第三章 二元一次聯立方程式
3.2 節 二元一次方程式
3.2.3 節 找出二元一次方程式的正整數解
前小節我們學習了如何判斷是否為二元一次方程式的解，本小節我們會練習如何從二 元一次方程式找出正整數解，並應用在一些日常生活的數學問題。
例題 3.2.3-1
請找出2x+ y =6的所有正整數解。
詳解：
因為是要找出正整數解，
我們將正整數x=1、x = 2、x= 3…依序代入方程式找出對應的 y 值。
當x =1時，2(1)+ y =6，解得 y = 4，(1,4)為一組正整數解。
當x = 2時，2(2)+ y =6，解得y = 2，(2,2)為一組正整數解。
當x = 3時，2(3)+ y =6，解得 y = 0，0 不是正整數，不合題目要求。
當x = 4時，2(4)+ y =6，解得y = −2，－2 不是正整數，不合題目要求。
列表：
x 1 2 3 4
y 4 2 0 －2
根據 y 值的規律，再往下找，y 之值都會是負數，故不再往下找。正整數解只有(1,4) 和(2,2)。
【練習】3.2.3-1
請找出3x+ y2 =12的所有正整數解。
x
y
例題 3.2.3-2
包子每個 20 元，饅頭每個 15 元，老李買一些包子與饅頭，共花 100 元，請寫出所 有可能的買法。
詳解：
設包子買了 x 個，饅頭 y 個
購買包子的金額＋購買饅頭的金額＝總共花的金額 可依題意列式：20x+15y =100
老李包子與饅頭都有買，因此 x、y 不會是 0 又買包子饅頭的數量必須是整數，且不會是負數 故可知本題要求的是正整數解
我們將x=1、x = 2、x= 3…依序代入方程式找出對應的 y 值。
當x =1時，20(1)+15y =100，解得
3
=16
y ，非整數。
當x = 2時，20(2)+15y =100，解得y = 4，(2,4)為一組正整數解。
當x = 3時，20(3)+15y =100，解得
3
= 8
y ，非整數。
當x = 4時，20(4)+15y =100，解得
3
= 4
y ，非整數。
當x = 5時，20(5)+15y =100，解得 y = 0，0 不合(題目說不能買 0 個)。
根據 y 值的規律，再往下找，會發現 y 之值都為負數，故我們不再往下找解。
列表：
x 1 2 3 4 5
y 3
16 4
3 8
3
4 0
正整數解只有(2,4)。
也就是買法只有 2 個包子和 4 個饅頭這一種。
答：只有 1 種買法，買 2 個包子和 4 個饅頭。
【練習】3.2.3-2
原子筆 1 枝 15 元，鉛筆 1 枝 10 元，姊姊買了一些鉛筆和原子筆，共花 90 元，請 寫出所有可能的買法。
x
y
例題 3.2.3-3
某飲料店 1 杯鮮奶茶 25 元，1 杯紅茶 10 元，哥哥今天這二種飲料各買了一些，若 總共花 120 元，請問：
(1)哥哥有幾種買法？
(2)若二種飲料總共買了 9 杯，則鮮奶茶與奶茶各買了幾杯？
詳解：
(1) 設鮮奶茶買了 x 杯，紅茶買了 y 杯
購買奶茶的金額＋購買紅茶的金額＝總共花的金額 可依題意列式：25x+10y =120
杯數需為正整數，因此要找出方程式的正整數解。
當x =1時，25(1)+10y =120，解得
2
=19
y ，非整數。
當x = 2時，25(2)+10y =120，解得y =7，(2,7)為一組正整數解。
當x = 3時，25(3)+10y =120，解得
2
= 9
y ，非整數。
當x = 4時，25(4)+10y =120，解得y = 2，(4,2)為一組正整數解。
當x = 5時，25(5)+10y =120，解得
2
−1
=
y ，非整數。
根據 y 值的規律，再往下找，會發現 y 之值都為負數，故我們不再往下找解。
列表：
x 1 2 3 4 5
y 2
19 7
2
9 2
2
− 1
因此共有 2 種買法： 1.買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。
2.買 4 杯鮮奶茶、2 杯紅茶。
(2) 題目說二種飲料總共買了 9 杯 我們觀察第 1 小題中的二種買法：
1.買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。總共是 9 杯。
2.買 4 杯鮮奶茶、2 杯紅茶。總共是 6 杯。
可知符合共 9 杯的買法是買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。
答： (1)有 2 種買法。
(2)買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。
我們觀察例題 3.2.3-3
原本在二元一次方程式25x+10y =120找 x、y 之解時，找到的解不只一組。
但若是加上第 2 小題的條件，二種飲料總共買了 9 杯，則可以找到特定一組解。
二種飲料總共買了 9 杯，可依題意將奶茶杯數＋紅茶杯數＝總共杯數，列式成
=9 + y x
也就是若 x、y 同時滿足方程式25x+10y =120與x+ y =9， 則 x、y 可找到特定一組解。
下一節我們將介紹 x、y 同時滿足二個二元一次方程式的情形，解二元一次聯立方程式。
3.2 節 習題
習題 3.2-1
化簡下列二元一次方程式：
(1)4x+y =1+2x (2)5x−2y =−x+2y (3)5(x+ y+1)=4x−3y
習題 3.2-2
化簡下列二元一次方程式：
(1) (3 3 9) 3
) 1 8 6 4 2(
1 x+ y+ = x− y− (2)
2 4 3
y x = −
(3) 1
4 2 3
2 + − =
+ y x y
x
習題 3.2-3
化簡下列二元一次方程式：
(1) 4 3 1 3x+ = y
(2) 1 5x = y− (3) 5
= 1 y
x ( y 0) (4)
4 3 11 = +
− y
x ( y+1 0)
習題 3.2-4
下列哪些未知數的值是方程式5x+ y2 =0的解？
(A) x=1，y =1 (B) x =0， y =0 (C) x=3，y = −5 (D) x = 2， y =−5 (E) x =1， y= −5
習題 3.2-5
若x = 3， y =−2為方程式ax− y2 −19=0的解，試求 a 之值。
習題 3.2-6
若x =4， y =b為方程式2x+ y3 −14=0的解，試求 b 之值。
習題 3.2-7
請找出3x+ y=9的所有正整數解。
習題 3.2-8
橘子每個 15 元，柳丁每個 10 元，小李買一些橘子與柳丁，共花 50 元，請寫出所 有可能的買法。
習題 3.2-9
哥哥今天到郵局買了一些 5 元及 10 元的郵票，若總共花 30 元，請問：
(1)哥哥有幾種買法？
(2)若二種郵票總共買了 5 張，則 5 元及 10 元的郵票各買了幾張？