第三章 二元一次聯立方程式
3.7 節 二元一次聯立方程式的綜合題與應用題
) 4 ( ) 3
( + (10x+15y)+(−10x+8y)=(−15)+(−100) 100
15 8
10 15
10x+ y− x+ y =− −
100 15
) 8 15 ( ) 10 10
( x− x + y+ y =− − 115
23y =−
−5
=
y
再將 y = −5代入(1)式，求出 x：
3 3
2x+ y =−
3 ) 5 ( 3
2x+ − =− 3 15 2x− = −
15 3 2x = − +
12 2 =x
= 6 x
得到解為x = 6、 y = −5 (請同學自行驗算看答案是否正確。)
【練習】3.7-1
設 x、y 為整數，若 −9x+3y−3 + −2x−3y−19 = 0，求 x、y 之值。
例題 3.7-2
【練習】3.7-2
設 x、y 為整數，若(10x+2y −2)2 +(−5x+3y−43)2 =0，求 x、y 之值。
應用題型 解題步驟：
1. 分析題意，將適當的未知數用符號(x、y)表示。
2. 根據題目給的條件，列出兩個二元一次方程式。
3. 列出二元一次聯立方程式。
4. 解二元一次聯立方程式，並寫出答案。
5. 檢查答案是否正確。
例題 3.7-3
阿達到便利商店買 7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元，小傑買了 4 罐可樂及 5 杯 咖啡，共花了 137 元，請問一罐可樂及一杯咖啡各為多少元？
詳解：
題目問一罐可樂及一杯咖啡各為多少元。
我們可以設未知數為一罐可樂及一杯咖啡的價錢，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元 4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了 137 元 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設一罐可樂價格為 x 元，一杯咖啡價格為 y 元。
7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元 可列式：7x+ y8 =227
4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了 137 元 可列式：4x+ y5 =137
寫成聯立方程式：
= +
= +
) 2 ...(
137 5
4
) 1 ...(
227 8
7 y x
y x
利用加減消去法，(1)4−(2)7
可得32y− y35 =908−959，解得y=17 將y=17代入(1)式，解得x=13
得解為x=13、y =17
答：一罐可樂 13 元、一杯咖啡 17 元。
驗算：
7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元 713+817 = 91 +136 = 227 4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了 137 元
17 5 13
4 + = 52 +85 = 137 計算結果符合題意，故答案正確。
例題 3.7-4
小華買了 3 顆巧克力糖及 2 顆水果軟糖，共花了 29 元，小龍買了 5 顆巧克力糖及 4 顆水果軟糖，共花了 51 元，請問一顆巧克力糖及一顆水果軟糖各為多少元？
詳解：
題目問一顆巧克力糖及一顆水果軟糖各為多少元。
我們可以設未知數為一顆巧克力糖及一顆水果軟糖的價錢，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
3 顆巧克力糖及 2 顆水果軟糖，共花了 29 元 5 顆巧克力糖及 4 顆水果軟糖，共花了 51 元
最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設一顆巧克力糖為 x 元，一顆水果軟糖為 y 元。
3 顆巧克力糖及 2 顆水果軟糖，共花了 29 元 可列式：3x+ y2 =29
5 顆巧克力糖及 4 顆水果軟糖，共花了 51 元 可列式：5x+ y4 =51
寫成聯立方程式：
= +
= +
) 2 ...(
51 4
5
) 1 ...(
29 2
3 y x
y x
利用加減消去法，(1)2−(2) 可得6x− x5 =58−51，解得x=7 將x=7代入(1)式，解得 y=4 得解為x=7、y=4
答：一顆巧克力糖 7 元、一顆水果軟糖 4 元。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-5
有兩團客人看電影，第一團買了 2 份爆米花及 3 杯可樂，付 135 元。第二團買了 4 份爆米花及 5 杯可樂，付 245 元，請問一份爆米花及一杯可樂各為多少元？
詳解：
題目問一份爆米花及一杯可樂各為多少元。
我們可以設未知數為一份爆米花及一杯可樂的價錢，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
2 份爆米花及 3 杯可樂，付 135 元 4 份爆米花及 5 杯可樂，付 245 元 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設一份爆米花為 x 元，一杯可樂為 y 元。
2 份爆米花及 3 杯可樂，付 135 元 可列式：2x+ y3 =135
4 份爆米花及 5 杯可樂，付 245 元 可列式：4x+ y5 =245
寫成聯立方程式：
= +
= +
) 2 ...(
245 5
4
) 1 ...(
135 3
2 y x
y x
利用加減消去法，(1)2−(2)
可得6y− y5 =270−245，解得 y=25 將y=25代入(1)式，解得x=30 得解為x=30、y=25
答：一份爆米花 30 元、一杯可樂 25 元。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-6
小真因為生病沒辦法上學參加第一天的開學典禮，但是她想知道全班男生與女生各 有多少人，於是老師跟他說，班上男生的人數是女生的兩倍再多 1，且全班總共有 34 人，請幫小真算出班上男生與女生的人數各為多少？
詳解：
題目問班上男生與女生的人數各為多少。
我們可以設未知數為男生與女生的人數，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
男生的人數是女生的兩倍再多 1 全班總共有 34 人
最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設男生有 x 人，女生有 y 人。
男生的人數是女生的兩倍再多 1 可列式：x= y2 +1
全班總共有 34 人 可列式：x+ y=34 寫成聯立方程式：
= +
=
−
) 2 ...(
34
) 1 ...(
1 2 y x
y x
利用加減消去法，(2)−(1)
可得y−(−2y)=34−1，解得y=11 將y=11代入(1)式，解得x=23 得解為x=23、y=11
解方程式得x=23、y=11
答：男生有 23 人、女生有 11 人。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-7
袋子裡有黑棋與白棋共 96 顆，已知黑棋與白棋的數量比為 5：3，則黑棋和白棋各 有多少顆？
詳解：
題目問黑棋和白棋各有多少顆。
我們可以設未知數為黑棋和白棋的數量，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
黑棋與白棋共 96 顆
黑棋與白棋的數量比為 5：3
最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設黑棋有 x 顆，白棋有 y 顆。
黑棋與白棋共 96 顆 可列式：x+ y=96
黑棋與白棋的數量比為 5：3 可列式： x:y=5:3
3
= 5 y x
化簡 3 =x 5y
3x− y5 =0 寫成聯立方程式：
=
−
= +
) 2 ...(
0 5 3
) 1 ...(
96 y x
y x
利用加減消去法，(1)3−(2)
可得3y−(−5y)=288−0，解得y=36 將y=36代入(1)式，解得x=60 得解為x=60、y=36
答：黑棋有 60 顆、白棋有 36 顆。
驗算：
黑棋有 60 顆、白棋有 36 顆，合計 96 顆。
黑棋有 60 顆：白棋有 36 顆，黑棋與白棋數量比為 60：36＝5：3 符合題意，故答案正確。
例題 3.7-8
有一個二位數，其十位數字的 2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30，將它的十位數字 與個位數字對調後，所得的新數比原數小 45，試求此二位數是多少？
詳解：
題目問此二位數是多少。
我們可以設未知數為十位數字和個位數字，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
十位數字的 2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30
十位數字與個位數字對調後，所得的新數比原數小 45 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設十位數字為 x，個位數字為 y。
十位數字的 2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30 可列式：2x+ y3 =30
十位數字與個位數字對調後，所得的新數比原數小 45 原二位數之值：10x +y
對調後二位數之值：10y +x 可列式： (10x+y)−(10y+x)=45 化簡得 x− y =5
寫成聯立方程式：
=
−
= +
) 2 .(
...
5
) 1 ...(
30 3
2 y x
y x
利用加減消去法，(1)−(2)2
可得3y−(−2y)=30−10，解得y=4 將y=4代入(1)式，解得x=9
得解為x=9、y=4
十位數字為 9，個位數字為 4，因此二位數為 94 答：94。
驗算：
十位數字的 2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30 30
12 18 3 4 2
9 + = + =
十位數字與個位數字對調後，所得的新數比原數小 45 45
49 94− =
符合題意，故答案正確。
例題 3.7-9
有一個分數，分子的 5 倍等於分母的 2 倍，若將分子、分母同時加 6 後，其值與 8 5 相等，試求此分數為何？
詳解：
題目問此此分數為何。
我們可以設未知數為分子和分母，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
分子的 5 倍等於分母的 2 倍 分子、分母同時加 6 後，其值與
8
5相等 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設分子為 x，分母為 y。
分子的 5 倍等於分母的 2 倍 可列式：5 =x 2y 5x− y2 =0 分子、分母同時加 6 後，其值與
8
5相等
可列式：
8 5 66 = + + y x
交差相乘 8(x+6)=5(y+6) 化簡得 8x− y5 =−18 寫成聯立方程式：
−
=
−
=
−
) 2 ...(
18 5
8
) 1 ...(
0 2 5
y x
y x
利用加減消去法，(1)8−(2)5
可得−16y−(−25y)=−(−90)，解得y=10 將y=10代入(1)式，解得x=4
得解為x=4、y=10
分子為 4，分母為 10，因此分數為 10
4 (注意答案不需約分)
答：分數為 10
4 。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-10
已知有大小兩數，大數的 2 倍比小數的 3 倍少 4，大數的 3 倍比小數的 4 倍多 7，
求大小兩數為何？
詳解：
題目求大小兩數為何。
我們可以設未知數為大數和小數，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
大數的 2 倍比小數的 3 倍少 4 大數的 3 倍比小數的 4 倍多 7 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設大數為 x，小數為 y。
大數的 2 倍比小數的 3 倍少 4 可列式： 2x= y3 −4
化簡得 2x− y3 =−4
大數的 3 倍比小數的 4 倍多 7 可列式： 3x= y4 +7
化簡得 3x− y4 =7
寫成聯立方程式：
=
−
−
=
−
) 2 ...(
7 4 3
) 1 ...(
4 3
2 y x
y x
利用加減消去法，(1)3−(2)2
可得−9y−(−8y)=−12−(14)，解得y=26 將y=26代入(1)式，解得x=37
得解為x=37、y=26
答：大數為 37、小數為 26。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-11
老王將雞和兔子養在一個大籠子裡，他發現雞和兔子加起來共 13 隻，雞的腳和兔 子的腳加起來共有 42 隻腳，請問籠子裡各有幾隻雞和兔子？
詳解：
題目求籠子裡各有幾隻雞和兔子。
我們可以設未知數為雞和兔子的數量，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
雞和兔子加起來共 13 隻
雞的腳和兔子的腳加起來共有 42 隻腳(每隻雞有 2 隻腳，兔子有 4 隻腳) 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設雞有 x 隻，兔子有 y 隻。
雞和兔子加起來共 13 隻 可列式： x+ y=13
雞的腳和兔子的腳加起來共有 42 隻腳 可列式： 2x+ y4 =42
寫成聯立方程式：
= +
= +
) 2 ...(
42 4
2
) 1 ...(
13 y x
y x
利用加減消去法，(2)−(1)2 可得4y− y2 =42−26，解得y=8 將y=8代入(1)式，解得x =5 得解為x=5、y=8
答：雞有 5 隻，兔子有 8 隻。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-12
父子的年齡差 28 歲，4 年後父親的年齡正好是兒子的 3 倍，求父親、兒子今年各 幾歲？
詳解：
題目求父親、兒子今年各幾歲。
我們可以設未知數為父親、兒子的年齡，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
父子的年齡差 28 歲
4 年後父親的年齡正好是兒子的 3 倍 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設今年父 x 歲，子 y 歲。
父子的年齡差 28 歲 可列式： x− y=28
父親 4 年後為(x＋4)歲，兒子 4 年後為(y＋4)歲；4 年後父親的年齡正好是兒 子的 3 倍
可列式： (x＋4)＝3(y＋4) 化簡得 x− y3 =8
寫成聯立方程式：
=
−
=
−
8 3
28 y x
y x
) 2 ...(
) 1 ...(
利用加減消去法，( −1) (2)
可得−y−(−3y)=28−8，解得y =10 將y=10代入(1)式，解得x=38 得解為x=38、y=10
答：今年父親 38 歲、兒子 10 歲。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-13
有父子兩人，五年前父親年齡是兒子年齡的 3 倍多 20；八年後，父親年齡是兒子 年齡的 2 倍多 12，求父子今年各為多少歲？
詳解：
題目求父親、兒子今年各幾歲。
我們可以設未知數為父親、兒子的年齡，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
五年前父親年齡是兒子年齡的 3 倍多 20 八年後，父親是兒子年齡的 2 倍多 12 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設今年父 x 歲，子 y 歲。
五年前父親年齡是(x－5)歲，兒子是(y－5)歲；五年前父親年齡是兒子年齡 的 3 倍多 20
可列式： (x−5)=3(y−5)+20 化簡得 x− y3 =10
八年後父親年齡是(x＋8)歲，兒子是(y＋8)歲；八年後，父親是兒子年齡的 2 倍多 12
可列式： (x＋8)＝2(y＋8)＋12 化簡得 x− y2 =20
寫成聯立方程式：
=
−
=
−
20 2
10 3
y x
y x
) 2 ...(
) 1 ...(
利用加減消去法，( −1) (2)
可得−3y−(−2y)=10−20，解得y=10 將y=10代入(1)式，解得x=40
得解為x=40、y =10
答：今年父親 40 歲、兒子 10 歲。
請自行驗算答案是否正確。
例題 3.7-14
李伯伯去水果攤買水果，發現 5 顆蘋果與 3 顆橘子的價錢一樣，李伯伯買了 4 顆蘋 果與 6 顆橘子付了 168 元，請問蘋果和橘子一顆各多少錢？
詳解：
題目求蘋果和橘子一顆各多少錢。
我們可以設未知數為一顆蘋果、橘子的價錢，
然後根據下列條件列出聯立方程式：
5 顆蘋果與 3 顆橘子的價錢一樣 4 顆蘋果與 6 顆橘子付了 168 元 最後解二元一次聯立方程式得到答案。
設一顆蘋果 x 元，一顆橘子 y 元。
5 顆蘋果與 3 顆橘子的價錢一樣 可列式： 5 =x 3y 5x− y3 =0 4 顆蘋果與 6 顆橘子付了 168 元 可列式： 4x+ y6 =168
寫成聯立方程式：
= +
=
−
168 6
4
0 3 5
y x
y x
) 2 ...(
) 1 ...(
利用加減消去法，(1)2+(2)
可得10x+ x4 =0+168，解得x =12 將x=12代入(1)式，解得 y=20 得解為x=12、y =20
答：一顆蘋果 12 元，一顆橘子 20 元。
答：一顆蘋果 12 元，一顆橘子 20 元。