Kalman 於 1960 年首次提出卡門濾波(Kalman Filter, KF)，具有將即時觀測值和 當前模式值資料同化的能力。卡門濾波假設預報模式和觀測值兩者皆有不確定性 且為高斯分布，由最佳自回歸數據處理演算法推測實際值之分布。卡門濾波藉由 遞迴的方式逐步將觀測值及其誤差結合到模式內，使得模式本身在未來具有更佳 的預測結果(Kalman, 1960)。
卡門濾波的限制在於僅適用於線性的預報模式。由於大部分動態系統皆屬於 非線性模式，必須擴展卡門濾波至非線性系統。因此，擴展式卡門濾波(Extended Kalman Filter, EKF)、系集卡門濾波(Ensemble Kalman Filter, EnKF)等卡門濾波的變 化版本應運而生。擴展式卡門濾波近似於標準的卡門濾波，可應用於輕微非線性 的模式和觀測算符，屬於將非線性模式線性化的方法。詳細理論及應用可見(Miller et al., 1994)。
Evensen 在 1994 年首次提出系集卡門濾波的概念，此方法起源於解決卡門濾 波在處理龐大資料以及非線性系統的問題。系集卡門濾波建立在系集模式上，提 供可靠的資料同化能力。起初應用於資料龐大的大氣模式上，但因其優異的性能，
12
漸漸在工程科學界廣泛應用。系集卡門濾波結合蒙地卡羅抽樣法(Monte Carlo)將卡 門濾波對機率的不確定性以抽樣樣本代表，並結合系集預報的有限隨機樣本計算 誤差協方差矩陣(Evensen, 1994)。Burgers 等人在 1998 年證實，在系集卡門濾波對 觀測量做資料同化時，觀測量必須如同狀態變數抽樣產生系集的方式，在觀測量 加入協方差為 R 的隨機誤差來表現其不確定性。如此才能使更新後的分析樣本具 有不偏估的統計量(Burgers et al., 1998)。 Hamill 等人在 2001 年證實系集卡門濾波 應用於相關性隨距離遞減的系統時，容易因有限的系集樣本而高估誤差協方差；
並使用近似高斯分布的權重函數強迫誤差協方差隨著距離遞減，建立協方差局地 化(covariance localization)的觀念，有效降低誤差協方差矩陣的估計誤差(Hamill et al., 2001)。Whitaker 和 Hamill 在 2002 年提出系集平方根濾波(Ensemble Square Root Filter, EnSRF)，由誤差協方差矩陣的平方根計算簡化卡門增益，再分別以傳統卡門 增益和減化的卡門增益更新系集平均和系集成員與平均間的偏差。此法可以省去 在觀測量加入協方差為 R 之隨機誤差的步驟，並提升系集卡門濾波在相同系集數 量下的精度(Whitaker and Hamill, 2002)。Burgers 等人在 1998 年亦指出：系集卡門 濾波在系集成員不足、較差的初始值以及忽略模式誤差等情況下，將低估狀態向 量的不確定性，使得系集卡門濾波失去資料同化的能力。為解決此問題，Zhang 等 人於 2004 年建立一個介於零到一之間的參數調整系集偏差降低的比例，稱為協方 差擴張(covariance inflation)(Zhang et al., 2004)。曹明君以動力波預報初始值修正模 式作為河川洪水演算的基礎，利用系集卡門濾波之資料同化能力整合類神經網路 預報值更新預報水位，提升定率洪水預報的準確性；其研究並未探討不確定性來 源，同時亦指出有限系集樣本使得空間距離甚遠的預報水位容易有不合理的更新。
綜觀前人之研究，卡門濾波建立在預報模式與觀測值皆有不確定性之假設 上，為了應用在非線性系統結合蒙地卡羅抽樣法發展出系集卡門濾波，之後協方 差局地化、系集平方根濾波、及協方差擴張等概念逐漸完備系集卡門濾波之理論。
並且可在水文模式上建立資料同化能力，將不同來源之預報模式結果相互整合，
13
提升預報精準度。
2.5 2.5 2.5
2.5 綜合討論 綜合討論 綜合討論 綜合討論
綜合以上文獻回顧，可整合河川洪水演算模式、系集預報、不確定性、以及 系集卡門濾波之概念，各理論之交互關係說明如下(圖 2.1)：
1. 系集預報已廣泛應用於河川洪水預報，具有在原始定率預報模式上考慮不確 定性來源，建立機率預報之能力。過去文獻指出傳統系集預報僅考慮初始條 件不確定性的做法將低估預報上的不確定性，因此本文擬引用更多不確定性 來源。另一方面，河川洪水演算模式有參數條件上的限制，若給予之參數組 合不符合物理機制，將出現模式不穩定的現象，必須另外抽樣出新的系集(參 數組合)取代原先無法計算的系集。
2. 系集卡門濾波理論已漸趨完備，可取代過去常用於回饋演算之最小平方法，
提升計算效率與預報精度，且其系集演算方式可與系集預報相輔相成，可直 接利用系集預報之系集進行資料同化，毋須另外產生系集。
3. 由於水文現象常因地因時而迥異，尤其在暴雨期間更是變化多端，因此藉由 河川洪水預報之回饋演算功能，輸入水位站觀測資料或相較精準之類神經網 路預報模式加以校正，可有效提升全河系預報精度。本文採用系集卡門濾波 對河川洪水演算模式與 BPN(back-propagation neural network)模式在水位站之 預報值進行資料同化，系集卡門濾波分別估計兩模式之不確定性計算更新權 重，若 BPN 模式之估計不確定性沒有遠小於河川洪水演算模式之估計不確定 性，將失去回饋演算的效果與意義。因此本文將 BPN 模式預報值假設為未來 時刻儀器觀測資料，利用儀器精度估計其不確定性，如此方能提升回饋演算 的效果。
14
第三章 第三章 第三章
第三章 模式理論 模式理論 模式理論 模式理論
3.1 河川洪水預報模式 河川洪水預報模式 河川洪水預報模式 河川洪水預報模式(許銘熙等人 許銘熙等人 許銘熙等人 許銘熙等人， ， ， ，2000)
本 文 之 河 川 洪 水 預 報 模 式 以 動 力 波 演 算 為 基 礎 ， 由 迪 聖 凡 南 方 程 式 (de Saint-Venant equations)進行水理演算。
3.1.1 控制方程式 控制方程式 控制方程式 控制方程式
動力波為完整考慮壓力、重力、摩擦力、局部加速度及對流加速度等部份之 水流運動方程式，其連續方程式與運動方程式為：
A Q
+ - q +q = 0 1 2 t x
∂ ∂
∂ ∂ (3.1)
Q Q2 Y Q
+ - gA S - - S - q V + q = 0
o f 1 1 2
t x A x A
∂∂ ∂∂ ∂∂
(3.2)
式中，A 為通水斷面積；Q 為河川流量；為單位河川長度之側入流量； 為單位 河川長度之溢出流量；t 為時間座標；x 為沿水流方向之距離座標；g 為重力加速 度； 為河道底床坡度；Y 為河道斷面之水深； 為摩擦坡度； 為河道側流平均 流速在主流方向之分量。
不考慮河川之沖刷與淤積之情況，則河道斷面為定床。 (3.1)與(3.2)式可簡化 為水深(Y)及流量(Q)的函數。此雙曲線型偏微分方程式無法直接求得解析解，因此 採用非線性完全隱式法(Non-linear fully implicit scheme method)求其數值解。配合 初始條件、邊界條件，以及河道參數，可求出所有離散斷面之水深及流量。
本文之淡水河流域有眾多支流，屬於一完整河系。為了將單一河道之演算擴 充至河系，本模式假設匯流處水位相等且流量進出平衡，建立足夠之方程式於匯 流處之演算，使總方程式與總未知數之數目相等(詳細內容請參見附錄 A)。
15
3.1.2 邊界條件與初始條件 邊界條件與初始條件 邊界條件與初始條件 邊界條件與初始條件
本文使用之邊界條件皆為水位歷線，亦可給定流量歷線或率定曲線。在過去 與即時之演算，四個上游邊界(大漢溪新海橋、新店溪秀朗橋、景美溪寶橋、基隆 河介壽橋)採用即時測量之水位；下游邊界(河口)採用河口觀測潮位。未來時刻上 游邊界條件使用倒傳遞類神經網路水位預報模式之預報結果；下游邊界條件採用 河口觀測潮位。
3.2 系集卡門濾波 系集卡門濾波 系集卡門濾波 系集卡門濾波
系集卡門濾波發源自卡門濾波，其認為模式預報值和觀測值皆有不確定性，
並假設所有誤差為常態分布且平均值為零。在預報模式隨著時間向前計算的過程 中，若取得觀測資料，就可進行資料同化(data assimilation)結合兩者提供的訊息。
卡 門 濾 波 將 預 報 值 與 觀 測 值 的 誤 差 協 方 差 (error covariance) 做 極 小 方 差 估 計 (minimum variance estimate)，使新的預報分析值具有最小誤差協方差。預報分析值 代表卡門濾波對真實值的推估，因假設誤差為常態分布且平均值為零，此推估值 必然介於模式預報值和觀測值中間，並且藉著比較兩者之誤差協方差來決定預報 分析值之不確定性。
卡門濾波在處理高維度問題時，誤差協方差的龐大計算與儲存會耗費太長的 演算時間，且無法處理非線性模式。為了解決此問題，系集卡門濾波結合蒙地卡 羅法(Monte Carlo)對預報值及觀測值之機率分布進行抽樣，並由有限的隨機樣本估 計原本的機率分布，稱之為系集。系集卡門濾波以系集計算之樣本誤差協方差取 代原始的誤差協方差，無需儲存或更新誤差協方差，減輕計算上的負擔。
3.2.1 誤差 誤差 誤差 誤差協方差 協方差 協方差 協方差與分析方程 與分析方程 與分析方程 與分析方程式 式 式 式
16
將 離 散 時 間 過 程 的 預 報 變 數 以 向 量 的 形 式 表 達 ， 稱 之 為 狀 態 向 量 (state vector) ，以 x 表示(在本文中狀態向量為預報水位)。為了區別原始預報值與觀測 值同化後的分析值，以 和分別表示之。狀態向量中元素的誤差可計算誤差協 方差矩陣 P：
(3.3)
(3.4)
, (3.5)
, ! " (3.6) 其中上標 f 和 a 分別代表預報狀態和分析狀態。表示狀態向量的估計值；e 表示 誤差；E 為期望值函數。
系集卡門濾波與卡門濾波最大的差別在以有限的系集樣本計算誤差協方差，
具有將系集預報與資料同化兩者合而為一的能力。系集預報的結果代表著狀態向 量機率分布的抽樣樣本，可直接計算誤差協方差：
, 1
# 1 $%& ' (%& ' (
)
&*
(3.7)
, 1
# 1 $& ' & '
)
&*
(3.8)
其中下標 k 為系集編號的指標，N 為系集成員的總個數，頂線表示系集平均。系 集卡門濾波以狀態向量的系集平均做為真實值的估計量。
在資料同化週期中包含有預報和分析兩個步驟：首先預報模式分別計算出所 有系集成員的預報結果，以系集平均作為狀態向量之預報值；接收到觀測資料後，
系集卡門濾波更新所有系集成員的預報值，稱為分析值，再往下一個時階進行演 算。如此每當得到新的觀測值，卡門濾波就更新原有的預報值與不確定性，得到 較準的分析值與較小的不確定性。經過多次觀測值資料同化，即使沒有新的觀測
17
值，模式也可以得到更準確的預測結果。
系集卡門濾波以系集預報取代傳統卡門濾波的預報步驟，而分析步驟的方程 式如下：
+ , -, , . /01 (3.9)
& & . +%2& ,& ( (3.10)
& & . +%2& ,& ( (3.10)