代數第八章 目錄

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代數第八章

目錄

第八章 一次函數 ... 1

學習目標 ... 1

8.1 節 變數與函數 ... 2

8.1 節 習題 ... 19

8.2 節 一次函數的圖形 ... 23

8.2 節 習題 ... 36

8.3 節 一次函數的應用 ... 39

8.3 節 習題 ... 51

第八章綜合習題 ... 54

基測與會考試題 ... 60

習題解答 ... 64

8-1

第八章 一次函數

在本章中，我們將開始接觸函數。函數可以想像成一部機器，將原料投入，就會有產 品被製造出來。熟悉了函數以後，我們將可利用函數處理許多常見的應用問題。

學習目標

1.瞭解什麼是函數。

2.能在直角座標上畫出函數圖形。

3.能處理簡單的函數應用題。

8-2

8.1 節 變數與函數

在日常生活中，我們常常可以發現幾組數字之間有對應的關係存在。例如陳先生 25 歲 時體重是 75 公斤；26 歲時是 76 公斤…30 歲時體重是 94 公斤，如表 8.1-1。

年齡(歲) 25 26 27 28 29 30 31 32

體重(公斤) 75 76 80 85 89 94 94 92 表 8.1-1

從表 8.1-1 中，我們只要知道陳先生的年齡，就可以得知他的體重。但是反過來說，知 道體重未必能知道年齡，例如體重是 94 公斤，年齡會有 30 歲與 31 歲兩種可能。

再看一個例子，平年時，1 月有 31 天，2 月有 28 天，3 月有 31 天…我們將月份與日數 的關係列出來，如表 8.1-2。

月份 1 2 3 4 5 6 7 8

日數 31 28 31 30 31 30 31 31 表 8.1-2

從表 8.1-2 中，我們只要知道月份，就能知道日數。但是知道日數，卻不能決定一個月 份，例如日數是 30，則月份有可能是 4 月或 6 月。

以上的例子，都各有兩組資料(簡稱為 A、B)，如果給定一個 A 組的資料，就能決定出 B 組的一個資料，則我們稱這樣的對應關係是函數。

8-3

表 8.1-1 中，體重是年齡的函數，因為知道年齡就能決定體重。但是年齡不是體重的函 數，因為知道體重未必能得到年齡。

表 8.1-2 中，日數是月份的函數，因為知道月份就能決定日數。但是月份不是日數的函 數，因為知道日數未必能得到月份。

在繼續介紹函數前，我們先介紹一個名詞「變數」。

一個可以任意決定或是改變的數，稱為「變數」。變數又分為自變數跟應變數。

可依不同條件給予不同的數值，稱為「自變數」。 會隨著不同的自變數而變化，稱為「應變數」。

例如某雜貨店 1 瓶礦泉水 15 元，我們可選擇買 1 瓶、2 瓶、3 瓶…等，購買的瓶數為自 變數。決定了瓶數後，則總價也會跟著決定，如 1 瓶總價為 15 元、2 瓶總價為 30 元、

3 瓶總價為 45 元…，此時總價為應變數，如表 8.1-3。

自變數 數量(瓶) 1 2 3 4 5 6 7

應變數 總價(元) 15 30 45 60 75 90 105 表 8.1-3

對於函數，我們還可以再舉出許多例子。例如想像成一把尺，只要給一個物品，就能 量出此物品長度是幾公分。即自變數是物品，應變數是長度。

原子筆長度 → 15 公分 鉛筆長度 → 18 公分 寶特瓶高度 → 23 公分 數學課本厚度 → 2 公分 手機長度 → 15 公分 筆記本長度 → 22 公分

8-4

用圖表示

圖 8.1-1

由圖 8.1-1 可知，每個物品(自變數)經過直尺測量後，只會有一個長度(應變數)，不會有 一枝鉛筆量出兩種長度的情形。另外，有可能會有兩種物品量得的長度是一樣的，如 鉛筆和手機。

看完這些例子後，藉由自變數與應變數，我們可以給函數一個更明確的定義：

對於給定的一個 x 值，經過某一對應方式後得到「唯一」的 y 值，這種對應方式我們 稱為函數，其中x 是自變數，y 是應變數。

而在表 8.1-3 中，每個自變數都對應到一個不同的應變數，可稱為一對一函數。

圖 8.1-1 中，有多個自變數對應到同一個應變數，可稱為多對一函數。

當然，若是一對多的情形，根據定義，就不是函數了。

8-5

例題 8.1-1

八年一班的某次數學段考，其座號與分數如表 8.1-4：

座號 1 2 3 4 5 6 7 8 分數 100 95 80 95 90 80 85 75

表 8.1-4 試回答下列問題。

(1)座號 1 的同學多少分？座號 4 的同學多少分？

(2)分數為 95 分的同學是幾號？

(3)分數對應到座號的方式是否為函數？座號對應到分數的方式是否為函數？

詳解：

(1) 由表可知，座號 1 的同學為 100 分；座號 4 的同學為 95 分。

(2) 由表可知，95 分的同學有 2 號與 4 號。

(3) 給定任一x 後，必須對應到「唯一」的 y，這種對應方式稱為函數

分數對應到座號的方式不是函數，因為當分數為 95 時，座號會對應到 2 與 4，

無法對應到 唯一一個座號。

座號對應到分數的方式是函數，因為每個座號都可對應到唯一一個分數。

【練習】8.1-1

小王的身高和年齡關係如表 8.1-5，請問身高對應到年齡的方式是否為函數？年齡 對應到身高的方式是否為函數？

身高(公分) 159 166 169 170 171 171 172 172 年齡(歲) 13 14 15 16 17 18 19 20

表 8.1-5

8-6

例題 8.1-2

某長方形，已知其寬為 5 公分，長為x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

詳解：

(1) 長方形面積等於長乘以寬。列式：y 5 x

(2) 因為x、y 的關係式為y 5 x，即給定一個x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應 到y 的方式是函數。

【練習】8.1-2

某三角形，已知其底為 4 公分，高為x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

例題 8.1-3

便利商店 1 盒豆漿賣 20 元，若買x 盒，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

詳解：

(1) 單價 20 元，總價等於盒數乘以單價。列式：y 20 x

(2) 因為x、y 的關係式為y 20 x，即給定一個 x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應 到y 的方式是函數。

8-7

【練習】8.1-3

水果店 1 斤西瓜賣 30 元，若買x 斤，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2)x 對應到 y 的方式是否為函數？

接下來讓我們更深入地討論函數。

習慣上我們會使用f

、

(x g

y 。以例題 8.1-3 為例，自變數 x 為盒數，應變數 y 為總價(元)。以函數 f 來表示，

則可列出 f(1)20、 f(2)40、 f(3)60…等。由關係式 y 20 x，我們也可以寫出 x

x

f( )20 。

當x 時，其對應值 f(a) 稱為函數 f 在a x 的函數值。 a

例題 8.1-4

已知一個正整數與其正因數的個數是函數關係。x 表示正整數， f(x)表示x 的正因 數個數，如 4 的正因數有 1、2、4，共 3 個，得 f(4)3。試求f(5)、f(6)、f(9)、

f(17)之值。

詳解：

5 的正因數有 1、5，共 2 個，得 f(5)2

6 的正因數有 1、2、3、6，共 4 個，得 f(6)4 9 的正因數有 1、3、9，共 3 個，得 f(9)3 17 的正因數有 1、17，共 2 個，得 f(17)2

8-8

【練習】8.1-4

某旅館住宿 1 天需 900 元。我們以 x 表示住宿天數，f(x)表示總價，如住宿 2 天需 要

900  2  1800

函數也可以跟之前學過的代數式結合。例如1 盒餅乾 30 元，我們以 x 表示盒數， f(x) 表示總價，我們可以寫出餅乾總價的函數為 f(x)30x，以此計算 f(3)、f(4)、f(6)之 值。

90 3 30 ) 3

(   

f 、 f(4)304120、 f(6)306180

例題 8.1-5

已知 f(x) x3 2，試求 f(1)、f(2)、f(5)、f(10)、f(50)之值。

詳解：

5 2 ) 1 ( 3 ) 1

(     f

8 2 ) 2 ( 3 ) 2

(     f

17 2 ) 5 ( 3 ) 5

(     f

32 2 ) 10 ( 3 ) 10

(     f

152 2 ) 50 ( 3 ) 50

(     f

【練習】8.1-5

已知 f(x) x4 1，試求f(1)、f(2)、f(8)、f(20)、f(50)之值。

8-9

例題 8.1-6

已知 f(x) x2 6，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。 a 詳解：

依題意 f(a)2(a)60

0

6 2 a  

 3

 a

【練習】8.1-6

已知 f(x) x3 3，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。 a

例題 8.1-7

已知 f(x)axb，若 f(1)5， f(2)7，試求 f(x)。 詳解：

依題意 f(x)axb、 f(1)ab5、 f(2)2ab7 寫成聯立方程式











 7 2

5 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

(  得

a  2

b  3

驗算： f(1)2135、 f(1)2237

【練習】8.1-7

已知 f(x)axb，若 f(1)4， f(2)1，試求 f(x)。

8-10

函數變數的代換

若有一個函數 f(x) x3，我們已經知道當變數x 時，函數值a f(a) a3。 當變數

x  a  1

我們也可以再將a 換成 x，得到 f(x1)(x1)3x4 同樣的方法可以得到， f(x1)(x1)3x2

例題 8.1-8

已知 f(x) x3 1，試求：

(1) f( y) (2) f(a) (3) f(y1) (4) f(a1) 詳解：

(1) f(y)3(y)13y1 (2) f(a)3(a)13a1

(3) f(y1)3(y1)13y313y2 (4) f(a1)3(a1)13a313a4

【練習】8.1-8

已知 f(x) x 6，試求：

(1) f(b) (2) f(z) (3) f(b1) (4) f(z2)

8-11

例題 8.1-9

已知 f(x) x2 1，試求：

(1) f(x1) (2) f(x1) (3) f( x2 ) (4) f(2x1) 詳解：

(1) f(x1)2(x1)12x212x3 (2) f(x1)2(x1)12x212x1 (3) f(2x)2(2x)14x1

(4) f(2x1)2(2x1)14x214x3

【練習】8.1-9

已知 f(x) x3 2，試求：

(1) f(x1) (2) f(x1) (3) f( x2 ) (4) f(2x1)

8-12

合成函數

熟悉了一個函數之後，接下來介紹由兩個函數合起來的合成函數。

我們先回顧前面看過的範例，用尺量物品的長度是幾公分。

圖 8.1-1

如果今天我們想知道鉛筆長度是幾公釐，則需要將量出來的15 公分再轉換為 150 公 釐，用圖表示：

圖 8.1-2

這裡可以想成有兩個函數，第一個函數將物品轉換為長度(公分)，第二個函數將長度 (公分)轉換為長度(公釐)。

8-13

當然，我們也可以將兩張圖畫在一起：

圖 8.1-3

從圖 8.1-3 中，可以清楚地看到，物品轉換為公分，再轉換為公釐的過程。

這時可能也會有同學想，能不能一開始就拿刻度為公釐的尺來量，如此就不需要經過 兩次轉換，如圖 8.1-4

圖 8.1-4

拿刻度為公釐的尺來量，相當於將兩個函數合併為一個函數。像這樣將兩個函數，合 成為一個函數，就是合成函數的概念。

8-14

我們從代數式來看合成函數：

有兩個函數 f(x)3x與g(x) x2 1，我們想知道

x  2

首先將

x  2

x  6

我們也可以將兩函數合起來寫成合成函數g( xf( ))，亦可用g  f(x)表示：

)) ( ( xf

g g( x3 ) 1 ) 3 ( 2 

 x

1 6 

 x

我們可以直接從g( xf( ))找出g( f(2))的值，即g(f(2))6(2)113。

既然可以找出g( xf( ))，那麼當然也能找出 f( xg( ))，要注意的是，g( xf( ))與 f( xg( )) 未必是相同的。

)) ( ( xg

f  f(2x1) ) 1 2 ( 3 

 x

3 6 

 x

8-15

例題 8.1-10

已知 f(x) x3 1，g(x)7x，試回答下列問題。

(1)若 f(2)a，則 a 之值為何？

(2)承(1)，g(a)? (3)g(f(x))?

(4)利用(3)的結果，求 g( f(2))之值。

詳解：

(1)a f(2)3(2)1615，

a  5

(3)g(f(x))g(3x1)7(3x1)21x7 (4)g(f(2))212735

【練習】8.1-10

已知 f(x)3x，g(x) x4 3，試回答下列問題。

(1)若 f(2)a，則 a 之值為何？

(2)承(1)，g(a)? (3)g(f(x))?

(4)利用(3)的結果，求 g( f(2))之值。

8-16

例題 8.1-11

已知 f(x) x2 5，g(x) x3。試求：

(1)g( xf( )) (2) f( xg( )) 詳解：

(1)g( xf( )) g(2x5) 3 ) 5 2

(  

 x

2 2 

 x

5 ) 3 (

2  

 x

5 6 2  

 x 1 2 

 x

【練習】8.1-11

已知 f(x) x4 1，g(x) x2。試求：

(1)g( xf( )) (2) f( xg( ))

例題 8.1-12

已知 f(x) x2 4，g(x) x3 8。試求：

(1)g( xf( )) (2) f( xg( )) 詳解：

(1)g( xf( )) g(2x4) 8 ) 4 2 (

3  

 x

20 6 

 x

(2) f( xg( ))  f(3x8) 4 ) 8 3 (

2  

 x

20 6 

 x

8-17

【練習】8.1-12

已知 f(x) x2 1，g(x) x1試求：

(1)g( xf( )) (2) f( xg( ))

例題 8.1-13

設 f(x) 4xa，g(x) x5 2，若g(f(x)) f(g(x))，試求 a 之值。

詳解：

a x x

f( ) 4  ，g(x) x5 2 ))

( ( xf

g g(4xa) 2 ) 4 (

5  

 x a

2 5 20  

 x a

)) ( ( xg

f  f(5x2) a x 

4(5 2)

a x  

 20 8

(f x f g x

g 

a x

a

x  5  2  20  8  20

a a  2  8  5

2 8 5 a  a  

6 4 a 

2

 3 a

同學可以自行驗算，在 2

 3

a 時，

2 20 19 )) ( ( )) (

(f x  f g x  x g

8-18

【練習】8.1-13

設 f(x) x5 1，g(x) 2xa，若g(f(x)) f(g(x))，試求a 之值。

例題 8.1-14

設 f(x) x3 1，試求 f( f(2))之值。

詳解：

作法一：先求出 f(2)，再代入 f(x)。 7

1 ) 2 ( 3 ) 2

(     f

22 1 ) 7 ( 3 ) 7 ( )) 2 (

(f  f     f

得 f(f(2))22

作法二：找出 f( xf( ))，再將

x  2

4 9 1 ) 1 3 ( 3 ) 1 3 ( )) (

(f x  f x  x   x f

22 4 ) 2 ( 9 )) 2 (

(f     f

得 f(f(2))22

【練習】8.1-14

設 f(x) x2 6，試求 f( f(3))之值。

8-19

8.1 節 習題

習題 8.1-1

平年時，月份與日數的關係如下表：

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 日數 31 28 31 30 31 30 31 31 試回答下列問題。

(1)4 月份有幾天？8 月份有幾天？

(2)日數 28 天的是幾月？

(3)月份是否為日數的函數？日數是否為月份的函數？

習題 8.1-2

某正方形，已知其邊長為x 公分，周長為 y 公分，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

習題 8.1-3

便利商店 1 瓶果汁賣 35 元，若買x 瓶，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

8-20

習題 8.1-4

已知 1 瓶果汁賣 35 元，若x 表示購買瓶數， f(x)表示為總價。如買 1 瓶時，總價 35

) 1 ( 

f ；買 2 瓶時，總價 f(2)70。試求 f(3)、 f(4)之值。

習題 8.1-5

已知 f(x) x5 3，試求 f(1)、 f(4)、 f(5)、 f(10)、 f(100)之值。

習題 8.1-6

已知 f(x) x 1，若在x 時函數值為 0，試求 a 之值。 a

習題 8.1-7

已知 f(x)axb，若 f(2)3， f(0)1，試求 f(x)。

習題 8.1-8

已知 f(x) x5，試求：

(1) f(x1) (2) f( x2 ) (3) f(x6) (4) f(2x1)

8-21

習題 8.1-9

已知 f(x) x5 1，g(x)2x，試回答下列問題。

(1)若 f(3)a，則a 之值為何？

(2)承(1)，g(a)？ (3)g( xf( )) ？

(4)利用(3)的結果，求 g( f(3))之值。

習題 8.1-10

已知 f(x) x3 2，g(x) x2 3。試求：

(1)g( xf( )) (2) f( xg( ))

習題 8.1-11

已知 f(x) x4，g(x) x2 1。試求：

(1)g( xf( )) (2) f( xg( ))

8-22

習題 8.1-12

設 f(x) 3xa，g(x) x4 1，若g(f(x)) f(g(x))，試求a 之值。

習題 8.1-13

設 f(x) x4 1，試求 f( f(4))之值。

8-23

8.2 節 一次函數的圖形

前一節我們認識了什麼是函數，本節中我們要進一步把函數圖形描繪在直角座標上。

對於一個函數 f ，令y f(x)，將x 的值與其對應的 y 值寫成數對(x,y)，並描繪在直 角座標上，就是函數 f 的圖形。

例如8.1 節中我們看過月份對應到日數的函數

自變數x 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 應變數y 日數 31 28 31 30 31 30 31 31

表 8.2-1

由月份 1 對應到日數 31，我們可以寫成 f(1)31，即數對為(1,31)。同樣地，也可以寫 出接下來的數對為(2,28)、(3,31)、(4,30)...等。

我們來將這些數對畫在直角座標平面上：

圖 8.2-1

x

y

8-24

除了在直角座標上描出點以外，我們也可以畫出如 f(x) x3 1用代數式表示的函數。

我們來畫畫看 f(x) x3 1的圖形。以前曾學過，y  x3 1在直角座標上的圖形是一條 直線。可想而知，若我們令變數為x 座標，函數值為 y 座標，即y  f(x)3x1，則此 函數圖形也會是一條直線。因此我們只要取兩點做直線，就能得到 f(x) x3 1的圖形。

由 f(0)1、 f(1)4，我們取(0,1)、(1,4)兩點，並連線，如圖 8.2-2。

圖 8.2-2

對於函數 f(x)，若畫出來為直線圖形，可以通稱為線型函數。

線型函數的形式為 f(x)axb，又可分為一次函數與常數函數。

一次函數：即變數x 最高次數為 1，且 x 項係數不為 0。

形式為 f(x)axb、

a  0

常數函數：即沒有變數x，只有常數。不論變數為何，函數值都不會改變。

形式為 f(x)b，畫出來的圖形為水平線。

※ 垂直線圖形因為一個x 會對應到無數個 y，因此 x 對應到 y 的方式不是函數。

本節我們介紹的重點會放在一次函數

x

y ^{f ( x )  x 3  1}

8-25

例題 8.2-1

(A) f(x)2x (B) f(x) x3 2 (C)

3 ) 2 (x  f (D) f(x)x² 3x (E)

x x f 1

)

(  (F) f(x)7 以代號回答下列問題：

(1)一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

詳解：

我們來判斷各代號是什麼樣的函數：

(A) f(x)2x，x 的最高次數為 1，是一次函數，也是線型函數。

(B) f(x) x3 2，x 的最高次數為 1，是一次函數，也是線型函數。

(C) 3 ) 2 (x 

f ，沒有x 項，即 x 次數為 0，是常數函數，也是線型函數。

(D) f(x)x² 3x，x 的最高次數為 2，非線型函數。

(E) f x 1x )

(  ，線型函數的形式為 f(x)axb， x

1的變數 x 在分母，所以不是線型 函數。

(F) f(x)7，沒有x 項，即 x 次數為 0，是常數函數，也是線型函數。

根據以上判斷可回答：

(1)一次函數有(A)、(B)。

(2)常數函數有(C)、(F)。

(3)線型函數有(A)、(B)、(C)、(F)。

8-26

例題 8.2-2

在直角座標上畫出y f(x)x的圖形。

詳解：

x x

f( ) 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 f(0)0、 f(1)1，可得兩點(0,0)、(1,1)。

f(x)x

圖 8.2-3

【練習】8.2-2

在直角座標上畫出y f(x)2x的圖形。

x y

x

y

8-27

例題 8.2-3

在直角座標上畫出y  f(x)3x2的圖形。

詳解：

2 3 )

(x  x

f 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 f(0)2、 f(1)1，可得兩點(0,2)、(1,-1)。

f(x)3x2

圖 8.2-4

【練習】8.2-3

在直角座標上畫出y f(x)6x7的圖形。

x y

x

y

8-28

例題 8.2-4

在直角座標上畫出

2 1 ) 3

(  

 x

x f

y 的圖形。

詳解：

2 1 ) 3

(  x x

f 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 f(1)2、 f(1)1，可得兩點(1,2)、(-1,-1)。

2 1 ) 3

(  x x

f

圖 8.2-5

【練習】8.2-4

在直角座標上畫出

3 ) 3

(   

 x

x f

y 的圖形。

x y

x

y

8-29

例題 8.2-5

圖 8.2-9 為一次函數y f(x)ax4的圖形。

試求a、b 之值。

詳解：

由圖 8.2-6 可知，(1,2)在此函數圖形上，

即 f(1)2，代入 f(x) ax4 2

4 ) 1 (  



a ，解得

a  2

) , 3

( b 在函數圖形上，

即 f( )3 b，代入 f(x) x2 4 圖 8.2-6

b





( 3) 4

2 ，解得

b   2

 2

a

b   2

【練習】8.2-5

圖 8.2-7 為一次函數y f(x)ax3的圖形。

試求a、b 之值。

圖 8.2-7

x x y

x

y

8-30

例題 8.2-6

已知一次函數 f(x)7xm4的圖形通過原點，試求 m 之值。

詳解：

一次函數的圖形通過原點，表示

x  0

4 4

0 7 ) 0

(   m m  f

得

m  4

【練習】8.2-6

已知一次函數 2

3 ) 1

(x  xm

f 的圖形通過原點，試求 m 之值。

例題 8.2-7

已知 f(x)為一次函數，且 f(2)8、 f(1)1，試求 f(x)。 詳解：

因為 f(x)是一次函數，我們可以設 f(x)axb，

a  0

a  2  b  8

8 2 a  b 

由 f(1)1，可得 a(1)b1

 1





 a b

















1 8 2

b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由(1)(2)得

3 a  9

a  3

a  3

b  2

8-31

驗算： f(x) x3 2，我們算算看 f(2)與 f(1)之值。

8 2 6 2 2 3 ) 2

(       f

1 2 ) 3 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1

(         f

與題目條件相同，可驗證答案正確。

【練習】8.2-7

已知 f(x)為一次函數，且 f(3)21、 f(2)19，試求 f(x)。

例題 8.2-8

已知 f(x)為常數函數，且 f(99)3，試求 (1) f(x)?

(2) f(100) f(101)? 詳解：

因為 f(x)是常數函數，我們可以設 f(x)b。 (1)由 f(99)3，可得

b  3

(2) f(100) f(101)336

※常數函數不論x 為多少，函數值都不會改變。

【練習】8.2-8

已知 f(x)為常數函數，且 f(199)2，試求 (1) f(x)?

(2) f(99) f(99)?

8-32

例題 8.2-9

已知 f(x)為線型函數，在座標平面上，其圖形y f(x)通過(1,2)、(1,6)兩點，試 求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

詳解：

因為 f(x)是線型函數，我們可以設 f(x)axb 由圖形通過(1,2)，可得

a  1  b  2

 2

 b a

由圖形通過(1,6)，可得a(1)b6

 6



 a b















6 2 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由(1)(2)得

2 a   4

a   2

a   2

b  4

即此線型函數為 f(x)2x4

圖 8.2-8 )

(x

f 與 x 軸交點：代入y f(x)0

0

4 2  

 x

 2

x

(x

f 與 y 軸交點：代入

x  0

(     

 f y

4

y ，即交點為(0,4)

由圖 8.2-11 可知，函數圖形與兩軸所圍成的三角形，可視為兩股長為 2、4 的直角 三角形，因此面積為2424(平方單位)

x

y

8-33

【練習】8.2-9

已知 f(x)為線型函數，在座標平面上，其圖形y f(x)通過(2, 、2) (4,1)兩點，

試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

x

y

8-34

在前一節中，我們學習了已知 f(x)，求 f(x1)與 f(x1)。

如例題 8.1-8，已知 f(x) x2 1、求得 f(x1)2x3、 f(x1)2x1 令g(x) x2 3、h(x) x2 1

我們將y f(x)、yg(x)、yh(x)這三個函數圖形畫出來，看看他們之間的關係。

圖 8.2-9

由圖 8.2-9 可知，g(x) f(x1)的圖形相當於 f(x)的圖形往左移動 1 單位；h(x) f(x1) 的圖形相當於 f(x)的圖形往右移動 1 單位。

同樣地，若有g'(x) f(x5)，我們也可以推得g' x( )的圖形是 f(x)的圖形往左移動 5 單位；h'(x) f(x4)的圖形是 f(x)的圖形往右移動 4 單位

1 2 )

(x  x h

1 2 )

(x  x f

3 2 )

(x  x g

y

x

8-35

例題 8.2-10

已知 f(x) x3 6，g(x) f(x5)，h(x) f(x3)，試求g(x)、h(x)並在直角座標 平面上畫出y f(x)、 yg(x)、y h(x)的圖形。

詳解：

(1)g(x) f(x5)3(x5)63x9 (2)h(x) f(x3)3(x3)63x15

圖 8.2-10

【練習】8.2-10

已知 f(x) x4 8，g(x) f(x3)，h(x) f(x4)，試求g(x)、h(x)並畫出圖形。

6 3 )

(  

 f x x 9 y

3 )

(  

g x x

y yh(x)3x15 y

x

y

x

8-36

8.2 節 習題

習題 8.2-1 (A) f x x

3 ) 1

(  (B) f(x) x 1 (C) f(x)4 (D) f(x) x² x (E)

x x f 2

) 1

(  (F) f(x)5 以代號回答下列問題：

(1) 一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

習題 8.2-2

在直角座標上畫出y  f(x)3x的圖形。

習題 8.2-3

在直角座標上畫出y  f(x) x2的圖形。

習題 8.2-4

在直角座標上畫出

4 ) 1 (  

 x

x f

y 的圖形。

8-37

y

習題 8.2-5

圖 8.2-11 為一次函數y  f(x)ax5的圖形。試求 a、b 之值。

圖 8.2-11 習題 8.2-6

已知一次函數 f(x) x2m3的圖形通過原點，試求m 之值。

習題 8.2-7

已知 f(x)為一次函數，且 f(1)1、 f(3)13，試求 f(x)。

習題 8.2-8

已知 f(x)為常數函數，且 f(101)5，試求 (1) f(x)?

(2) f(99) f(100)?

x

8-38

習題 8.2-9

已知 f(x)為線型函數，在座標平面上，其圖形y f(x)通過(1,8)、(-1,4)兩點，

試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

習題 8.2-10

已知 f(x) x2，g(x) f(x2)，h(x) f(x3)，試求g(x)、h(x)並在直角座標 平面上畫出y f(x)、 yg(x)、y h(x)的圖形。

8-39

8.3 節 一次函數的應用

瞭解了一次函數的基本觀念後，本節我們會學習函數相關的應用問題。

例題 8.3-1

小明將一些橘子裝在 1 個盤子中秤重。圖 8.3-1 為橘子數量與總重量(含盤重)的關 係圖。試求盤子的重量與 1 顆橘子的重量。

詳解：

由圖 8.3-1 得圖形為一直線，我們可將橘子數 量與總重量的關係看成線型函數。

設橘子數量為自變數，總重量為應變數。

函數為 f(x)axb

由圖 8.3-1 可知，橘子 3 顆時，總重量為 770 公克。橘子 5 顆時，總重量為 1150 公克。

即 f(3)7703ab、 f(5)11505ab 寫成聯立方程式













1150 5

770 3

b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

圖 8.3-1

) 1 ( ) 2

(  得

2 a  380

a  190

a  190

b  200

0 顆橘子時的總重量即為盤重， f(0)1900200200，得盤重為 200 公克。

1 顆橘子時的總重量減去盤重即為 1 顆橘子的重量，

190 200 200 1 190 200 ) 1

(      

f ，得 1 顆橘子重量為 190 公克。

答：盤重為 200 公克；1 顆橘子重量為 190 公克。

8-40

例題 8.3-2

小文現有存款 500 元，之後每天存 60 元。設存款日數為x 日，存款總金額為 y。

y 是 x 的函數，試回答下列問題：

(1)以 f(x)表示此函數。

(2)若小文想買一個定價 12980 元的遊樂器主機，請問存幾日後可以購買？

詳解：

(1) 以 f(x)表示此函數。我們先找出存款日數與總金額的關係。

存 1 天時，存款總金額是

60  1  500  560

60  2  500  620

60  3  500  680

60  4  500  740

因此可以推得，存x 天時，存款總金額是

60  x  500  60 x  500

(2) 小文想買一個定價 12980 元的遊樂器主機，請問存幾日後可以購買？

設存a 日後可以購買，可以購買即存款總金額大於或等於 12980 元。

12980 500

60 )

(a  a  f

12980 500

60 a  

500 12980 60 a  

12480 60 a 

60 12480

 a

 208 a

存 208 日後，小文可以購買此遊樂器主機。

8-41

例題 8.3-3

某家電信公司的通話費計算方式如下：網內通話前 3 分鐘免費，若超過 3 分鐘，則 每分鐘計費 4.5 元，通話時間與費用關係如圖 8.3-2，試回答下列問題：

(1)若小明一通電話講了 10 分鐘，請問電話費是多少元？

(2)若小華一通電話費用共 18 元，請問小華共講了幾分鐘的電話？

(3)若小語一通電話講了 2 分鐘，請問電話費是多少元？

圖 8.3-2 詳解：

由圖 8.3-2 可知，通話時間超過 3 分鐘後，時間與費用的關係圖為一斜線的線型函 數，我們來試著寫出此函數。

設通話時間為x 分鐘，費用為 f(x)元。

設 f(x)axb

3 分鐘時費用為 0 元，可得 f(3)a3b0，

3 a  b  0

4 分鐘時費用為 4.5 元(每分鐘增加 4.5 元)，可得 f(4)a4b4.5，

4 a  b  4 . 5













5 . 4 4

0 3

b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

)

1 ( ) 2

(  得

a  4 . 5

a  4 . 5

b   13 . 5

8-42

由函數 f(x)4.5x13.5我們可以簡單的知道通過時間

例如想知道通話 6 分鐘時的費用，只要將

x  6

5 . 13 5 . 13 27 5 . 13 6 5 . 4 ) 6

(       f

因此 6 分鐘時的費用是 13.5 元。

要注意的是，此函數只適用通話超過 3 分鐘的情形，3 分鐘以下則費用是 0 元。

(1) 若小明一通電話講了 10 分鐘，請問電話費是多少元？

將

x  10

. 31 5 . 13 10 5 . 4 ) 10

(     f

費用是 31.5 元。

(2) 若小華一通電話費用共 18 元，請問小華共講了幾分鐘的電話？

我們令函數值為 18，看看x 會得到多少。

18 5 . 13 5 . 4 )

(x  x  f

5 . 31 5

. 4 x 

 7 x

即小華共講了 7 分鐘的電話。

(3) 若小語一通電話講了 2 分鐘，請問電話費是多少元？

因為電話費前 3 分鐘免費，因此費用是 0 元。

本題不需要用到函數 f(x)4.5x13.5，若將

x  2

8-43

除了上述的寫法外，我們也可以將函數寫成另一種形式：

(A)通話超過 3 分鐘時，函數為 f(x)4.5x13.5。即

x  3

0  x  3

將兩種狀況寫在一起：











0 ) (

5 . 13 5 . 4 ) (

x f

x x

f

3 0

3





 x x

這種寫法的重點在於，若是變數大於 3(

x  3

. 13 5 . 4 )

(x  x

f ；若是變數大於等於 0 且小於等於 3(

0  x  3

運用這個函數我們再處理一次(1)跟(3)：

(1) 若小明一通電話講了 10 分鐘，請問電話費是多少元？

變數為 10，

10  3

x  10

. 31 5 . 13 10 5 . 4 ) 10

(     f

費用是 31.5 元。

(3) 若小語一通電話講了 2 分鐘，請問電話費是多少元？

變數為 2，

0  2  3

x  2

) 2 (  f

即費用為 0 元。

8-44

例題 8.3-4

圖 8.3-3 為墮落網咖的計費方式，使用t 分鐘內需付基本費 75 元，t 分鐘後使用時 間與費用成線型函數關係，試回答下列問題：

(1)若使用時間為x 分鐘(x )，費用為t y f(x)元，求函數 f(x)。 (2)求t 之值。

(3)若某人使用了 212 分鐘，請問此人需付多少元？

圖 8.3-3 詳解：

(1) 因為t 分鐘後使用時間與費用成線型函數關係。 可設 f(x)axb。 由圖 8.3-3 可知， f(110)125、 f(170)185

125 ) 110 ( 

f ，也就是 f(110)a110b125，

110 a  b  125

) 170 ( 

f ，也就是 f(170)a170b185，

170 a  b  185













185 170

125 110

b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

)

1 ( ) 2

(  得

60 a  60

a  1

a  1

b  15

8-45

(2) 求t 之值。

由圖 8.3-3 可知，t 值即為 f(x)75時的 x 之值。

75 15 )

(x  x  f

得

x  60

t  60

(3) 若某人使用了 212 分鐘，請問此人需付多少元？

將

x  212

227 15

212 )

212

(    f

需付 227 元。

在本題中，使用 60 分鐘後與 60 分鐘前是兩個不同的函數，因此我們也可以依照例 題 8.3-3 的模式，將兩種函數寫在一起。

(A) 使用 60 分鐘以上時，函數為 f(x) x15。即

x  60

0  x  60

為負)

將兩種狀況寫在一起：









 75 ) (

15 )

( x f

x x f

60 0

60





 x x

也就是使用 60 分鐘以上時，代入函數 f(x) x15可得需付金額；使用未滿 60 分 鐘時，代入函數 f(x)75可得需付金額。

8-46

例題 8.3-5

某車在高速公路上以等速直線前進，時間與距離關係如表 8.3-1，試回答下列問題：

(1)設行駛時間為x 小時，行駛距離為 f(x)公里，求函數 f(x)。 (2)若行駛時間為 5 小時，則行駛距離是多少公里？

時間(小時) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 距離(公里) 55 110 165 220 275 330 385

表 8.3-1 詳解：

(1) 速率＝距離 ÷ 時間，因為是等速直線前進，因此速率不會改變。我們利用表 格中，時間為 1 小時，距離為 110 公里，求出此車的速率：

速率＝

110  1  110

利用距離＝速率 × 時間，寫出 f(x)： x

x

f( )110

(2) 行駛時間為 5 小時，即

x  5

5 110 )

5

(    f

行駛距離是 550 公里。

8-47

在例題 8.3-5 中，求得的函數是 f(x)110x。此函數中，若自變數變大，則應變數也會 隨之改變，且改變的比例相同，例如 f(2)220， f(4)440，自變數 2 變成 4 是 2 倍，

應變數 220 變成 440 也是 2 倍。另外，當

x  0

x

由以上討論可知，若有兩數 x

、

、

xy  (k 為常數且不 等於 0，x≠0)，則 x 與 y 成正比。

例如： y 3 x、yx、y0.5x、y x 3

7 、 3 x

y (x≠0)等 x

、

1 2 

 x

y 、y 、x² y 1x

 (x≠0)、y 3、xy1等x

、

例題 8.3-6

已知x 與 y 成正比關係，當

x  5

x  7

詳解：

x 與 y 成正比關係，關係式可寫為y  。 kx 當

x  5

5 10  

 k

k   2

因此x 與 y 的關係式為 y2x 當

x  7

例題 8.3-7

設正方形邊長為x 公分，周長為 f(x)公分，請問x 與 f(x)是否成正比關係？

詳解：

正方形周長為邊長的 4 倍，即 f(x)4x。符合正比y 的模式。因此 x 與kx f(x)成 正比關係。

8-48

例題 8.3-8

(1)已知x 與 y 成正比關係，且

x  2

、

(2)已知x 與 y 成正比關係，且

x  1

、

詳解：

(1) x 與 y 成正比關係，設 y ， 將kx

x  2

2

4  k 

k  2

得x 與 y 的關係式為 y 2 x，畫出y 2 x的圖形：

x 0 1 y 0 2

圖 8.3-4 (2) x 與 y 成正比關係，設 y ， 將kx

x  1

1 3  

 k

k   3

得x 與 y 的關係式為 y3x，畫出y3x的圖形：

x 0 1 y 0 -3

圖 8.3-5 y

x

y

x

8-49

在例題 8.3-6 中，兩個正比圖形畫出來都是都過原點的直線。事實上，只要圖形是通過 原點的斜直線，則 x

、

則不會成正比。

例題 8.3-9

已知彈簧的伸長量與拉力成正比。某彈簧無受力時長度為 20 公分，受到拉力 6 公 克重時，彈簧總長度為 38 公分，試回答下列問題：(受力皆在彈簧彈性限度內) (1)設拉力為x 公克重，彈簧的伸長量為 y 公分，試寫出 y 與 x 的關係。

(2)彈簧總長度為 f(x)公分，試寫出 f(x)與x 的關係。

(3)拉力 10 公克重時，彈簧總長度為多少公分？

(4)彈簧總長度為 47 公分時，拉力為多少公克重？

詳解：

彈簧的伸長量＝總長度－原長度，原長度即無受力時的長度，也就是 20 公分。

(1) 彈簧的伸長量y 與拉力 x 成正比，可設 ykx

受到拉力 6 公克重時，彈簧總長度為 38 公分，伸長量

 38  20  18

x  6

18  k  6

k  3

得到y 與 x 的關係為 y 3 x

(2) 由"彈簧總長度＝原長度＋伸長量"，可列式 f(x) 20y 將y 3 x代入得： f(x)203x3x20，x0

(3)拉力 10 公克重時，彈簧總長度為多少公分？

將

x  10

(     f

因此拉力 10 公克重時，彈簧總長度為 50 公分。

8-50

(4)彈簧總長度為 47 公分時，拉力為多少公克重？

將 f(x)47代入 f(x) x3 20

20

3 47  x 

x  9

因此彈簧總長度為 47 公分時，拉力為 9 公克重。

8-51

8.3 節 習題

習題 8.3-1

某航空公司對乘客行李有超重的收費標準，行李託運費用與行李重量呈線型函數關 係，如圖 8.3-7，x 表示行李重量， f(x)表示託運費用，試回答下列問題

(1) f(x)？

(2)當行李重量 80 公斤時，託運費用多少元？

(3)當行李重量是多少公斤時，託運費用是 1200 元？

圖 8.3-7 習題 8.3-2

小花現有存款 300 元，之後每天存 50 元。設存款日數為x 日，存款總金額為 y。y 是x 的函數，試回答下列問題：

(1)以 f(x)表示此函數。

(2)若小花想買一個定價 999 元的遙控飛機，請問存幾日後可以購買？

習題 8.3-3

已知攝氏溫度與華氏溫度關係式為華氏溫度  5

9 攝氏溫度

 32

氏為 y 度，則 32 59 

 x

y 。試問(1)當攝氏 30 度時，華氏是幾度？(2)攝氏溫度與 華氏溫度在幾度時相等？

8-52

習題 8.3-4

天天網咖的計費方式，使用t 分鐘內需付基本費 60 元，t 分鐘後使用時間與費用成 線型函數關係。已知小王使用 90 分鐘，花了 75 元；小吳使用 110 分鐘，花了 85 元，試回答下列問題：

(1)若使用時間為x 分鐘(x )，費用為t y f(x)元，求函數 f(x)。 (2)求t 之值。

(3)若某人花了 115 元，請問此人使用了幾分鐘？

習題 8.3-5

某車在高速公路上以等速直線前進，時間與距離關係如表 8.3-4，試回答下列問題：

(1)設行駛時間為x 小時，行駛距離為 f(x)公里，求函數 f(x)。 (2)若行駛時間為 10 小時，則行駛距離是多少公里？

時間(小時) 1 2 3 4 5 6

距離(公里) 90 180 270 360 450 540 表 8.3-4

習題 8.3-6

已知x 與 y 成正比關係，當

x  4

x  8

8-53

習題 8.3-7

設三角形邊長為x 公分，周長為 f(x)公分，請問x 與 f(x)是否成正比關係？

習題 8.3-8

已知x 與 y 成正比關係，且

x  2

、

習題 8.3-9

已知彈簧的伸長量與拉力成正比。某彈簧無受力時長度為 10 公分，受到拉力 4 公 克重時，彈簧總長度為 12 公分，試回答下列問題：(受力皆在彈簧彈性限度內) (1)設拉力為x 公克重，彈簧的伸長量為 y 公分，試寫出 y 與 x 的關係。

(2)彈簧總長度為 f(x)公分，試寫出 f(x)與x 的關係。

(3)拉力 10 公克重時，彈簧總長度為多少公分？

(4)彈簧總長度為 18 公分時，拉力為多少公克重？

8-54

第八章綜合習題

習題 1：

航空公司行李的運費收費方式為「運費（元）  2

5 行李重量（公斤） 28 元」，

若以自變數 x 表示行李重量（公斤），應變數 y 表示運費（元），試問：

(1) y 與 x 的關係式為何？

(2) y 是否為 x 的函數？

習題 2：

一位農夫想用籬笆圍成一個周長 200 公尺的長方形果園，若長方形果園的長為 x 公尺，寬為 y 公尺，則 y 是 x 的函數，記為y f(x)。 試求：

(1) f(x)？

(2) f(60)、 f(75)之值。

習題 3：

試分別求函數 f(x) x3 8，在x7、x0、x5時的函數值。

習題 4：

設 f(x) x10，g(x) x2 5，求 f(g(4))？

8-55

習題 5：

已知兩函數 f(x) 2xa與g(x)3x2a，則若 f(4)與g(3)相同，則a 值為何？

習題 6：

設 f(x)xb，g(x) x2 3，若 f(g(x))g(f(x))，求b 為多少？

習題 7：

設直線 L 為函數 f(x)2ax3b的圖形，已知 f(5)13、f(10)38。請問 f(0)？

習題 8：

) (x

f 是一次函數，且 f(1)5、 f(2)12，則 f(x)？

習題 9：

) 5 4 ( 3 )

(x  x k 

f 通過原點，則 k ？

8-56

習題 10：

b ax x f

y ( )  ，x2時y7、x1時y 1，求 (1) a 、 b 之值

(2)當y25時， x ？

習題 11：

函數 y f(x)x2與y g(x)2x1的交點為何？

習題 12：

已知地面上每升高 100 公尺氣溫就會下降 0.6℃，假如地面上溫度是 18℃，而離 地面 x 公尺高的溫度是 y℃。則 x，y 的函數關係為何？

習題 13：

下列函數中，那些是一次函數？

(A) f(x)5 (B) f(x) x3 2 (C) f(x)1 (D) f(x) x2 ²2

8-57

習題 14：

在座標平面上，畫出下列函數的圖形：

(1) y f(x)2x4 (2) y  f(x)x5

(3) y f(x)5x6 (4) y f(x)2x1

(5) y f(x)2(x3)4

8-58

習題 15：

已知一個一次函數圖形通過(2,3)、(1,2)兩點，則此函數圖形不通過第幾象限？

習題 16：

亮亮現有便利商店點數 10 點，若之後每天可以集到 2 點，設集點 x 日後，總點數 有 y 點，試求：

(1) y 與 x 的關係式為何？

(2)若換一個公仔需要 40 點，請問他至少需要再集幾天？

習題 17：

某次全班的數學成績不理想，老師用一次函數 f(x)axb調整分數，其中x為原 來的分數， f(x)表示調整後的分數。已知原來 20 分調為 50 分，原來 50 分調為 86 分，試問：

(1) a

、

(2)原來 60 分調整後的分數變為多少？

(3)原來分數多少分，調整後變為 68 分？

8-59

習題 18：

已知 f(x)為一線型函數，其圖形通過（-2,-3）與（1 ,3）兩點，且分別與x

、

(1) f(x)？

(2)三角形 ABO 的面積。（O 為座標平面的原點）

8-60

基測與會考模擬試題

( ) 1. 在座標平面上，函數y  f(x)的圖形經過(－1,4) 、(0,3)、(1,0)、(2,1)、

(3,2)、(4,7)六個點，求 f(1) f(1) f(2) f(4)的值為何？【93(一)基測】

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

( ) 2. 如圖(一)，L 為一次函數y  f(x)圖形，今將函數 f 的自變數與應變數間的 對應關係列在表中。ˉ

圖(一)

請問對於下列有關 a 、b 、c 、d 大小的判斷中，何者錯誤？【91(一)基測】

(A) a0ˉ(B) b0ˉ(C) c2ˉ(D) d 2

( ) 3. 如圖(二)，設直線 L 為函數 f(x)axb的圖形，請問 f(0)？

【91(二)基測】

圖(二)

(A) 65 ˉ(B) 120 ˉ(C) 130 ˉ(D) 250

8-61

( ) 4. 如圖(三)，在座標平面上，L 為₁ y f(x)的一次函數圖形，L 為₂ y g(x)的 一次函數圖形，L 、₁ L 相交於₂ P(3,3)。若a3，則下列敘述何者正確？

【92(一)基測】

圖(三)

(A) f(a)g(a)a

( ) 5. 如已知線型函數 f(x)axb，其對應關係如表(一)。求





【92(二)基測】

表(一)

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

( ) 6. 若一次函數 f(x) ax3，其中a0，則下列哪一個選項可能是此函數圖 形？【92(二)基測】

(A) (B) (C) (D)

8-62

( ) 7. 圖為小美影印資料時剩下張數和時間的關係圖。利用圖中所提供的數據，

推估小美在 9：00 時影印的情形是下列哪一種？【93(一)基測】

圖(四)

(A)來不及印完 (B)剛好印完 (C)提前一分鐘印完 (D)提前半分鐘印完

( ) 8. 下圖是某電信公司的通話費計算方式：300 秒以內只繳基本費，超過 300 秒之後的費用，與通話時間成線型函數關係。則基本費是多少元？【93(二) 基測】

圖(五)

(A) 26 (B) 28 (C) 30 (D) 32

( ) 9. 已知 f(x)為一次函數。若 f(3)0且 f(1)0，判斷下列四個式子，哪一 個是正確的？【97(一)基測】

(A) f(0)0 (B) f(2)0 (C) f(2)0 (D) f(3) f(2)

( ) 10. 將裝有牛奶 250 毫升的玻璃杯放在已歸零的磅秤上，測得重量為 500 公克。

若喝掉一些牛奶後，以 x 毫升表示杯中牛奶的體積， y 公克表示磅秤測得的 重量，則下列哪一個圖形可以表示 x 、 y 的關係？【99(二)基測】

(A) (B) (C) (D)

8-63

( ) 11. 下面為魔術師在小美面前表演的經過：

魔術師： 小美妳在紙上寫一個數字，不要讓我看到！

魔術師： 將妳寫的數字乘以 3，然後加 6，所得結果再除以 3，最後再減 去一開始妳寫的數字，得到一個答案。

魔術師： 無論妳寫哪一個數字，我都可以猜中妳算出來的答案。

根據魔術師所說，假設小美在紙上寫的數字為 x，魔術師猜中的答案為 y ， 則下列哪一個圖形可以表示 x 、 y 的關係？【101 基測】

(A) (B) (C) (D)

( ) 12. 坐標平面上，有一線型函數圖形過(－3 , 4)和(－7 , 4)兩點，判斷此函 數圖形會過哪兩象限？【102 基測】

(A) 第一象限和第二象限 (B) 第一象限和第四象限 (C) 第二象限和第三象限 (D) 第二象限和第四象限

( ) 13. 如圖(六)，在同一直線上，甲自

A

A

(A) 60 (B) 61.8 (C) 67.2 (D) 69

8-64

習題解答

8.1 練習解答

練習 8.1-1 是、否 練習 8.1-2

(1)y 2 x (2)是 練習 8.1-3

(1)y 30 x (2)是 練習 8.1-4

2700 )

3 ( 

f 、 f(4)3600、 f(6)5400 練習 8.1-5

3 ) 1 ( 

f 、 f(2)7、 f(8)31、 f(20)79、 199

) 50 (  f

練習 8.1-6

1

 a

練習 8.1-7 7 3 )

(x  x f

練習 8.1-8

(1)b6 (2) z6 (3) b5 (4) z8 練習 8.1-9

(1)3x1 (2)3x5 (3)6x2 (4)6x1 練習 8.1-10

(1) a6 (2) 21 (3)12x3 (4) 21 練習 8.1-11

(1)4x1 (2)4x7 練習 8.1-12

(1)2x2 (2)2x3 練習 8.1-13

4

1 a

練習 8.1-14

6

8.1 習題解答

8.1-1 (1)4 月 30 天，8 月 31 天

(2)2 月 (3)否、是

8.1-2 (1)y 4 x (2)是 8.1-3 (1)y 35 x (2)是 8.1-4 f(3)105、 f(4)140

8.1-5 f(1)8、 f(4)23、 f(5)28、 53

) 10 ( 

f 、 f(100)503 8.1-6 a1

8.1-7 f(x) x2 1

8.1-8 (1)x4 (2)2x5 (3)x11 (4)2x6 8.1-9 (1)a14 (2) 28

(3)10x2 (4) 28 8.1-10 (1)6x7 (2)6x11 8.1-11 (1)2x9 (2)2x5 8.1-12

3

2 a 8.1-13 59

8.2 練習解答

練習 8.2-2

x x

f

y  ( )2

練習 8.2-3

7 6 )

(  

 f x x y

8-65

練習 8.2-4

3 ) 3

(  



 x

x f y

練習 8.2-5

3

a 、b3 練習 8.2-6

2

 m

練習 8.2-7 3 8 )

(x  x f

練習 8.2-8

(1) f(x)2 (2) 0 練習 8.2-9

三角形面積為 1 平方單位

練習 8.2-10 20 4 )

(x  x

g 、h(x) x4 8

8.2 習題解答

8.2-1 (1)(A)、(B) (2)(C)、(F) (3)(A)、(B)、(C)、(F)

8.2-2

x x f

y  ( )3

8.2-3

2 )

(  

 f x x y

8.2-4

4 ) 1 (  

 x

x f y

8.2-5 a2、b1 8.2-6

2

 3 m

8.2-7 f(x) x6 5

8.2-8 (1) f(x)5 (2) 10 8.2-9 三角形面積為 9 平方單位

8-66

8.2-10 g(x) x4、h(x) x1

8.3 習題解答

8.3-1 (1) f(x) x20 520，x26 (2) 1080 元

(3) 86 公斤

8.3-2 (1) f(x)30050x，x0 (2) 14 天

8.3-3 (1) 86 度 (2) 40度 8.3-4 (1) 30

2 ) 1

(x  x

f _，x60

(2) t 60 (3) 170 分鐘

8.3-5 (1) f(x)90x，x0 (2) 900 公里

8.3-6 y4 8.3-7 是 8.3-8 y x

2

1

8.3-9 (1) y x 2

1

(2) 10

2 ) 1

(x  x

f _，x0

(3) 15 公分 (4) 16 公克重

第八章綜合習題

1.答：

(1) 28

25 

 x y (2) 是 2.答：

(1) y100x

(2) f(60)40、 f(75)25

3.答： f(7)13、 f(0)8、 f(5)23 4.答：23

5.答：a1 6.答：b0 7.答： f(0)12 8.答： f(x) x7 2 9.答： 4

5 k 10.答：

(1)a2、b3 (2)x11

11.答：(3,5)

12.答：y f x x x

1000 18 6

100 6 . 18 0 )

(    

 13.答：(B) 14.答：

(1)

4 2 )

(  

 f x x y

8-67

(2)

5 )

(  

 f x x y

(3)

6 5 )

(  

 f x x y

(4)

1 2 )

(  

 f x x y

(5)

4 ) 3 ( 2 )

(   

 f x x y

15.答：第四象限 16.答：

(1)y102x (2)15 天

17.答：

(1)解聯立方程式











 86 50

50 20

b a

b

a → 得









 265

6 b

a

一次函數為 26

5 ) 6

(x  x f

(2)x60代入 → 60 26 98 5

) 6 60

(    

f

(3) 26 68

5 ) 6

(x  x 

f _→ 42

56 x _→ x35 18.答：

(1)設一次函數y f(x)axb，(-2,-3)、(1,3) 代入

















3 3 2

b a

b

a → 得







 1 2 b a

一次函數為 f(x) x2 1

(2) f(x) x2 1與x、y 軸交於 A、B 兩點 A 點→當y0時

2

1



x _{；B 點→當}x0時y1

三角形 ABO 面積為

4 1 1 2 1 2

1   平方單位

8-68

基測與會考模擬試題解答

1. 《答案》(D)

詳解： f(1) f(1) f(2) f(4)401712 2. 《答案》(A)

詳解： 由圖知

(A) f(0) a0，所以a0是錯的 (B) f(1) b0

(C) f(3) c2 (D) f(5) d 2 3. 《答案》(B)

詳解： f(x)axb代入(10,130)、(20,380)













380 20

130 10

b a

b

a 解聯立方程式，得到









 120 25 b

a ， f(x) x25 120

所以 f(0)120 4. 《答案》(D)

詳解： 由圖知L₁、L₂相交於P(3,3)，當x3 → g(x) f(x)，x3 → g(x) f(x) 當a3時， f(a)g(a)

5. 《答案》(B)

詳解： 已知線型函數 f(x)axb，且 f(1)3、 f(3)3，得知常數函數 f(x)3 所以 f(2) f(4)









6. 《答案》(A)

詳解： f(x) ax3且a0，當x0時y3，當y0時ax30 → ax3 → 3 0 x a

可畫出一條不通過第二象限的直線 7. 《答案》(B)

詳解： 設 f(x)axb代入(50,1800)、(56,720)













720 56

1800 50

b a

b

a 解聯立方程式，得到









 10800

180 b

a ， f(x)180x10800

當x60時，y18060108000，所以 9 點時剛好印完

8-69

8. 《答案》(D)

詳解： 設 f(x)axb代入(500,36)、(1200,50)













50 1200

36 500

b a

b

a 解聯立方程式，得到









 2650

1 b

a ， 26

50 ) 1

(x  x f

當x300時，基本費 300 26 32 50

1   

 y

9. 《答案》(A)

詳解： f(x)為一次函數， f(3)0且 f(1)0 則x1時 f(x)0，x1時 f(x)0 (A) 01， f(0)0是正確的

(B) 21， f(2)0 (C) 21， f(2)0

(D) f(3)0、 f(2)0→ f(3) f(2) 10. 《答案》(A)

詳解： 裝有牛奶 250 毫升的玻璃杯重量為 500 公克，所以空杯重 250 公克(當牛奶為 0 毫升) 11. 《答案》(B)

詳解： 依題意列出 2

3 6 3   

 x x

y ，所以不論x是多少y永遠為 2

12. 《答案》(A)

詳解： 線型函數通過(-3,4)、(-7,4)，此圖形為 f(x)4，通過一、二象限 13. 《答案》(C)

詳解： 由圖二知乙在 50 秒後被甲追上，經過 50 秒乙移動(距離速率時間)1.55075公尺 甲移動97584公尺，甲的速率為84501.68

經過 40 秒，甲移動1.684067.2公尺