代數第五章 目錄

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代數第五章

目錄

第五章 多項式 ... 1

學習目標 ... 1

5.1 節 多項式 ... 2

5.1.1 節 認識多項式 ... 2

5.1.2 節 多項式化簡 ... 9

5.1 節 習題 ... 11

5.2 節 多項式的四則運算 ... 13

5.2.1 節 多項式的加減法運算 ... 13

5.2.2 節 多項式的乘法運算 ... 20

5.2.3 節 多項式的除法運算 ... 28

5.2 節 習題 ... 39

5.3 節 多項式的乘法公式 ... 43

5.3.1 節 兩式相乘公式 ... 44

ii

5.3.2 節 和的平方公式 ... 48

5.3.3 節 差的平方公式 ... 52

5.3.4 節 平方差公式 ... 56

5.3.5 節 其他乘法公式 ... 61

5.3 節 習題 ... 66

5.4 節 乘法公式在根號的應用 ... 71

5.4.1 節 根號的運算規則 ... 72

5.4.2 節 乘法公式在根號運算的應用 ... 76

5.4 節 習題 ... 81

5.5 節 多項式與乘法公式的應用題與綜合題 ... 83

5.5 節 習題 ... 96

第五章綜合習題 ... 101

基測與會考模擬試題 ... 105

習題解答 ... 111

5-1

第五章 多項式

在本章中，我們將學習多項式與乘法公式的運算。在瞭解這些觀念後，未來可以再延 伸應用到一元二次方程式與二次函數等章節。

學習目標

1.瞭解什麼是多項式。

2.能進行多項式的四則運算。

3.能活用乘法公式進行運算。

4.能利用乘法公式將根式化簡。

5-2

5.1 節 多項式

前面的章節中，我們學了一元一次式，例如x+1、 x5 、7 −x 9等。

其中像 x5 只有一個項，我們也稱為單項式。

單項式： 1. 運算只有乘法和次方，不可有加減運算（除法可視為乘以分數）。

2. 變數不可放在分母、指數、根號或絕對值的位置。

例如：0.5x、 ² 3

2x 、−4x³、 6 這些都可稱為單項式。(※) 接著我們再來看看本章要介紹的多項式。

顧名思義，多項式即是 1 個或若干個單項式用加減符號組成的代數式。

譬如4x³ −3x² +7x+2、3x² − x4 +5、6x³ +3.5x² +7x+3、14、 11 8x+

可稱為多項式。

而 4 −x 7 、3 +6

x 、5^x−9、 4x² − x3 +7 等皆不為多項式。

我們首先要認識多項式的次數、係數等有關名詞。接著再介紹多項式排列的兩種方法：

升冪排列、降冪排列以及多項式的同類項合併。

※ x 即 x 的二次方，也就是² x 。同理x x 即 x 的三次方，也就是^{3 xxx}。

5.1.1 節 認識多項式

讓我們來認識多項式各組成要素的名稱：

元： 在多項式中，變數的數量。

第一章我們學過一元一次式如7 +x 1，變數只有 1 個 x，可稱為一元多項式。

第三章學過二元一次式如7x+ y4 +1，變數有 x 和 y 共 2 個，可稱為二元多項式。

5-3

次數： 在多項式中，變數的最高次數就是這多項式的次數。

例：多項式5x³+3x² +2x+1，x 的最高次數是 3，這個多項式稱為三次多項式。

多項式4x² + x9 +1，x 的最高次數是 2，這個多項式也可以簡稱為二次式。

若是多元多項式如2x³y² + xy9 +1，2x³y²中 x 的次數是 3，y 的次數是 2，

合起來是 5，則這個多項式為五次多項式。

項： 在多項式中，加減號分開的每一部分，連同它前面的符號，稱為一個項。

例：多項式x² − x3 +1，有三個項，分別為x 、² − 、3x 1。

係數： 一個多項式中，未知數以外的部分，連同其前面的符號叫做係數。

例：−2x是−2跟 x 的乘積，−2是 x 的係數。

常數項： 在多項式中，如某一個項只是一個數字，而不包含任何的未知數，

稱為常數項。例：x² − x3 +1這個多項式中，1 為這個多項式的常數項。

常數多項式： 多項式只含有常數項，稱為常數多項式。

常數多項式又可細分為零次多項式與零多項式：

零次多項式： 次數為 0 且常數項不為 0 的多項式，例：2=2x⁰為零次多項式，

5, 8,π也都是零次多項式。

零多項式： 若此多項式為 0，即為零多項式。

5-4

例題 5.1.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)3x² − x7 +5 (2) 2x² − x5 +3 (3) − (4) 9x 1 2

2 −

x (5) 2 (6)3 +y 1 (7) x² + x2 +1 (8) 9 ^x (9) x² + y+1 (10) xy 詳解：

(1)是。 (2)不是，因為 x 在絕對值內。

(3)是。 (4)不是，因為 x 不能在分母。

(5)是。 (6)是。

(7)不是，因為 x 不能在根號內。 (8)不是，因為 x 不能在指數內。

(9)是。 (10)是。

【練習】5.1.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)2 −x 1 (2) x⁴ −4 (3) − (4) 5x 7 +z 1 (5) 3 (6)x

2 (7) ^{3x3 −1} (8) 9^x+1 (9) ^xyz (10) 0

5-5

例題 5.1.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)4x³− x7 +5 (2) x+7 (3) 19 (4)x²y+ x+1 詳解：

(1)最高次項4x 的次數為 3，是三次多項式。 ³ (2) 最高次項x的次數為 1，是一次多項式。

(3) 19 的次數為 0，是零次多項式。(19 也可以想成是19x ) ⁰

(4) 最高次項x²y，x 的次數為 2，y 的次數為 1，合起來是 3，是三次多項式。

【練習】5.1.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)2x⁶ − x3 +1 (2) 4 +x 7 (3) 50 (4)x⁷y+ xy² +1

5-6

例題 5.1.1-3

請寫出多項式4x³ − x2 ²+1各項的係數：

(1)x 項的係數為？ ³ (2)x 項的係數為？ ² (3)x項的係數為？ (4)常數項的係數為？

詳解：

(1)x 項為³ 4x ，係數為 4。 ³ (2)x 項為² −2x²，係數為－2。

(3)沒有x項，係數為 0。(可以想成是0x) (4)常數項為 1，係數為 1。

【練習】5.1.1-3

請寫出多項式−5x³+3x−4各項的係數：

(1)x 項的係數為？ ³ (2) x 項的係數為？ ² (3) x項的係數為？ (4)常數項的係數為？

5-7

例題 5.1.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) 13 +x 6是（ ） (2) x² −4是（ ） (3) 6 是（ ） (4) 0 是（ ） 詳解：

(1)13 +x 6最高次數為 1，為一次多項式，也是一元一次式，填入(B)、(F)。

(2)x² −4最高次數為 2，為二次多項式，填入(A)。

(3) 6 的次數為 0，為常數多項式，常數項不為 0，也是零次多項式，填入(C)、(D)。

(4)0 為常數多項式，也是零多項式，填入(C)、(E)。

【練習】5.1.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) 52− 是（ ） (2) x² + x2 −4是（ ） (3) 0 是（ ） (4) x−7是（ ）

5-8

降冪排列與升冪排列：

一個多項式，將未知數的次數由高而低，由左而右的順序排列，稱為降冪排列。

反之，將未知數的次數由低而高，由左而右的順序排列，稱為升冪排列。

例如：

4 5

7x−x² + x³ − 是不規則的排列 4

7

5x³ −x² + x− 為降冪排列

3

2 5

7

4+ x−x + x

− 為升冪排列

習慣上我們都會將整理完的多項式寫成降冪排列。

例題 5.1.1-5

多項式 A＝−x² −3+9x+3x³ (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列 詳解：

(1)3x³−x²+9x−3 (2)−3+9x−x² +3x³

【練習】5.1.1-5

多項式 B＝−7x−3x² +5−15x³ (1)將多項式 B 按降冪排列 (2)將多項式 B 按升冪排列

5-9

5.1.2 節 多項式化簡

在學多項式的各種運算之前，我們要先會化簡多項式。

在多項式中，如果某一項次與另一項次的文字與次數相同，我們就稱之為同類項。

例：在多項式6x² +3x² +7x+3中，6x 與² 3x 的次數相同，都是 2，則我們可以將這兩² 個同類項做合併，得到比較簡潔的式子。

3 7 3

6x² + x² + x+

＝ (6+3)x²+7x+3

＝ 9x² + x7 +3 像這種合併的動作，稱為同類項合併。

例題 5.1.2-1

(A)−4x (B) ² 3

2x (C) 6− (D)7x ² (E)4x ³ (F)2.1x (1)上面選項中，與2x 是同類項的有（ ）² 。 (2)上面選項中，與

4

x 是同類項的有（ ）。

(3)上面選項中，與 52. 是同類項的有（ ）。

詳解：

(1)2x 的次數是 2，同樣次數是 2 的選項有(B)、(D)。 ² (2)x x

4 1

4 = ，次數是 1，同樣次數是 1 的選項有(A)、(F)。

(3) 52. 的次數是 0，同樣次數是 0 的選項有(C)。

※ 52. 可以想成是2 x ，次數為 0。 .5 ⁰

【練習】5.1.2-1

(A)− (B)9x 2x ³ (C) 27. (D)x ³ (E)0.5x (F) 5 2

(1)上面選項中，與5x 是同類項的有（ ）³ 。 (2)上面選項中，與

3

x 是同類項的有（ ）。

5-10

(3)上面選項中，與 9− 是同類項的有（ ）。

例題 5.1.2-2

將下列各多項式做同類項合併：

(1)2x²+4x+5x+8−1 (2)3x²−x² +4x+6 (3)−2x³+4x−9+9x³ (4)7x² −3−3x+4 詳解：

(1) 2x² +4x+5x+8−1 (2) 3x² −x² +4x+6 ＝ 2x² +(4+5)x+(8−1) ＝ (3−1)x²+4x+6 ＝ 2x² + x9 +7 ＝ 2x² + x4 +6

(3) −2x³ +4x−9+9x³ (4) 7x² −3−3x+4 ＝ −2x³+9x³ +4x−9 ＝ 7x² − x3 −3+4 ＝ (−2+9)x³ +4x−9 ＝ 7x² − x3 +(−3+4) ＝ 7x³+ x4 −9 ＝ 7x² − x3 +1

【練習】5.1.2-2

將下列各多項式做同類項合併：

(1)−3x² −x²+4x+4 (2)2x² −x+4x−5+6 (3)−3x³−3x+2x³−4 (4)6x² +5−7x−1

5-11

5.1 節 習題

習題 5.1-1

試判斷下列各選項是否為多項式，如果不是，請寫出理由來：

(1)2x²− x6 −1 (2) x² − x6 −5 (3) − (4) 8x 2 3

2 −

y (5) 6 (6)4 −x 5 (7) y² + y3 +3 (8) 2^x (9) x² + x+1 (10) x²y

習題 5.1-2

請寫出下列各多項式的次數：

(1)3x⁴− x2 ² +6 (2) 3 (3) y+5 (4)xy+ x+2

習題 5.1-3

請寫出多項式3y³ −5y² +4y−2各項的係數：

(1)y³項的係數為？ (2) y²項的係數為？

(3) y項的係數為？ (4)常數項的係數為？

習題 5.1-4 配合題：

(A)二次多項式 (B)一次多項式 (C)常數多項式 (D)零次多項式 (E)零多項式 (F)一元一次式 將以上代號填入下面符合的式子中：(可重覆)

(1) x² −1是（ ） (2) 8 是（ ） (3) 0 是（ ） (4) 5 +x 1是（ ）

5-12

習題 5.1-5

有多項式 A＝−3+5x² +6x−2x³ (1)將多項式 A 按降冪排列 (2)將多項式 A 按升冪排列

習題 5.1-6

(A)− (B) x5x 2

1 (C)5x ² (D) 8 (E)3x ² (F) 3 1

(1)上面選項中，與6x 是同類項的有（ ）² 。 (2)上面選項中，與

4

x 是同類項的有（ ）。

(3)上面選項中，與 3 是同類項的有（ ）。

習題 5.1-7

將下列各多項式做同類項合併：

(1)3x³ +2x+x−2+3 (2)4x² +3x²+x−2 (3)2x³+x−5−x³ (4)6x²−2−2x−2

5-13

5.2 節 多項式的四則運算

5.1 節中我們已經瞭解了多項式的基本觀念，本節將繼續介紹多項式與多項式之間的四 則運算。

5.2.1 節 多項式的加減法運算

瞭解多項式化簡方法後，我們就可以進行多項式之間的加減法運算。

多項式與多項式的加減法運算，計算方式與前面的併項類似，先將同類項放在一起，

然後利用加法或減法運算將同類項合併。

例如：多項式3x² + x2 −4與−x² +3x−2相加，寫成算式為：

+

− +2 4) 3

( x² x (−x² +3x−2)

＝ 3x² +2x−4−x² +3x−2 (拆括號)

＝ 3x² −x² +2x+3x−4−2 (整理同類項)

＝ (3−1)x²+(2+3)x+(−4−2)

＝ 2x² + x5 −6

多項式3x²+ x2 −4減去−x² +3x−2，寫成算式為：

−

− +2 4) 3

( x² x (−x² +3x−2)

＝ 3x² +2x−4+x² −3x+2 (拆括號)

＝ 3x² +x² +2x−3x−4+2 (整理同類項)

＝ (3+1)x² +(2−3)x+(−4+2)

＝ 4x² − x−2

5-14

例題 5.2.1-1

計算下列各式：

(1)(5x² +3x+2)+(2x² +4x+7) (2)(2x² +4x−1)+(−x² +3x+5) 詳解：

(1) (5x²+3x+2)+(2x²+4x+7)

＝ 5x² +3x+2+2x² +4x+7 (拆括號) ＝ 5x² +2x² +3x+4x+2+7 (整理同類項) ＝ (5+2)x²+(3+4)x+(2+7)

＝ 7x² + x7 +9

(2) (2x² +4x−1)+(−x² +3x+5)

＝ 2x² +4x−1−x² +3x+5 (拆括號) ＝ 2x² −x² +4x+3x−1+5 (整理同類項) ＝ (2−1)x² +(4+3)x+(−1+5)

＝ x² + x7 +4

【練習】5.2.1-1 計算下列各式：

(1)(2x² +x+4)+(x² +3x+6) (2)(−2x² −3x−2)+(−x² +4x−3)

5-15

例題 5.2.1-2

計算下列各式：

(1)(2x² +4x+6)−(x² −2x+4) (2)(8x²+3x+6)−(2x² +4x−4) 詳解：

(1) (2x² +4x+6)−(x² −2x+4)

＝ 2x² +4x+6−x² +2x−4 (拆括號) ＝ 2x² −x²+4x+2x+6−4 (整理同類項) ＝ (2−1)x² +(4+2)x+(6−4)

＝ x² + x6 +2

(2) (8x² +3x+6)−(2x²+4x−4)

＝ 8x² +3x+6−2x² −4x+4 (拆括號) ＝ 8x² −2x² +3x−4x+6+4 (整理同類項) ＝ (8−2)x² +(3−4)x+(6+4)

＝ 6x² − x+10

【練習】5.2.1-2 計算下列各式：

(1)(3x²+2x+1)−(x² +2x+7) (2)(−7x² +3x−1)−(2x²−4x−3)

5-16

例題 5.2.1-3

(1)計算(4x² +2+3x)+(3x² +4+2x³)，並將結果按降冪排列。

(2)計算(2x² +x−3)−(5x² −4x+2x³)，並將結果按升冪排列。

詳解：

(1) (4x² +2+3x)+(3x² +4+2x³)

＝ 4x² +2+3x+3x² +4+2x³ (拆括號) ＝ 4x² +3x² +2+4+3x+2x³ (整理同類項) ＝ (4+3)x²+(2+4)+3x+2x³

＝ 7x² +6+3x+2x³

＝ 2x³ +7x² +3x+6 (降冪排列)

(2) (2x² +x−3)−(5x² −4x+2x³)

＝ 2x² +x−3−5x² +4x−2x³ (拆括號)

＝ 2x² −5x² +x+4x−3−2x³ (整理同類項) ＝ (2−5)x² +(1+4)x−3−2x³

＝ −3x² +5x−3−2x³

＝ −3+5x−3x² −2x³ (升冪排列)

【練習】5.2.1-3 計算下列各式：

(1)計算(x² −2x+3)−(−4x−x² +2)，並將結果按降冪排列。

(2)計算(x−3)+(−x² +3x³ −2)，並將結果按升冪排列。

5-17

多項式的加減運算，除了前述的橫式運算外，也可以進行直式運算。

以例題 5.1.2-3(1)為例，計算(5x² +3x+2)+(2x² +4x+7) 寫成直式算式：

5x 2 + 3x +2

＋） 2x ² +4x + 7 7x 2 +7x + 9 得到答案為7x² + x7 +9

再以例題 5.1.2-4(2)為例，計算(8x² +3x+6)−(2x² +4x−4) 寫成直式算式：

8x 2 + 3x + 6

－） 2x ² +4x −4 6x 2 − x + 10 得到答案為6x² − x+10

注意直式算式需要將同類項對齊，若是式子有缺項，則將該位置補上零。

計算(3x³+2x+4)+(7x²+3x−2) 寫成直式算式：

3x 3 +0x² +2x +4

＋） 7x ² + 3x −2

3x 3 +7x² + 5x +2 得到答案為3x³ +7x² +5x+2

5-18

為了讓計算更簡便，我們在項次對齊後，可以省略 x 的次方項，只留下各項的係數。

這種方法稱為分離係數法。

以前題(3x³+2x+4)+(7x²+3x−2)為例，計算可省略如下：

x

x

x 1

3 + 0 +2 +4

＋） 7 + 3 −2

3 + 7 + 5 +2

再將 x 的次方項補上，一樣可得到答案為3x³ +7x² +5x+2

例題 5.2.1-4

利用分離係數法計算下列各式:

(1)(5x² +15x−12)+(−3x²+4x−2) (2)(6x² +x−4)−(3x³ +5x+2) 詳解：

(1)

x

x 1

5 + 15 −12

＋） − 3 +4 −2

2 + 19 −14

答案為2x² + x19 −14

5-19

(2)

x

x

x 1

6 +1 −4

－） 3 + 0 + 5 +2

− 3 + 6 −4 − 6 答案為−3x³ +6x²−4x−6

【練習】5.2.1-4

利用分離係數法計算下列各式:

(1)(3x³ +14x−8)+(x² −2x−3) (2)(2x³+x−4)−(−3x³+2)

5-20

5.2.2 節 多項式的乘法運算

經過上一節介紹多項式加減法運算後，本節將繼續介紹多項式的乘除法運算。

在多項式乘除法運算中我們會運用到下列幾個指數運算：

n m n

m a a

a  = ⁺

n m n

m a a

a  = ⁻

mn n

m a

a ) = (

首先單項式的相乘開始介紹

。

針對兩個單項式的相乘，我們會將係數與文字符號都進行相乘，然後把係數寫在前面。

例如：

4 2

2

2x x= x 5x7=35x 4x3x² =12x³

例題 5.2.2-1

計算下列各式：

(1)32x (2)(−5)4x (3)7 x 6x (4)5x −( x) (5)( x2 )² (6)4x ³ 3x² (7)3x 2³ x

詳解：

(1) 32x=6x (2) (−5)4x=−20x (3) 7x6x=42x² (4) 5x(−x)=−5x² (5) (2x)² =2x2x=4x² (6) 4x³3x² =12x⁵ (7) 3x³ 2x=6x⁴

5-21

【練習】5.2.2-1 計算下列各式：

(1)34x (2)(−2)3x (3)5 6x (4)2(−x) (5)( x7 )² (6)2x ² 3x² (7)6x² 2x

瞭 解 了 單 項 式 的 乘 法 後 ， 讓 我 們 來 看 多 項 式 的 乘 法 ， 如 果 我 們 想 計 算 )

3 2 ( ) 1

(x+  x+ ，應該怎麼做呢？

我們可以先令A= x+1

那麼算式就會變成 A x(2 +3)

＝ A2x+A3 (利用分配律)

＝ (x+1)2x+(x+1)3 (將 A 換回x+1)

＝ 2x² +2x+3x+3 (化簡)

＝ 2x² + x5 +3 (同類項合併) 於是我們就得到了(x+1)(2x+3)＝2x² + x5 +3

我們也可以不用 A 來代換多項式：

(x+1)(2x+3)

＝ (x+1)2x+(x+1)3 (利用分配律)

＝ 2x² +2x+3x+3 (化簡)

＝ 2x² + x5 +3 (同類項合併)

5-22

例題 5.2.2-2

計算下列各式：

(1)(x+3)(x+1) (2)(2x+3)(x+2) (3)(x+6)(2x+1) (4)(3x+ x1)( +5) 詳解：

(1)

＝

＝

＝

) 1 )(

3 (x+ x+

1 ) 3 ( )

3

(x+ x+ x+  3

2+3x+x+ x

3

2+ x4 + x

(2)

＝

＝

＝

) 2 )(

3 2

( x+ x+

2 ) 3 2 ( )

3 2

( x+ x+ x+  6 4 3

2x² + x+ x+ 6 7 2x² + x+ (3)

＝

＝

＝

) 1 2 )(

6 (x+ x+

1 ) 6 ( 2 ) 6

(x+  x+ x+  6 12

2x² + x+x+ 6 13 2x² + x+

(4)

＝

＝

＝

) 5 )(

1 3

( x+ x+

5 ) 1 3 ( )

1 3

( x+ x+ x+  5 15 3x² +x+ x+

5 16 3x² + x+

【練習】5.2.2-2 計算下列各式：

(1)(x+ x1)( +2) (2)(3x+2)(x+4) (3)(x+5)(4x+3) (4)(3x+2)(2x+3)

5-23

例題 5.2.2-3

計算下列各式：

(1)(x−3)(x+1) (2)(−3x+2)(x−5) (3)(x+3)(−2x+7) (4)(3x−1)(−x−2) 詳解：

(1)

＝

＝

＝

) 1 )(

3 (x− x+

1 ) 3 ( )

3

(x− x+ x−  3

2−3x+x− x

3

2 − x2 − x

(2)

＝

＝

＝

) 5 )(

2 3

(− x+ x−

5 ) 2 3 ( )

2 3

(− x+ x− − x+  10 15 2

3 ² + + −

− x x x 10 17 3 ² + −

− x x

(3)

＝

＝

＝

) 7 2 )(

3

(x+ − x+

7 ) 3 ( ) 2 ( ) 3

(x+  − x + x+  21 7

6

2 ²− + +

− x x x 21 2 ² + +

− x x

(4)

＝

＝

＝

) 2 )(

1 3

( x− −x−

2 ) 1 3 ( ) ( ) 1 3

( x−  −x − x−  2

6 3 ²+ − +

− x x x 2 5 3 ² − +

− x x

【練習】5.2.2-3 計算下列各式：

(1)(x+4)(x−2) (2)(−5x−2)(x−3) (3)(x−2)(x−2) (4)(3x−1)(3x+1)

5-24

例題 5.2.2-4

計算下列各式：

(1)(x−1)(x² +x+1)

(2)(5x+1)(3x−2)−(3x−4)(−2x−6) 詳解：

(1) (x−1)(x² +x+1)

＝ (x−1)x²+(x−1)x+(x−1)1 (A(a+b+c)= Aa+Ab+Ac) ＝ x³−x² +x² −x+x−1

＝ x³−1

(2) (5x+1)(3x−2)−(3x−4)(−2x−6)

＝ [(5x+1)3x−(5x+1)2]−[(3x−4)(−2x)−(3x−4)6] ＝ [15x² +3x−10x−2]−[−6x² +8x−18x+24]

＝ 15x² +3x−10x−2+6x² −8x+18x−24

＝ 15x² +6x² +3x−10x−8x+18x−2−24 (整理同類項) ＝ (15+6)x² +(3−10−8+18)x+(−2−24)

＝ 21x² + x3 −26

【練習】5.2.2-4 計算下列各式：

(1)(x+1)(x² −x+1)

(2)(x+3)(x−3)−(2x−3)(2x−3)

5-25

多項式的乘法，除了前述的橫式計算外，也可以使用直式計算。

例如我們要計算(x−3)(x+1)，直式計算可寫成：

x − 3

×） x +1

x − 3 (x−3)1

x 2 − 3x (x− )3 x

x 2 −2x − 3 得到答案為x² − x2 −3

與直式加法相同，乘法也能用分離係數法計算：

x

x 1

1 − 3

×） 1 +1

1 − 3

1 − 3

1 −2 − 3

使用分離係數法時，務必注意同次項的對齊！

5-26

例題 5.2.2-5

使用分離係數法計算下列各式：

(1)(x−2)(−3x+1) (2)(x+2)(2x² −2x+3) (3)(x² +1)(2x−3) 詳解：

(1) (x−2)(−3x+1)

x

x 1

1 −2

×） − 3 +1

+1 −2

− 3 + 6

− 3 + 7 −2 2

7 3 ) 1 3 )(

2

(x− − x+ =− x² + x−

(2) (x+2)(2x² −2x+3)

x

x

^x 1

1 +2

×） 2 −2 + 3

+ 3 + 6

−2 −4

2 +4

2 +2 −1 + 6

(x+2)(2²x−2x+3)=2x³ +2x² −x+6

5-27

(3)(x² +1)(2x−3)

x

x

x 1

1 0 +1

×） 2 − 3

− 3 0 − 3

2 0 2

2 − 3 2 − 3

(x² +1)(2x−3)=2x³ −3x² +2x−3

【練習】5.2.2-5

使用分離係數法計算下列各式：

(1)(−2x+3)(−x+5) (2)(3x² −x+5)(2x+1) (3)(2x² +3)(x−4)

5-28

5.2.3 節 多項式的除法運算

介紹完多項式的乘法後，接著我們來看看除法。

以前我們學過由23=6，可以得到63=2，其中 6 是被除數，3 是除數，2 是商。

同樣地，例題 5.2.1-3 中我們寫過(x−3)(x+1)= x² −2x−3 寫成除法算式則為(x² −2x−3)(x−3)=(x+1)

其中(x²− x2 −3)是被除式，( −x 3)是除式，( +x 1)是商式。

※因除式為 0 時無意義，本節不考慮除式為 0 的情況

與乘法運算時相同，除法的計算我們先從單項式開始看。

在單項式的除法中，先將原式化為分式，即^被除式_除式 的形式，其中數字部分要均分，文 字部分則利用指數運算 _n ^{m n}

m

a a

a = ₋ 來化簡。

舉例： x

x x x

x 3 3

3

2

2  = = ( x 0)

x x x x

x 2

3 3 6 6

2

2  = = ( x 0)

例題 5.2.3-1

計算下列各式：

(1)6x²  (2)2x −15 x 3x (3)5x² 2x 詳解：

(1) x

x x x

x 3

2 2 6 6

2

2  = =

(2) 5

3 3 15

15 − =−

=



− x

x x

x

(3) x

x x x

x 2

5 2 2 5 5

2

2  = =

5-29

【練習】5.2.3-1 計算下列各式：

(1)16x³ 4x (2)25x²  5x (3)30x²  (4)6x 81x²  9x

若被除數為多項式，除數為單項式，我們也可以拆解來計算，如下題：

例題 5.2.3-2

計算下列各式：

(1)(x² + )3x x (2)(12x³+8x²)4x 詳解：

(1)

＝

＝

＝

x x x + )3  ( ²

x x x² +3

x x x x² +3

+3 x

(2)

＝

＝

＝

x x

x 8 ) 4

12

( ³ + ² 

x x x

4 8 12 ³+ ²

x x x x

4 8 4

12 ³ + ² x x 2 3 ² +

【練習】5.2.3-2 計算下列各式：

(1)(x² + )2x x (2)(9x³−18x²)3x

5-30

接下來我們來看看多項式除以多項式要如何運算，這裡我們使用直式除法計算。

直式除法也稱為長除法，計算方式與一般數字的直式除法類似。

以計算(x² +2x−3)(x−1)為例：

(1) 先列出直式

−1

x x ² +2x − 3

(2) 被除式x² + x2 −3的第一項是x ，除式² x−1的第一項是x， x

x

x²  = ，因此我們商式的第一項放x，

被除式下面放除式與商式第一項相乘的式子。

x

−1

x x ² +2x − 3

x 2 −x ← (x−1)x=x² −x

(3) 計算(x² +2x−3)−(x² −x)=3x−3 x

−1

x x ² +2x − 3 x 2 −x

x

3 − ← 3 (x² +2x−3)−(x² −x)=3x−3 (4) 3 −x 3的第一項是 x3 ，除式x−1的第一項是x，

3

3x x= ，因此我們商式的第二項放 3 ， x + 3

−1

x x ² +2x − 3 x 2 −x

x

3 − 3 x

3 − ← 3 (x−1)3=3x−3

5-31

(5) 計算(3x−3)−(3x−3)=0

x + 3 ← 此處( +x 3)為商式

−1

x x ² +2x − 3 x 2 −x

x

3 − 3 x

3 − 3

0 ← (3x−3)−(3x−3)=0，此處為餘式

於是我們得到了(x² +2x−3)(x−1)=x+3，餘式為 0。

驗算： 無餘式時，除式×商式＝被除式 可計算(x−1)(x+3)= x² +2x−3

接著再看一題有餘式的計算：

計算(2x² +3x+4)(x+2)

x

2 −1 ← 商式為(2x−1) +2

x 2x ² + 3x +4

2x 2 +4x ← (x+2)2x=2x² +4x

−x +4 ← (2x² +3x+4)−(2x+4x)=−x+4

−x −2 ← (x+2)(−1)=−x−2

6 ← (−x+4)−(−x−2)=6，餘式為 6

因此我們得到，(2x² +3x+4)(x+2)，商式為2 −x 1，餘式為 6 。 驗算： 有餘式時，除式×商式＋餘式＝被除式

可計算(2x−1)(x+2)+6=(2x² + x3 −2)+6=2x² + x3 +4

5-32

例題 5.2.3-3

直式計算下列各式並驗算：

(1)(3x² +5x)(x+5) (2)(6x² +5x)(2x+1) 詳解：

(1) (3x² +5x)(x+5)

x

3 − 10 +5

x 3x ² + 5x 3x 2 +15x −10x

−10x − 50

50

) 5 ( ) 5 3

( x² + x  x+ 的商式為(3x−10)，餘式為 50。

驗算：計算(x+5)(3x−10)+50=3x² +5x

(2) (6x² +5x)(2x+1)

x

3 +1 1

2 +x 6x ² + 5x 6x 2 + 3x 2x

2x +1 −1

) 1 2 ( ) 5 6

( x² + x  x+ 的商式為(3x+1)，餘式為(−1)。 驗算：計算(2x+1)(3x+1)+(−1)=6x²+5x

5-33

【練習】5.2.3-3

直式計算下列各式並驗算：

(1)(18x² +15x)(6x+3) (2)(4x²−7x)(2x−1)

例題 5.2.3-4

直式計算下列各式並驗算：

(1)(48x²+30x+3)(6x+3) (2)(12x² +6x+4)(6x+1) 詳解：

(1)(48x²+30x+3)(6x+3)

x

8 +1 3

6 +x 48x ² +30x + 3 48x 2 +24x

x

6 + 3 x

6 + 3 0

) 3 6 ( ) 3 30 48

( x² + x+  x+ 的商式為(8x+1)，餘式為 0。

驗算：計算(6x+3)(8x+1)=48x² +30x+3

5-34

(2)(12x² +6x+4)(6x+1)

x

2 3

+ 2

1

6 +x 12x ² +6x +4 12x 2 +2x

x

4 +4 x

4 3 + 2

3 3 1

) 1 6 ( ) 4 6 12

( x² + x+  x+ 的商式為 )

3 2 2

( x+ ，餘式為 3 3 。 1

驗算：計算 12 6 4

3 31 3) 2 2 ( ) 1 6

( x+  x+ + = x²+ x+

【練習】5.2.3-4

直式計算下列各式並驗算：

(1)(5x² +9x+2)(x+2) (2)(8x² −2x−6)(4x+3)

5-35

例題 5.2.3-5

直式計算並驗算：

) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15

( x³+ x² + x+  x² + x+ 詳解：

) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15

( x³+ x² + x+  x² + x+

x

3 −1 2

3

5x² + x+ 15x ³ +4x² +4x +1 15x 3 +9x² +6x

5x2

− −2x +1 5x2

− − 3x −2 x + 3

) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15

( x³+ x² + x+  x² + x+ 的商式為(3x−1)，餘式為( +x 3)。 驗算：計算(5x² +3x+2)(3x−1)+(x+3)=15x³ +4x²+4x+1

【練習】5.2.3-5

直式計算並驗算：

) 2 3 2 ( ) 2 5 2 8

( x³+ x² + x+  x² + x+

5-36

例題 5.2.3-6 (缺 x 一次項的直式除法) 直式計算下列各式並驗算：

(1)(16x²+6)(4x+3) (2)(9x² −4)(3x+2) 詳解：

(1)(16x²+6)(4x+3)

4x − 3 3

4 +x 16x ² +0x + ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 6 16x ² +12x

−12x + 6 −12x − 9 15

) 3 4 ( ) 6 16

( x² +  x+ 的商式為(4x−3)，餘式為 15。

驗算：計算(4x+3)(4x−3)+15=16x² +6

(2)(9x² −4)(3x+2)

3x −2 2

3 +x 9x ² +0x −4 ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 9x ² +6x

−6x −4 −6x −4

0

) 2 3 ( ) 4 9

( x² −  x+ 的商式為(3x−2)，餘式為 0。

驗算：計算(3x+2)(3x−2)=9x² −4

5-37

【練習】5.2.3-6

直式計算下列各式並驗算：

(1)(8x² +6)(2x+1) (2)(9x² −2)(3x+1)

若在一個多項式除法中，被除式為 A，除式為 B，商式為 Q，餘式為 R。(B 不為 0) 也就是：AB=QR

我們在前面驗算時寫成： A=BQ+R 也可以將此式同除以 B 寫成：

B Q R B

A = +

即 除式

商式 餘式 除式

被除式= +

例題 5.2.3-7

有兩多項式 A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：

(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 2A 除以 B 的商式與餘式。

(3)求 A 除以 5B 的商式與餘式。

詳解：

(1) 除式

商式 餘式 除式

被除式= +

多項式 A 除以 B，商式為 Q，餘式為 R。

關係式為 B

Q R B

A= +

5-38

(2) 求 2A 除以 B 的商式與餘式。

將 B

Q R B

A = + 同乘以 2

得 2=( + )2 B Q R B

A

化簡為 B

Q R B

A 2

2 =2 +

對照 除式

商式 餘式 除式

被除式 = +

即 2A 除以 B，商式為 2Q，餘式為 2R。

(3) 求 A 除以 5B 的商式與餘式。

將 B

Q R B

A = + 同除以 5

得 5=( + )5 B Q R B

A

化簡為 B

R Q B A

5 5 5 = +

對照 除式

商式 餘式 除式

被除式= +

即 A 除以 5B，商式為 5

Q ，餘式為 R。

【練習】5.2.3-7

有兩多項式 A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：

(1)求 4A 除以 B 的商式與餘式。 (2)求 A 除以 2B 的商式與餘式。

5-39

5.2 節 習題

習題 5.2-1

計算下列各式：

(1)(3x²+x+1)+(6x² +2x+3) (2)(x³+3x−2)+(−2x³ +6x+3)

習題 5.2-2

計算下列各式：

(1)(5x² +3x+1)−(2x²+4x−7) (2)(2x² −4x+3)−(−x² +3x+5)

習題 5.2-3

(1)計算(4x² −2+x)+(3x² +3+2x)，並將結果按降冪排列。

(2)計算(x³+2x² −1)−(5x²+x+3)，並將結果按升冪排列。

習題 5.2-4

利用分離係數法計算下列各式:

(1)(2x² +6x−8)+(−4x² −2x−2) (2)(−3x² +4x−3)−(x² −x−1)

5-40

習題 5.2-5

計算下列各式：

(1)42x (2)(−2)3x (3)4 x 2x (4)6x −( x) (5)( x3 )² (6)5x ³ 3x² (7)4x 2³ x

習題 5.2-6

計算下列各式：

(1)(x+2)(x+1) (2)(2x+3)(x+1) (3)(x+4)(3x+2) (4)(3x+2)(x+3)

習題 5.2-7

計算下列各式：

(1)(x− x1)( +2) (2)(−2x+1)(x−2) (3)(x+3)(−x−1) (4)(3x−1)(−2x+1)

5-41

習題 5.2-8

計算下列各式：

(1)(x−2)(x² +2x+1)

(2)(2x+1)(3x−1)−(3x−2)(2x+5)

習題 5.2-9

使用分離係數法計算下列各式：

(1)(x− x1)( +3)

(2)(x+2)(2x² −x+1) (3)(x² − x1)( +2)

習題 5.2-10

計算下列各式：

(1)4x²  (2)2x −18 x 6x (3)7x²  3x

習題 5.2-11

計算下列各式：

(1)(2x³+ )3x x (2)(18x³ +4x²)2x

5-42

習題 5.2-12

計算下列各式並驗算：

(1)(2x² +5x+42)(x+2) (2)(3x²+13x+14)(3x+1)

習題 5.2-13

計算下列各式並驗算：

(1)(30x² +16x+2)(5x+1) (2)(24x² +25x+6)(8x+3)

習題 5.2-14

計算下列各式並驗算：

(1)(25x² +3)(5x+1) (2)(16x² −2)(4x−1)

習題 5.2-15

有兩多項式 A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：

(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 3A 除以 B 的商式與餘式。

(3)求 A 除以 4B 的商式與餘式。

5-43

5.3 節 多項式的乘法公式

在 5.2 節中，我們學習了如何展開兩個多項式的乘法。在這一節，我們將學習下列多項 式的乘法公式：

兩式相乘 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 和的平方 (x+ y)² = x²+2xy+ y²

差的平方 (x−y)² = x²−2xy+ y² 平方差 x² − y² =(x+ y)(x− y)

立方和 x³ + y³ =(x + y)(x² −xy+ y²) 立方差 x³ − y³ = (x− y)(x² + xy+ y²) 和的立方 (x+ y)³ = x³ +3x²y+3xy² + y³ 差的立方 (x− y)³ = x³−3x²y+3xy² −y³

三數和平方 (x+ y+z)² = x² + y² +z² +2xy+2yz+2zx 我們將在以下各小節推導這些公式並學習如何應用。

5-44

5.3.1 節 兩式相乘公式

本節我們要學習的乘法公式是兩式相乘公式： (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 我們利用 5.2 節學過的多項式乘法，來計算(a+b)(c+d)

令A=a+b

那麼算式就會變成 A(c+d)

＝ Ac+Ad (利用分配律)

＝ (a+b)c+(a+b)d (將 A 換回a + ) b

＝ ac+bc+ad+bd (化簡)

＝ ac+ad+bc+bd

於是我們就得到了(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd

除了利用分配律計算外，我們也可以從長方形面積來理解。

圖 5.3-1 的長方形中，長為(a +b)，寬為(c +d)。

ac bc

ad bd

a b

圖 5.3-1 我們想計算此長方形的面積，也就是(a+b)(c+d) 由圖可知，整個大長方形可以切成 4 塊，

左上方長方形的面積為 ac；左下方長方形的面積為 ad；

右上方長方形的面積為 bc；右下方長方形的面積為 bd。

全部合起來就是ac+ad+bc+bd

因此得到(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd

c d

5-45

例題 5.3.1-1

利用(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd展開下列各式：

(1)(x−3)(x+5) (2)(2x−6)(x−4) (3)(2x+ x1)( +3) (4)(4x+3)(3x−2) 詳解：

(1)

＝

＝

) 5 )(

3 (x− x+

15 3

2 +5x− x−

x

15

2+ x2 −

x

(2)

＝

＝

) 4 )(

6 2

( x− x−

24 6

8

2x² − x− x+ 24

14 2x² − x+

(3)

＝

＝

) 3 )(

1 2

( x+ x+ 3 6

2x² + x+x+ 3

7

2x² + x+

(4)

＝

＝

) 2 3 )(

3 4

( x+ x− 6 9 8

12x²− x+ x− 6

12x² + x−

【練習】5.3.1-1

利用(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd展開下列各式：

(1)(x+ x1)( +2) (2)(2x+3)(x−2) (3)(x−4)(5x+4) (4)(6x−5)(2x−1)

5-46

學習了多項式乘法公式之後，我們可以利用公式來做數字的計算。

我們先從簡單的乘法分配律開始練習。

例題 5.3.1-2

利用(a+ )b c=ac+bc或(a− )b c=ac−bc，計算下列各式：

(1)102350 (2)992400 (3)123² −12323 (4)123² +12377 詳解：

(1)

＝

＝

＝

＝

350 102

350 ) 2 100

( +  350 2 350 100 + 

700 35000+

35700

(2)

＝

＝

＝

＝

2400 99

2400 )

1 100

( −  2400 1

2400 100 − 

2400 240000−

237600

(3)

＝

＝

＝

＝

23 123 123²− 

23 123 123

123 −  )

23 123 ( 123 −

100 123

12300

(4)

＝

＝

＝

＝

77 123 123² + 

77 123 123

123 +  )

77 123 ( 123 +

200 123

24600

【練習】5.3.1-2

利用(a+ )b c=ac+bc或(a− )b c=ac−bc，計算下列各式：

(1)201250 (2)981200 (3)255² −25555 (4)255² +25545

5-47

接著我們利用公式(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd來做數字的計算。

例題 5.3.1-3

利用(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd，計算下列各式：

(1)71101 (2)49201 詳解：

(1)

＝

＝

＝

＝

101 71

) 1 100 ( ) 1 70

( +  +

1 1 100 1 1 70 100

70 +  +  +  1

100 70

7000+ + + 7171

(2)

＝

＝

＝

＝

201 49

) 1 200 ( )) 1 ( 50

( + −  +

1 ) 1 ( 200 ) 1 ( 1 50 200

50 +  + −  + −  1

200 50

10000+ − − 9849

【練習】5.3.1-3

利用(a+ )b c=ac+bc或(a− )b c=ac−bc，計算下列各式：

(1)41301 (2)49501

5-48

5.3.2 節 和的平方公式

本節要學習的乘法公式是和的平方公式：(x+ y)² = x² +2xy+ y² 公式推導：(x + y)²

＝ (x+y)(x+y)

＝ (x+y)x+(x+y)y (分配律)

＝ x² +xy+xy+ y²

＝ x² +2xy+ y²

除了利用分配律計算外，我們也可以從正方形面積來理解。

圖 5.3-2 圖 5.3-2 的正方形中，邊長為(x +y)。

我們想計算此正方形的面積，也就是(x+y)(x+y)或(x + y)²。 由圖可知，整個大正方形可以切成 4 塊，

左上方正方形的面積為 x²；左下方長方形的面積為 xy；

右上方長方形的面積為 xy；右下方正方形的面積為 y²。 全部合起來就是x² +xy+xy+ y²，化簡為x² +2xy+ y²。 因此得到(x + y)² = x² +2xy+ y²。

5-49

例題 5.3.2-1

利用乘法公式(x+ y)² = x²+2xy+ y²，展開下列各式：

(1)( +x 9)² (2)(x +2y)² (3)(4x+5)² (4)(− x5 +3)² 詳解：

(1)

＝

＝

)2

9 ( +x

2 2 2 ( ) (9) (9) )

(x +  x  + 81

2 + x18 + x

(2)

＝

＝

)2

2 (x + y

2

2 2 ( ) (2 ) (2 )

)

(x +  x  y + y

2

2 4xy 4y

x + +

(3)

＝

＝

)2

5 4 ( x+

2 2 2 (4 ) (5) (5) )

4

( x +  x  + 25 40 16x² + x+

(4)

＝

＝

)2

3 5 (− x+

2 2 2 ( 5 ) (3) (3) )

5

(− x +  − x  + 9

30 25x² − x+

【練習】5.3.2-1

利用乘法公式(x+ y)² = x²+2xy+ y²，展開下列各式：

(1)( +x 2)² (2)(3x+4)² (3)(2x + y)² (4)(− x3 +1)²