2-1 結構可靠度分析
結構設計的主要目的之一在於確保結構物能在經濟效益的限制 下發揮其功能，然而實際上許多不確定因素的存在是無法避免的，因 此設計規範通常以安全係數來避免不預期的超大負載或超低強度所 造成的破壞。然而安全係數的選取並不一定具有理論根據，因此新的 規範常改以可靠度分析的觀念來制訂。結構可靠度分析是將機率概念 應用至結構工程應用問題上，分析結構在特定破壞準則下的破壞機 率，進而以此機率來量度該結構之可靠程度的方法。
進行結構可靠度分析時，基本上有兩點假設：
一、 結 構 物 所 受 的 負 載 、 幾 何 性 質 、 材 料 性 質 等 的 不 確 定 性
（uncertainty）是以一組基本隨機變數（random variables）來模 擬：
[
X1,X2,L,Xn]
T=
X (2-1-1)
二、 結構可能以不同模式破壞，但在每一個破壞模式下，結構只能有 一種狀態：安全狀態（safe state）或破壞狀態（failure state）。
每個破壞模式是以一極限狀態函數（limit state function）g
( )
X 表示，當g
( )
X >0，代表結構安全，若g( )
X < 0，則代表結構破壞，當g
( )
X = 0，代表結構處於極限狀態。g( )
X = 0在x空間為一曲面，稱為破壞面。
在前述假設下，結構發生破壞的機率為
∫
< 此作為比較的基準，因此作可靠度分析時，常改用可靠指數(reliability index)β 來量度結構的可靠度。β為Pf 的函數，其廣義的定義為 (Madsen et al.1986)β =Φ−1(P(g >0)) (2-1-5)
靠度法的應用可以有效地解決積分困難的問題。
2-2 一階可靠度法
一階可靠度法是利用一超平面，來取代原本的極限狀態面，以簡 化積分的複雜度。首先利用變數變換，將基本隨機變數Z 轉換成一組 統計獨立，且具有標準常態分佈的隨機變數 Y，如下所示：
( )
XY
Y= (2-2-1)
上式稱為X的機率轉換。如果X 是常態分佈且統計獨立，則上式的 轉換機率為：
i i i i
Y X
σ µ
= − (2-2-2)
其中µi為隨機變數Z 的平均值，i σi為隨機變數Z 的標準差。 i
當基本隨機變數 X轉換到標準常態空間 Y時，極限狀態函數變 成：
( )
Y g(
X( )
Y)
G = (2-2-3)
根據機率理論：
( )
x x( )
y yX d d
f =φ (2-2-4)
其中φ是Y的聯合機率密度函數：
( )
=( )
21 exp− 2 T n
y yy
φ π (2-2-5)
上式為n 維標準常態密度函數。
式 2-1-4 經機率轉換之後可以表示為：
( )
( ) ∫
( )( )
∫
≤ = ≤ φ= g x 0 X x x G y 0 y y
f f d d
P (2-2-6)
上式說明了破壞機率如何從基本隨機變數 X 空間中，轉換到標準常 態 Y 空間中求得。
統計獨立、標準常態分佈有兩個很好的特性：
(a) 其機率密度函數對原點具有旋轉對稱性。
(b) 其機率密度隨離原點的距離平方作指數衰減。
由以上兩個特性可知，破壞區域離原點最近的點具有最大的機率密 度，遠離這個最近點，機率密度將急速衰減，利用此一特性，可以建 立簡單的近似法來求破壞區域的積分值，而構成了一階、二階可靠度 分析的基礎。
我們在 Y 空間中找出破壞面離原點最近之點，稱之為設計點
（design point），然後在設計點對極限函數作一階展開，以切平面
（tangent hyperplane）來取代破壞面，如圖 2-2-1 所示。這就是所謂 的一階可靠度法。
若以 *y 表示設計點，則其切平面可以用下式表示：
( )(
−)
=0式中Φ（.）是指標準常態分佈的累積分函數（cumulative distribution），
β 稱為可靠度指數（reliability index），其意義是指在標準常態空間 中，原點與設計點間的距離: 導過程可參考Der Kiureghian et al.(1987)。
2-3 敏感度分析
在一階可靠度法中，還有另一個重要的特點，就是它可以作為可
靠度指數β 對基本隨機變數中之統計參數的敏感度分析。令θd為決定
修正後，便可以對結構重作可靠度分析。
表 2-1-1可靠度指數與破壞機率關係
β Pf1 β Pf1
0 0.5 3.01.35×10−3 0.5 0.309 3.5 2.33×10−4 1.0 0.159 4.0 3.17×10−5 1.5 0.067 4.5 3.4×10−6 2.0 0.023 5.0 2.9×10−7 2.5 0.006 5.5 1.9×10−8
圖2-2-1 一階可靠度法