節 一次函數的圖形

8.2 節 一次函數的圖形

前一節我們認識了什麼是函數，本節中我們要進一步把函數圖形描繪在直角座標上。

對於一個函數 f ，令y f(x)，將x 的值與其對應的 y 值寫成數對(x,y)，並描繪在直 角座標上，就是函數 f 的圖形。

例如8.1 節中我們看過月份對應到日數的函數

自變數x 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 應變數y 日數 31 28 31 30 31 30 31 31

表 8.2-1

由月份 1 對應到日數 31，我們可以寫成 f(1)31，即數對為(1,31)。同樣地，也可以寫 出接下來的數對為(2,28)、(3,31)、(4,30)...等。

我們來將這些數對畫在直角座標平面上：

圖 8.2-1

x

y

8-24

除了在直角座標上描出點以外，我們也可以畫出如 f(x) x3 1用代數式表示的函數。

我們來畫畫看 f(x) x3 1的圖形。以前曾學過，y  x3 1在直角座標上的圖形是一條 直線。可想而知，若我們令變數為x 座標，函數值為 y 座標，即y  f(x)3x1，則此 函數圖形也會是一條直線。因此我們只要取兩點做直線，就能得到 f(x) x3 1的圖形。

由 f(0)1、 f(1)4，我們取(0,1)、(1,4)兩點，並連線，如圖 8.2-2。

圖 8.2-2

對於函數 f(x)，若畫出來為直線圖形，可以通稱為線型函數。

線型函數的形式為 f(x)axb，又可分為一次函數與常數函數。

一次函數：即變數x 最高次數為 1，且 x 項係數不為 0。

形式為 f(x)axb、

a  0

，畫出來的圖形為斜直線。

常數函數：即沒有變數x，只有常數。不論變數為何，函數值都不會改變。

形式為 f(x)b，畫出來的圖形為水平線。

※ 垂直線圖形因為一個x 會對應到無數個 y，因此 x 對應到 y 的方式不是函數。

本節我們介紹的重點會放在一次函數

x

y ^{f ( x )  x 3  1}

8-25

例題 8.2-1

(A) f(x)2x (B) f(x) x3 2 (C)

3 ) 2 (x  f (D) f(x)x² 3x (E)

x x f 1

)

(  (F) f(x)7 以代號回答下列問題：

(1)一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

詳解：

我們來判斷各代號是什麼樣的函數：

(A) f(x)2x，x 的最高次數為 1，是一次函數，也是線型函數。

(B) f(x) x3 2，x 的最高次數為 1，是一次函數，也是線型函數。

(C) 3 ) 2 (x 

f ，沒有x 項，即 x 次數為 0，是常數函數，也是線型函數。

(D) f(x)x² 3x，x 的最高次數為 2，非線型函數。

(E) f x 1x )

(  ，線型函數的形式為 f(x)axb， x

1的變數 x 在分母，所以不是線型 函數。

(F) f(x)7，沒有x 項，即 x 次數為 0，是常數函數，也是線型函數。

根據以上判斷可回答：

(1)一次函數有(A)、(B)。

(2)常數函數有(C)、(F)。

(3)線型函數有(A)、(B)、(C)、(F)。

8-26

例題 8.2-2

在直角座標上畫出y f(x)x的圖形。

詳解：

x x

f( ) 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 f(0)0、 f(1)1，可得兩點(0,0)、(1,1)。

f(x)x

圖 8.2-3

【練習】8.2-2

在直角座標上畫出y f(x)2x的圖形。

x y

x

y

8-27

例題 8.2-3

在直角座標上畫出y  f(x)3x2的圖形。

詳解：

2 3 )

(x  x

f 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 f(0)2、 f(1)1，可得兩點(0,2)、(1,-1)。

f(x)3x2

圖 8.2-4

【練習】8.2-3

在直角座標上畫出y f(x)6x7的圖形。

x y

x

y

8-28

8-29

例題 8.2-5

圖 8.2-9 為一次函數y f(x)ax4的圖形。

試求a、b 之值。

詳解：

由圖 8.2-6 可知，(1,2)在此函數圖形上，

即 f(1)2，代入 f(x) ax4 2

4 ) 1 (  



a ，解得

a  2

得此函數為 f(x) x2 4

) , 3

( b 在函數圖形上，

即 f( )3 b，代入 f(x) x2 4 圖 8.2-6

b





( 3) 4

2 ，解得

b   2

 2

a

、

b   2

【練習】8.2-5

圖 8.2-7 為一次函數y f(x)ax3的圖形。

試求a、b 之值。

圖 8.2-7

x x y

x

y

8-30

8-31

8-32

8-33

【練習】8.2-9

已知 f(x)為線型函數，在座標平面上，其圖形y f(x)通過(2, 、2) (4,1)兩點，

試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

x

y

8-34

在前一節中，我們學習了已知 f(x)，求 f(x1)與 f(x1)。

如例題 8.1-8，已知 f(x) x2 1、求得 f(x1)2x3、 f(x1)2x1 令g(x) x2 3、h(x) x2 1

我們將y f(x)、yg(x)、yh(x)這三個函數圖形畫出來，看看他們之間的關係。

圖 8.2-9

由圖 8.2-9 可知，g(x) f(x1)的圖形相當於 f(x)的圖形往左移動 1 單位；h(x) f(x1) 的圖形相當於 f(x)的圖形往右移動 1 單位。

同樣地，若有g'(x) f(x5)，我們也可以推得g' x( )的圖形是 f(x)的圖形往左移動 5 單位；h'(x) f(x4)的圖形是 f(x)的圖形往右移動 4 單位

1 2 )

(x  x h

1 2 )

(x  x f

3 2 )

(x  x g

y

x

8-35

例題 8.2-10

已知 f(x) x3 6，g(x) f(x5)，h(x) f(x3)，試求g(x)、h(x)並在直角座標 平面上畫出y f(x)、 yg(x)、y h(x)的圖形。

詳解：

(1)g(x) f(x5)3(x5)63x9 (2)h(x) f(x3)3(x3)63x15

圖 8.2-10

【練習】8.2-10

已知 f(x) x4 8，g(x) f(x3)，h(x) f(x4)，試求g(x)、h(x)並畫出圖形。

6 3 )

(  

 f x x 9 y

3 )

(  

g x x

y yh(x)3x15 y

x

y

x

8-36

8.2 節 習題

習題 8.2-1 (A) f x x

3 ) 1

(  (B) f(x) x 1 (C) f(x)4 (D) f(x) x² x (E)

x x f 2

) 1

(  (F) f(x)5 以代號回答下列問題：

(1) 一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

習題 8.2-2

在直角座標上畫出y  f(x)3x的圖形。

習題 8.2-3

在直角座標上畫出y  f(x) x2的圖形。

習題 8.2-4

在直角座標上畫出

4 ) 1 (  

 x

x f

y 的圖形。

8-37

y

習題 8.2-5

圖 8.2-11 為一次函數y  f(x)ax5的圖形。試求 a、b 之值。

圖 8.2-11 習題 8.2-6

已知一次函數 f(x) x2m3的圖形通過原點，試求m 之值。

習題 8.2-7

已知 f(x)為一次函數，且 f(1)1、 f(3)13，試求 f(x)。

習題 8.2-8

已知 f(x)為常數函數，且 f(101)5，試求 (1) f(x)?

(2) f(99) f(100)?

x

8-38

習題 8.2-9

已知 f(x)為線型函數，在座標平面上，其圖形y f(x)通過(1,8)、(-1,4)兩點，

試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

習題 8.2-10

已知 f(x) x2，g(x) f(x2)，h(x) f(x3)，試求g(x)、h(x)並在直角座標 平面上畫出y f(x)、 yg(x)、y h(x)的圖形。

在文檔中 代數第八章 目錄 (頁 24-40)