節 二次函數圖形的移動

我們再看一個例子，比較 4

我們再接著看下一種形式，比較

y  x (  2 )

²與

y  x

²：

y

9 4 1 0 1 4 9

x

(

y  x

²) -3 -2 -1 0 1 2 3

x

(

y  x (  2 )

²)

-1

=-3+2

0

=-2+2

1

=-1+2

2

=0+2

3

=1+2

4

=2+2

5

=3+2 表 9.2-3

可以看出 y 座標相同時，

y  x (  2 )

²圖形的 y 座標是

y  x

²圖形的 x 座標加 2。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較：

圖 9.2-3

由圖 9.2-3 可知，

y  x (  2 )

²的圖形即是

y  x

²的圖形往右移動 2 單位。

x

2

y  y  x (  2 )

²

x

y

再比較看看 ( 4)²

最後我們比較

y  x (  2 )

²

 3

與

y  x

²：

x

2

y 

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

9 4 1 0 1 4 9

3 ) 2 ( 

²



 x y

x

-1 0 1 2 3 4 5

y

12 7 4 3 4 7 12

表 9.2-5

圖 9.2-5

3 ) 2 ( 

²



 x y x

2

y 

x

y

從頂點來看，

y  x

²的頂點是(0,0)，

y  x (  2 )

²

 3

的頂點是(2,3)，相當於 x 座標增加 了 2 單位，y 座標增加了 3 單位。除了頂點以外，其他的點也有同樣關係：

x

2

y 

上的點 (0,0) (1,1) (2,4) (3,9)

3

) 2 ( 

²



y  x

上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12)

表 9.2-5

表 9.2-5 中，對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位。事實上，整 個

y  x (  2 )

²

 3

的圖形可以想像成是

y  x

²的圖形往右移動 2 單位，再往上移動 3 單 位。那麼 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢？

前面我們已經知道了：

k ax

y 

²



的圖形相當於

y  ax

²往上移動 k 單位。(若

k

0則為往下移動 k 單位)

)

2

( x h a

y  

的圖形相當於

y  ax

²往右移動 h 單位。(若

h

0則為往左移動 h 單位)

合併成

y  a ( x  h )

²

 k

時也是一樣：

k h x a

y  (  )

²



的圖形相當於

y  ax

²往右移動 k 單位，往上移動 h 單位。(若

k

0則為 往下移動 k 單位，

h

0則為往左移動 h 單位)

因此，

y  x (  2 )

²

 3

的圖形就相當於

y  x

²的圖形往右移動 2 單位，再往上移動 3 單位。

我們已經知道了

y  a ( x  h )

²

 k

相當於將

y  ax

²往右移動 h 單位(

h

0時為往左移動 h 單位)，往上移動 k 單位(

k

0時為往下移動 k 單位)。反過來說，

y  ax

²若往上移動 k 單 位 ， 則 方 程 式 會 變 為

y  ax

²

 k

。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 ， 方 程 式 就 會 變 為

k h x a

y  (  )

²



。

以

y  2x

²為例，將圖形往上移 4 單位，方程式會變為

y  x 2

²

 4

。再繼續往右移 5 單位，

方程式會變為

y  x 2 (  5 )

²

 4

，如圖 9.2-6：

圖 9.2-6

x y

4 ) 5 (

2 

²

 y  x

2x

2

y 

4

2

²



y  x

同樣地，若是移動

y  a ( x  h )

²

 k

，也會有下列關係：

(1)將

y  a ( x  h )

²

 k

往上移動

k

₁單位，會得到

y  a ( x  h )

²

 k  k

₁。(

k

₁ 0) (2)將

y  a ( x  h )

²

 k

往下移動

k

₂單位，會得到

y  a ( x  h )

²

 k  k

₂。(

k

₂ 0) (3)將

y  a ( x  h )

²

 k

往右移動

h

₁單位，會得到

y  a ( x  h  h

₁

)

²

 k

。(

h

₁ 0) (4)將

y  a ( x  h )

²

 k

往左移動

h

₂單位，會得到

y  a ( x  h  h

₂

)

²

 k

。(

h

₂ 0)

瞭解了拋物線方程式的移動之後，接下來讓我們回到二次函數的函數圖形。

我們來移動

f ( x )  a ( x  h )

²

 k

的函數圖形：

(1) 將

f ( x )  a ( x  h )

²

 k

的函數圖形往上移動

k

₁單位，會得到

f ( x )  a ( x  h )

²

 k  k

₁。 )

0 (

k

₁ 

(2) 將

f ( x )  a ( x  h )

²

 k

的函數圖形往下移動

k

₂單位，會得到

f ( x )  a ( x  h )

²

 k  k

₂。 )

0 (

k

₂ 

(3) 將

f ( x )  a ( x  h )

²

 k

的函數圖形往右移動

h

₁單位，會得到

f ( x )  a ( x  h  h

₁

)

²

 k

。 )

0 (

h

₁ 

(4) 將

f ( x )  a ( x  h )

²

 k

的函數圖形往左移動

h

₂單位，會得到

f ( x )  a ( x  h  h

₂

)

²

 k

。 )

0 (

h

₂ 

例題 9.2-1

(1)求將

f ( x )   3 x

²的函數圖形上移 1 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x )   3 x

²的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x )   3 x

²的函數圖形右移 2 單位後所得的函數。

(4)求將

f ( x )   3 x

²的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

詳解：

利用前面討論的結果可以得到：

(1)將

f ( x )   3 x

²的函數圖形上移 1 單位後所得的函數為

f ( x )   3 x

²

 1

。 (2)將

f ( x )   3 x

²的函數圖形下移 3 單位後所得的函數為

f ( x )   3 x

²

 3

。 (3)將

f ( x )   3 x

²的函數圖形右移 2 單位後所得的函數為

f ( x )   3 ( x  2 )

²。 (4)將

f ( x )   3 x

²的函數圖形左移 4 單位後所得的函數為

f ( x )   3 ( x  4 )

²。

【練習】9.2-1

(1)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

 的函數圖形下移 1 單位後所得的函數。

(2)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

 的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(3)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

 的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。

(4)求將 ²

2 ) 1

(

x x

f

 的函數圖形右移 4 單位後所得的函數。

例題 9.2-2

(1)求將

f ( x )  7 x

²的函數圖形上移 3 單位，左移 4 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x )  7 x

²的函數圖形下移 2 單位，右移 7 單位後所得的函數。

詳解：

(1) 將

f ( x )  7 x

²的函數圖形上移 3 單位後所得的函數為

f ( x )  x 7

²

 3

，再左移 4 單位得到

y  x 7 (  4 )

²

 3

。

(2) 將

f ( x )  7 x

²的函數圖形下移 2 單位後所得的函數為

f ( x )  x 7

²

 2

，再右移 7 單位得到

f ( x )  x 7 (  7 )

²

 2

。

【練習】9.2-2

(1)求將

f ( x )   5 x

²的函數圖形上移 3 單位，右移 5 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x )   5 x

²的函數圖形下移 6 單位，左移 4 單位後所得的函數。

例題 9.2-3

例題 9.2-4

例題 9.2-5

9.2 節 習題

習題 9.2-1

(1)求將

f ( x )  2 x

²的函數圖形上移 2 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x )  2 x

²的函數圖形下移 4 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x )  2 x

²的函數圖形左移 1 單位後所得的函數。

(4)求將

f ( x )  2 x

²的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-2

(1)求將

f ( x )  3 x

²的函數圖形上移 4 單位，右移 2 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x )  3 x

²的函數圖形下移 1 單位，左移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-3

(1)求將

f ( x )  x (  3 )

²

 1

的函數圖形上移 4 單位後所得的函數。

(2)求將

f ( x )  x (  3 )

²

 1

的函數圖形左移 5 單位後所得的函數。

(3)求將

f ( x )  x (  3 )

²

 1

的函數圖形下移 3 單位，左移 2 單位後所得的函數。

習題 9.2-4

求將

f ( x )  x

²

 2 x  1

的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-5

求將

f ( x )   x

²

 4 x  3

的函數圖形右移 3 單位，下移 5 單位後所得的函數。

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