節 變數與函數

在日常生活中，我們常常可以發現幾組數字之間有對應的關係存在。例如陳先生 25 歲 時體重是 75 公斤；26 歲時是 76 公斤…30 歲時體重是 94 公斤，如表 8.1-1。

年齡(歲) 25 26 27 28 29 30 31 32

體重(公斤) 75 76 80 85 89 94 94 92 表 8.1-1

從表 8.1-1 中，我們只要知道陳先生的年齡，就可以得知他的體重。但是反過來說，知 道體重未必能知道年齡，例如體重是 94 公斤，年齡會有 30 歲與 31 歲兩種可能。

再看一個例子，平年時，1 月有 31 天，2 月有 28 天，3 月有 31 天…我們將月份與日數 的關係列出來，如表 8.1-2。

月份 1 2 3 4 5 6 7 8

日數 31 28 31 30 31 30 31 31 表 8.1-2

從表 8.1-2 中，我們只要知道月份，就能知道日數。但是知道日數，卻不能決定一個月 份，例如日數是 30，則月份有可能是 4 月或 6 月。

以上的例子，都各有兩組資料(簡稱為 A、B)，如果給定一個 A 組的資料，就能決定出 B 組的一個資料，則我們稱這樣的對應關係是函數。

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表 8.1-1 中，體重是年齡的函數，因為知道年齡就能決定體重。但是年齡不是體重的函 數，因為知道體重未必能得到年齡。

表 8.1-2 中，日數是月份的函數，因為知道月份就能決定日數。但是月份不是日數的函 數，因為知道日數未必能得到月份。

在繼續介紹函數前，我們先介紹一個名詞「變數」。

一個可以任意決定或是改變的數，稱為「變數」。變數又分為自變數跟應變數。

可依不同條件給予不同的數值，稱為「自變數」。 會隨著不同的自變數而變化，稱為「應變數」。

例如某雜貨店 1 瓶礦泉水 15 元，我們可選擇買 1 瓶、2 瓶、3 瓶…等，購買的瓶數為自 變數。決定了瓶數後，則總價也會跟著決定，如 1 瓶總價為 15 元、2 瓶總價為 30 元、

3 瓶總價為 45 元…，此時總價為應變數，如表 8.1-3。

自變數 數量(瓶) 1 2 3 4 5 6 7

應變數 總價(元) 15 30 45 60 75 90 105 表 8.1-3

對於函數，我們還可以再舉出許多例子。例如想像成一把尺，只要給一個物品，就能 量出此物品長度是幾公分。即自變數是物品，應變數是長度。

原子筆長度 → 15 公分 鉛筆長度 → 18 公分 寶特瓶高度 → 23 公分 數學課本厚度 → 2 公分 手機長度 → 15 公分 筆記本長度 → 22 公分

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用圖表示

圖 8.1-1

由圖 8.1-1 可知，每個物品(自變數)經過直尺測量後，只會有一個長度(應變數)，不會有 一枝鉛筆量出兩種長度的情形。另外，有可能會有兩種物品量得的長度是一樣的，如 鉛筆和手機。

看完這些例子後，藉由自變數與應變數，我們可以給函數一個更明確的定義：

對於給定的一個 x 值，經過某一對應方式後得到「唯一」的 y 值，這種對應方式我們 稱為函數，其中x 是自變數，y 是應變數。

而在表 8.1-3 中，每個自變數都對應到一個不同的應變數，可稱為一對一函數。

圖 8.1-1 中，有多個自變數對應到同一個應變數，可稱為多對一函數。

當然，若是一對多的情形，根據定義，就不是函數了。

8-5

例題 8.1-1

八年一班的某次數學段考，其座號與分數如表 8.1-4：

座號 1 2 3 4 5 6 7 8 分數 100 95 80 95 90 80 85 75

表 8.1-4 試回答下列問題。

(1)座號 1 的同學多少分？座號 4 的同學多少分？

(2)分數為 95 分的同學是幾號？

(3)分數對應到座號的方式是否為函數？座號對應到分數的方式是否為函數？

詳解：

(1) 由表可知，座號 1 的同學為 100 分；座號 4 的同學為 95 分。

(2) 由表可知，95 分的同學有 2 號與 4 號。

(3) 給定任一x 後，必須對應到「唯一」的 y，這種對應方式稱為函數

分數對應到座號的方式不是函數，因為當分數為 95 時，座號會對應到 2 與 4，

無法對應到 唯一一個座號。

座號對應到分數的方式是函數，因為每個座號都可對應到唯一一個分數。

【練習】8.1-1

小王的身高和年齡關係如表 8.1-5，請問身高對應到年齡的方式是否為函數？年齡 對應到身高的方式是否為函數？

身高(公分) 159 166 169 170 171 171 172 172 年齡(歲) 13 14 15 16 17 18 19 20

表 8.1-5

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例題 8.1-2

某長方形，已知其寬為 5 公分，長為x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

詳解：

(1) 長方形面積等於長乘以寬。列式：y 5 x

(2) 因為x、y 的關係式為y 5 x，即給定一個x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應 到y 的方式是函數。

【練習】8.1-2

某三角形，已知其底為 4 公分，高為x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

例題 8.1-3

便利商店 1 盒豆漿賣 20 元，若買x 盒，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

詳解：

(1) 單價 20 元，總價等於盒數乘以單價。列式：y 20 x

(2) 因為x、y 的關係式為y 20 x，即給定一個 x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應 到y 的方式是函數。

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【練習】8.1-3

水果店 1 斤西瓜賣 30 元，若買x 斤，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出x、y 的關係式。

(2)x 對應到 y 的方式是否為函數？

接下來讓我們更深入地討論函數。

習慣上我們會使用f

、

g 等字母來表示函數，連結自變數 x 及應變數 y，例如y  f(x)或 )

(x g

y 。以例題 8.1-3 為例，自變數 x 為盒數，應變數 y 為總價(元)。以函數 f 來表示，

則可列出 f(1)20、 f(2)40、 f(3)60…等。由關係式 y 20 x，我們也可以寫出 x

x

f( )20 。

當x 時，其對應值 f(a) 稱為函數 f 在a x 的函數值。 a

例題 8.1-4

已知一個正整數與其正因數的個數是函數關係。x 表示正整數， f(x)表示x 的正因 數個數，如 4 的正因數有 1、2、4，共 3 個，得 f(4)3。試求f(5)、f(6)、f(9)、

f(17)之值。

詳解：

5 的正因數有 1、5，共 2 個，得 f(5)2

6 的正因數有 1、2、3、6，共 4 個，得 f(6)4 9 的正因數有 1、3、9，共 3 個，得 f(9)3 17 的正因數有 1、17，共 2 個，得 f(17)2

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8-9

8-10

函數變數的代換

若有一個函數 f(x) x3，我們已經知道當變數x 時，函數值a f(a) a3。 當變數

x  a  1

時， f(a1)(a1)3a4

我們也可以再將a 換成 x，得到 f(x1)(x1)3x4 同樣的方法可以得到， f(x1)(x1)3x2

例題 8.1-8

已知 f(x) x3 1，試求：

(1) f( y) (2) f(a) (3) f(y1) (4) f(a1) 詳解：

(1) f(y)3(y)13y1 (2) f(a)3(a)13a1

(3) f(y1)3(y1)13y313y2 (4) f(a1)3(a1)13a313a4

【練習】8.1-8

已知 f(x) x 6，試求：

(1) f(b) (2) f(z) (3) f(b1) (4) f(z2)

8-11

例題 8.1-9

已知 f(x) x2 1，試求：

(1) f(x1) (2) f(x1) (3) f( x2 ) (4) f(2x1) 詳解：

(1) f(x1)2(x1)12x212x3 (2) f(x1)2(x1)12x212x1 (3) f(2x)2(2x)14x1

(4) f(2x1)2(2x1)14x214x3

【練習】8.1-9

已知 f(x) x3 2，試求：

(1) f(x1) (2) f(x1) (3) f( x2 ) (4) f(2x1)

8-12

合成函數

熟悉了一個函數之後，接下來介紹由兩個函數合起來的合成函數。

我們先回顧前面看過的範例，用尺量物品的長度是幾公分。

圖 8.1-1

如果今天我們想知道鉛筆長度是幾公釐，則需要將量出來的15 公分再轉換為 150 公 釐，用圖表示：

圖 8.1-2

這裡可以想成有兩個函數，第一個函數將物品轉換為長度(公分)，第二個函數將長度 (公分)轉換為長度(公釐)。

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當然，我們也可以將兩張圖畫在一起：

圖 8.1-3

從圖 8.1-3 中，可以清楚地看到，物品轉換為公分，再轉換為公釐的過程。

這時可能也會有同學想，能不能一開始就拿刻度為公釐的尺來量，如此就不需要經過 兩次轉換，如圖 8.1-4

圖 8.1-4

拿刻度為公釐的尺來量，相當於將兩個函數合併為一個函數。像這樣將兩個函數，合 成為一個函數，就是合成函數的概念。

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我們從代數式來看合成函數：

有兩個函數 f(x)3x與g(x) x2 1，我們想知道

x  2

代入 f(x)所得到的函數值，再 代入g(x)會有什麼結果。

首先將

x  2

代入 f(x)，得 f(2)6，再將

x  6

代入g(x)，得到g(6)13。 這樣的過程，相當於求g( f(2))的值。

我們也可以將兩函數合起來寫成合成函數g( xf( ))，亦可用g  f(x)表示：

)) ( ( xf

g g( x3 ) 1 ) 3 ( 2 

 x

1 6 

 x

我們可以直接從g( xf( ))找出g( f(2))的值，即g(f(2))6(2)113。

既然可以找出g( xf( ))，那麼當然也能找出 f( xg( ))，要注意的是，g( xf( ))與 f( xg( )) 未必是相同的。

)) ( ( xg

f  f(2x1) ) 1 2 ( 3 

 x

3 6 

 x

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例題 8.1-10

已知 f(x) x3 1，g(x)7x，試回答下列問題。

(1)若 f(2)a，則 a 之值為何？

(2)承(1)，g(a)? (3)g(f(x))?

(4)利用(3)的結果，求 g( f(2))之值。

詳解：

(1)a f(2)3(2)1615，

a  5

(2)g(a) g(5)7(5)35

(3)g(f(x))g(3x1)7(3x1)21x7 (4)g(f(2))212735

【練習】8.1-10

已知 f(x)3x，g(x) x4 3，試回答下列問題。

(1)若 f(2)a，則 a 之值為何？

(2)承(1)，g(a)? (3)g(f(x))?

(4)利用(3)的結果，求 g( f(2))之值。

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