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代數第五章
目錄
第五章 多項式 ... 1
學習目標 ... 1
5.1 節 多項式 ... 2
5.1.1 節 認識多項式 ... 2
5.1.2 節 多項式化簡 ... 9
5.1 節 習題 ... 11
5.2 節 多項式的四則運算 ... 13
5.2.1 節 多項式的加減法運算 ... 13
5.2.2 節 多項式的乘法運算 ... 20
5.2.3 節 多項式的除法運算 ... 28
5.2 節 習題 ... 39
5.3 節 多項式的乘法公式 ... 43
5.3.1 節 兩式相乘公式 ... 44
ii
5.3.2 節 和的平方公式 ... 48
5.3.3 節 差的平方公式 ... 52
5.3.4 節 平方差公式 ... 56
5.3.5 節 其他乘法公式 ... 61
5.3 節 習題 ... 66
5.4 節 乘法公式在根號的應用 ... 71
5.4.1 節 根號的運算規則 ... 72
5.4.2 節 乘法公式在根號運算的應用 ... 76
5.4 節 習題 ... 81
5.5 節 多項式與乘法公式的應用題與綜合題 ... 83
5.5 節 習題 ... 96
第五章綜合習題 ... 101
基測與會考模擬試題 ... 105
習題解答 ... 111
5-1
第五章 多項式
在本章中,我們將學習多項式與乘法公式的運算。在瞭解這些觀念後,未來可以再延 伸應用到一元二次方程式與二次函數等章節。
學習目標
1.瞭解什麼是多項式。
2.能進行多項式的四則運算。
3.能活用乘法公式進行運算。
4.能利用乘法公式將根式化簡。
5-2
5.1 節 多項式
前面的章節中,我們學了一元一次式,例如x+1、 x5 、7 −x 9等。
其中像 x5 只有一個項,我們也稱為單項式。
單項式: 1. 運算只有乘法和次方,不可有加減運算(除法可視為乘以分數)。
2. 變數不可放在分母、指數、根號或絕對值的位置。
例如:0.5x、 2 3
2x 、−4x3、 6 這些都可稱為單項式。(※) 接著我們再來看看本章要介紹的多項式。
顧名思義,多項式即是 1 個或若干個單項式用加減符號組成的代數式。
譬如4x3 −3x2 +7x+2、3x2 − x4 +5、6x3 +3.5x2 +7x+3、14、 11 8x+
可稱為多項式。
而 4 −x 7 、3 +6
x 、5x−9、 4x2 − x3 +7 等皆不為多項式。
我們首先要認識多項式的次數、係數等有關名詞。接著再介紹多項式排列的兩種方法:
升冪排列、降冪排列以及多項式的同類項合併。
※ x 即 x 的二次方,也就是2 x 。同理x x 即 x 的三次方,也就是3 xxx。
5.1.1 節 認識多項式
讓我們來認識多項式各組成要素的名稱:
元: 在多項式中,變數的數量。
第一章我們學過一元一次式如7 +x 1,變數只有 1 個 x,可稱為一元多項式。
第三章學過二元一次式如7x+ y4 +1,變數有 x 和 y 共 2 個,可稱為二元多項式。
5-3
次數: 在多項式中,變數的最高次數就是這多項式的次數。
例:多項式5x3+3x2 +2x+1,x 的最高次數是 3,這個多項式稱為三次多項式。
多項式4x2 + x9 +1,x 的最高次數是 2,這個多項式也可以簡稱為二次式。
若是多元多項式如2x3y2 + xy9 +1,2x3y2中 x 的次數是 3,y 的次數是 2,
合起來是 5,則這個多項式為五次多項式。
項: 在多項式中,加減號分開的每一部分,連同它前面的符號,稱為一個項。
例:多項式x2 − x3 +1,有三個項,分別為x 、2 − 、3x 1。
係數: 一個多項式中,未知數以外的部分,連同其前面的符號叫做係數。
例:−2x是−2跟 x 的乘積,−2是 x 的係數。
常數項: 在多項式中,如某一個項只是一個數字,而不包含任何的未知數,
稱為常數項。例:x2 − x3 +1這個多項式中,1 為這個多項式的常數項。
常數多項式: 多項式只含有常數項,稱為常數多項式。
常數多項式又可細分為零次多項式與零多項式:
零次多項式: 次數為 0 且常數項不為 0 的多項式,例:2=2x0為零次多項式,
5, 8,π也都是零次多項式。
零多項式: 若此多項式為 0,即為零多項式。
5-4
例題 5.1.1-1
試判斷下列各選項是否為多項式,如果不是,請寫出理由來:
(1)3x2 − x7 +5 (2) 2x2 − x5 +3 (3) − (4) 9x 1 2
2 −
x (5) 2 (6)3 +y 1 (7) x2 + x2 +1 (8) 9 x (9) x2 + y+1 (10) xy 詳解:
(1)是。 (2)不是,因為 x 在絕對值內。
(3)是。 (4)不是,因為 x 不能在分母。
(5)是。 (6)是。
(7)不是,因為 x 不能在根號內。 (8)不是,因為 x 不能在指數內。
(9)是。 (10)是。
【練習】5.1.1-1
試判斷下列各選項是否為多項式,如果不是,請寫出理由來:
(1)2 −x 1 (2) x4 −4 (3) − (4) 5x 7 +z 1 (5) 3 (6)x
2 (7) 3x3 −1 (8) 9x+1 (9) xyz (10) 0
5-5
例題 5.1.1-2
請寫出下列各多項式的次數:
(1)4x3− x7 +5 (2) x+7 (3) 19 (4)x2y+ x+1 詳解:
(1)最高次項4x 的次數為 3,是三次多項式。 3 (2) 最高次項x的次數為 1,是一次多項式。
(3) 19 的次數為 0,是零次多項式。(19 也可以想成是19x ) 0
(4) 最高次項x2y,x 的次數為 2,y 的次數為 1,合起來是 3,是三次多項式。
【練習】5.1.1-2
請寫出下列各多項式的次數:
(1)2x6 − x3 +1 (2) 4 +x 7 (3) 50 (4)x7y+ xy2 +1
5-6
例題 5.1.1-3
請寫出多項式4x3 − x2 2+1各項的係數:
(1)x 項的係數為? 3 (2)x 項的係數為? 2 (3)x項的係數為? (4)常數項的係數為?
詳解:
(1)x 項為3 4x ,係數為 4。 3 (2)x 項為2 −2x2,係數為-2。
(3)沒有x項,係數為 0。(可以想成是0x) (4)常數項為 1,係數為 1。
【練習】5.1.1-3
請寫出多項式−5x3+3x−4各項的係數:
(1)x 項的係數為? 3 (2) x 項的係數為? 2 (3) x項的係數為? (4)常數項的係數為?
5-7
例題 5.1.1-4 配合題:
(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中:(可重覆)
(1) 13 +x 6是( ) (2) x2 −4是( ) (3) 6 是( ) (4) 0 是( ) 詳解:
(1)13 +x 6最高次數為 1,為一次多項式,也是一元一次式,填入(B)、(F)。
(2)x2 −4最高次數為 2,為二次多項式,填入(A)。
(3) 6 的次數為 0,為常數多項式,常數項不為 0,也是零次多項式,填入(C)、(D)。
(4)0 為常數多項式,也是零多項式,填入(C)、(E)。
【練習】5.1.1-4 配合題:
(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中:(可重覆)
(1) 52− 是( ) (2) x2 + x2 −4是( ) (3) 0 是( ) (4) x−7是( )
5-8
降冪排列與升冪排列:
一個多項式,將未知數的次數由高而低,由左而右的順序排列,稱為降冪排列。
反之,將未知數的次數由低而高,由左而右的順序排列,稱為升冪排列。
例如:
4 5
7x−x2 + x3 − 是不規則的排列 4
7
5x3 −x2 + x− 為降冪排列
3
2 5
7
4+ x−x + x
− 為升冪排列
習慣上我們都會將整理完的多項式寫成降冪排列。
例題 5.1.1-5
多項式 A=−x2 −3+9x+3x3 (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列 詳解:
(1)3x3−x2+9x−3 (2)−3+9x−x2 +3x3
【練習】5.1.1-5
多項式 B=−7x−3x2 +5−15x3 (1)將多項式 B 按降冪排列 (2)將多項式 B 按升冪排列
5-9
5.1.2 節 多項式化簡
在學多項式的各種運算之前,我們要先會化簡多項式。
在多項式中,如果某一項次與另一項次的文字與次數相同,我們就稱之為同類項。
例:在多項式6x2 +3x2 +7x+3中,6x 與2 3x 的次數相同,都是 2,則我們可以將這兩2 個同類項做合併,得到比較簡潔的式子。
3 7 3
6x2 + x2 + x+
= (6+3)x2+7x+3
= 9x2 + x7 +3 像這種合併的動作,稱為同類項合併。
例題 5.1.2-1
(A)−4x (B) 2 3
2x (C) 6− (D)7x 2 (E)4x 3 (F)2.1x (1)上面選項中,與2x 是同類項的有( )2 。 (2)上面選項中,與
4
x 是同類項的有( )。
(3)上面選項中,與 52. 是同類項的有( )。
詳解:
(1)2x 的次數是 2,同樣次數是 2 的選項有(B)、(D)。 2 (2)x x
4 1
4 = ,次數是 1,同樣次數是 1 的選項有(A)、(F)。
(3) 52. 的次數是 0,同樣次數是 0 的選項有(C)。
※ 52. 可以想成是2 x ,次數為 0。 .5 0
【練習】5.1.2-1
(A)− (B)9x 2x 3 (C) 27. (D)x 3 (E)0.5x (F) 5 2
(1)上面選項中,與5x 是同類項的有( )3 。 (2)上面選項中,與
3
x 是同類項的有( )。
5-10
(3)上面選項中,與 9− 是同類項的有( )。
例題 5.1.2-2
將下列各多項式做同類項合併:
(1)2x2+4x+5x+8−1 (2)3x2−x2 +4x+6 (3)−2x3+4x−9+9x3 (4)7x2 −3−3x+4 詳解:
(1) 2x2 +4x+5x+8−1 (2) 3x2 −x2 +4x+6 = 2x2 +(4+5)x+(8−1) = (3−1)x2+4x+6 = 2x2 + x9 +7 = 2x2 + x4 +6
(3) −2x3 +4x−9+9x3 (4) 7x2 −3−3x+4 = −2x3+9x3 +4x−9 = 7x2 − x3 −3+4 = (−2+9)x3 +4x−9 = 7x2 − x3 +(−3+4) = 7x3+ x4 −9 = 7x2 − x3 +1
【練習】5.1.2-2
將下列各多項式做同類項合併:
(1)−3x2 −x2+4x+4 (2)2x2 −x+4x−5+6 (3)−3x3−3x+2x3−4 (4)6x2 +5−7x−1
5-11
5.1 節 習題
習題 5.1-1
試判斷下列各選項是否為多項式,如果不是,請寫出理由來:
(1)2x2− x6 −1 (2) x2 − x6 −5 (3) − (4) 8x 2 3
2 −
y (5) 6 (6)4 −x 5 (7) y2 + y3 +3 (8) 2x (9) x2 + x+1 (10) x2y
習題 5.1-2
請寫出下列各多項式的次數:
(1)3x4− x2 2 +6 (2) 3 (3) y+5 (4)xy+ x+2
習題 5.1-3
請寫出多項式3y3 −5y2 +4y−2各項的係數:
(1)y3項的係數為? (2) y2項的係數為?
(3) y項的係數為? (4)常數項的係數為?
習題 5.1-4 配合題:
(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中:(可重覆)
(1) x2 −1是( ) (2) 8 是( ) (3) 0 是( ) (4) 5 +x 1是( )
5-12
習題 5.1-5
有多項式 A=−3+5x2 +6x−2x3 (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列
習題 5.1-6
(A)− (B) x5x 2
1 (C)5x 2 (D) 8 (E)3x 2 (F) 3 1
(1)上面選項中,與6x 是同類項的有( )2 。 (2)上面選項中,與
4
x 是同類項的有( )。
(3)上面選項中,與 3 是同類項的有( )。
習題 5.1-7
將下列各多項式做同類項合併:
(1)3x3 +2x+x−2+3 (2)4x2 +3x2+x−2 (3)2x3+x−5−x3 (4)6x2−2−2x−2
5-13
5.2 節 多項式的四則運算
5.1 節中我們已經瞭解了多項式的基本觀念,本節將繼續介紹多項式與多項式之間的四 則運算。
5.2.1 節 多項式的加減法運算
瞭解多項式化簡方法後,我們就可以進行多項式之間的加減法運算。
多項式與多項式的加減法運算,計算方式與前面的併項類似,先將同類項放在一起,
然後利用加法或減法運算將同類項合併。
例如:多項式3x2 + x2 −4與−x2 +3x−2相加,寫成算式為:
+
− +2 4) 3
( x2 x (−x2 +3x−2)
= 3x2 +2x−4−x2 +3x−2 (拆括號)
= 3x2 −x2 +2x+3x−4−2 (整理同類項)
= (3−1)x2+(2+3)x+(−4−2)
= 2x2 + x5 −6
多項式3x2+ x2 −4減去−x2 +3x−2,寫成算式為:
−
− +2 4) 3
( x2 x (−x2 +3x−2)
= 3x2 +2x−4+x2 −3x+2 (拆括號)
= 3x2 +x2 +2x−3x−4+2 (整理同類項)
= (3+1)x2 +(2−3)x+(−4+2)
= 4x2 − x−2
5-14
例題 5.2.1-1
計算下列各式:
(1)(5x2 +3x+2)+(2x2 +4x+7) (2)(2x2 +4x−1)+(−x2 +3x+5) 詳解:
(1) (5x2+3x+2)+(2x2+4x+7)
= 5x2 +3x+2+2x2 +4x+7 (拆括號) = 5x2 +2x2 +3x+4x+2+7 (整理同類項) = (5+2)x2+(3+4)x+(2+7)
= 7x2 + x7 +9
(2) (2x2 +4x−1)+(−x2 +3x+5)
= 2x2 +4x−1−x2 +3x+5 (拆括號) = 2x2 −x2 +4x+3x−1+5 (整理同類項) = (2−1)x2 +(4+3)x+(−1+5)
= x2 + x7 +4
【練習】5.2.1-1 計算下列各式:
(1)(2x2 +x+4)+(x2 +3x+6) (2)(−2x2 −3x−2)+(−x2 +4x−3)
5-15
例題 5.2.1-2
計算下列各式:
(1)(2x2 +4x+6)−(x2 −2x+4) (2)(8x2+3x+6)−(2x2 +4x−4) 詳解:
(1) (2x2 +4x+6)−(x2 −2x+4)
= 2x2 +4x+6−x2 +2x−4 (拆括號) = 2x2 −x2+4x+2x+6−4 (整理同類項) = (2−1)x2 +(4+2)x+(6−4)
= x2 + x6 +2
(2) (8x2 +3x+6)−(2x2+4x−4)
= 8x2 +3x+6−2x2 −4x+4 (拆括號) = 8x2 −2x2 +3x−4x+6+4 (整理同類項) = (8−2)x2 +(3−4)x+(6+4)
= 6x2 − x+10
【練習】5.2.1-2 計算下列各式:
(1)(3x2+2x+1)−(x2 +2x+7) (2)(−7x2 +3x−1)−(2x2−4x−3)
5-16
例題 5.2.1-3
(1)計算(4x2 +2+3x)+(3x2 +4+2x3),並將結果按降冪排列。
(2)計算(2x2 +x−3)−(5x2 −4x+2x3),並將結果按升冪排列。
詳解:
(1) (4x2 +2+3x)+(3x2 +4+2x3)
= 4x2 +2+3x+3x2 +4+2x3 (拆括號) = 4x2 +3x2 +2+4+3x+2x3 (整理同類項) = (4+3)x2+(2+4)+3x+2x3
= 7x2 +6+3x+2x3
= 2x3 +7x2 +3x+6 (降冪排列)
(2) (2x2 +x−3)−(5x2 −4x+2x3)
= 2x2 +x−3−5x2 +4x−2x3 (拆括號)
= 2x2 −5x2 +x+4x−3−2x3 (整理同類項) = (2−5)x2 +(1+4)x−3−2x3
= −3x2 +5x−3−2x3
= −3+5x−3x2 −2x3 (升冪排列)
【練習】5.2.1-3 計算下列各式:
(1)計算(x2 −2x+3)−(−4x−x2 +2),並將結果按降冪排列。
(2)計算(x−3)+(−x2 +3x3 −2),並將結果按升冪排列。
5-17
多項式的加減運算,除了前述的橫式運算外,也可以進行直式運算。
以例題 5.1.2-3(1)為例,計算(5x2 +3x+2)+(2x2 +4x+7) 寫成直式算式:
5x 2 + 3x +2
+) 2x 2 +4x + 7 7x 2 +7x + 9 得到答案為7x2 + x7 +9
再以例題 5.1.2-4(2)為例,計算(8x2 +3x+6)−(2x2 +4x−4) 寫成直式算式:
8x 2 + 3x + 6
-) 2x 2 +4x −4 6x 2 − x + 10 得到答案為6x2 − x+10
注意直式算式需要將同類項對齊,若是式子有缺項,則將該位置補上零。
計算(3x3+2x+4)+(7x2+3x−2) 寫成直式算式:
3x 3 +0x2 +2x +4
+) 7x 2 + 3x −2
3x 3 +7x2 + 5x +2 得到答案為3x3 +7x2 +5x+2
5-18
為了讓計算更簡便,我們在項次對齊後,可以省略 x 的次方項,只留下各項的係數。
這種方法稱為分離係數法。
以前題(3x3+2x+4)+(7x2+3x−2)為例,計算可省略如下:
x
3x
2x 1
3 + 0 +2 +4
+) 7 + 3 −2
3 + 7 + 5 +2
再將 x 的次方項補上,一樣可得到答案為3x3 +7x2 +5x+2
例題 5.2.1-4
利用分離係數法計算下列各式:
(1)(5x2 +15x−12)+(−3x2+4x−2) (2)(6x2 +x−4)−(3x3 +5x+2) 詳解:
(1)
x
2x 1
5 + 15 −12
+) − 3 +4 −2
2 + 19 −14
答案為2x2 + x19 −14
5-19
(2)
x
3x
2x 1
6 +1 −4
-) 3 + 0 + 5 +2
− 3 + 6 −4 − 6 答案為−3x3 +6x2−4x−6
【練習】5.2.1-4
利用分離係數法計算下列各式:
(1)(3x3 +14x−8)+(x2 −2x−3) (2)(2x3+x−4)−(−3x3+2)
5-20
5.2.2 節 多項式的乘法運算
經過上一節介紹多項式加減法運算後,本節將繼續介紹多項式的乘除法運算。
在多項式乘除法運算中我們會運用到下列幾個指數運算:
n m n
m a a
a = +
n m n
m a a
a = −
mn n
m a
a ) = (
首先單項式的相乘開始介紹
。
針對兩個單項式的相乘,我們會將係數與文字符號都進行相乘,然後把係數寫在前面。
例如:
4 2
2
2x x= x 5x7=35x 4x3x2 =12x3
例題 5.2.2-1
計算下列各式:
(1)32x (2)(−5)4x (3)7 x 6x (4)5x −( x) (5)( x2 )2 (6)4x 3 3x2 (7)3x 23 x
詳解:
(1) 32x=6x (2) (−5)4x=−20x (3) 7x6x=42x2 (4) 5x(−x)=−5x2 (5) (2x)2 =2x2x=4x2 (6) 4x33x2 =12x5 (7) 3x3 2x=6x4
5-21
【練習】5.2.2-1 計算下列各式:
(1)34x (2)(−2)3x (3)5 6x (4)2(−x) (5)( x7 )2 (6)2x 2 3x2 (7)6x2 2x
瞭 解 了 單 項 式 的 乘 法 後 , 讓 我 們 來 看 多 項 式 的 乘 法 , 如 果 我 們 想 計 算 )
3 2 ( ) 1
(x+ x+ ,應該怎麼做呢?
我們可以先令A= x+1
那麼算式就會變成 A x(2 +3)
= A2x+A3 (利用分配律)
= (x+1)2x+(x+1)3 (將 A 換回x+1)
= 2x2 +2x+3x+3 (化簡)
= 2x2 + x5 +3 (同類項合併) 於是我們就得到了(x+1)(2x+3)=2x2 + x5 +3
我們也可以不用 A 來代換多項式:
(x+1)(2x+3)
= (x+1)2x+(x+1)3 (利用分配律)
= 2x2 +2x+3x+3 (化簡)
= 2x2 + x5 +3 (同類項合併)
5-22
例題 5.2.2-2
計算下列各式:
(1)(x+3)(x+1) (2)(2x+3)(x+2) (3)(x+6)(2x+1) (4)(3x+ x1)( +5) 詳解:
(1)
=
=
=
) 1 )(
3 (x+ x+
1 ) 3 ( )
3
(x+ x+ x+ 3
2+3x+x+ x
3
2+ x4 + x
(2)
=
=
=
) 2 )(
3 2
( x+ x+
2 ) 3 2 ( )
3 2
( x+ x+ x+ 6 4 3
2x2 + x+ x+ 6 7 2x2 + x+ (3)
=
=
=
) 1 2 )(
6 (x+ x+
1 ) 6 ( 2 ) 6
(x+ x+ x+ 6 12
2x2 + x+x+ 6 13 2x2 + x+
(4)
=
=
=
) 5 )(
1 3
( x+ x+
5 ) 1 3 ( )
1 3
( x+ x+ x+ 5 15 3x2 +x+ x+
5 16 3x2 + x+
【練習】5.2.2-2 計算下列各式:
(1)(x+ x1)( +2) (2)(3x+2)(x+4) (3)(x+5)(4x+3) (4)(3x+2)(2x+3)
5-23
例題 5.2.2-3
計算下列各式:
(1)(x−3)(x+1) (2)(−3x+2)(x−5) (3)(x+3)(−2x+7) (4)(3x−1)(−x−2) 詳解:
(1)
=
=
=
) 1 )(
3 (x− x+
1 ) 3 ( )
3
(x− x+ x− 3
2−3x+x− x
3
2 − x2 − x
(2)
=
=
=
) 5 )(
2 3
(− x+ x−
5 ) 2 3 ( )
2 3
(− x+ x− − x+ 10 15 2
3 2 + + −
− x x x 10 17 3 2 + −
− x x
(3)
=
=
=
) 7 2 )(
3
(x+ − x+
7 ) 3 ( ) 2 ( ) 3
(x+ − x + x+ 21 7
6
2 2− + +
− x x x 21 2 2 + +
− x x
(4)
=
=
=
) 2 )(
1 3
( x− −x−
2 ) 1 3 ( ) ( ) 1 3
( x− −x − x− 2
6 3 2+ − +
− x x x 2 5 3 2 − +
− x x
【練習】5.2.2-3 計算下列各式:
(1)(x+4)(x−2) (2)(−5x−2)(x−3) (3)(x−2)(x−2) (4)(3x−1)(3x+1)
5-24
例題 5.2.2-4
計算下列各式:
(1)(x−1)(x2 +x+1)
(2)(5x+1)(3x−2)−(3x−4)(−2x−6) 詳解:
(1) (x−1)(x2 +x+1)
= (x−1)x2+(x−1)x+(x−1)1 (A(a+b+c)= Aa+Ab+Ac) = x3−x2 +x2 −x+x−1
= x3−1
(2) (5x+1)(3x−2)−(3x−4)(−2x−6)
= [(5x+1)3x−(5x+1)2]−[(3x−4)(−2x)−(3x−4)6] = [15x2 +3x−10x−2]−[−6x2 +8x−18x+24]
= 15x2 +3x−10x−2+6x2 −8x+18x−24
= 15x2 +6x2 +3x−10x−8x+18x−2−24 (整理同類項) = (15+6)x2 +(3−10−8+18)x+(−2−24)
= 21x2 + x3 −26
【練習】5.2.2-4 計算下列各式:
(1)(x+1)(x2 −x+1)
(2)(x+3)(x−3)−(2x−3)(2x−3)
5-25
多項式的乘法,除了前述的橫式計算外,也可以使用直式計算。
例如我們要計算(x−3)(x+1),直式計算可寫成:
x − 3
×) x +1
x − 3 (x−3)1
x 2 − 3x (x− )3 x
x 2 −2x − 3 得到答案為x2 − x2 −3
與直式加法相同,乘法也能用分離係數法計算:
x
2x 1
1 − 3
×) 1 +1
1 − 3
1 − 3
1 −2 − 3
使用分離係數法時,務必注意同次項的對齊!
5-26
例題 5.2.2-5
使用分離係數法計算下列各式:
(1)(x−2)(−3x+1) (2)(x+2)(2x2 −2x+3) (3)(x2 +1)(2x−3) 詳解:
(1) (x−2)(−3x+1)
x
2x 1
1 −2
×) − 3 +1
+1 −2
− 3 + 6
− 3 + 7 −2 2
7 3 ) 1 3 )(
2
(x− − x+ =− x2 + x−
(2) (x+2)(2x2 −2x+3)
x
3x
2x 1
1 +2
×) 2 −2 + 3
+ 3 + 6
−2 −4
2 +4
2 +2 −1 + 6
(x+2)(22x−2x+3)=2x3 +2x2 −x+6
5-27
(3)(x2 +1)(2x−3)
x
3x
2x 1
1 0 +1
×) 2 − 3
− 3 0 − 3
2 0 2
2 − 3 2 − 3
(x2 +1)(2x−3)=2x3 −3x2 +2x−3
【練習】5.2.2-5
使用分離係數法計算下列各式:
(1)(−2x+3)(−x+5) (2)(3x2 −x+5)(2x+1) (3)(2x2 +3)(x−4)
5-28
5.2.3 節 多項式的除法運算
介紹完多項式的乘法後,接著我們來看看除法。
以前我們學過由23=6,可以得到63=2,其中 6 是被除數,3 是除數,2 是商。
同樣地,例題 5.2.1-3 中我們寫過(x−3)(x+1)= x2 −2x−3 寫成除法算式則為(x2 −2x−3)(x−3)=(x+1)
其中(x2− x2 −3)是被除式,( −x 3)是除式,( +x 1)是商式。
※因除式為 0 時無意義,本節不考慮除式為 0 的情況
與乘法運算時相同,除法的計算我們先從單項式開始看。
在單項式的除法中,先將原式化為分式,即被除式除式 的形式,其中數字部分要均分,文 字部分則利用指數運算 n m n
m
a a
a = − 來化簡。
舉例: x
x x x
x 3 3
3
2
2 = = ( x 0)
x x x x
x 2
3 3 6 6
2
2 = = ( x 0)
例題 5.2.3-1
計算下列各式:
(1)6x2 (2)2x −15 x 3x (3)5x2 2x 詳解:
(1) x
x x x
x 3
2 2 6 6
2
2 = =
(2) 5
3 3 15
15 − =−
=
− x
x x
x
(3) x
x x x
x 2
5 2 2 5 5
2
2 = =
5-29
【練習】5.2.3-1 計算下列各式:
(1)16x3 4x (2)25x2 5x (3)30x2 (4)6x 81x2 9x
若被除數為多項式,除數為單項式,我們也可以拆解來計算,如下題:
例題 5.2.3-2
計算下列各式:
(1)(x2 + )3x x (2)(12x3+8x2)4x 詳解:
(1)
=
=
=
x x x + )3 ( 2
x x x2 +3
x x x x2 +3
+3 x
(2)
=
=
=
x x
x 8 ) 4
12
( 3 + 2
x x x
4 8 12 3+ 2
x x x x
4 8 4
12 3 + 2 x x 2 3 2 +
【練習】5.2.3-2 計算下列各式:
(1)(x2 + )2x x (2)(9x3−18x2)3x
5-30
接下來我們來看看多項式除以多項式要如何運算,這裡我們使用直式除法計算。
直式除法也稱為長除法,計算方式與一般數字的直式除法類似。
以計算(x2 +2x−3)(x−1)為例:
(1) 先列出直式
−1
x x 2 +2x − 3
(2) 被除式x2 + x2 −3的第一項是x ,除式2 x−1的第一項是x, x
x
x2 = ,因此我們商式的第一項放x,
被除式下面放除式與商式第一項相乘的式子。
x
−1
x x 2 +2x − 3
x 2 −x ← (x−1)x=x2 −x
(3) 計算(x2 +2x−3)−(x2 −x)=3x−3 x
−1
x x 2 +2x − 3 x 2 −x
x
3 − ← 3 (x2 +2x−3)−(x2 −x)=3x−3 (4) 3 −x 3的第一項是 x3 ,除式x−1的第一項是x,
3
3x x= ,因此我們商式的第二項放 3 , x + 3
−1
x x 2 +2x − 3 x 2 −x
x
3 − 3 x
3 − ← 3 (x−1)3=3x−3
5-31
(5) 計算(3x−3)−(3x−3)=0
x + 3 ← 此處( +x 3)為商式
−1
x x 2 +2x − 3 x 2 −x
x
3 − 3 x
3 − 3
0 ← (3x−3)−(3x−3)=0,此處為餘式
於是我們得到了(x2 +2x−3)(x−1)=x+3,餘式為 0。
驗算: 無餘式時,除式×商式=被除式 可計算(x−1)(x+3)= x2 +2x−3
接著再看一題有餘式的計算:
計算(2x2 +3x+4)(x+2)
x
2 −1 ← 商式為(2x−1) +2
x 2x 2 + 3x +4
2x 2 +4x ← (x+2)2x=2x2 +4x
−x +4 ← (2x2 +3x+4)−(2x+4x)=−x+4
−x −2 ← (x+2)(−1)=−x−2
6 ← (−x+4)−(−x−2)=6,餘式為 6
因此我們得到,(2x2 +3x+4)(x+2),商式為2 −x 1,餘式為 6 。 驗算: 有餘式時,除式×商式+餘式=被除式
可計算(2x−1)(x+2)+6=(2x2 + x3 −2)+6=2x2 + x3 +4
5-32
例題 5.2.3-3
直式計算下列各式並驗算:
(1)(3x2 +5x)(x+5) (2)(6x2 +5x)(2x+1) 詳解:
(1) (3x2 +5x)(x+5)
x
3 − 10 +5
x 3x 2 + 5x 3x 2 +15x −10x
−10x − 50
50
) 5 ( ) 5 3
( x2 + x x+ 的商式為(3x−10),餘式為 50。
驗算:計算(x+5)(3x−10)+50=3x2 +5x
(2) (6x2 +5x)(2x+1)
x
3 +1 1
2 +x 6x 2 + 5x 6x 2 + 3x 2x
2x +1 −1
) 1 2 ( ) 5 6
( x2 + x x+ 的商式為(3x+1),餘式為(−1)。 驗算:計算(2x+1)(3x+1)+(−1)=6x2+5x
5-33
【練習】5.2.3-3
直式計算下列各式並驗算:
(1)(18x2 +15x)(6x+3) (2)(4x2−7x)(2x−1)
例題 5.2.3-4
直式計算下列各式並驗算:
(1)(48x2+30x+3)(6x+3) (2)(12x2 +6x+4)(6x+1) 詳解:
(1)(48x2+30x+3)(6x+3)
x
8 +1 3
6 +x 48x 2 +30x + 3 48x 2 +24x
x
6 + 3 x
6 + 3 0
) 3 6 ( ) 3 30 48
( x2 + x+ x+ 的商式為(8x+1),餘式為 0。
驗算:計算(6x+3)(8x+1)=48x2 +30x+3
5-34
(2)(12x2 +6x+4)(6x+1)
x
2 3
+ 2
1
6 +x 12x 2 +6x +4 12x 2 +2x
x
4 +4 x
4 3 + 2
3 3 1
) 1 6 ( ) 4 6 12
( x2 + x+ x+ 的商式為 )
3 2 2
( x+ ,餘式為 3 3 。 1
驗算:計算 12 6 4
3 31 3) 2 2 ( ) 1 6
( x+ x+ + = x2+ x+
【練習】5.2.3-4
直式計算下列各式並驗算:
(1)(5x2 +9x+2)(x+2) (2)(8x2 −2x−6)(4x+3)
5-35
例題 5.2.3-5
直式計算並驗算:
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3+ x2 + x+ x2 + x+ 詳解:
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3+ x2 + x+ x2 + x+
x
3 −1 2
3
5x2 + x+ 15x 3 +4x2 +4x +1 15x 3 +9x2 +6x
5x2
− −2x +1 5x2
− − 3x −2 x + 3
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3+ x2 + x+ x2 + x+ 的商式為(3x−1),餘式為( +x 3)。 驗算:計算(5x2 +3x+2)(3x−1)+(x+3)=15x3 +4x2+4x+1
【練習】5.2.3-5
直式計算並驗算:
) 2 3 2 ( ) 2 5 2 8
( x3+ x2 + x+ x2 + x+
5-36
例題 5.2.3-6 (缺 x 一次項的直式除法) 直式計算下列各式並驗算:
(1)(16x2+6)(4x+3) (2)(9x2 −4)(3x+2) 詳解:
(1)(16x2+6)(4x+3)
4x − 3 3
4 +x 16x 2 +0x + ← 缺項時補上 0,讓算式更清楚 6 16x 2 +12x
−12x + 6 −12x − 9 15
) 3 4 ( ) 6 16
( x2 + x+ 的商式為(4x−3),餘式為 15。
驗算:計算(4x+3)(4x−3)+15=16x2 +6
(2)(9x2 −4)(3x+2)
3x −2 2
3 +x 9x 2 +0x −4 ← 缺項時補上 0,讓算式更清楚 9x 2 +6x
−6x −4 −6x −4
0
) 2 3 ( ) 4 9
( x2 − x+ 的商式為(3x−2),餘式為 0。
驗算:計算(3x+2)(3x−2)=9x2 −4
5-37
【練習】5.2.3-6
直式計算下列各式並驗算:
(1)(8x2 +6)(2x+1) (2)(9x2 −2)(3x+1)
若在一個多項式除法中,被除式為 A,除式為 B,商式為 Q,餘式為 R。(B 不為 0) 也就是:AB=QR
我們在前面驗算時寫成: A=BQ+R 也可以將此式同除以 B 寫成:
B Q R B
A = +
即 除式
商式 餘式 除式
被除式= +
例題 5.2.3-7
有兩多項式 A、B,若 A 除以 B,得商式為 Q,餘式為 R,則:
(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 2A 除以 B 的商式與餘式。
(3)求 A 除以 5B 的商式與餘式。
詳解:
(1) 除式
商式 餘式 除式
被除式= +
多項式 A 除以 B,商式為 Q,餘式為 R。
關係式為 B
Q R B
A= +
5-38
(2) 求 2A 除以 B 的商式與餘式。
將 B
Q R B
A = + 同乘以 2
得 2=( + )2 B Q R B
A
化簡為 B
Q R B
A 2
2 =2 +
對照 除式
商式 餘式 除式
被除式 = +
即 2A 除以 B,商式為 2Q,餘式為 2R。
(3) 求 A 除以 5B 的商式與餘式。
將 B
Q R B
A = + 同除以 5
得 5=( + )5 B Q R B
A
化簡為 B
R Q B A
5 5 5 = +
對照 除式
商式 餘式 除式
被除式= +
即 A 除以 5B,商式為 5
Q ,餘式為 R。
【練習】5.2.3-7
有兩多項式 A、B,若 A 除以 B,得商式為 Q,餘式為 R,則:
(1)求 4A 除以 B 的商式與餘式。 (2)求 A 除以 2B 的商式與餘式。
5-39
5.2 節 習題
習題 5.2-1
計算下列各式:
(1)(3x2+x+1)+(6x2 +2x+3) (2)(x3+3x−2)+(−2x3 +6x+3)
習題 5.2-2
計算下列各式:
(1)(5x2 +3x+1)−(2x2+4x−7) (2)(2x2 −4x+3)−(−x2 +3x+5)
習題 5.2-3
(1)計算(4x2 −2+x)+(3x2 +3+2x),並將結果按降冪排列。
(2)計算(x3+2x2 −1)−(5x2+x+3),並將結果按升冪排列。
習題 5.2-4
利用分離係數法計算下列各式:
(1)(2x2 +6x−8)+(−4x2 −2x−2) (2)(−3x2 +4x−3)−(x2 −x−1)
5-40
習題 5.2-5
計算下列各式:
(1)42x (2)(−2)3x (3)4 x 2x (4)6x −( x) (5)( x3 )2 (6)5x 3 3x2 (7)4x 23 x
習題 5.2-6
計算下列各式:
(1)(x+2)(x+1) (2)(2x+3)(x+1) (3)(x+4)(3x+2) (4)(3x+2)(x+3)
習題 5.2-7
計算下列各式:
(1)(x− x1)( +2) (2)(−2x+1)(x−2) (3)(x+3)(−x−1) (4)(3x−1)(−2x+1)
5-41
習題 5.2-8
計算下列各式:
(1)(x−2)(x2 +2x+1)
(2)(2x+1)(3x−1)−(3x−2)(2x+5)
習題 5.2-9
使用分離係數法計算下列各式:
(1)(x− x1)( +3)
(2)(x+2)(2x2 −x+1) (3)(x2 − x1)( +2)
習題 5.2-10
計算下列各式:
(1)4x2 (2)2x −18 x 6x (3)7x2 3x
習題 5.2-11
計算下列各式:
(1)(2x3+ )3x x (2)(18x3 +4x2)2x
5-42
習題 5.2-12
計算下列各式並驗算:
(1)(2x2 +5x+42)(x+2) (2)(3x2+13x+14)(3x+1)
習題 5.2-13
計算下列各式並驗算:
(1)(30x2 +16x+2)(5x+1) (2)(24x2 +25x+6)(8x+3)
習題 5.2-14
計算下列各式並驗算:
(1)(25x2 +3)(5x+1) (2)(16x2 −2)(4x−1)
習題 5.2-15
有兩多項式 A、B,若 A 除以 B,得商式為 Q,餘式為 R,則:
(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 3A 除以 B 的商式與餘式。
(3)求 A 除以 4B 的商式與餘式。
5-43
5.3 節 多項式的乘法公式
在 5.2 節中,我們學習了如何展開兩個多項式的乘法。在這一節,我們將學習下列多項 式的乘法公式:
兩式相乘 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 和的平方 (x+ y)2 = x2+2xy+ y2
差的平方 (x−y)2 = x2−2xy+ y2 平方差 x2 − y2 =(x+ y)(x− y)
立方和 x3 + y3 =(x + y)(x2 −xy+ y2) 立方差 x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy+ y2) 和的立方 (x+ y)3 = x3 +3x2y+3xy2 + y3 差的立方 (x− y)3 = x3−3x2y+3xy2 −y3
三數和平方 (x+ y+z)2 = x2 + y2 +z2 +2xy+2yz+2zx 我們將在以下各小節推導這些公式並學習如何應用。
5-44
5.3.1 節 兩式相乘公式
本節我們要學習的乘法公式是兩式相乘公式: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 我們利用 5.2 節學過的多項式乘法,來計算(a+b)(c+d)
令A=a+b
那麼算式就會變成 A(c+d)
= Ac+Ad (利用分配律)
= (a+b)c+(a+b)d (將 A 換回a + ) b
= ac+bc+ad+bd (化簡)
= ac+ad+bc+bd
於是我們就得到了(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
除了利用分配律計算外,我們也可以從長方形面積來理解。
圖 5.3-1 的長方形中,長為(a +b),寬為(c +d)。
ac bc
ad bd
a b
圖 5.3-1 我們想計算此長方形的面積,也就是(a+b)(c+d) 由圖可知,整個大長方形可以切成 4 塊,
左上方長方形的面積為 ac;左下方長方形的面積為 ad;
右上方長方形的面積為 bc;右下方長方形的面積為 bd。
全部合起來就是ac+ad+bc+bd
因此得到(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
c d
5-45
例題 5.3.1-1
利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd展開下列各式:
(1)(x−3)(x+5) (2)(2x−6)(x−4) (3)(2x+ x1)( +3) (4)(4x+3)(3x−2) 詳解:
(1)
=
=
) 5 )(
3 (x− x+
15 3
2 +5x− x−
x
15
2+ x2 −
x
(2)
=
=
) 4 )(
6 2
( x− x−
24 6
8
2x2 − x− x+ 24
14 2x2 − x+
(3)
=
=
) 3 )(
1 2
( x+ x+ 3 6
2x2 + x+x+ 3
7
2x2 + x+
(4)
=
=
) 2 3 )(
3 4
( x+ x− 6 9 8
12x2− x+ x− 6
12x2 + x−
【練習】5.3.1-1
利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd展開下列各式:
(1)(x+ x1)( +2) (2)(2x+3)(x−2) (3)(x−4)(5x+4) (4)(6x−5)(2x−1)
5-46
學習了多項式乘法公式之後,我們可以利用公式來做數字的計算。
我們先從簡單的乘法分配律開始練習。
例題 5.3.1-2
利用(a+ )b c=ac+bc或(a− )b c=ac−bc,計算下列各式:
(1)102350 (2)992400 (3)1232 −12323 (4)1232 +12377 詳解:
(1)
=
=
=
=
350 102
350 ) 2 100
( + 350 2 350 100 +
700 35000+
35700
(2)
=
=
=
=
2400 99
2400 )
1 100
( − 2400 1
2400 100 −
2400 240000−
237600
(3)
=
=
=
=
23 123 1232−
23 123 123
123 − )
23 123 ( 123 −
100 123
12300
(4)
=
=
=
=
77 123 1232 +
77 123 123
123 + )
77 123 ( 123 +
200 123
24600
【練習】5.3.1-2
利用(a+ )b c=ac+bc或(a− )b c=ac−bc,計算下列各式:
(1)201250 (2)981200 (3)2552 −25555 (4)2552 +25545
5-47
接著我們利用公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd來做數字的計算。
例題 5.3.1-3
利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,計算下列各式:
(1)71101 (2)49201 詳解:
(1)
=
=
=
=
101 71
) 1 100 ( ) 1 70
( + +
1 1 100 1 1 70 100
70 + + + 1
100 70
7000+ + + 7171
(2)
=
=
=
=
201 49
) 1 200 ( )) 1 ( 50
( + − +
1 ) 1 ( 200 ) 1 ( 1 50 200
50 + + − + − 1
200 50
10000+ − − 9849
【練習】5.3.1-3
利用(a+ )b c=ac+bc或(a− )b c=ac−bc,計算下列各式:
(1)41301 (2)49501
5-48
5.3.2 節 和的平方公式
本節要學習的乘法公式是和的平方公式:(x+ y)2 = x2 +2xy+ y2 公式推導:(x + y)2
= (x+y)(x+y)
= (x+y)x+(x+y)y (分配律)
= x2 +xy+xy+ y2
= x2 +2xy+ y2
除了利用分配律計算外,我們也可以從正方形面積來理解。
圖 5.3-2 圖 5.3-2 的正方形中,邊長為(x +y)。
我們想計算此正方形的面積,也就是(x+y)(x+y)或(x + y)2。 由圖可知,整個大正方形可以切成 4 塊,
左上方正方形的面積為 x2;左下方長方形的面積為 xy;
右上方長方形的面積為 xy;右下方正方形的面積為 y2。 全部合起來就是x2 +xy+xy+ y2,化簡為x2 +2xy+ y2。 因此得到(x + y)2 = x2 +2xy+ y2。
5-49
例題 5.3.2-1
利用乘法公式(x+ y)2 = x2+2xy+ y2,展開下列各式:
(1)( +x 9)2 (2)(x +2y)2 (3)(4x+5)2 (4)(− x5 +3)2 詳解:
(1)
=
=
)2
9 ( +x
2 2 2 ( ) (9) (9) )
(x + x + 81
2 + x18 + x
(2)
=
=
)2
2 (x + y
2
2 2 ( ) (2 ) (2 )
)
(x + x y + y
2
2 4xy 4y
x + +
(3)
=
=
)2
5 4 ( x+
2 2 2 (4 ) (5) (5) )
4
( x + x + 25 40 16x2 + x+
(4)
=
=
)2
3 5 (− x+
2 2 2 ( 5 ) (3) (3) )
5
(− x + − x + 9
30 25x2 − x+
【練習】5.3.2-1
利用乘法公式(x+ y)2 = x2+2xy+ y2,展開下列各式:
(1)( +x 2)2 (2)(3x+4)2 (3)(2x + y)2 (4)(− x3 +1)2