第五章 多項式
5.2 節 多項式的四則運算
5.2.3 節 多項式的除法運算
介紹完多項式的乘法後，接著我們來看看除法。
以前我們學過由23=6，可以得到63=2，其中 6 是被除數，3 是除數，2 是商。
同樣地，例題 5.2.1-3 中我們寫過(x−3)(x+1)= x2 −2x−3 寫成除法算式則為(x2 −2x−3)(x−3)=(x+1)
其中(x2− x2 −3)是被除式，( −x 3)是除式，( +x 1)是商式。
※因除式為 0 時無意義，本節不考慮除式為 0 的情況
與乘法運算時相同，除法的計算我們先從單項式開始看。
在單項式的除法中，先將原式化為分式，即被除式除式 的形式，其中數字部分要均分，文 字部分則利用指數運算 n m n
m
a a
a = − 來化簡。
舉例： x
x x x
x 3 3
3
2
2 = = ( x 0)
x x x x
x 2
3 3 6 6
2
2 = = ( x 0)
例題 5.2.3-1
計算下列各式：
(1)6x2 (2)2x −15 x 3x (3)5x2 2x 詳解：
(1) x
x x x
x 3
2 2 6 6
2
2 = =
(2) 5
3 3 15
15 − =−
=
− x
x x
x
(3) x
x x x
x 2
5 2 2 5 5
2
2 = =
5-29
【練習】5.2.3-1 計算下列各式：
(1)16x3 4x (2)25x2 5x (3)30x2 (4)6x 81x2 9x
若被除數為多項式，除數為單項式，我們也可以拆解來計算，如下題：
例題 5.2.3-2
計算下列各式：
(1)(x2 + )3x x (2)(12x3+8x2)4x 詳解：
(1)
＝
＝
＝
x x x + )3 ( 2
x x x2 +3
x x x x2 +3
+3 x
(2)
＝
＝
＝
x x
x 8 ) 4
12
( 3 + 2
x x x
4 8 12 3+ 2
x x x x
4 8 4
12 3 + 2 x x 2 3 2 +
【練習】5.2.3-2 計算下列各式：
(1)(x2 + )2x x (2)(9x3−18x2)3x
5-30
接下來我們來看看多項式除以多項式要如何運算，這裡我們使用直式除法計算。
直式除法也稱為長除法，計算方式與一般數字的直式除法類似。
以計算(x2 +2x−3)(x−1)為例：
(1) 先列出直式
−1
x x 2 +2x − 3
(2) 被除式x2 + x2 −3的第一項是x ，除式2 x−1的第一項是x， x
x
x2 = ，因此我們商式的第一項放x，
被除式下面放除式與商式第一項相乘的式子。
x
−1
x x 2 +2x − 3
x 2 −x ← (x−1)x=x2 −x
(3) 計算(x2 +2x−3)−(x2 −x)=3x−3 x
−1
x x 2 +2x − 3 x 2 −x
x
3 − ← 3 (x2 +2x−3)−(x2 −x)=3x−3 (4) 3 −x 3的第一項是 x3 ，除式x−1的第一項是x，
3
3x x= ，因此我們商式的第二項放 3 ， x + 3
−1
x x 2 +2x − 3 x 2 −x
x
3 − 3 x
3 − ← 3 (x−1)3=3x−3
5-31
(5) 計算(3x−3)−(3x−3)=0
x + 3 ← 此處( +x 3)為商式
−1
x x 2 +2x − 3 x 2 −x
x
3 − 3 x
3 − 3
0 ← (3x−3)−(3x−3)=0，此處為餘式
於是我們得到了(x2 +2x−3)(x−1)=x+3，餘式為 0。
驗算： 無餘式時，除式×商式＝被除式 可計算(x−1)(x+3)= x2 +2x−3
接著再看一題有餘式的計算：
計算(2x2 +3x+4)(x+2)
x
2 −1 ← 商式為(2x−1) +2
x 2x 2 + 3x +4
2x 2 +4x ← (x+2)2x=2x2 +4x
−x +4 ← (2x2 +3x+4)−(2x+4x)=−x+4
−x −2 ← (x+2)(−1)=−x−2
6 ← (−x+4)−(−x−2)=6，餘式為 6
因此我們得到，(2x2 +3x+4)(x+2)，商式為2 −x 1，餘式為 6 。 驗算： 有餘式時，除式×商式＋餘式＝被除式
可計算(2x−1)(x+2)+6=(2x2 + x3 −2)+6=2x2 + x3 +4
5-32
例題 5.2.3-3
直式計算下列各式並驗算：
(1)(3x2 +5x)(x+5) (2)(6x2 +5x)(2x+1) 詳解：
(1) (3x2 +5x)(x+5)
x
3 − 10 +5
x 3x 2 + 5x 3x 2 +15x −10x
−10x − 50
50
) 5 ( ) 5 3
( x2 + x x+ 的商式為(3x−10)，餘式為 50。
驗算：計算(x+5)(3x−10)+50=3x2 +5x
(2) (6x2 +5x)(2x+1)
x
3 +1 1
2 +x 6x 2 + 5x 6x 2 + 3x 2x
2x +1 −1
) 1 2 ( ) 5 6
( x2 + x x+ 的商式為(3x+1)，餘式為(−1)。 驗算：計算(2x+1)(3x+1)+(−1)=6x2+5x
5-33
【練習】5.2.3-3
直式計算下列各式並驗算：
(1)(18x2 +15x)(6x+3) (2)(4x2−7x)(2x−1)
例題 5.2.3-4
直式計算下列各式並驗算：
(1)(48x2+30x+3)(6x+3) (2)(12x2 +6x+4)(6x+1) 詳解：
(1)(48x2+30x+3)(6x+3)
x
8 +1 3
6 +x 48x 2 +30x + 3 48x 2 +24x
x
6 + 3 x
6 + 3 0
) 3 6 ( ) 3 30 48
( x2 + x+ x+ 的商式為(8x+1)，餘式為 0。
驗算：計算(6x+3)(8x+1)=48x2 +30x+3
5-34
(2)(12x2 +6x+4)(6x+1)
x
2 3
+ 2
1
6 +x 12x 2 +6x +4 12x 2 +2x
x
4 +4 x
4 3 + 2
3 3 1
) 1 6 ( ) 4 6 12
( x2 + x+ x+ 的商式為 )
3 2 2
( x+ ，餘式為 3 3 。 1
驗算：計算 12 6 4
3 31 3) 2 2 ( ) 1 6
( x+ x+ + = x2+ x+
【練習】5.2.3-4
直式計算下列各式並驗算：
(1)(5x2 +9x+2)(x+2) (2)(8x2 −2x−6)(4x+3)
5-35
例題 5.2.3-5
直式計算並驗算：
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3+ x2 + x+ x2 + x+ 詳解：
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3+ x2 + x+ x2 + x+
x
3 −1 2
3
5x2 + x+ 15x 3 +4x2 +4x +1 15x 3 +9x2 +6x
5x2
− −2x +1 5x2
− − 3x −2 x + 3
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3+ x2 + x+ x2 + x+ 的商式為(3x−1)，餘式為( +x 3)。 驗算：計算(5x2 +3x+2)(3x−1)+(x+3)=15x3 +4x2+4x+1
【練習】5.2.3-5
直式計算並驗算：
) 2 3 2 ( ) 2 5 2 8
( x3+ x2 + x+ x2 + x+
5-36
例題 5.2.3-6 (缺 x 一次項的直式除法) 直式計算下列各式並驗算：
(1)(16x2+6)(4x+3) (2)(9x2 −4)(3x+2) 詳解：
(1)(16x2+6)(4x+3)
4x − 3 3
4 +x 16x 2 +0x + ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 6 16x 2 +12x
−12x + 6 −12x − 9 15
) 3 4 ( ) 6 16
( x2 + x+ 的商式為(4x−3)，餘式為 15。
驗算：計算(4x+3)(4x−3)+15=16x2 +6
(2)(9x2 −4)(3x+2)
3x −2 2
3 +x 9x 2 +0x −4 ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 9x 2 +6x
−6x −4 −6x −4
0
) 2 3 ( ) 4 9
( x2 − x+ 的商式為(3x−2)，餘式為 0。
驗算：計算(3x+2)(3x−2)=9x2 −4
5-37
【練習】5.2.3-6
直式計算下列各式並驗算：
(1)(8x2 +6)(2x+1) (2)(9x2 −2)(3x+1)
若在一個多項式除法中，被除式為 A，除式為 B，商式為 Q，餘式為 R。(B 不為 0) 也就是：AB=QR
我們在前面驗算時寫成： A=BQ+R 也可以將此式同除以 B 寫成：
B Q R B
A = +
即 除式
商式 餘式 除式
被除式= +
例題 5.2.3-7
有兩多項式 A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：
(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 2A 除以 B 的商式與餘式。
(3)求 A 除以 5B 的商式與餘式。
詳解：
(1) 除式
商式 餘式 除式
被除式= +
多項式 A 除以 B，商式為 Q，餘式為 R。
關係式為 B
Q R B
A= +
5-38
(2) 求 2A 除以 B 的商式與餘式。
將 B
Q R B
A = + 同乘以 2
得 2=( + )2 B Q R B
A
化簡為 B
Q R B
A 2
2 =2 +
對照 除式
商式 餘式 除式
被除式 = +
即 2A 除以 B，商式為 2Q，餘式為 2R。
(3) 求 A 除以 5B 的商式與餘式。
將 B
Q R B
A = + 同除以 5
得 5=( + )5 B Q R B
A
化簡為 B
R Q B A
5 5 5 = +
對照 除式
商式 餘式 除式
被除式= +
即 A 除以 5B，商式為 5
Q ，餘式為 R。
【練習】5.2.3-7
有兩多項式 A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：
(1)求 4A 除以 B 的商式與餘式。 (2)求 A 除以 2B 的商式與餘式。
5-39