代數第九章
目錄
第九章 二次函數 ... 1
學習目標 ... 1
9.1 節 二次函數及其圖形 ... 2
9.1 節 習題 ... 38
9.2 節 二次函數圖形的移動 ... 45
9.2 節 習題 ... 58
9.3 節 二次函數的最大值與最小值 ... 59
9.3 節 習題 ... 67
9.4 節 二次函數的綜合題與應用題 ... 69
9.4 節 習題 ... 84
第九章綜合習題 ... 88
基測與會考試題 ... 94
習題解答 ... 104
第九章 二次函數
前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋 物線,拋物線在日常生活中隨處可見。例如投球時,球的移動軌跡就屬於拋物線。我 們也將利用二次函數處理關於最大值、最小值的問題。
學習目標
1.能畫出二次函數的函數圖形。
2.能找出拋物線的頂點、開口方向、對稱軸。
2.能利用二次函數解決最大值、最小值的問題。
3.能處理二次函數的應用題。
9.1 節 二次函數及其圖形
在第八章中,我們已經學過一次函數
f
(x
)ax
b
的函數圖形是一條直線。也簡單畫過)
2( x x f
y
的圖形是一條拋物線。本節我們將針對y f ( x ) x
2這類二次函數來做討 論。二次函數:形式為
f ( x ) ax
2 bx c
,其中a
0。即變數 x 最高次數為 2,且x 項係數
2 不為 0 的函數。如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形,對於二次函數如
f ( x ) x
2我們也可 以畫出函數圖形。我們來畫畫看
y f ( x ) x
2的圖形,先找出幾個符合的點:x
-3 -1 0 1 3y
9 1 0 1 9表 9.1-1
將這些點描在直角座標上,並用直線連起來,如圖 9.1-1。
圖 9.1-1
x
y
於是我們得到了一個類似折線圖的圖形,但事實上這張圖只是
y f ( x ) x
2的近似圖,並非真正的圖形。我們可以再多增加(-2,4)、(2,4)兩個點,如圖 9.1-2:
圖 9.1-2
可以看出圖 9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣,我們描的點越多,畫出來的圖形就會越 接近真正的
f ( x ) x
2圖形。實際上,f ( x ) x
2是如圖 9.1-3 的拋物線。
f ( x ) x
2圖 9.1-3
x y
x x y
x
y
畫二次函數圖形時,我們無法畫出所有的點。因此一般只需畫出幾個點,再將各點連 接起來作為近似圖,取的點愈多,畫出來的圖形就愈精確。
例題 9.1-1
畫出二次函數
f ( x ) 2 x
2的圖形。詳解:
令
y f ( x ) 2 x
2,先找出數個圖形上的點。x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
-18 -8 -2 0 -2 -8 -18表 9.1-2
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-2。
f ( x ) 2 x
2 圖 9.1-4x
y
【練習】9.1-1
畫出二次函數
f ( x ) x
2的圖形。x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
x
y
由前面例題,我們已知道函數
f ( x ) x
2與f ( x ) 2 x
2的函數圖形都是拋物線。事實上,只要是二次函數,那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時,相當於是討論拋物線的圖形。
接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質,先複習第四章曾學過的對 稱於 y 軸:
若兩點對稱於 y 軸,則兩點的 y 座標相同時,x 座標互為相反數。
再來觀察
f ( x ) x
2的函數圖形,即y f ( x ) x
2。圖形右側的點(1,1)、(2,4)、(3,9),他 們對 y 軸的對稱點(1,1)、(2,4)、(3,9),也都落在y x
2上。 事實上,所有y x
2上 的點( kh
, ),對 y 軸的對稱點(h
,k
)也都在y x
2上。此時我們稱 y 軸(或直線x
0)是x
2y
的對稱軸。即f ( x ) x
2的函數圖形,其對稱軸為 y 軸。
f ( x ) x
2圖 9.1-5
x
y
除了
f ( x ) x
2以外,所有形式為f ( x ) ax
2的函數圖形,也都是以 y 軸為對稱軸。我們來證明
y f ( x ) ax
2是以 y 軸為對稱軸。已知點( kh
, )在y ax
2上,若點(h
,k
)也 在y ax
2上(即 x 座標代入 h ,可得 y 座標為 k ),則可知y ax
2以 y 軸為對稱軸。ax
2y
)
2( h a
y
(將 x 以 h 代入)ah
2y
(( h )
2 h
2)k
y
(因為( kh
, )在y ax
2上,所以k ah
2,即ah
2k
)由以上式子可知,當點( k
h
, )在y ax
2上時,點(h
,k
)也在y ax
2上,因此y f ( x ) ax
2 的圖形是以 y 軸作為對稱軸。我們也可以稱f ( x ) ax
2的函數圖形是對稱於 y 軸的線對 稱圖形。例題 9.1-2
(1)找出二次函數 2 2 ) 1 (
x x
f
,其函數圖形的對稱軸。(2)畫出 2 2 ) 1 (
x x
f
的函數圖形。詳解:
(1) 2
2 ) 1 (
x x
f
符合f ( x ) ax
2的形式,因此是以 y 軸為對稱軸。(2) 2
2 ) 1 (
x x f
y
的圖形對稱於 y 軸。我們只要畫出右側的圖形,再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。x
0 1 2 3y
02
1 2
2 41
表 9.1-3
圖 9.1-6
圖 9.1-6,先畫出 2 2 1
x
y
右半邊的圖形,接著再利用線對稱,畫出左半邊的圖形。x
y
2 2 ) 1 (
x x f
圖 9.1-7 圖 9.1-7 即為 2
2 ) 1 (
x x
f
的函數圖形。【練習】9.1-2
利用對稱軸,畫出 2
4 ) 1
(
x x
f
的函數圖形。x y
x
y
目前二次函數所畫出的拋物線圖形,有些是開口向上,有些是開口向下,開口方向是 否有什麼規則呢?我們多畫幾個圖形來看看。
開 口 向 上
2
2) ( x x
f f ( x ) x
2 22 ) 1 (
x x f
開 口 向 下
2
2)
( x x
f f ( x ) x
2 22 ) 1
(
x x f
圖 9.1-8
同學應該可以發現,對於二次函數
f ( x ) ax
2,當a
0時,拋物線圖形開口向上;當a
0 時,拋物線圖形開口向下。而且 a 越小,其開口越大。另外在
a
0時,拋物線有最低點;a
0時,拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點 也是拋物線與對稱軸的交點。例題 9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1)
f ( x ) 3 x
2 (2)f ( x ) 8 x
2 (3)f ( x ) 0 . 7 x
2 詳解:(1)3 0,
f ( x ) 3 x
2函數圖形開口向上。(2)8 0,
f ( x ) 8 x
2函數圖形開口向下。(3)0.7 ,0
f ( x ) 0 . 7 x
2函數圖形開口向上。【練習】9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1)
f ( x ) 2 x
2 (2) 2 50 ) 1(
x x
f
(3)f ( x ) 0 . 3 x
2瞭解了
f ( x ) ax
2的函數圖形後,接著我們來看看形式為f ( x ) ax
2 k
的函數圖形。如1
)
( x x
2
f
:一樣先找出
y f ( x ) x
2 1
上的點x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
10 5 2 1 2 5 10表 9.1-4
然後描點畫出圖形:
f ( x ) x
2 1
圖 9.1-10
圖 9.1-10 即為
y f ( x ) x
2 1
的圖形,頂點為(0,1),對稱軸為x
0。x
y
例題 9.1-4
畫出
f ( x ) 2 x
2 3
的函數圖形,並指出頂點。詳解:
先找出數個圖形上的點。
x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
-15 -5 1 3 1 -5 -15表 9.1-5
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-11。
頂點為(0,3)。
f ( x ) 2 x
2 3
圖 9.1-11x
y
【練習】9.1-4
畫出
f ( x ) x
2 6
的函數圖形,並指出頂點。x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
x
y
例題 9.1-5
畫出 4
2 ) 1
(
x
x2 f
的函數圖形,並指出頂點。詳解:
先找出數個圖形上的點。
x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
21 -2
2 31
-4
2 31
-2
2 1
表 9.1-6
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-12。
頂點為( 0, 4)。
4 2
) 1
(
x
x2f
圖 9.1-12
x
y
【練習】9.1-5
畫出 7
2 ) 3
(
x
x2 f
的函數圖形,並指出頂點。x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
x
y
目前我們已經畫出了數個形式為
f ( x ) ax
2 k
的函數圖形。若與f ( x ) ax
2比較,同學 應該可以發現:ax
2y
圖形的頂點為(0,0)。(例如y x
2圖形頂點為(0,0))k ax
y
2
圖形的頂點為( k0, )。(例如 4 21 2
x
y
圖形頂點為( 0, 4))ax
2y
與y ax
2 k
的對稱軸都是x
0。圖 9.1-13
x
y
接下來,讓我們討論形式為
f ( x ) a ( x h )
2的函數圖形,如f ( x ) x ( 2 )
2。 要畫出f ( x ) x ( 2 )
2的函數圖形,一樣先找出符合y f ( x ) ( x 2 )
2的點。x
-1 0 1 2 3 4 5y
9 4 1 0 1 4 9表 9.1-7
然後描點畫出圖形:
f ( x ) x ( 2 )
2圖 9.1-14
圖 9.1-14 即為
f ( x ) x ( 2 )
2的函數圖形,頂點為(2,0),對稱軸為x
2。2
x
x
y
例題 9.1-6
畫出
f ( x ) x 2 ( 3 )
2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。詳解:
先找出數個圖形上的點。
x
0 1 2 3 4 5 6y
18 8 2 0 2 8 18表 9.1-8
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-15。
頂點為(3,0),對稱軸為
x
3。
f ( x ) x 2 ( 3 )
2圖 9.1-15
x
y
【練習】9.1-6
畫出 ( 1)2 2
) 1
(
x
x
f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。x
-2 -1 0 1 2 3 4y
x
y
例題 9.1-7
畫出 ( 4)2 2
) 3
(
x
x
f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。詳解:
先找出數個圖形上的點。
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1y
213 1 6
2
1 1 0
2
1 1 6
2 13 1
表 9.1-9
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-16。
頂點為(4,0),對稱軸為
x
4。 ( 4)2 2) 3
(
x
x
f
圖 9.1-16
【練習】9.1-7
畫出 ( 2)2 2
) 1
(
x
x
f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1y
x
y
我們畫出了數個形式為
f ( x ) a ( x h )
2的函數圖形。若與f ( x ) ax
2比較,同學應該可 以發現:)
2( x ax
f
的函數圖形頂點為(0,0)。(例如f ( x ) x
2的函數圖形頂點為(0,0)))
2( )
( x a x h
f
的函數圖形頂點為(h,0)。(例如f ( x ) x 2 ( 3 )
2的函數圖形頂點為(3,0)))
2( x ax
f
的函數圖形對稱軸是x
0,f ( x ) a ( x h )
2的函數圖形對稱軸是x h
。圖 9.1-17
ax
2y y a ( x h )2
h h x
0 x
x
y
學習了二次函數
f ( x ) ax
2 k
與f ( x ) a ( x h )
2的函數圖形之後,接著我們要將這兩種 函數綜合起來,也就是形式為f ( x ) a ( x h )
2 k
。我們來試著畫畫看
y f ( x ) ( x 2 )
2 3
的圖形:x
-1 0 1 2 3 4 5y
12 7 4 3 4 7 12表 9.1-10
f ( x ) x ( 2 )
2 3
圖 9.1-18
3
) 2 ( )
( x x
2
f
的函數圖形頂點是(2,3),對稱軸是x
2。2
x
x
y
例題 9.1-8
畫出
f ( x ) x 4 ( 2 )
2 3
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。詳解:
先找出數個圖形上的點。
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1y
33 13 1 -3 1 13 33表 9.1-11
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-19。
頂點為(2,3),對稱軸為
x
2。3 ) 2 ( 4 )
( x x
2 f
圖 9.1-19
x y
2
x
【練習】9.1-8
畫出 ( 2) 1 2
) 1
(
x
x
2 f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1y
x
y
例題 9.1-9
畫出 ( 4) 2 3
) 1
(
x
x
2 f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。詳解:
先找出數個圖形上的點。
x
1 2 3 4 5 6 7y 1
3 2
3
1 2 2
3 1 2
3
2
1
表 9.1-12
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-20。
頂點為(4,2),對稱軸為
x
4。( 4) 2 3
) 1
(
x
x
2 f
圖 9.1-20
x
y
【練習】9.1-9
畫出 ( 2) 3 4
) 1
(
x
x
2f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1y
x
y
我們已經畫了數個形式為
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形,同學應該可以發現到:1. 頂點為( k
h
, )。 2. 對稱軸為x 。 h
3.
a
0則開口向上;a
0則開口向下。利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。
例題 9.1-10
求函數
f ( x ) x 7 ( 5 )
2 16
其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。詳解:
與
f ( x ) a ( x h )
2 k
對照,得h
5、k
16、a
7 0。 因此頂點為(5,16)、對稱軸為x
5、開口向上。【練習】9.1-10
求函數 ( 3) 13 16
) 1
(
x
x
2 f
其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。例題 9.1-11
求函數
f ( x ) 4 ( x 3 )
2 2
其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。詳解:
與
f ( x ) a ( x h )
2 k
對照,得h
3、k
2、a
4 0。 因此頂點為(3,2)、對稱軸為x
3、開口向下。【練習】9.1-11
求函數 ( 6) 4 5
) 1
(
x
x
2 f
其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。現在我們很清楚二次函數
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形性質了,但若是函數形式為c
bx ax x
f ( )
2
,又該如何處理呢?我們可以利用以前學過的配方法,將c
bx ax x
f ( )
2
轉換為f ( x ) a ( x h )
2 k
的形式。例如
f ( x ) x
2 4 x 8
: )(x
f
x
2 4x
88 4 4
2 4
x x
(加上中間項 x4 係數一半的平方以湊完全平方,再 4
維持 等式)8 4 ) 2
(
2
x
(化為完全平方)4
) 2 (
2
x
於是我們得到
f ( x ) x
2 4 x 8 ( x 2 )
2 4
。因此
f ( x ) x
2 4 x 8
的函數圖形頂點是(2,4)、對稱軸是x
2、開口向上。例題 9.1-12
寫出
f ( x ) x
2 6 x 18
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。詳解:
) (x
f
x
26x
1818 9 9
2 6
x x
(加上中間項 x6 係數一半的平方以湊完全平方,再 4
維 持等式)18 9 ) 3
(
2
x
(化為完全平方)27
) 3 (
2
x
頂點為(3,27)、對稱軸為
x
3、開口向上。【練習】9.1-12
寫出
f ( x ) x
2 4 x 4
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。例題 9.1-13
寫出
f ( x ) 2 x
2 8 x 1
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。詳解:
) (x
f
2x
2 8x
11 ) 4 (
2
2
x x
(提出 x2項的係數)1
) 4 4 4 (
2
2
x x
(括號內加上中間項4x係數一半的平方以湊 完全平方,再4維持等式)1 8 ) 4 4 (
2
2
x x
(將-4 移到括號外)9
) 2 (
2
2
x
(括號內化為完全平方) 頂點為(2,9)、對稱軸為x
2、開口向下。【練習】9.1-13
寫出
f ( x ) 3 x
2 6 x 5
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。例題 9.1-14
在直角座標上畫出
f ( x ) 2 x
2 12 x 20
的函數圖形。詳解:
想畫
f ( x ) 2 x
2 12 x 20
的圖形,我們先利用配方法將函數化為f ( x ) a ( x h )
2 k
的形式,找出頂點後可讓作圖較容易。) (x
f
2x
2 12x
2020 ) 6 (
2
2
x x
(提出 x2項的係數)20
) 9 9 6 (
2
2
x x
(括號內加上中間項6x係數一半的平方以湊 完全平方,再9維持等式)20 18 ) 9 6 (
2
2
x x
(將-9 移到括號外)2
) 3 (
2
2
x
(括號內化為完全平方) 頂點為(3,2)、對稱軸為x
3、開口向上。找出圖形上的點:
x
0 1 2 3 4 5 6y
20 10 4 2 4 10 20表 9.1-13
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-21。
20 12 2
)
( x x
2 x f
圖 9.1-21
x
y
【練習】9.1-14
在直角座標上畫出 2 3
2 ) 1
(
x
x
2 x
f
的函數圖形。x
y
例題 9.1-15
求 6
2 ) 1
(
x
x
2 x
f
其函數圖形的頂點座標。詳解:
利用配方法將 6
2 ) 1
(
x
x
2 x
f
化成f ( x ) a ( x h )
2 k
的形式。) (x
f
62 1 2
x x
6 ) 2 2(
1 2
x x
(提出 x2項的係數) 6) 1 1 2 2(
1 2
x x
(括號內+1 以湊完全平方,再-1 維持等式) 2 6) 1 1 2 2(
1 2
x x
(將-1 移到括號外)2 51 ) 1 2(
1 2
x
(括號內化為完全平方) 得頂點為 )2 51 , 1
( 。
【練習】9.1-15
求 2 2
5 ) 1
(
x
x
2 x
f
其函數圖形的頂點座標。本 節我們 已畫 了
f ( x ) ax
2、f ( x ) ax
2 k
、f ( x ) a ( x h )
2 、f ( x ) a ( x h )
2 k
、c
bx ax x
f ( )
2
的函數圖形,這邊來做個整理:函數 頂點 對稱軸 開口方向
)
2( x ax
f
(0,0)x
0a
0則開口向上0
a
則開口向下k
ax x
f ( )
2
( k0, )x
0a
0則開口向上0
a
則開口向下)
2( )
( x a x h
f
(h,0)x h a
0則開口向上0
a
則開口向下k
h x a x
f ( ) ( )
2
( kh
, )x h a
0則開口向上0
a
則開口向下c
bx ax x
f ( )
2
將方程式利用配方法化為k
h x a
y ( )
2
的形式再判斷。0
a
則開口向上0
a
則開口向下 表 9.1-14接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件,求出二次函數:
例題 9.1-16
直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1),且通過點(2,2),試求此二次 函數。
詳解:
因為
f ( x ) a ( x h )
2 k
函數圖形的頂點為( kh
, ),所以頂點為(1,1)的二次函數,我 們可以列成f ( x ) x a ( 1 )
2 1
。將點(2,2)代入
y f ( x ) a ( x 1 )
2 1
,以求出 a:1 ) 1 ( )
(
2
f x a x y
1 ) 1 2 (
2 a
2
1 2 a1
a
因此題目所求的二次函數為
f ( x ) x ( 1 )
2 1
同學可以將函數圖形畫出來看看,是否符合題意。
【練習】9.1-16
直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,3),且通過點(1,7),試求此二 次函數。
例題 9.1-17
直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為
x
1,且通過點(2,1)與(1,7), 試求此二次函數。詳解:
因為
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形對稱軸為x h
,所以頂點為對稱軸為x
1的函 數,我們可以列成f ( x ) a ( x ( 1 ))
2 k a ( x 1 )
2 k
。將點(2,1)代入
y f ( x ) a ( x 1 )
2 k
得1 a ( 2 1 )
2 k
,化簡得a
k 1 將點(1,7)代入y f ( x ) a ( x 1 )
2 k
得7 a ( 1 1 )
2 k
,化簡得4a
k7 寫成聯立方程式:
7 4
1
k a
k a
) 2 ...(
) 1 ...(
) 1 ( ) 2
( 得3
a
6→a
22
a
代入(1)得k
1因此題目所求二次函數為
f ( x ) x 2 ( 1 )
2 1
同學可以將函數圖形畫出來,檢視是否符合題意。
【練習】9.1-17
直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為
x
3,且通過點(5,6)與(2,0), 試求此二次函數。函數的根與圖形的關係
瞭解了二次函數的圖形後,接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係:
方程式的解,為符合方程式的未知數之值。例如
x
2 x2 150的解為 5 、 3 。 函數的根,為函數值f
(x
)0時的 x 之值。例如f ( x ) x
2 2 x 15
的根為 5 、 3 。 一般來說,相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看,求
ax
2 bx
c
0的解就相當於找函數f ( x ) ax
2 bx c
其函數圖形與 x 軸交點之 x 座 標。例如函數f ( x ) x
2 2 x 15
其函數圖形與 x 軸的交點為(5,0)、(3,0),交點的 x 座 標即為方程式ax
2 bx
c
0的解。如圖 9.1-22。圖 9.1-22
由圖 9.1-22 也可看出,
x
2 x2 150有兩相異解,而f ( x ) x
2 2 x 15
函數圖形與 x 軸有兩相異交點。x y
15
2
2
x x
y
接著我們來看看方程式
x
2 x6 90,利用乘法公式可得( x 3 )
2 0
,因此解為 3 (重 根)。對函數f ( x ) x
2 6 x 9
來說,3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖 9.1-23。圖 9.1-23
由圖 9.1-23 可知,
x
2 x6 90有重根,而f ( x ) x
2 6 x 9
的函數圖形與 x 軸只有一 交點。最後我們來看看方程式
x
2 x20,因為判別式12 41270,因此無解。對函 數f ( x ) x
2 x 2
來說,其函數圖形與 x 軸無交點。如圖 9.1-24。圖 9.1-24
9
2
6
x x y
2
2
x x y
x y
x
y
由圖 9.1-24 可知,
x
2 x20無解,而f ( x ) x
2 x 2
的函數圖形與 x 軸無交點。我們將以上討論做個整理,對於方程式
ax
2 bx
c
0:判別式 解的種類
f ( x ) ax
2 bx c
函數圖形與 x 軸交點0
2 ac4
b
兩相異解 兩相異交點0
2 ac4
b
重根 一交點0
2 ac4
b
無解 無交點表 9.1-15
例題 9.1-18
判斷
f ( x ) 2 x
2 8 x 8
的函數圖形與 x 軸的交點數量。詳解:
利用判別式,先判斷2
x
2 x8 80的解的種類。0 8 2 4
82
因此方程式2
x
2 x8 80有重根。根據表 9.1-15,f ( x ) 2 x
2 8 x 8
的函數圖形 與 x 軸有一交點。【練習】9.1-18
判斷
f ( x ) 3 x
2 5 x 9
的函數圖形與 x 軸的交點數量。9.1 節 習題
習題 9.1-1
畫出
f ( x ) 2 x
2的函數圖形。習題 9.1-2
(1)找出
f ( x ) 3 x
2函數圖形的對稱軸。(2)畫出
f ( x ) 3 x
2的函數圖形。習題 9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1)
f ( x ) 5 x
2 (2)f ( x ) 5 x
2 (3) 2 3 ) 1 (x x f
習題 9.1-4
畫出
f ( x ) x
2 1
的函數圖形,並指出頂點。習題 9.1-5
畫出
f ( x ) x 2
2 1
的函數圖形,並指出頂點。習題 9.1-6
畫出
f ( x ) x 3 ( 2 )
2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。習題 9.1-7
畫出 ( 1)2 2
) 1
(
x
x
f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。習題 9.1-8
畫出
f ( x ) x 2 ( 1 )
2 1
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。習題 9.1-9
畫出 ( 1) 3 2
) 1
(
x
x
2 f
的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。習題 9.1-10
寫出
f ( x ) x 6 ( 1 )
2 5
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。習題 9.1-11
寫出 ( 1) 1 3
) 1
(
x
x
2 f
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。習題 9.1-12
寫出
f ( x ) x
2 2 x 5
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。習題 9.1-13
寫出
f ( x ) 4 x
2 8 x 1
函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。習題 9.1-14
在直角座標上畫出
f ( x ) 3 x
2 6 x 1
的函數圖形。習題 9.1-15
求 2 4
3 ) 1
(
x
x
2 x
f
函數圖形的頂點座標。習題 9.1-16
判斷
f ( x ) x
2 2 x 1
函數圖形與 x 軸的交點數量。習題 9.1-17
直角座標上,已知某二次函數圖形頂點為(1,2),且通過點(4,11),試求此二次函數。
習題 9.1-18
直角座標上,已知某二次函數圖形對稱軸為
x
2,且通過點(3,2)與( 5, 6),試求此 二次函數。9.2 節 二次函數圖形的移動
在本節中,我們將討論當二次函數圖形改變時,函數會如何變化。
在 9.1 節時我們畫過
f ( x ) x
2 1
的函數圖形,這裡我們與f ( x ) x
2做比較:為了簡化運算,我們先比較拋物線方程式
y x
2 1
與y x
2。x
-3 -2 -1 0 1 2 3x
2y
9 4 1 0 1 4 92
1
x
y
10=9+1
5
=4+1
2
=1+1
1
=0+1
2
=1+1
5
=4+1
10
=9+1 表 9.2-1
可以看出 x 座標相同時,
y x
2 1
圖形的 y 座標是y x
2圖形的 y 座標加 1。將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:
圖 9.2-1
x
x
2y
2
1
x y
x
y
我們再看一個例子,比較 4 2
1 2
x
y
與 22 1
x
y
的圖形:x
-3 -2 -1 0 1 2 32
2 1
x
y
24 1 2
2
1 0
2
1 2
2 41
2 4 1 2
x
y
21
= 4 2 4 1
-2
=
2 4
2 31
= 4 21
-4
=0 4
2 31
= 4 21
-2
=
2 4
2 1
= 4 2 4 1
表 9.2-2
圖 9.2-2 如圖 9.2-2, 4
2 1 2
x
y
的圖形,可以看成是 22 1
x
y
往下移動 4 單位。事實上,
y ax
2 k
的圖形,相當於y ax
2往上移動 k 單位。(若k
0則為往下移動 k 單 位)因此
y x
2 1
的圖形是y x
2往上移動 1 單位, 4 21 2
x
y
的圖形是 22 1
x
y
往下移動 4 單位。2 4 1 2
x
y
2
2 1
x y
x
y
我們再接著看下一種形式,比較
y x ( 2 )
2與y x
2:y
9 4 1 0 1 4 9x
(
y x
2) -3 -2 -1 0 1 2 3x
(
y x ( 2 )
2)-1
=-3+2
0
=-2+2
1
=-1+2
2
=0+2
3
=1+2
4
=2+2
5
=3+2 表 9.2-3
可以看出 y 座標相同時,
y x ( 2 )
2圖形的 y 座標是y x
2圖形的 x 座標加 2。將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:
圖 9.2-3
由圖 9.2-3 可知,
y x ( 2 )
2的圖形即是y x
2的圖形往右移動 2 單位。x
2y y x ( 2 )
2x
y
再比較看看 ( 4)2 2
3
x
y
與 22 3
x y
:y
213 1 6
2
1 1 0
2
1 1 6
2 13 1
x
( 2
2 3
x
y
) -3 -2 -1 0 1 2 3x
( ( 4)2 2
3
x
y
)-7
=-3-4
-6
=-2-4
-5
=-1-4
-4
=0-4
-3
=1-4
-2
=2-4
-1
=3-4 表 9.2-4
圖 9.2-4 可以看出 ( 4)2
2 3
x
y
的圖形相當於 22 3
x
y
的圖形往左移動 4 單位。事實上,
y a ( x h )
2的函數圖形相當於y ax
2往右移動h
單位。(若h
0則為往左移動h
單位)2
2 3
x
2
y
) 4 2( 3
x y
x
y
最後我們比較
y x ( 2 )
2 3
與y x
2:x
2y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3y
9 4 1 0 1 4 93 ) 2 (
2
x y
x
-1 0 1 2 3 4 5y
12 7 4 3 4 7 12表 9.2-5
圖 9.2-5
3 ) 2 (
2
x y x
2y
x
y
從頂點來看,
y x
2的頂點是(0,0),y x ( 2 )
2 3
的頂點是(2,3),相當於 x 座標增加 了 2 單位,y 座標增加了 3 單位。除了頂點以外,其他的點也有同樣關係:x
2y
上的點 (0,0) (1,1) (2,4) (3,9)3
) 2 (
2
y x
上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12)表 9.2-5
表 9.2-5 中,對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位。事實上,整 個
y x ( 2 )
2 3
的圖形可以想像成是y x
2的圖形往右移動 2 單位,再往上移動 3 單 位。那麼 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢?前面我們已經知道了:
k ax
y
2
的圖形相當於y ax
2往上移動 k 單位。(若k
0則為往下移動 k 單位))
2( x h a
y
的圖形相當於y ax
2往右移動 h 單位。(若h
0則為往左移動 h 單位)合併成
y a ( x h )
2 k
時也是一樣:k h x a
y ( )
2
的圖形相當於y ax
2往右移動 k 單位,往上移動 h 單位。(若k
0則為 往下移動 k 單位,h
0則為往左移動 h 單位)因此,
y x ( 2 )
2 3
的圖形就相當於y x
2的圖形往右移動 2 單位,再往上移動 3 單位。我們已經知道了
y a ( x h )
2 k
相當於將y ax
2往右移動 h 單位(h
0時為往左移動 h 單位),往上移動 k 單位(k
0時為往下移動 k 單位)。反過來說,y ax
2若往上移動 k 單 位 , 則 方 程 式 會 變 為y ax
2 k
。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 , 方 程 式 就 會 變 為k h x a
y ( )
2
。以
y 2x
2為例,將圖形往上移 4 單位,方程式會變為y x 2
2 4
。再繼續往右移 5 單位,方程式會變為
y x 2 ( 5 )
2 4
,如圖 9.2-6:圖 9.2-6
x y
4 ) 5 (
2
2 y x
2x
2y
4
2
2
y x
同樣地,若是移動
y a ( x h )
2 k
,也會有下列關係:(1)將
y a ( x h )
2 k
往上移動k
1單位,會得到y a ( x h )
2 k k
1。(k
1 0) (2)將y a ( x h )
2 k
往下移動k
2單位,會得到y a ( x h )
2 k k
2。(k
2 0) (3)將y a ( x h )
2 k
往右移動h
1單位,會得到y a ( x h h
1)
2 k
。(h
1 0) (4)將y a ( x h )
2 k
往左移動h
2單位,會得到y a ( x h h
2)
2 k
。(h
2 0)瞭解了拋物線方程式的移動之後,接下來讓我們回到二次函數的函數圖形。
我們來移動
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形:(1) 將
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形往上移動k
1單位,會得到f ( x ) a ( x h )
2 k k
1。 )0 (
k
1 (2) 將
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形往下移動k
2單位,會得到f ( x ) a ( x h )
2 k k
2。 )0 (
k
2 (3) 將
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形往右移動h
1單位,會得到f ( x ) a ( x h h
1)
2 k
。 )0 (
h
1 (4) 將
f ( x ) a ( x h )
2 k
的函數圖形往左移動h
2單位,會得到f ( x ) a ( x h h
2)
2 k
。 )0 (
h
2 例題 9.2-1
(1)求將
f ( x ) 3 x
2的函數圖形上移 1 單位後所得的函數。(2)求將
f ( x ) 3 x
2的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。(3)求將
f ( x ) 3 x
2的函數圖形右移 2 單位後所得的函數。(4)求將
f ( x ) 3 x
2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。詳解:
利用前面討論的結果可以得到:
(1)將
f ( x ) 3 x
2的函數圖形上移 1 單位後所得的函數為f ( x ) 3 x
2 1
。 (2)將f ( x ) 3 x
2的函數圖形下移 3 單位後所得的函數為f ( x ) 3 x
2 3
。 (3)將f ( x ) 3 x
2的函數圖形右移 2 單位後所得的函數為f ( x ) 3 ( x 2 )
2。 (4)將f ( x ) 3 x
2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數為f ( x ) 3 ( x 4 )
2。【練習】9.2-1
(1)求將 2
2 ) 1
(
x x
f
的函數圖形下移 1 單位後所得的函數。(2)求將 2
2 ) 1
(
x x
f
的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。(3)求將 2
2 ) 1
(
x x
f
的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。(4)求將 2
2 ) 1
(
x x
f
的函數圖形右移 4 單位後所得的函數。例題 9.2-2
(1)求將
f ( x ) 7 x
2的函數圖形上移 3 單位,左移 4 單位後所得的函數。(2)求將
f ( x ) 7 x
2的函數圖形下移 2 單位,右移 7 單位後所得的函數。詳解:
(1) 將
f ( x ) 7 x
2的函數圖形上移 3 單位後所得的函數為f ( x ) x 7
2 3
,再左移 4 單位得到y x 7 ( 4 )
2 3
。(2) 將
f ( x ) 7 x
2的函數圖形下移 2 單位後所得的函數為f ( x ) x 7
2 2
,再右移 7 單位得到f ( x ) x 7 ( 7 )
2 2
。【練習】9.2-2
(1)求將
f ( x ) 5 x
2的函數圖形上移 3 單位,右移 5 單位後所得的函數。(2)求將
f ( x ) 5 x
2的函數圖形下移 6 單位,左移 4 單位後所得的函數。例題 9.2-3
(1)求將
f ( x ) x ( 2 )
2 1
的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。(2)求將
f ( x ) x ( 2 )
2 1
的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。(3)求將
f ( x ) x ( 2 )
2 1
的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位後所得的函數。詳解:
(1) 將
f ( x ) x ( 2 )
2 1
的函數圖形上移 3 單位即得:3 1 ) 2 ( )
( x x
2 f
4 ) 2 ( )
( x x
2 f
(2) 將
f ( x ) x ( 2 )
2 1
的函數圖形左移 4 單位即得:1 ) 4 2 ( )
( x x
2 f
1 ) 2 ( )
( x x
2 f
(3) 將
f ( x ) x ( 2 )
2 1
的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位即得:2 1 ) 1 2 ( )
( x x
2 f
1 ) 3 ( )
( x x
2 f
【練習】9.2-3
(1)求將
f ( x ) x ( 1 )
2 2
的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。(2)求將
f ( x ) x ( 1 )
2 2
的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。(3)求將
f ( x ) x ( 1 )
2 2
的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位後所得的函數。例題 9.2-4
求將
f ( x ) x
2 4 x 7
的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。詳解:
首先利用配方法,將
f ( x ) x
2 4 x 7
化成f ( x ) a ( x h )
2 k
的形式。) (x
f
x
24x
77 4 4
2 4
x x
7 4 ) 2
(
2
x
11 ) 2 (
2
x
將
f ( x ) x ( 2 )
2 11
的函數圖形左移 2 單位所得函數為:11 ) 2 2 ( )
( x x
2 f
11 ) 4 ( )
( x x
2 f
【練習】9.2-4
求將
f ( x ) x
2 6 x 3
的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。例題 9.2-5
求將
f ( x ) 3 x
2 18 x 1
的函數圖形右移 5 單位,下移 3 單位後所得的函數。詳解:
首先利用配方法,將
f ( x ) 3 x
2 18 x 1
化成f ( x ) a ( x h )
2 k
的形式。) (x
f
3x
218x
11 ) 6 (
3
2
x x
1 ) 9 9 6 (
3
2
x x
1 27 ) 9 6 (
3
2
x x
26 ) 3 (
3
2
x
將
f ( x ) 3 ( x 3 )
2 26
的函數圖形右移 5 單位,下移 3 單位所得的函數為:3 26 ) 5 3 ( 3 )
( x x
2 f
23 ) 8 ( 3 )
( x x
2 f
【練習】9.2-5
求將