綜合習題

習題 1：

畫出下列二次函數的圖形

(1)

f ( x )   4 x

² (2) ² 5 ) 2 (

x x f



(3)

f ( x )  x 3 (  2 )

² (4)

f ( x )  x 2

²

 2

(5)

f ( x )   2 x

²

 12 x  18

習題 2：

試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點座標與對稱軸：

(1)

f ( x )   x

²

(2) ² 2 ) 1 (

x x f



(3) 2

7 ) 1

(

x

 x² 

f

(4)

f ( x )  x  (  1 )

²

(5)

f ( x )  x 2 (  1 )

²

 1

(6)

f ( x )  x

²

 4 x  1

(7)

f ( x )  3 x

²

 6 x  4

(8) 4 5

2 ) 1

(

x



x

² 

x



f

習題 3：

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出

^x

的值為多少時，會得到最大值或最 小值：

(1)

f ( x )  x 2

²

 6

(2)

f ( x )   3 x

²

 1

(3) ( 1)² 2

) 1

(

x



x



f

(4)

f ( x )  x 3 (  3 )

²

 3

(5)

f ( x )   3 x

²

 24 x  12

(6)

f ( x )  x

²

 4 x  5

(7) 4 1

2 ) 1

(

x



x

² 

x



f

(8) 8 1

3 ) 2

(

x



x

² 

x



f

習題 4：

二次函數

f ( x )   10 x

²的圖形向左移動 10 單位、向下移動 3 單位後可得

k

p x a x

f ( )  (  )

²



，試求

a



p



k

之值。

習題 5：

若二次函數

f ( x )  x

²

 x  56

的函數圖形與

x

軸交於

A

、

B

兩點，試求 AB 。

習題 6：

求拋物線

y  x

²

 3 x

與直線

y

 x3 8的交點。

習題 7：

若

x

 y16，則：(1)

xy

的最大值為何？(2)

x 

²

y

²的最小值為何？

習題 8：

楊楊想用一條 400 公分長的繩子，圍成一個矩形。請問長、寬分別為多少公分時，

可圍出最大的面積？最大的面積是多少平方公分？

習題 9：

從地面發射一枚砲彈，若經過時間 t 秒與砲彈高度 y 公尺的關係式為

y   t

²

 8 t

， 請問：

(1)此砲彈飛到最高點時，高度為多少公尺？

(2)此砲彈高度為 12 公尺時，經過時間為多少秒？

習題 10：

已知某拋物線最低點為

O

(0,0)，且與直線

y

8交於 A

、 B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若 OAB

 的面積為 16 平方單位，試求：

(1)A

、 B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

習題 11：

洋洋公司舉辦員工旅遊，預定人數為 40 人，每人收費 5000 元。但達到 40 人之後，

每超過 1 人，則每人費用減 100 元。例如若有 41 人，則每人收費 4900 元。請問 人數為多少時，收到的總費用會最多？

習題 12：

如圖 9.1，爺爺想在河邊用鐵絲圍一個長方形的菜 園，鐵絲長 160 公尺。河當作一邊不用鐵絲圍。請問 圍成的菜園，最大面積為多少平方公尺？

圖 9.1

基測與會考模擬試題

( ) 1. 若用配方法將二次函數

y   2 x

²

 4 x  1

寫成

y   2 ( x  h )

²

 k

的形式，求



 k

h

？【91(一)基測】

(A) 2ˉ(B) 4ˉ(C)

 4

ˉ(D)

 2

( ) 2. 下列為四個二次函數的圖形，哪一個函數在

x

2時有最大值 3？【92(一) 基測】

(A) (B) (C) (D)

( ) 3. 下列哪一個二次函數，其圖形的對稱軸為

x

2？【93(一)基測】

(A)

y  x (  2 )

²

 4

(B)

y  x  (  2 )

²

 1

(C)

y  x

²

 2

(D)

y  x

²

 2 x  2

( ) 4. 如圖 9.2，座標平面上有一透明片，透明片上有一拋物線及一點

P

，且拋物 線為二次函數

y  x

²的圖形，

P

的座標為(2,4)。若將此透明片向右、向上移 動後，得拋物線的頂點座標為(7,2)，則此時

P

的座標為何？【97(一)基測】

圖 9.2

(A) (9,4) (B) (9,6) (C) (10,4) (D) (10,6)

( ) 5. 座標平面上有一函數

y  24 x

²

 48

的圖形，其頂點座標為何？【99(一)基測】

(A) ( 0, 2) (B) ( 1, 24) (C) ( 0, 48) (D) (2,48)

( ) 6. 下列哪一個二次函數，其圖形與

x

軸有兩個交點？【99(二)基測】

(A)

y   x

²

 2 x  5

(B)

y   2 x

²

 8 x  11

(C)

y  3 x

²

 6 x  1

(D)

y  x 4

²

 24

( ) 7. 座標平面上，二次函數 ² 2 1

x

y 

的圖形過

A

、

B

兩點，其中

A

、

B

兩點的

x

座

標分別為 2、4。若自

A

作

y

軸的平行線，自

B

作

^x

軸的平行線，且兩線交 於

C

點，則

C

點座標為何？【99(二)基測】

(A) (2,8) (B) (2,2 2) (C) (4,2) (D) (4,2 2)

( ) 8. 圖 9.3 為座標平面上二次函數

y  ax

²

 bx  c

的圖形，且此圖形通過 )

1 , 1

( 、( 2, 1)兩點。下列關於此二次函數的敘述，何者正確？【100(一) 基測】

圖 9.3

(A)

y

的最大值小於 0 (B)當

x

0時，

y

的值大於 1 (C) 當

x

1時，

y

的值大於 1 (D)當

x

3時，

y

的值小於 0

( ) 9. 若下列有一圖形為二次函數

y  2 x

²

 8 x  6

的圖形，則此圖為何？【100 北 北基】

(A) (B) (C) (D)

( ) 10. 如圖 9.4，將二次函數

y  31 x

²

 999 x  89

²的圖形畫在座標平面上，判斷方 程式31

x

²999

x

89² 0的兩根，下列敘述何者正確？【100 北北基】

圖 9.4

(A) 兩根相異，且均為正根 (B) 兩根相異，且只有一個正根 (C) 兩根相同，且為正根 (D) 兩根相同，且為負根

( ) 11. 座標平面上有一函數

y   3 x

²

 12 x  7

的圖形，其頂點座標為何？【102 基 測】

(A) (2,5) (B) ( 2, 19) (C) (2,5) (D) (2,43)

( ) 12. 將兩個二次函數

y  x 2

²

 1

與

y  x 2

²

 1

畫在同一座標平面上，下列有關這 兩個函數圖形關係的敘述，哪一個是錯誤的？【90(一)基測】

(A)有相同的開口方向ˉ (B)圖形都是拋物線 (C)有相同的頂點座標ˉ (D)有相同的對稱軸

( ) 13. 如圖 9.5，將二次函數

y  x

²的圖形向右移動兩個單位長，則下列哪一個二 次函數的圖形，可為虛線所表示的圖形？【90(一)基測】

圖 9.5

(A)

y  x

²

 2

(B)

y  x

²

 2

(C)

y  x (  2 )

² (D)

y  x (  2 )

²

( ) 14. 如圖 9.6，

A

、

B

分別為

y  x

²上兩點，且

AB  y

軸。若

AB

6，則直線

AB

的方程式為何？【91(二)基測】

圖 9.6

(A)

y

3ˉ (B)

y

6ˉ (C)

y

9 ˉ(D)

y

36

( ) 15. 在座標平面上，有一個二次函數圖形交

^x

軸於(4,0)，(2,0)兩點，今將此二 次函數圖形向右移動 h 單位，再向下移動幾個單位後，發現新的二次函數圖 形與

^x

軸相交於(1,0)，(3,0)兩點，則 h 的值為何？【92(一)基測】

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

( ) 16. 在座標平面上，

y  x 2

²

 8

的圖形經由下列哪一種方式移動後，可得到

( ) 19. 下列哪一個二次函數，其圖形和

y  4 x

²

 8 x

的圖形有相同的頂點？【93(二) 基測】

(A)

y  2 x

²

 4 x

(B)

y   2 ( x  1 )

²

(C)

y  x 2 (  1 )

²

 4

(D)

y   2 ( x  1 )

²

 4

( ) 20. 小梅將一張畫有拋物線的透明片擺到座標平面上，將拋物線頂點與點 (2 , 3)重合，開口向上時，此拋物線為二次函數

y  x 2 (  2 )

²

 3

的圖形，

如圖 9.7。若她將透明片反轉，使得開口向下且頂點的位置不變，如圖 9.8，

則圖 9.8 的拋物線為下列哪一個二次函數的圖形？【97(二)基測】

圖 9.7 圖 9.8 (A)

y   2 ( x  2 )

²

 3

(B)

y   2 ( x  2 )

²

 3

(C)

y   2 ( x  2 )

²

 3

(D)

y   2 ( x  2 )

²

 3

( ) 21. 向上發射一枚砲彈，經

^x

秒後的高度為

y

公尺，且時間與高度的關係為

bx

ax

y 

²



。若此砲彈在第 7 秒與第 14 秒時的高度相等，則在下列哪一個 時間的高度是最高的？【98(一)基測】

(A)第 8 秒 (B)第 10 秒 (C)第 12 秒 (D)第 15 秒

( ) 22. 下列哪一個函數，其圖形與

x

軸有兩個交點？【98(一)基測】

(A)

y  17 ( x  83 )

²

 2274

(B)

y  17 ( x  83 )

²

 2274

(C)

y   17 ( x  83 )

²

 2274

(D)

y   17 ( x  83 )

²

 2274

( ) 23. 座標平面上，二次函數

y  x

²

 6 x  3

的圖形與下列哪一個方程式的圖形沒 有交點？【100(一)基測】

(A)

x

50 (B)

x

50 (C)

y

50 (D)

y

50

( ) 24. 如圖 9.9，座標平面上二次函數

y  x

²

 1

的圖形通過

A

、

B

兩點，且座標分

別為 ) 4 ,29

(a 、 ) 4 ,29

(b ，則 AB 的長度為何？【100(二)基測】

圖 9.9

(A) 5 (B) 4

25 (C) 2

29 (D) 2 29

( ) 25. 判斷下列哪一組的

a

、

b

、

c

，可使二次函數

^{y  ax}

²

^{ bx  c  5 x}

²

^{ 3 x  7}

在座 標平面上的圖形有最低點？【101 基測】

(A)

a

0，

b

4，

c

8 (B)

a

2，

b

4，

c

8 (C)

a

4，

b

4，

c

8 (D)

a

6，

b

4，

c

8

( ) 26. 有一個二次函數

y  x

²

 ax  b

，其中

a

、

b

為整數。已知此函數在座標平面 上的圖形與

x

軸交於兩點，且兩交點的距離為 4。若此圖形的對稱軸為

5



x

，則此圖形通過下列哪一點？【101 基測】

(A) (6,1) (B) (6,2) (C) (6,3) (D) (6,4)

( ) 27. 有三個二次函數，甲：

y  x

²，乙：

y  x

²

 2 x  1

，丙：

y   x

²，下列哪一 個敘述是正確的？【90(二)基測】

(A)甲的圖形經適當的平行移動後，可與乙的圖形重疊在一起 (B)甲的圖形經適當的平行移動後，可與丙的圖形重疊在一起 (C)乙的圖形經適當的平行移動後，可與丙的圖形重疊在一起 (D)甲、乙、丙三個圖形經適當的平行移動後，都可重疊在一起

( ) 28. 如圖 9.10，小智丟垃圾的路徑是一個二次函數

y



x

2

x



c

3

1 ₂

的圖形。已

知小智是在此二次函數圖形的頂點(即

B

點)將垃圾丟出，且從

A

(0,1) 點進 入筒內。若

B

點的座標為( b

a

, )，則 

b

？【90(二)基測】

圖 9.10 (A)3ˉ(B)4ˉ(C)5ˉ(D)6

( ) 29. 已知二次函數

y  ax

²

 k

，其中

a

0、

k

0，則下列哪一個選項可能是此 二次函數的圖形？【91(一)基測】

(A) (B) (C) (D)

ˉ

( ) 30. 如圖 9.11，在長度為 28 的 AB 上取一點

P

。用 AP 圍成一個長方形

PMNO

， 其中

PM

3

PO

，再用 BP 圍成一個正方形

PVUT

，如圖(二)。已知

PO  t

， 長方形與正方形的面積和有最小值

^s

，則

s ？【91(二)基測】



圖 9.11 (A)14ˉ(B)21ˉ(C)28ˉ(D)29

( ) 31. 在座標平面上，方程式

y  x 2

²

 9

的圖形交

^x

軸於

A

、

A

兩點；方程式 8

13) ( 2

2  ² 

 x

y

的圖形交

x

軸於

B

、

B

兩點；方程式 ) 5 17 ( 3

2  ² 





x

y

的圖

形交

x

軸於

C

、

C

兩點。比較

AA 、

'

BB 、

'

CC

'的長度，下列關係何者正確？

【98(二)基測】

(A)

AA

'

BB

'

CC

' (B)

AA

'

BB

'

CC

' (C)

AA

'

BB

'

CC

' (D)  

( ) 32. 座標平面上，若移動二次函數

y

2(

x

175)(

x

176)6的圖形，使其與

^x

軸 交於兩點，且此兩點的距離為 1 單位，則移動方式可為下列哪一種？【99(一) 基測】

(A)向上移動 3 單位 (B)向下移動 3 單位 (C)向上移動 6 單位 (D)向下移動 6 單位

習題解答

練習 9.1-7

9.1 習題解答

9.1-1

x 3 2 1 0 1 2 3

y _{18 8 2 0 2 8 18}

2

2

) ( x x

f 

9.1-2

(1)y軸為對稱軸 (2)

x 0 1 2

y _{1 3 12}

3

2

) ( x x

f 

9.1-3 (1)開口向上 (2)開口向下 (3)開口向上

9.1-4 頂點(0,1)

x 3 2 1 0 1 2 3

y _{10 5 2 1 2 5 10}

1 )

( x  x

²

 f

9.1-5 頂點( 0, 1)

x 3 2 1 ^{0 1 2 3}

y _{17 7 1} 1 ^{1 7 17}

1 2 )

( x  x

²



f

9.1-6 頂點(2,0)、對稱軸x2

9.1-14

9.3 練習解答

9.4 習題解答

(3)

7.答：(1)64 (2)128 8.答：長為 100 公分、寬為 100 公分；

面積 10000 平方公分

9.答：(1)16 公尺 (2)2 秒或 6 秒 10.答：(1)A(2,8)、B(2,8)

(2)y 2x²

11.答：45 人時，收到 202500 元 12.答：3200 平方公尺

基測與會考模擬試題解答

9. 《答案》(A)

(B)y2(x1)²，頂點為(1,0)

28. 《答案》(B)

在文檔中 代數第九章 目錄 (頁 89-117)