc  acb (等號右邊的－c，移到左邊變＋c) 法則三 abc  acb (等號右邊的× c，移到左邊變÷ c) 法則四 abc  acb (等號右邊的÷ c，移到左邊變× c)

1-38

藉由等量公理，我們還可以得到：

若 A＝B，則 B＝A (其中 A、B 為任意數) 說明如下：

B A

B B B

A   (等號二側同減B)

0

 B

A

A A

B

A  0 (等號二側同減A) A

B



) 1 ( )

1

(   



B A (等號二側同乘(－1)) A

B

應用這個觀念，可以得到如：3x，則x3。

1-39

1.4.1 節 解一元一次方程式－第一級

利用等量公理或移項法則的加減法求出 x

解題要領：將所有未知數移至等號一邊，已知數移至等號另一邊，再化簡。

求出 x 後，我們也可以將 x 之值再代回原式驗算，檢查等號左側與右側是 否相等。

例題 1.4.1-1

求下列未知數的值：

【等量公理解法】

(1) x86 (2) x37 (3) x58

詳解：

(1) x86

8 6 8 8  



x （等號二邊同加 8，使等號左側只剩下 x）

14 x

驗算：

將x14代入原式x86 左式 x81486 右式 6

左式與右式相等，可確認x14是正確答案。

(2) x37

3 7 3 3  



x （等號二邊同減 3，使等號左側只剩下 x）

4 x

驗算：

將x4代入原式x37 左式 x3437 右式 7

左式與右式相等，可確認x7是正確答案。

1-40

(3) x58

5 8 5 5  



x （等號二邊同加 5，使等號左側只剩下 x）

13 x

驗算：

將x13代入原式x58 左式 x51358 右式 8

左式與右式相等，可確認x13是正確答案。

【移項法則解法】

(4) x212 (5) x49 (6) x311

詳解：

(4) x212

x122 (利用移項法則二，2移到右邊變成2) x10

驗算：

將x10代入原式x212 左式 x210212 右式12

左式與右式相等，可確認x10是正確答案。

(5) x49 4 9



x (利用移項法則一，4移到右邊變成4) x13

驗算：

將x13代入原式x49 左式 x41349 右式9

左式與右式相等，可確認x13是正確答案。

1-41

(6) x311

x113 (利用移項法則一， 3 移到右邊變成 3 ) x14

驗算：

將x14代入原式x311 左式 x314311 右式11

左式與右式相等，可確認x14是正確答案。

例題 1.4.1-2

求下列未知數的值：( x 在等號右邊)

【等量公理解法】

(1) 8 x6 (2) 9 x5 詳解：

(1) 8 x6

6 6 6

8 x  （等號二邊同加 5，使等號右側只剩下 x）

x 2

2

x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x2代入原式8 x6 左式 8

右式 x6268

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(2) 9 x5

5 5 5

9 x  （等號二邊同加 5，使等號右側只剩下 x）

x 14

14

x (若 A＝B，則 B＝A)

1-42

驗算：

將x14代入原式 左式 9

右式 x51459

左式與右式相等，可確認x14是正確答案。

【移項法則解法】

(3) 2 x7 (4) 6 x11 詳解：

(3) 2 x7

x

7

2 (利用移項法則一， 7 移到左邊變成 7 )

x

5

5



x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x5代入原式2 x7 左式2

右式 x7(5)72

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(4) 6 x11

x

11

6 (利用移項法則二，11移到左邊變成11)

x 17

17

x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x17代入原式6 x11 左式 6

右式 x1117116

左式與右式相等，可確認x17是正確答案。

1-43

1.4.2 節 解一元一次方程式－第二級

利用等量公理或移項法則的乘除法求出 x 例題 1.4.2-1

求下列未知數的值:

【等量公理解法】

(1) 6x12 (2)  x5 20 (3) x78 (4) x46 詳解：

(1) 6x12

6x6126 (等號兩邊同除以 6，使等號左側只剩x) x2

驗算：

將x2代入原式6x12 左式 x6 6212 右式12

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(2)  x5 20

 x5 (5)20(5) (等號兩邊同除以(－5)，使等號左側只剩x) x4

驗算：

將x4代入原式 x5 20 左式 x5 (5)(4)20 右式 20

左式與右式相等，可確認x4是正確答案。

1-44

(3) x78

x7787 (等號兩邊同乘以 7，使等號左側只剩x) x56

驗算：

將x56代入原式x78 左式 x75678 右式 8

左式與右式相等，可確認x56是正確答案。

(4) x46

x44(6)4 (等號兩邊同乘以 4，使等號左側只剩x) x24

驗算：

將x24代入原式x46 左式 x4(24)46 右式6

左式與右式相等，可確認x24是正確答案。

※同學也可試著用移項法則來解上述題目。

【移項法則解法】

(5) 4x16 (6)  x2 4 (7) x27 (8) x(3)9 詳解：

(5) 4x16 16 4 x

16 4

x （4xx4）

x164 (利用移項法則三，4移到右邊變成4) x4

1-45

驗算：

將x4代入原式4x16 左式 x4 4416

右式 16 左式與右式相等，可確認x4是正確答案。

(6)  x2 4 4 )

2 ( x

x4(2) (利用移項法則三，(2)移到右邊變成(2)) x2

驗算：

將x2代入原式 x2 4 左式 x2 (2)(2)4 右式4

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(7) x27 72

x (利用移項法則四，2移到右邊變成2) x14

驗算：

將x14代入原式x27 左式 x21427 右式 7

左式與右式相等，可確認x14是正確答案。

(8) x(3)9 ) 3 ( ) 9 (  

 x

x27 (利用移項法則四，(3)移到右邊變成(3)) 驗算：

將x27代入原式x(3)9 左式 x(3)27(3)9 右式9

左式與右式相等，可確認x27是正確答案。

※同學也可試著用等量公理來解上述題目。

1-46

例題 1.4.2-2

求下列未知數的值：(x 在等號右邊)

【等量公理解法】

(1) 16 (2) 8x 5 x3 詳解：

(1) 16 8x

1688x8 (等號兩邊同除以 8，使等號右側只剩x)

x 2

2

x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x2代入原式16 8x 左式 16

右式 x8 8216

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(2) 5 x3

53x33 (等號兩邊同乘以 3，使等號右側只剩x)

x 15

15

x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x15代入原式5 x3 左式 5

右式 x31535

左式與右式相等，可確認x15是正確答案。

※同學也可試著用移項法則來解上述題目。

1-47

【移項法則解法】

(3) 186x (4) 20x(5) 詳解：

(3) 186x 18(6)x

x



( 6)

18 (利用移項法則三，(6)移到左邊變成(6))

x

3

3



x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x3代入原式186x 左式 18

右式 x6 (6)(3)18

左式與右式相等，可確認x3是正確答案。

(4) 20x(5)

x





20) ( 5)

( (利用移項法則四，(5)移到左邊變成(5))

x 100

100

x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x100代入原式20x(5) 左式20

右式 x(5)100(5)20

左式與右式相等，可確認x100是正確答案。

※同學也可試著用等量公理來解上述題目。

1-48

1.4.3 節 解一元一次方程式－第三級

利用等量公理或移項法則的加減法與乘除法求出x 例題 1.4.3-1

求下列未知數的值:

【等量公理解法】

(1)  x31 (2) 17 x8 (3) 2x13

詳解：

(1)  x31

3 1 3 3  



 x (等號兩邊同時減 3)

2



 x

) 1 ( ) 2 ( ) 1

(    



 x (等號兩邊同時乘以(－1))

2 x

驗算：

將x2代入原式 x31

左式 x 3(2)3231 右式1

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(2) 17 x8

17 8 17

17 x   (等號兩邊同時減 17)

9



 x

) 1 ( ) 9 ( ) 1

(    



 x (等號兩邊同時乘以(－1))

9 x

驗算：

將x9代入原式17 x8 左式17x1798 右式 8

左式與右式相等，可確認x9是正確答案。

1-49

(3) 2x13 1 3 1 1

2x    (等號兩邊同時減 1) 2

2x

2 2 2

2x   (等號兩邊同時除以 2)

1 x

驗算：

將x1代入原式2x13 左式 x2 12113 右式 3

左式與右式相等，可確認x1是正確答案。

※同學也可試著用移項法則來解上述題目。

【移項法則解法】

(4) 3x27 (5) 52x7 (6) 6 x3 12

詳解：

(4) 3x27 2 7

3x  (利用移項法則二，2移到右邊變成2) 9

3x 9 3 x

3 9



x (利用移項法則三， 3 移到右邊變成 3 )

3 x

驗算：

將x3代入原式3x27 左式 x3 23327 右式 7

左式與右式相等，可確認x3是正確答案。

1-50

(5) 52x7 5 7

2x  (利用移項法則二， 5 移到右邊變成 5 ) 12

2x 12 2 x

2 12



x (利用移項法則三，2移到右邊變成2)

6 x

驗算：

將x6代入原式52x7 左式52x5267 右式 7

左式與右式相等，可確認x6是正確答案。

(6) 6 x3 12 6 12 3  

 x (6 可看成 6 ，利用移項法則一， 6 移到右邊變成 6 ) 6

3 

 x

6 )

3 ( x

) 3 ( 6 



x (利用移項法則三，(3)移到右邊變成(3))

2

 x

驗算：

將x2代入原式6 x3 12 左式63x63(2)12 右式12

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

※同學也可試著用等量公理來解上述題目。

1-51

例題 1.4.3-2

求下列未知數的值：(x 在等號右邊)

【等量公理解法】

(1) 7 3x (2) 5 x2 1 詳解：

(1) 7 3x

3 3

3

7  x (等號兩邊同時減 3)

x

 4

4

 x (若 A＝B，則 B＝A) )

1 ( 4 ) 1

(   



 x (等號兩邊同時乘以(－1))

4

 x

驗算：

將x4代入原式7 3x 左式 7

右式3 x3(4)347

左式與右式相等，可確認x2是正確答案。

(2) 5 x2 1 1 1 2 1

5  x  (等號兩邊同時加 1) x

2 6

2 2 2

6  x (等號兩邊同時除以 2)

x 3

3

x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x3代入原式5 x2 1 左式 5

右式 x2 12315

左式與右式相等，可確認x3是正確答案。

※同學也可試著用移項法則來解上述題目。

1-52

【移項法則解法】

(3) 972x (4) 14 x2 20 詳解：

(3) 972x (7 可看成 7 ，利用移項法則一， 7 移到左邊變成 7 ) x

2 7 9 

x 2 2

x



( 2) 2

x



( 2)

2 (利用移項法則三，(2)移到左邊變成(2))

x

1

1



x (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x1代入原式972x 左式 9

右式72x72(1)7(2)729 左式與右式相等，可確認x1是正確答案。

(4) 14 x2 20

14202x (利用移項法則一， 20 移到左邊變成 20 ) 62x

62x

(6)2x (利用移項法則三，2移到左邊變成2) 3x

x3 (若 A＝B，則 B＝A) 驗算：

將x3代入原式14 x2 20 左式14

右式 x2 202(3)2062014

左式與右式相等，可確認x3是正確答案。

※同學也可試著用等量公理來解上述題目。

1-53

利用移項公式處理x在運算符號右邊的狀況時，要特別小心：

b x

a   xab  xba b

x

a   xab  xba  xba  xab b

x

a   xab  xba (a≠0) b

x

a   abx  abx  xab (x≠0)(b≠0)

到目前我們已練習了許多解方程式的題目，例如：

5 3

 x

3 5

 x

2 x

事實上，有時候我們也會遇到題目中含有符號的情形，例如將上題的 3換成a：

5

 a x

a x 5

像這樣即使方程式中有符號，我們一樣可解出x(用符號表示)。

多看幾個例子：

3

 a

x  x 3a b

x 5  x b5 c

x

3 

3 3c c

x  

1-54

例題 1.4.3-3

解一元一次方程式(將x以符號表示)：

【移項法則解法】

(1) x a7 (2) x5b (3) ax6 (a0)

詳解：

(1) x a7 a

x 7 (利用移項法則一， a 移到右邊變成a) (2) x5b

5

 b

x (利用移項法則二， 5 移到右邊變成 5 ) (3) ax6

a x6

x 6a (利用移項法則三，a移到右邊變成a)

x a6



1-55

1.4.4 節 解一元一次方程式－第四級

解含有分數的一元一次方程式

解題要領：先將等號二邊同乘以所有分母的最小公倍數，化成整數方程式。

例題 1.4.4-1

求下列未知數的值:

【等量公理解法】

(1) ² 31 x

(2)

2 7 43 x (3) 8

3x7

詳解：

(1) ² 31 x

3 2 3 3

1x   (等號兩邊同時乘以 3)

6

x ( ^{3 1}

3

1  ) 驗算：

將x6代入原式 ² 31 x

左式 ^{6 2}

3 1 3

1   

 x 右式2

左式與右式相等，可確認x6是正確答案。

(2) 2 7 43 x

2 4 4 7 4

3x   (分母有 4,2，等號兩邊同時乘以分母的最小公倍數[4,2]＝4)

14

3x ( ^{4 3} 4

3  ) ^{4 14)} 2

(7  3

14 3

3x   3

14 x

1-56

驗算：

將 3

14

x 代入原式

2 7 43 x

左式 2

7 3 14 4 3 4

3   

 x 右式 2

 7

左式與右式相等，可確認 3

14

x 是正確答案。

(3) 8 3x7

8 8 8 7

3x   (等號兩邊同時乘以 8) 7

24x

24 7 24

24x   (等號兩邊同時除以 24) 24

 7 x

驗算：

將 24

 7

x 代入原式

8 3x 7

左式 8

7 24 3 7

3   

 x 右式 8

7

左式與右式相等，可確認

24

 7

x 是正確答案。

※同學也可試著用移項法則來解上述題目。

1-57

【移項法則解法】

(4) 4 5  9

 x (5)

7 8 65 x (6) 4

3 5

8 

 x 詳解：

(4) 4 5  9

 x

4 ) 9

5 ( x

) 5 4 ( 9 



x (利用移項法則三，(5)移到右邊變成(5)) 5)

( 1 49 

 x

20

 9

 x

驗算：

將 20

 9



x 代入原式

4 5  9

 x

左式 4

) 9 20 ( 9 ) 5 (

5     

 x 右式 4

 9

左式與右式相等，可確認

20

 9



x 是正確答案。

1-58

(5) 7 8 65 x

7 8 6

5 x

6 5 78 



x (利用移項法則三，

6

5移到右邊變成 6

5)

5 6 78 

 x

35

 48 x

驗算：

將 35

 48

x 代入原式

7 8 65 x

左式 7

8 35 48 6 5 6

5   

 x 右式 7

8

左式與右式相等，可確認

35

 48

x 是正確答案。

(6) 4 3 5

8 

 x

4 ) 3

5

(8 x

5) ( 8 4) (3  



x (利用移項法則三， ⁾

5 (8

 移到右邊變成 ⁾

5 (8

 )

8) ( 5 4) (3  

 x

32

15 x

驗算：

將 32

15

x 代入原式

4 3 5

8 

 x

左式 4

3 32 ) 15 5 ( 8 5

8    



 x

右式 4

3



左式與右式相等，可確認

32

15

x 是正確答案。

※同學也可試著用等量公理來解上述題目。