第五章 多項式
5.5 節 多項式與乘法公式的應用題與綜合題
前面幾節中我們已經學習了多項式與乘法公式的基本觀念，本節中我們將學習相關的 應用與綜合題型。
多項式相等：
若有兩多項式 A、B，且 A、B 同次方項的係數皆相等，則稱 A 與 B 相等，記為A =B。
例題 5.5-1
(1)有兩多項式A=ax2 +2x+6，B=7x2 +bx+c，且A =B，求a+b+c之值。
(2)設B為一個多項式，且(x2 −2x+3)+B=x3−3x+2，求多項式 B。 詳解：
(1) 由A =B，可知各次方項係數會相等：
二次項：a=7 一次項：b=2 常數項：c=6
15 6 2 7+ + =
= + +b c a
(2) (x2 −2x+3)+B= x3 −3x+2 ) 3 2 ( 2
3 2
3 − + − − +
= x x x x
B (移項)
3 2 2
3 2
3 − + − + −
=x x x x B
2 1
3− − −
=x x x B
5-84
例題 5.5-2
已知多項式(a−3)x2 +(a+b)x+(a+2b+c)為零多項式，求 a、b、c 之值。
詳解：
) 2 ( ) ( ) 3
(a− x2 + a+b x+ a+ b+c 為零多項式，
即 x2項的係數為 0 ，x 項的係數為 0，常數項係數為 0。
因此 a−3 =0 a=3
=0 +b
a 3+ b=0 b=−3 0
2 + = + b c
a 3+2(−3)+c=0 c=3 解得a=3、b=−3、c=3。
例題 5.5-3
有兩多項式A、B，已知A+B=2x2 +2x−1，A−B=2x3−2x+3，回答下列問題。
(1)求多項式A、B。 (2)求3 +A 2B之值。
詳解：
(1) 利用多項式加減法求出多項式A、B。 1
2 2 2+ −
=
+B x x
A ...○1
3 2 2 3 − +
=
−B x x
A ...○2
○1 ＋○2 得2A=2x3+2x2 +2，化簡得A=x3+x2 +1
○1 ＋○2 得2B=−2x3+2x2+4x−4，化簡得B=−x3+x2 +2x−2 即A=x3 +x2 +1、B=−x3+x2 +2x−2
(2) 求3 +A 2B之值。
B A 2 3 +
＝ 3(x3 + x2 +1)+2(−x3 + x2 +2x−2)
＝ 3x3 +3x2 +3−2x3 +2x2 +4x−4)
＝ x3+5x2 +4x−1
5-85
例題 5.5-4
有兩多項式A、B，已知A=x2 +2x+1，B=x2 +bx+1，若A =B，求 b 之值。
詳解：
若有兩多項式相等，則代表各項係數都會相等，也就是同類項係數相等。
因此由 x 項係數相等，可得b=2
例題 5.5-5
有兩多項式A、B，已知A=ax2 +5x+c，B=−2x2 −bx+7，若A =B，求 a、b、c 之值。
詳解：
若有兩多項式相等，則代表各項係數都會相等，也就是同類項係數相等。
由 x2項係數相等，可得a=−2
由 x 項係數相等，可得−b=5 b=−5 由常數項係數相等，可得c=7。
即a=−2、b=−5、c=7
例題 5.5-6
求(2x2+3x+7)(12x2 −4x+5)展開式中 x3項的係數。
詳解：
本題只有求 x3項的係數，因此不需要將此展開式計算出來，只要計算展開後會成 為 x3的項即可。
3
2 ( 4 ) 8
2x − x =− x
3
2 36
12
3x x = x
3 3
3 36 28
8x + x = x
−
得 x3項係數為 28。
5-86
例題 5.5-7
若(2x2 + ax+7)(x2 −2x+5)展開式中各項係數的總和是 48，求 a 之值。
詳解：
本題需要計算(2x2 +ax+7)(x2 −2x+5)，我們利用A(a+b+c)= Aa+Ab+Ac展開。
) 5 2 )(
7 2
( x2 + ax+ x2 − x+
＝ (2x2 +ax+ 7)(x2)+(2x2 + ax+ 7)(−2x)+ (2x2 +ax+7)(5)
＝ 2x4 +ax3 +7x2 −4x3 −2ax2 −14x+10x2 +5ax+35
＝ 2x2 +(a −4)x3 +(7−2a+10)x2 +(−14+5a)x+35
＝ 2x2 +(a− 4)x3 +(−2a+17)x2 +(5a−14)x +35 由各項係數的總和是 48，可列出
48 35 ) 14 5
( ) 17 2
( ) 4 (
2+ a− + − a+ + a− + = 48
4 36+ a =
12 4 =a
=3 a
得到a =3。
例題 5.5-8
已知3x3−x2 +ax+12能被x2 − 2x+b整除，求 a、b 之值。
詳解：
寫成直式計算 x
3 + 5 b
x
x2 − 2 + 3x 3 − x2 + ax +12 3x 2 −6x2 +3bx
5x 2 +( −a 3b)x +12 5x 2 −10x + 5b
x b
a 3 10)
( − + +(12−5b)
5-87
整除表示餘式為 0 0
5
12− b= ，解得 5
=12
b 。
0 10 3 + =
− b
a ，代入
5
=12
b ，解得
5
−14
=
a 。
因此 5
=12
b 、
5
−14
=
a 。
例題 5.5-9
已知B為一多項式(非零多項式)，且
x B B
x
x 2
3 1
2 2
+ + + =
+ ，求多項式 B。
詳解：
5.2 節我們曾經學過：
在一個多項式除法中，被除式為 A，除式為B，商式為Q，餘式為R。(B不為 0) 可以將這些多項式關係式寫成
B Q R B
A= +
對照題目的式子，可以發現題目中的x2+ x2 +3是被除式，B是除式，x+1是商，2 是餘式。
我們知道： (被除式－餘式) ÷ 除式＝商式
也可以寫成： (被除式－餘式) ÷ 商式＝除式 (商式不為 0) 因此要求多項式B，可以列式：
B
＝ [(x2 +2x+3)−2](x+1)
＝ (x2 +2x+1)(x+1) 直式計算(x2 +2x+1)(x+1)
x +1 +1
x x 2 +2x +1 x 2 + x x +1 x +1
0 得B= x+1
5-88
例題 5.5-10
已知A為一多項式。若 A除以x3 −x2 +x+1所得之商式為x2 + ，餘式為4x − x3 +1， 求多項式A。
詳解：
5.2 節我們曾經學過：
在一個多項式除法中，被除式為 A，除式為B，商式為Q，餘式為R。(B不為 0) 可以將這些多項式關係式寫成A=BQ+R。
因此本題的 A ＝(x3−x2 +x+1)(x2 +4x)+(−3x+1)
＝(x3−x2 +x+1)x2 +(x3−x2 +x+1)4x+(−3x+1) ＝x5−x4+x3+x2 +4x4 −4x3+4x2+4x−3x+1 ＝x5−x4+4x4+x3−4x3+x2+4x2+4x−3x+1 ＝x5+3x4 −3x3+5x2 +x+1
得A＝x5 +3x4−3x3 +5x2 +x+1
例題 5.5-11
若(2x+1)(x−a)展開可得2x2 −x−b，試求 b 之值。
詳解：
對照2x2 −x−b的 x 項係數，可知− a2 +1=−1，解得a=1。 對照常數項係數，可知−a=−b，代入a=1，解得b=1。 因此 b 之值為 1。
5-89
例題 5.5-12
若876.52 =8762 +A，則 A 之值為何？
詳解：
利用乘法公式(x+ y)2 = x2 +2xy+ y2 52
.
876 ＝ (876+0.5)2
＝ (876)2 +2(876)(0.5)+(0.5)2
＝ 8762 +876+0.25
＝ 8762 +876.25 對照876.52 =8762 +A 可知A=876.25
例題 5.5-13
化簡下列各式：
(1) (2x+3y)2 −(2x−3y)2 (2) b a
b a
+
− 2
2
(a+b0) 詳解：
(1)利用乘法公式x2− y2 =(x+ y)(x−y)
2
2 (2 3 )
) 3 2
( x+ y − x− y
＝ [(2x+3y)+(2x−3y)][(2x+3y)−(2x−3y)]
＝ [2x+3y+2x−3y][2x+3y−2x+3y]
＝ [4x][6y]
＝ 24xy
(2)利用乘法公式x2− y2 =(x+ y)(x−y) b
a b a
+
− 2
2
＝ a b b a b a
+
− + )( ) (
＝ a −b (a+b0)
5-90
例題 5.5-14
求下列各式之值：
(1) 2 2
2 2
145 255
45 155
−
− (2) 2 2
2 2
35 70 85 85
35 85
+
+
−
詳解：
(1)利用乘法公式x2− y2 =(x+ y)(x−y)
2 2
2 2
145 255
45 155
−
−
＝ (255 145)(255 145) ) 45 155 )(
45 155 (
− +
− +
＝ 400 110 110 200
＝ 400 200
＝ 2 1
(2) 利用乘法公式x2 −y2 =(x+ y)(x− y)與(x+ y)2 = x2+2xy+ y2
2 2
2 2
35 70 85 85
35 85
+
+
−
＝ 2 2
35 35 85 2 85
) 35 85 )(
35 85 (
+
+
− +
＝ 2
) 35 85 (
) 35 85 )(
35 85 (
+
− +
＝ 2 120
50 120
＝ 120 50
＝ 12 5
5-91
例題 5.5-15
(1) 若(3−1)(3+1)(32 +1)(34 +1)=3n−1，則 n＝？
(2) 若(4−1)(4+1)(42 +1)(44 +1)(48 +1)=2m −1，則 m＝？
詳解：
(1)利用乘法公式(x+y)(x− y)= x2 − y2 ) 1 3 ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( ) 1 3
( − + 2+ 4 +
＝ (32 −12)(32+1)(34 +1)
＝ (32 −1)(32 +1)(34 +1) (12 = ) 1
＝ ((32)2−(1)2)(34 +1)
＝ (34 −12)(34 +1) (指數律(am)n =amn)
＝ (34 −1)(34 +1)
＝ ((34)2 −(1)2)
＝ 3 −8 12
＝ 38 − 1
＝ 3 −n 1 可知 n＝8
(2)利用乘法公式(x+y)(x− y)= x2 − y2
) 1 4 ( ) 1 4 ( ) 1 4 ( ) 1 4 ( ) 1 4
( − + 2 + 4 + 8 +
＝ (42−12)(42 +1)(44+1)(48+1)
＝ (42−1)(42+1)(44 +1)(48+1) (12 = ) 1
＝ ((42)2 −(1)2)(44 +1)(48 +1)
＝ (44 −1)(44 +1)(48+1)
＝ ((44)2 −(1)2)(48+1)
＝ (48 −1)(48+1)
＝ (48)2 −(1)2
＝ 416− 1
＝ (22)16 −1 (4 =22)
＝ 232 − 1
＝ 2 −m 1 可知 m＝32
5-92
例題 5.5-16
如圖 5.5-1，為一大等腰直角三角形，內部包一小等腰直角三角形。大等腰直角 三角形的腰長為 76 公分，小等腰直角三角形的腰長為 24 公分，則著色部份的面 積為何？
圖 5.5-1 詳解：
著色部份面積 ＝大等腰直角三角形面積－小等腰直角三角形面積
＝ 2
24 1 2 24
76 1
76 −
＝ 2
) 1 24 76
( 2 − 2
＝ 2
) 1 24 76 )(
24 76
( + − (x2 −y2 =(x+ y)(x− y))
＝ 2
) 1 52 )(
100
(
＝ 2600
著色部份面積為 2600 平方公分。
5-93
例題 5.5-17
如圖 5.5-2，為一大圓內部再包一小圓。大圓半徑為 64 公分，小圓半徑為 36 公 分，則著色部份的面積為何？(答案以π表示)
圖 5.5-2 詳解：
圓面積＝πr2 (r 為半徑)
著色部份面積 ＝大圓面積－小圓面積
＝642 −362
＝ (642 −362)
＝(64+36)(64−36) (x2 −y2 =(x+ y)(x− y))
＝(100)(28)
＝2800
著色部份面積為 2800π平方公分。
例題 5.5-18
將下列各式化為最簡根式：
(1) 5 −2 6 (2) 3 −2 2 詳解：
像這種有雙重根號的題目，為了消去根號，我們可以試著利用乘法公式，將根號 內的部份化為完全平方數。
(1) 5 −2 6
＝ 3−2 6+2 (設法利用乘法公式x2 −2xy+ y2 =(x−y)2)
＝ ( 3)2−2 3 2+( 2)2
＝ ( 3− 2)2
＝ 3 − 2
5-94
(2) 3 −2 2
＝ 2−2 2+1 (設法利用乘法公式x2 −2xy+ y2 =(x−y)2)
＝ ( 2)2 −2 21+(1)2
＝ ( 2−1)2
＝ 2 −1
例題 5.5-19
化簡下列各式 (1) 49
47 1 (2)
225 223 1
詳解：
與前一例題類似，我們利用乘法公式，設法消去根號。
(1)
49 47 1
＝ 49
) 1 2 49 ( − +
＝ 2 2
7 2 1 7 − +
＝ 2 )2
7 (1 7 7 1 2
7 − +
＝ )2 7 7 1
( − (利用乘法公式x2 −2xy+ y2 =(x− y)2)
＝ 7 7 −1
＝ 7 66
5-95
(2)
225 223 1
＝ 225
) 1 2 225 ( − +
＝ 2
2
15 2 1 15 − +
＝ 2 )2
15 (1 15 15 1 2
15 − +
＝ )2 15 15 1
( − (利用乘法公式x2 −2xy+ y2 =(x− y)2)
＝ 15 15 − 1
＝ 15 1414
例題 5.5-20
若x= 3 + 2，y= 3 − 2，求x2+ y2 =? 詳解：
根據乘法公式x2 +2xy+ y2 =(x+ y)2，可以推得x2+ y2 =(x+ y)2 −2xy
2
2 y
x + ＝(x+ y)2 −2xy
＝(( 3+ 2)+( 3− 2))2 −2( 3+ 2)( 3− 2)
＝(2 3)2 −2(3−2) ((x+ y)(x− y)= x2 − y2)
＝12 −2
＝10
5-96