節 二次函數及其圖形

在第八章中，我們已經學過一次函數 f(x)axb的函數圖形是一條直線。也簡單畫過 ) 2

(x x f

y   的圖形是一條拋物線。本節我們將針對y  f(x)x²這類二次函數來做討 論。

二次函數：形式為 f(x)ax² bxc_，其中a0。即變數 x 最高次數為 2，且x²項係數 不為 0 的函數。

如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形，對於二次函數如 f(x)x²我們也可 以畫出函數圖形。

我們來畫畫看y  f(x)x²的圖形，先找出幾個符合的點：

x -3 -1 0 1 3

y 9 1 0 1 9

表 9.1-1

將這些點描在直角座標上，並用直線連起來，如圖 9.1-1。

圖 9.1-1

x

y

於是我們得到了一個類似折線圖的圖形，但事實上這張圖只是y f(x)x²的近似圖，

並非真正的圖形。我們可以再多增加(－2,4)、(2,4)兩個點，如圖 9.1-2：

圖 9.1-2

可以看出圖 9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣，我們描的點越多，畫出來的圖形就會越 接近真正的 f(x)x²圖形。實際上， f(x)x²是如圖 9.1-3 的拋物線。

f(x)x²

圖 9.1-3

x y

x

y

畫二次函數圖形時，我們無法畫出所有的點。因此一般只需畫出幾個點，再將各點連 接起來作為近似圖，取的點愈多，畫出來的圖形就愈精確。

例題 9.1-1

畫出二次函數 f(x)2x²的圖形。

詳解：

令y  f(x)2x²，先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18

表 9.1-2

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-2。

f(x)2x² 圖 9.1-4

x y

【練習】9.1-1

畫出二次函數 f(x)x²的圖形。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

由前面例題，我們已知道函數 f(x)x²與 f(x)2x²的函數圖形都是拋物線。事實上，

只要是二次函數，那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時，相當於是討論拋物線的圖形。

接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質，先複習第四章曾學過的對 稱於 y 軸：

若兩點對稱於 y 軸，則兩點的 y 座標相同時，x 座標互為相反數。

再來觀察 f(x)x²的函數圖形，即y f(x)x²。圖形右側的點(1,1)_、(2,4)_、(3,9)_，他 們對 y 軸的對稱點(1,1)、(2,4)、(3,9)，也都落在y x²上。 事實上，所有yx²上 的點( kh, )，對 y 軸的對稱點(h,k)也都在y x²上。此時我們稱 y 軸(或直線x0)是

x2

y  的對稱軸。即 f(x)x²的函數圖形，其對稱軸為 y 軸。

f(x)x²

圖 9.1-5

x y

除了 f(x)x²以外，所有形式為 f(x)ax²的函數圖形，也都是以 y 軸為對稱軸。

我們來證明y f(x)ax²是以 y 軸為對稱軸。已知點( kh, )在yax²上，若點(h,k)也 在yax²上(即 x 座標代入 h ，可得 y 座標為 k )，則可知yax²以 y 軸為對稱軸。

ax2

y

)2

a ( h

y   (將 x 以 h 代入) ah2

y ((h)² h²) k

y (因為( kh, )在yax²上，所以k ah²，即ah² k)

由以上式子可知，當點( kh, )在y ax²上時，點(h,k)也在yax²上，因此y f(x)ax² 的圖形是以 y 軸作為對稱軸。我們也可以稱 f(x)ax²的函數圖形是對稱於 y 軸的線對 稱圖形。

例題 9.1-2

² 2 ) 1 (x x

f 

圖 9.1-7

圖 9.1-7 即為 ² 2 ) 1 (x x

f  _{的函數圖形。}

【練習】9.1-2

利用對稱軸，畫出 ²

4 ) 1

(x x

f  _{的函數圖形。}

x y

x y

目前二次函數所畫出的拋物線圖形，有些是開口向上，有些是開口向下，開口方向是 否有什麼規則呢？我們多畫幾個圖形來看看。

開 口 向 上

2 2

) (x x

f  f(x)x² 2 ²

) 1 (x x

f 

開 口 向 下

2 2

)

(x x

f  f(x)x² 2 ²

) 1

(x x

f 

圖 9.1-8

同學應該可以發現，對於二次函數 f(x)ax²，當a 0時，拋物線圖形開口向上；當a0 時，拋物線圖形開口向下。而且 a_{越小，其開口越大。}

另外在a0時，拋物線有最低點；a0時，拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點 也是拋物線與對稱軸的交點。

圖 9.1-9

例題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1) f(x)3x² (2) f(x)8x² (3) f(x)0.7x² 詳解：

(1)3 ，0 f(x)3x²函數圖形開口向上。

(2)80， f(x)8x²函數圖形開口向下。

(3)0.7 ，0 f(x)0.7x²函數圖形開口向上。

【練習】9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1) f(x)2x² (2) ² 50 ) 1

(x x

f  ₍₃₎ f(x)0.3x²

瞭解了 f(x)ax²的函數圖形後，接著我們來看看形式為 f(x)ax² k_{的函數圖形。如} 1

)

(x  x² 

f ：

一樣先找出y f(x) x² 1上的點

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 10 5 2 1 2 5 10

表 9.1-4

然後描點畫出圖形： f(x) x² 1

圖 9.1-10

圖 9.1-10 即為 y f(x)x² 1的圖形，頂點為(0,1)，對稱軸為x0。 x y

例題 9.1-4

畫出 f(x)2x² 3的函數圖形，並指出頂點。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -15 -5 1 3 1 -5 -15

表 9.1-5

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-11。

頂點為(0,3)。

f(x)2x² 3 圖 9.1-11

x y

【練習】9.1-4

畫出 f(x) x ² 6的函數圖形，並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

例題 9.1-5

畫出 4

2 ) 1

(x  x² 

f 的函數圖形，並指出頂點。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 2

1 -2

2 31

 -4

2 31

 -2

2 1

表 9.1-6

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-12。

頂點為(0,4)。

4 2

) 1

(x  x² f

圖 9.1-12

x y

【練習】9.1-5

畫出 7

2 ) 3

(x  x² 

f 的函數圖形，並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

目前我們已經畫出了數個形式為 f(x)ax²k _{的函數圖形。若與} f(x)ax²比較，同學 應該可以發現：

ax2

y 圖形的頂點為(0,0)_。(例如 yx²圖形頂點為(0,0)₎

k ax

y ²  圖形的頂點為( k0, )_。(例如 4 2

1 ₂



 x

y _{圖形頂點為}(0,4))

ax2

y 與yax² k的對稱軸都是x0。

圖 9.1-13

x y

接下來，讓我們討論形式為 f(x)a(xh)²的函數圖形，如 f(x) x( 2)²。 要畫出 f(x) x( 2)²的函數圖形，一樣先找出符合y  f(x)(x2)²的點。

x -1 0 1 2 3 4 5

y 9 4 1 0 1 4 9

表 9.1-7

然後描點畫出圖形：

f(x) x( 2)²

圖 9.1-14

圖 9.1-14 即為 f(x) x( 2)²的函數圖形，頂點為(2,0)，對稱軸為x2。

2 x

x y

例題 9.1-6

畫出 f(x) x2( 3)²的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x 0 1 2 3 4 5 6

y 18 8 2 0 2 8 18

表 9.1-8

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-15。

頂點為(3,0)，對稱軸為x3。

f(x) x2( 3)²

圖 9.1-15

x y

【練習】9.1-6

畫出 ( 1)² 2

) 1

(x  x

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x -2 -1 0 1 2 3 4

y

x y

例題 9.1-7

畫出 ( 4)² 2

) 3

(x  x

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 2

131 6

2

11 0

2

11 6

2 131

表 9.1-9

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-16。

頂點為(4,0)，對稱軸為x4。 ( 4)² 2

) 3

(x  x f

圖 9.1-16

【練習】9.1-7

畫出 ( 2)² 2

) 1

(x  x

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

我們畫出了數個形式為 f(x)a(xh)²的函數圖形。若與 f(x)ax²比較，同學應該可 以發現：

) 2

(x ax

f  的函數圖形頂點為(0,0)_。(例如 f(x)x²的函數圖形頂點為(0,0)₎

)2

( )

(x a x h

f   的函數圖形頂點為(h,0)_。(例如 f(x) x2( 3)²的函數圖形頂點為(3,0)₎

) 2

(x ax

f  的函數圖形對稱軸是x0， f(x)a(xh)²的函數圖形對稱軸是x 。 h

圖 9.1-17 ax2

y  ^{ya(xh)2}

h h x 

 0 x

x y

學習了二次函數 f(x)ax² k_與 f(x)a(xh)²的函數圖形之後，接著我們要將這兩種 函數綜合起來，也就是形式為 f(x)a(xh)² k_。

我們來試著畫畫看y f(x)(x2)²3的圖形：

x -1 0 1 2 3 4 5

y 12 7 4 3 4 7 12

表 9.1-10

f(x) x( 2)²3

圖 9.1-18 3

) 2 ( )

(x  x ²

f 的函數圖形頂點是(2,3)，對稱軸是x2。

2 x

x y

例題 9.1-8

畫出 f(x) x4( 2)² 3的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y 33 13 1 -3 1 13 33

表 9.1-11

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-19。

頂點為(2,3)，對稱軸為x2。

3 ) 2 ( 4 )

(x  x ²  f

圖 9.1-19

x y

2

 x

【練習】9.1-8

畫出 ( 2) 1 2

) 1

(x  x ²

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

例題 9.1-9

畫出 ( 4) 2 3

) 1

(x  x ² 

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x 1 2 3 4 5 6 7

y 1

3 2

3

12 2

3 12

3

2 1

表 9.1-12

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖 9.1-20。

頂點為(4,2)，對稱軸為x4。

( 4) 2 3

) 1

(x  x ²  f

圖 9.1-20

x y

【練習】9.1-9

畫出 ( 2) 3 4

) 1

(x  x ² 

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

我們已經畫了數個形式為 f(x)a(xh)² k的函數圖形，同學應該可以發現到：

1. 頂點為( kh, )。 2. 對稱軸為x 。 h

3. a0則開口向上；a0則開口向下。

利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。

例題 9.1-10

求函數 f(x) x7( 5)² 16其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

與 f(x)a(xh)² k_對照，得h5、k 16、a70。 因此頂點為(5,16)_{、對稱軸為}x5、開口向上。

【練習】9.1-10

求函數 ( 3) 13 16

) 1

(x  x ² 

f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

例題 9.1-11

例題 9.1-12

例題 9.1-14

【練習】9.1-14

在直角座標上畫出 2 3

2 ) 1

(x  x²  x

f _{的函數圖形。}

x y

例題 9.1-15

本節我們已畫了 f(x)ax² 、 f(x)ax² k _、 f(x)a(xh)²、 f(x)a(xh)² k _、

接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件，求出二次函數：

例題 9.1-16

直角座標上，已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1)_{，且通過點}(2,2)_{，試求此二次} 函數。

詳解：

因為 f(x)a(xh)² k_{函數圖形的頂點為}( kh, )，所以頂點為(1,1)_{的二次函數，我} 們可以列成 f(x) xa( 1)² 1。

將點(2,2)_代入y  f(x)a(x1)² 1，以求出 a：

1 ) 1 ( )

(   ² 

 f x a x y

1 ) 1 2 (

2 a  ² 1 2 a

1 a

因此題目所求的二次函數為 f(x) x( 1)² 1

同學可以將函數圖形畫出來看看，是否符合題意。

【練習】9.1-16

直角座標上，已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,3)，且通過點(1,7)_{，試求此二} 次函數。

例題 9.1-17

函數的根與圖形的關係

瞭解了二次函數的圖形後，接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係：

方程式的解，為符合方程式的未知數之值。例如x² x2 150的解為 5 、 3 。 函數的根，為函數值 f(x)0時的 x 之值。例如 f(x)x² 2x15的根為 5 、 3 。 一般來說，相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看，

求ax² bxc0的解就相當於找函數 f(x)ax² bxc其函數圖形與 x 軸交點之 x 座 標。例如函數 f(x)x² 2x15其函數圖形與 x 軸的交點為(5,0)、(3,0)，交點的 x 座 標即為方程式ax² bxc0的解。如圖 9.1-22。

圖 9.1-22

由圖 9.1-22 也可看出，x²  x2 150有兩相異解，而 f(x)x² 2x15函數圖形與 x 軸有兩相異交點。

x y

15

2 2 

x x y

接著我們來看看方程式x²  x6 90，利用乘法公式可得(x3)² 0，因此解為 3 (重 根)。對函數 f(x)x² 6x9來說，3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖 9.1-23。

圖 9.1-23

由圖 9.1-23 可知，x²  x6 90有重根，而 f(x)x² 6x9的函數圖形與 x 軸只有一 交點。

最後我們來看看方程式x²  x20，因為判別式1² 41270，因此無解。對函 數 f(x)x² x2來說，其函數圖形與 x 軸無交點。如圖 9.1-24。

圖 9.1-24

9

2 6 

x x y

2  2

x x y

x y

x y

由圖 9.1-24 可知，x²  x20無解，而 f(x)x² x2的函數圖形與 x 軸無交點。

我們將以上討論做個整理，對於方程式ax² bxc0：

判別式 解的種類 f(x)ax² bxc函數圖形與 x 軸交點

0

2  ac4 

b 兩相異解 兩相異交點

0

2  ac4 

b 重根 一交點

0

2  ac4 

b 無解 無交點

表 9.1-15

例題 9.1-18

判斷 f(x)2x² 8x8的函數圖形與 x 軸的交點數量。

詳解：

利用判別式，先判斷2x²  x8 80的解的種類。

0 8 2 4

8²    

因此方程式2x²  x8 80有重根。根據表 9.1-15， f(x)2x² 8x8的函數圖形 與 x 軸有一交點。

【練習】9.1-18

判斷 f(x)3x² 5x9的函數圖形與 x 軸的交點數量。

在文檔中 代數第九章 目錄 (頁 3-42)