以非破壞檢測進行鋼筋混凝土橋梁上部結構之安全評估(2/2)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

以非破壞檢測進行鋼筋混凝土橋梁上部結構之安全評估

(2/2)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2211-E-002-072- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學應用力學研究所 計畫主持人： 劉佩玲 計畫參與人員： 葉泊涼、黃自然、郭致遠 報告類型： 完整報告 處理方式： 本計畫可公開查詢 中 華 民 國 92 年 10 月 30 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

■ 成 果 報 告 □期中進度報告

以非破壞檢測進行鋼筋混凝土橋梁上部結構之安全評估

計畫類別：■ 個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC91－2211－E－002－072

執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日

計畫主持人：劉佩玲

共同主持人：

計畫參與人員：葉柏涼、郭致遠、黃自然

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

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處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究

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□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：台灣大學應用力學研究所

中 華 民 國 92 年 10 月 28 日

中文摘要

橋梁在陸地交通中一直是不可或缺的一環。一旦橋梁發生破壞， 不但會造成人命傷亡，而且當地交通頓時中斷，又缺乏替代路線，因 此後繼的損失更是不計其數。又加上橋梁造價昂貴，施工困難，因此 如何監測既有橋梁，使橋梁在設計年限內能安全有效地提供服務，一 直是各國道路工程主管單位努力的目標。 本計畫的主旨在提出一個可以對鋼筋混凝土橋梁上部結構進行安 全評估的方法。首先，以非破壞方法來檢測鋼筋混凝土橋梁，如混凝 土抗壓強度及鋼筋腐蝕，再以貝氏統計法來重建混凝土抗壓強度或鋼 筋面積的機率分佈，然後根據設計規範，對橋梁重做可靠度分析，看 橋梁是否還具有規範所規定的安全性。 本計畫將分別對 T 型梁橋及箱型梁二種橋梁的安全評估進行研 究。作可靠度分析時，將考慮撓曲強度、剪力強度等不同破壞準則， 而系統中的不確定性，除了以非破壞檢測建立混凝土抗壓強度及鋼筋 面積之分佈，還將收集台灣地區的載重、道路鋪面等相關資料，使評 估方法更具有實用性。 關鍵詞：橋梁、鋼筋混凝土、安全評估、非破壞檢測、可靠度分析

The Safety Assessment of the Upper Structures of

Reinforced Concrete Bridges Based on NDT Results

Abstract

Bridges play an indispensable role in land transportation. The collapse of a bridge often results in tremendous losses. Therefore, the safety assessment of bridges is an important and challenging task for civil engineers.

The objective of this project is to develop a method to assess the reliability of the upper structures of reinforced concrete bridges. The safety of a bridge can be evaluated by means of reliability analysis. It provides a reasonable estimate on the failure probability of the bridge if the distributions of the uncertainties in the system are known. However, as the bridge is damaged, the compressive strength of concrete may decrease and corrosion of the steel reinforcement may occur. Apparently, the distributions of the material should be modified and the reliability of the bridge should be re-evaluated.

It is proposed in this study that nondestructive tests be performed on the target bridge. Then, the Bayesian statistics is adopted to combine the original statistics with the NDT data to give a reasonable estimate of the current condition of the concrete and the reinforcement. As such, both the original data and the new observations play equally important roles.

Finally, reliability analysis is performed on the target bridge using the updated distributions of the concrete and steel reinforcement. The limit-state function is formulated based on the design specifications. As such, the reliability index of the bridge is comparable to the design value.

Both the T-beam bridge and the box girder bridge will be considered in this study. In order to apply the proposed method to local bridges, this study will also collect statistics regarding the dynamic load and pavement in Taiwan.

Keywords：bridge, reinforced concrete, safety assessment, nondestructive

目錄

第一章 導論……….………1 1-1 前言……….….... 1 1-2 文獻回顧………. 3 1-3 內容大綱………. 5 第二章 結構可靠度分析……… 6 2-1 結構可靠度分析……… 6 2-2 一階可靠度法……… 8 2-3 敏感度分析……… 10 2-4 結構損傷後之可靠度再評估……….. 11 第三章 橋梁之可靠度分析模型………... 15 3-1 橋梁設計規範………...……… 15 3-2 橋梁之可靠度分析準則………...………… 17 3-2-1 強度極限狀態………...…………. 17 3-2-2 服務極限狀態………...………. 25 3-2-3 疲勞極限狀態………...………. 27

3-3 載重模型………. 28 3-3-1 橋梁設計規範載重……… 28 3-3-2 載重變數機率分布……… 33 3-3-3 台灣地區之載重數據……… 34 3-4 強度模型……… 35 3-4-1 橋梁之有效尺寸….………...………… 35 3-4-2 強度變數機率分布……… 37 3-4-3 台灣地區之強度數據……… 38 第四章 非破壞檢測與貝氏統計之應用……….. 53 4-1 非破壞檢測……… 53 4-1-1 暫態彈性波法……… 53 4-2 貝氏統計……… 56 4-2-1 貝氏定理……… 56 4-2-2 貝氏修正……… 58 4-3 混凝土抗壓強度與暫態波速間統計模型之建立.… 59 第五章 數值算例……… 67 5-1 三跨鋼筋混凝土箱型梁橋之可靠度分析………….. 67

5-1-1 橋梁損傷前可靠度分析……… 71 5-1-2 橋梁損傷後可靠度分析……… 80 5-2 烏溪橋之可靠度分析……… 84 5-2-1 烏溪橋損傷前可靠度分析………...… 86 5-2-2 烏溪橋損傷後可靠度分析……… 90 第六章 結論與展望……… 132

表目錄

表2-1-1 可靠度指數與破壞機率關係………...14 表3-1-1 載重修正因子………...40 表3-1-2 載重因子 γi………40 表3-1-3 強度折減因子

φ

………41 表3-2-1 撓曲破壞準則………...41 表3-2-2 剪力破壞準則………...42 表3-2-3 位移限制中最小深度………...43 表3-2-4 分佈係數表………...44 表3-3-1 變數機率分佈………...45 表4-3-1 波速對抗壓強度實驗數據………...64 表5-1-1 分布因數表………...94 表5-1-2 內梁車輛載重之彎矩對應橋梁位置………...95 表5-1-3 車輛載重之剪力對應橋梁位置………...96 表5-1-4 基本隨機變數平均值、標準差與分布型態……….97 表5-1-5 撓曲極限方程式敏感度分析………...97 表5-1-6 最大鋼筋量極限方程式敏感度分析………...98 表5-1-7 最小鋼筋量極限方程式敏感度分析………...98

表5-1-8 剪力極限方程式敏感度分析………...………99 表5-1-9 軸向鋼筋剪力極限方程式敏感度分析………...…..100 表5-1-10 應用非破壞檢測修正後之損傷案例一……….101 表5-1-11 損傷案例一對撓曲極限狀態作可靠度分析……….102 表5-1-12 撓曲極限方程式對應不同隨機變數狀態平均值敏感度分 析...……….…… 103 表5-1-13 應用非破壞檢測修正後之損傷案例二……….104 表5-1-14 損傷案例二對剪力極限狀態作可靠度分析……….105 表5-1-15 剪力極限方程式基本隨機變數敏感度敏感度分析…….106 表5-1-16 三跨箱型梁橋一階可靠度與二階可靠度分析結果…….107 表5-1-17 三跨箱型梁橋 Monte Carlo 模擬法模擬結果………108 表5-2-1 基本隨機變數平均值、標準差與分布型態………..109 表5-2-2 撓曲極限方程式敏感度分析……….109 表5-2-3 剪力極限方程式敏感度分析……….110 表5-2-4 軸向鋼筋剪力極限方程式敏感度分析……….110 表5-2-5 三跨箱型梁橋與烏溪橋之可靠度與破壞機率比較…….111 表5-2-6 應用非破壞檢測修正後之損傷案例三……….112 表5-2-7 損傷案例三對撓曲極限的可靠度分析……….113 表5-2-8 撓曲極限方程式基本隨機變數敏感度敏感度分析…….114

表5-2-9 應用非破壞檢測修正後之損傷案例四……….115 表5-2-10 損傷案例四對剪力極限的可靠度分析……….116 表5-2-11 剪力極限方程式基本隨機變數敏感度敏感度分析…….117 表5-2-12 烏溪橋一階可靠度與二階可靠度分析結果……….118 表5-2-13 烏溪橋 Monte Carlo 模擬法模擬結果………119

圖目錄

圖2-2-1 一階可靠度法………...14 圖3-1-1 跨度對橋樑撓曲破壞可靠度之影響- AASHTO LRFD….46 圖3-1-2 跨度對橋樑撓曲破壞可靠度之影響- AASHTO Standard Specifications………...46 圖3-2-1 T 形斷面縱向力平衡圖………47 圖3-2-2 T 形斷面剪力平衡圖………47 圖3-2-3 T 形斷面圖………48 圖3-2-4 垂直方向剪力平衡圖………...48 圖3-2-5 β 與 θ 的關係……….49 圖3-2-6 開裂前轉換斷面………...50 圖3-2-7 開裂後轉換斷面………...50 圖3-3-1 HS20 標準貨車載重圖……….51 圖3-3-2 標準貨車加上車道載重………...52 圖3-3-3 兩軸車輛加上車道載重………...52 圖4-1-1 攜帶式混凝土品質量測系統………...65 圖4-1-2 感測系統與鋼筋網之相對位置………...…65 圖4-3-1 標準常態分佈圖………...66

圖5-1-1 三跨箱型梁橋剖面圖……….120 圖5-1-2 三跨箱型梁橋側視圖……….120 圖5-1-3 橋梁實際彎矩平均值對應位置……….121 圖5-1-4 橋梁實際剪力對應位置……….121 圖5-1-5 正彎矩的設計圖……….122 圖5-1-6 負彎矩的設計圖……….122 圖5-1-7 不同波速修正原始混凝土抗壓強度的後分布平均值….123 圖5-1-8 撓曲極限方程式可靠度分析……….123 圖5-1-9 規範撓曲限制……….124 圖5-1-10 最大鋼筋量極限方程式可靠度分析……….124 圖5-1-11 最小鋼筋量極限方程式可靠度分析……….125 圖5-1-12 剪力極限方程式可靠度分析……….125 圖5-1-13 規範剪力極限……….126 圖5-2-1 烏溪橋剖面圖……….127 圖5-2-2 烏溪橋側視圖……….127 圖5-2-3 烏溪橋實際彎矩對應位置……….128 圖5-2-4 烏溪橋實際剪力對應位置……….128 圖5-2-5 正彎矩的設計圖……….129 圖5-2-6 負彎矩的設計圖……….129

圖5-2-7 撓曲極限方程式可靠度分析……….130

圖5-2-8 LRFD 規範撓曲限制……….……….130

圖5-2-9 剪力極限方程式可靠度分析……….131

第一章 導論

1-1 前言

工程結構物在人類文明的進程上扮演著極為關鍵的角色。其不僅 僅致力於破除大自然所形成的障礙，讓人們能更妥適地生活在這個地 球上；並藉由空間及視覺意象上所形成的象徵意義，凝聚了住民的感 情，塑造集體的認同，使其在人類文明進程的紀錄上成為不可或缺的 一頁。 然而，所有人為的工程結構物終究立基於此一不穩定的星球上， 不論是地殼或是氣候的不穩定，所形成對於人類工程安全的威脅始終 存在。隨著時代的演進，工程結構物的設計由依靠經驗的累積，演變 至設計規範或技術規則的遵循，而對於工程的安全性提供了一定的保 障。但是結構物的設計、施工乃至使用過程中存在甚多之不確定因 素，特別是在經過一段時間的使用，或遭到外力損壞之後，結構物內 部結構性質的機率分布必定有所改變，以建造之初的量測數據進行安 全評估，顯然無法反應結構物的現況。因此，若能監測出受損後結構 性質的變化，並重建結構性質的機率分布，就能重新估計當下的結構 可靠度，工程師們也就能以之為指標，判斷結構物的安全狀態，並擬

定相應的維修策略。因而如何在不損傷結構物的前提下，對工程結構

物進行更精準的安全評估，實為一重要的課題。

本研究中評估結構安全性所採用的可靠度法是將結構的破壞模

式用極限狀態方程式(Limit state function)來表示，以此函數定義出安 全與破壞區域，然後再利用一階或二階可靠度法(FORM/SORM)來求 得破壞機率的近似值。一般而言，極限狀態函數是結構的性質如材料 性質、幾何形狀等，與結構承受負載的函數。將這些變數都以隨機變 數來模擬，並且在先知道結構的性質與外力的機率分布的情況下，便 可以對其進行可靠度分析。 台灣地區有許多橋梁在近年都將面臨接近設計使用年限，材料的 老化加上可能面臨許多不可預測的災害，例如颱風、地震…等，使我 們迫切的需要一套完整的非破壞檢測系統，能夠對於橋梁有令人信服 的安全評估結果，並作適當維修補強工作，以避免任何會危害社會的 災難發生，或將災害造成的損失減低。 準此，本研究提出一個可以對鋼筋混凝土橋梁上部結構作可靠度 重估的方法。利用非破壞檢測法中的暫態彈性波法，來監測橋梁的混 凝土抗壓強度變化，以貝氏統計法來重建混凝土抗壓強度的機率分布 函數，然後依據 AASHTO LRFD 橋梁設計規範為分析的準則，對橋

梁進行可靠度分析，藉以得到一數值化的評估結果。並期待以此更為 合理精確的橋梁安全評估方式，能對於公共工程安全品質的提昇有所 助益。

1-2 文獻回顧

對於橋梁的非破壞檢測法，除了目視法以外，大致可分為整體檢 測及局部檢測兩種。本研究中主要是以局部檢測的非破壞檢測法，對

可能受損的區域進行試驗，並求出受損的程度。Wu and Fang(1997) 應用暫態彈性波法針對現場混凝土材料性質之檢測作一系列的研 究，分別由彈性波動之計算分析，波傳反算方法，波動訊號處理與波 動檢測技術之研發完成現地混凝土結構之彈性常數偵測術。王俊揚 (1998)則分別對自製混凝土試體與現地結構進行非破壞檢測，建立暫 態彈性波速與抗壓強度之間的實驗數據。 在橋梁實際的安全評估上，過去的 20 年內，建立了以機率量度 橋梁可靠度的方法。Nowak(1993)依據實際的交通數據，建立了當車 輛通行於橋面時，車輛靜重對橋梁造成的負載模型，並且對美國境內 約200 座橋進行分析得到強度、載重之統計資料。Hwang and

Nowak(1991)假設車輛為車體與輪胎以彈簧相連的質量系統，假設橋 梁為一等斷面梁，並以蒙地卡羅模擬法模擬交通流量，建立了當車輛 通行於橋面時，動態效應對橋梁造成的負載模型。Nowak and Tabsh(1993)建立了混凝土橋梁在撓曲與剪力極限狀態下的強度模 型。商碧芬(2000)提出應用非破壞檢測於結構安全再評估的方法，而 林淦偉(2001)則以此方法對 T 型梁橋進行可靠度評估。 而台灣地區的統計數據，交通部國道高速公路局(1982)曾進行『中 山高速公路容量分析與交通管制措施之研究』，交通部運輸研究所 (1987)曾出版『高速公路交通特性分析與基本容量訂定手冊』，黃奕峰 (1991)曾研究台灣地區車輛載重的統計數據，陸景文(2001)則對台灣 地區的混凝土強度進行研究。以上資料經過彙整，便可得到台灣地區 橋梁可靠度分析所需之載重、強度機率分布。 有關貝氏統計法方面，Bayes 在 1763 年發表的一篇論文，為貝氏 統計法(Bayesian Statical Inference)建立了基礎。Box and Tiao(1973)討 論了在多變數情形下，貝氏統計法的數學架構，Tang(1973)利用貝氏 統計法來更新材料中裂縫出現的機率，Bartlett and Sexsmith (1991)利 用貝氏統計法偵測橋梁中材料的混合比例，藉以推定橋梁強度。

1-3 內容大綱

本研究內容安排如下： 第一章 導論。 第二章 介紹結構可靠度分析方法。 第三章 介紹AASHTO LRFD橋梁設計規範中，對於橋梁設計的 準則，包括極限函數、極限函數之隨機變數及機率模型。 第四章 介紹非破壞檢測與貝氏統計法，並引用商碧芬(2000)的 研究，建立混凝土抗壓強度的後分佈。 第五章 以數值算例對鋼筋混凝土橋梁作可靠度分析。 第六章 總結全文並對未來研究方向提出建議。

第二章 結構可靠度分析

2-1 結構可靠度分析

結構設計的主要目的之一在於確保結構物能在經濟效益的限制 下發揮其功能，然而實際上許多不確定因素的存在是無法避免的，因 此設計規範通常以安全係數來避免不預期的超大負載或超低強度所 造成的破壞。然而安全係數的選取並不一定具有理論根據，因此新的 規範常改以可靠度分析的觀念來制訂。結構可靠度分析是將機率概念 應用至結構工程應用問題上，分析結構在特定破壞準則下的破壞機 率，進而以此機率來量度該結構之可靠程度的方法。 進行結構可靠度分析時，基本上有兩點假設： 一、 結 構 物 所 受 的 負 載 、 幾 何 性 質 、 材 料 性 質 等 的 不 確 定 性 （uncertainty）是以一組基本隨機變數（random variables）來模 擬：

[

]

T n X X X₁, ₂,_L, = X (2-1-1) 二、 結構可能以不同模式破壞，但在每一個破壞模式下，結構只能有 一種狀態：安全狀態（safe state）或破壞狀態（failure state）。 每個破壞模式是以一極限狀態函數（limit state function）g

( )

X 表 示，當g

( )

X >0，代表結構安全，若g

( )

X < 0，則代表結構破壞， 當g

( )

X = 0，代表結構處於極限狀態。g

( )

X = 0在x空間為一曲 面，稱為破壞面。

∫

< = < = 0 ) ( ( ) ) 0 ( X g X f P g f X dX P (2-1-4) 其中 f_X(X)是變數X 的聯合機率函數。 舉例來說，對於一個結構物，我們通常以 Q與R 代表對於結構 物的載重與強度，當載重大於強度的時候，稱之破壞。所以，我們可 以令X₁= R，X₂ =Q，並將極限狀態函數寫成： Q R Q R g( , )= − (2-1-2) 則此結構之破壞機率為：

∫∫

_< = < = _{R Q} RQ f P R Q f R Q dRdQ P ( ) ( , ) 一般而言，工程結構物的破壞機率都很小，P_f會很接近 0，不方便以 此作為比較的基準，因此作可靠度分析時，常改用可靠指數(reliability index)

β

來量度結構的可靠度。

β

為P_f 的函數，其廣義的定義為 (Madsen et al.1986)

β

=_Φ−1(_P(_{g >}0)) _(2-1-5) 其中Φ為標準常態分佈的累積機率分佈(CDF)。表 2-1-1 所列為

β

與P_f 的對應關係，並且可以由表中觀察出

β

的確可以明顯地反應破壞機率 些微的變化。 雖然式2-1-4 是一個簡單的積分式，但是實際上，因為基本隨機 變數眾多，使得上式常常為一多重積分式，而且g(X)亦常為非線性 函數，因此不容易求得確切解。對於上述的積分問題，一階或二階可

靠度法的應用可以有效地解決積分困難的問題。

2-2 一階可靠度法

一階可靠度法是利用一超平面，來取代原本的極限狀態面，以簡 化積分的複雜度。首先利用變數變換，將基本隨機變數Z 轉換成一組 統計獨立，且具有標準常態分佈的隨機變數 Y，如下所示：

( )

X Y Y= (2-2-1) 上式稱為X的機率轉換。如果X 是常態分佈且統計獨立，則上式的 轉換機率為： i i i i X Y σ µ − = (2-2-2) 其中

µ

_i為隨機變數Z 的平均值，_i

σ

_i為隨機變數Z 的標準差。 _i 當基本隨機變數 X轉換到標準常態空間 Y時，極限狀態函數變 成：

( )

Y g

(

X

( )

Y

)

G = (2-2-3) 根據機率理論：

( )

x x

( )

y y X d d f =φ (2-2-4) 其中φ是Y的聯合機率密度函數：

( )

_{( )}

_     − = 2 exp 2 1 T n yy y π φ (2-2-5) 上式為n 維標準常態密度函數。 式 2-1-4 經機率轉換之後可以表示為：

( )

( )

∫

( )

( )

∫

_≤ = _≤ φ = _{g x 0} X x x _{G y 0} y y f f d d P (2-2-6) 上式說明了破壞機率如何從基本隨機變數 X 空間中，轉換到標準常 態 Y 空間中求得。 統計獨立、標準常態分佈有兩個很好的特性： (a) 其機率密度函數對原點具有旋轉對稱性。 (b) 其機率密度隨離原點的距離平方作指數衰減。 由以上兩個特性可知，破壞區域離原點最近的點具有最大的機率密 度，遠離這個最近點，機率密度將急速衰減，利用此一特性，可以建 立簡單的近似法來求破壞區域的積分值，而構成了一階、二階可靠度 分析的基礎。 我們在 Y 空間中找出破壞面離原點最近之點，稱之為設計點 （design point），然後在設計點對極限函數作一階展開，以切平面 （tangent hyperplane）來取代破壞面，如圖 2-2-1 所示。這就是所謂 的一階可靠度法。 若以 *y 表示設計點，則其切平面可以用下式表示：

( )(

−

)

=0 ∇_YG y* Y y* (2-2-7) 上式中∇YG

( )

y* 表示G

( )

Y 在 *y 點的梯度，故式 2-2-6 可用下式來近 似：

( )

( )( )

∫

_{∇ − ≤} φ = _{* 0} 1 _{G y* y y} y y f d P (2-2-8) 其中P_f1為一階破壞機率。我們可證明：

( )

−

β

= −Φ

( )

β

Φ = 1 1 f P (2-2-9) 式中Φ（.）是指標準常態分佈的累積分函數（cumulative distribution）， β 稱為可靠度指數（reliability index），其意義是指在標準常態空間 中，原點與設計點間的距離: * y * y T = β (2-2-10) 對大多數情形而言，G

( )

Y 都是相當平滑的曲面，因此用一階可 靠度法來計算破壞的區域即可得到很好的近似值。 一階可靠度法是以切平面取代破壞面，若想得到更好的近似值， 可在設計點改用抛物面取代破壞面，稱之為二階可靠度法，其詳細推

導過程可參考Der Kiureghian et al.(1987)。

2-3 敏感度分析

靠度指數

β

對基本隨機變數中之統計參數的敏感度分析。令

θ

_d為決定 基本隨機變數之機率分佈的統計參數， (2-3-1) 可靠度指數

β

對

θ

_d的敏感度可以下式表式(Madsen et al.1986):

(

)

fixed * * * * , 1 x x y y d d T d ∂θ θ ∂ β = θ ∂ β ∂ _(2-3-2) 上式中，x* =Y−1

( )

y* 是將設計點y*轉回隨機變數X 空間。而破 壞機率對參數

θ

_d的敏感度為：

( )

d d f P

θ

β

β

θ

∂ ∂ Φ − = ∂ ∂ ₁ (2-3-3) 敏感度分析在實務上的重要之處在於，可以由敏感度的大小來判 斷各結構性質對破壞機率的影響程度，進而利用敏感度分析的結果作 為修改設計或維修結構的依據。

2-4 結構損傷後之可靠度再評估

當結構遭到損傷後，結構材料或幾何性質的機率分佈將會跟著變 化。因此，要對遭受損傷後之結構物作可靠度的再評估，必須先修正 材料強度的機率分佈。遭受損傷後之結構物的材料強度機率分佈經過

修正後，便可以對結構重作可靠度分析。 除了重作可靠度分析外，我們也可以利用上一節的敏感度分析結 果，來粗略估計目前的破壞機率。假設

µ

及

σ

分別代表材料或幾何性 質之平均值與標準偏差。我們將可靠度指數

　

及破壞機率P 對_f

µ

及

σ

作泰勒展開，並忽略二階以上的誤差項，得到: σ σ β µ µ β σ µ β σ σ µ µ β ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ≅ ∆ + ∆ + , ) ( , ) ( (2-4-1) σ ∆ σ ∂ ∂ + µ ∆ µ ∂ ∂ + σ µ ≅ σ ∆ + σ µ ∆ + µ f f f f P P P P ( , ) ( , ) (2-4-2) 從式2-4-2 可知，如果我們知道結構損傷前的破壞機率P_f(

µ

,

σ

)， 以及損傷前破壞機率對

µ

及

σ

的敏感度

µ

∂ ∂Pf 、

σ

∂ ∂P_f ，就可以由損傷前 後

µ

與

σ

的變化量d 、

µ

d ，來估計結構損傷後的破壞機率。同理，

σ

我們也可以利用式2-4-1估算損傷後的可靠度指數。 但因為式2-4-1、2-4-2只是一階展開式，所以這個方法只有在 µ ∆ 、∆σ很小時才能提供良好的近似。換句話說，當結構輕微損壞時， 可以考慮以式2-4-1、2-4-2來估計損壞後的可靠度指數及破壞機率； 但當結構嚴重受損，就必須重作可靠度分析。

表 2-1-1可靠度指數與破壞機率關係 β Pf1 β Pf1 0 0.5 3.0_1.35×10−3 0.5 0.309 3.5 _2.33×10−4 1.0 0.159 4.0 _3.17×10−5 1.5 0.067 4.5 _3.4×10−6 2.0 0.023 5.0 _2.9×10−7 2.5 0.006 5.5 _1.9×10−8

第三章 橋梁之可靠度分析模型

對橋梁的結構可靠度分析，根據第二章的介紹，必須選定橋梁的 破壞準則及基本變數。在本研究中，主要是以AASHTO LRFD 橋梁 設計規範作為破壞準則的分析依據，並以載重及強度模型作為考量基 本變數如：靜載重、活載重、混凝土抗壓強度、鋼筋抗拉強度等的基 準。詳細的內容如以下各節的說明。

3-1 橋梁設計規範

目前國內所採用的公路橋梁設計標準是交通部所頒發的『公路橋 梁設計規範』。基本上，『公路橋梁設計規範』是沿用美國公路運輸官

署(American Association of State Highway and Transportation Official, 簡稱AASHTO) 於 1977 年所提出的規範為藍本，並參照 1983 年版規 範所制訂。 Nowak (1995)曾經對美國境內大約 200 座橋梁作可靠度分析，將 結果發現這些根據舊規範所設計的橋梁可靠度指數約在2~4 之間，即 破壞機率在0.00317%至 2.3%之間，變化頗大。 因此，AASHTO 於 1994 年又公佈載重抵抗係數法橋梁設計規範 (Load and Resistance Factor Design Bridge Design Specification，簡稱

LRFD 橋梁設計規範)。此一 LRFD 橋梁設計規範，主要是採用可靠 度分析作為基礎，來校正載重與強度因子，使橋梁的可靠度能達到目

標可靠度指數3.5。圖 3-1-1 及圖 3-1-2 為 Nowak (1995)分析跨度對 T

型梁撓曲破壞之可靠度的影響，圖 3-1-1 的橋梁是根據 LRFD 橋樑設

計規範設計的，而圖3-1-2 的橋梁是根據舊規範設計的。由圖中可明

顯發現使用舊規範(AASHTO Standard Specifications)與 LRFD 橋梁設 計規範對於撓曲破壞的差別，LRFD 規範確實能使得可靠度指數非常 接近一個單一的可靠度指數，即使跨度不同，所計算出來的可靠度指

數仍都相當接近。

AASHTO LRFD 橋梁設計規範將設計準則分成三個不同的極限 狀態：

a. 強度極限狀態(strength limit state)

此極限狀態是考慮橋梁與橋梁強度是否足以承受載重，因此與橋

梁安全關係最大。LRFD 規範對於橋梁的抗彎、抗剪強度，及施 加於橋梁的載重，都有詳細的規範。

b. 服務極限狀態(service limit state)

此極限狀態是考慮橋梁的服務性。此部份的設計準則是沿用舊有

的規範，用工作應力法，針對裂縫的寬度及橋梁的位移做限制。 c. 疲勞極限狀態(fatigue limit state)

此極限狀態是考慮橋梁的疲勞破壞。規範中限制鋼筋量，使能夠 承受疲勞載重。 目前 LRFD 規範僅對強度極限狀態調整強度與載重因子，對於其 他準則仍沿用舊規範。在下一節中，我們將針對適用於各種不同極限 狀態的橋梁可靠度分析準則詳加介紹。

3-2 橋梁之極限狀態函數

3-2-1 強度極限狀態

強度極限狀態，為橋梁使用期間是否能達到安全性要求的主要控 制因素。在LRFD 橋梁設計規範中，主要針對撓曲破壞及剪力破壞進 行規範，藉由可靠度的觀念來修正強度折減因子和載重係數，以確保 達到目標可靠度3.5 的要求。以下將對撓曲破壞及剪力破壞之規定分 別加以介紹： (a) 撓曲破壞 表 3-2-1 所列為與撓曲破壞相關的設計準則，其中對設計彎矩強 度的規範如下： n i i u

Q

M

M

=

η

∑

γ

≤

φ

(3-2-1)

moment)，為加成載重所造成的彎矩，Qi為載重組合，γi為載重係數，

φ

為強度折減因子， 95

η

=

η

_D

η

_R

η

_I ≥0. 為載重修正因子，其中

η

_D、

η

_R、 I

η

分別與橋梁之韌性，充裕性及重要性有關，其值如表3-1-1 所示。 表3-1-1~3-1-3 所示為不同極限狀態下，

η

、

γ

_i及

φ

的設計值。 梁的彎矩強度與梁斷面有關，關於箱型梁的設計在LRFD 橋梁設 計規範中並無獨立的介紹，但是因為在規範中是以 I 型斷面進行分 析，與 T 型梁的設計原理相近，同時規範中的規定是以 T 型梁為基 準 ， 因 此 我 們 以 圖 3-2-1 之 T 形 梁 為 例 加 以 說 明 。 根 據 Nilson,A.H.(1977)，計算梁的彎矩強度有幾個假設：一、鋼筋與混凝 土完全握裹；二、斷面在載重施加後，仍保持平面；三、混凝土完全 不承受拉力；四、鋼筋為彈塑性材料；五、混凝土之最大壓縮應變為 0.003。在這些假設下，此 T 形梁所能承受的最大彎矩，可計算如下： 混凝土壓力在梁腹承受的壓力為 w c w c w f ab f cb C =0.85 ′ =0.85

β

1 ′ (3-2-2) 其中 f_c′為混凝土抗壓強度，a 為等值應力方塊深度，bw為梁腹寬度， c 為中性軸位置，而       − ′ − = 7 28 05 . 0 85 . 0 65 . 0 85 . 0 1 c f

β

MPa f MPa MPa f MPa f c c c 56 28 56 28 ≤ ′ ≤ ≥ ′ ≤ ′ (3-2-3)

混凝土壓力在梁翼承受的壓力為 f w c f f b b h C =0.85

β

₁ ′( − ) (3-2-4) 其中h_f 為梁翼深度。鋼筋在拉力區承受的拉力為 y sf A T = (3-2-5) 由軸力平衡方程式，可得 T C C_w + _f = (3-2-6) 將式 3-2-4到3-2-5代入式3-2-6，可以求得中性軸位置

(

)

w c f w c y s b f h b b f f A c ′ − ′ − = 1 1 85 . 0 85 . 0

β

β

(3-2-7) 將中性軸位置代回式3-2-4，再對C_f取彎矩，就可得到斷面設計彎矩：

(

)

_      − − ′ +       ₋ = 2 2 85 . 0 2 1 f f w c y s n h a h b b f a d f A M

β

(3-2-8) 除了上述撓曲強度的設計準則之外，LRFD 規範同時對軸向鋼筋 量的最大、最小值進行規範。最大鋼筋量的限制，是為了避免混凝土 的破壞比鋼筋的降伏早發生，以控制破壞的發生屬於後壓破壞模式。 在舊有的規範中規定，鋼筋比必須小於75%的平衡鋼筋比，所謂 的平衡鋼筋比，為鋼筋降伏與混凝土壓壞同時到達時的鋼筋混凝土 比。以矩形斷面為例，最大鋼筋量的限制可以表示如下： b s bd A

ρ

ρ

= ≤0.75 (3-2-9)

其中

ρ

為鋼筋混凝土比，As為鋼筋面積，b 為斷面寬度，d為壓力混凝 土表面到拉力鋼筋的中心距離，

ρ

b為平衡鋼筋比。 利用上式，以及鋼筋混凝土應變關係： d c c y cu =

ε

₋

ε

(3-2-10) 再將混凝土及鋼筋發生破壞時的應變代入化簡，可得到： 42 . 0 ≤ d c (3-2-11) 除了最大鋼筋量，規範中還對最小鋼筋量加以限制： y c f f′ ≥0.03

ρ

(3-2-12) 當設計鋼筋不滿足式3-2-12，表示鋼筋量太少，橋梁很可能發生突然 之鋼筋拉裂破壞。 在橋梁設計的過程中若鋼筋量滿足式 3-2-11，則混凝土破壞時， 鋼筋理應已達降伏狀態，因此橋梁彎矩強度可直接依前述之方法計 算。然而當橋梁服役了一段時間以後，混凝土的抗壓強度降低，則鋼 筋應力有可能未到達降伏強度，混凝土就發生破壞。若照樣使用鋼筋 降伏應力來計算，將會高估彎矩設計強度。所以在橋梁經過損傷，作 可靠度評估時，就必須對鋼筋是否降伏加以驗證。 要驗證鋼筋是否降伏，可以利用鋼筋與混凝土應變的關係式。假 設鋼筋與混凝土應變為線性變化，則

s s cu d c c = −

ε

ε

_(3-2-13) 其中ε_cu為混凝土極限應變，一般為 0.003，ε_s為鋼筋應變。將式3-2-13 代入平衡方程式 3-2-6，可以得到 0 85 . 0 2 1fc′bc + AsEs

ε

cuc− AsEs

ε

cud =

β

(3-2-14) 式3-2-14為 c的二次式，解出中性軸距離c，再代回式 3-2-13，即可 求得ε_s。若 ε_s > f /_y E_s，表示鋼筋已降伏；若ε_s < f /_y E_s，表示鋼筋未 降伏，此時鋼筋應力應改為 s s s E f =

ε

(3-2-15) 而不能再使用降伏強度。 (b) 剪力破壞 表 3-2-2 所列為與剪力破壞相關的設計準則，其中對設計剪力強 度的規範如下： ) ( _{c s} v n v u V V V V ≤

φ

=

φ

+ (3-2-16)

其 中V_n 是 標 稱 剪 力 強 度(nominal shear)，V_u 為 極 限 剪 力(ultimate shear)。

與彎矩強度一樣，梁的剪力強度也是與梁斷面有關，我們以圖

3-2-1 之 T 形梁為例加以說明。由圖 3-2-2 之自由體垂直方向的力平

θ

θ

θ

θ

sin sin cos

cos ₁ 2bvdv f bvdv f V = + (3-2-17) 其中V為斷面的剪力，f2為混凝土主平面的壓力，f1為主平面的剪力， bw為梁腹寬，dv為斷面有效深度，

θ

為主平面的角度。若令斷面之平 均剪力為 v vd b V v = (3-2-18) 根據莫爾圓分析，可求得 f2與f1的關係如下 1 2 cos sin f v f − θ θ = (3-2-19) 再由圖3-2-3之自由體垂直方向的力平衡可得到：

θ

θ

2 1 2 2 vsin v cos v v f f sb f sb A = − (3-2-20) 其中 Av為箍筋面積；fv為箍筋降服強度，s 為箍筋間距。將式 3-2-18 及式 3-2-19代入式3-2-20，可得

θ

θ

cot cot 1 s d f A d b f V v v v v v + = (3-2-21)

根據Collins and Mitchell(1991)，混凝土中要能傳遞剪力，在混凝 土中的裂縫寬度必須小於某一臨界程度，剪力才能傳播出去，則載重

造成的剪力可以由斷面上的混凝土平均分攤。若裂縫寬度超過一臨界

值，混凝土無法再傳遞剪力，載重造成的剪力將完全由裂縫邊的混凝

土承受，當混凝土必須承受的剪力越大，就越容易開裂。為避免此一

θ β tan 083 . 0 1 fc f ≤ ′ (3-2-22) 其中β 為一係數，此係數可反應軸向應變對混凝土剪力強度的影響。

β

可以由 LRFD 規範提供的曲線求得，如圖 3-2-5 所示，圖中的

ε

_x為 撓曲鋼筋的應變，可由下式求得 s s u v u x A E V d M

θ

ε

cot 5 . 0 + = (3-2-23) 在計算 β 時，先假設一個

θ

值，代入式 3-2-23 得到

ε

_x。再由圖 3-2-5 下面的圖中找出對應於v f_c′及

ε

_x的

θ

值，若此

θ

值與相初的假設值不 符，表示假設值錯誤，需重新假設一個

θ

值，進行迭代至v f_c′、

ε

_x與

θ

能符合圖上的曲線為止。此時，再由圖3-2-5 上面的圖，就可找出對 應於v f_c′及

ε

_x的β 值。 將式 3-2-22 代入式 3-2-21，可得橋梁的設計剪力強度 Vn為

θ

β

cot 083 . 0 s d f A d b f V v y v v v c n = ′ + (3-2-24) 其中 v v c v v c f bd f bd V = ₁ cot

θ

=0.083

β

′ (3-2-25) 為混凝土所能承受的最大剪力，而

θ

cot s d f A V v y v s = (3-2-26) 為箍筋所承受的剪力。

在舊規範中，剪力的設計強度為 s d f A d b f V v y v v v c n =0.167 ′ + (3-2-27) 因為計算剪力強度時，箍筋所能承受的剪力與箍筋間距 s 有關 係，所以在設計時，LRFD 規範不檢查剪力極限，而是直接對箍筋間 距作限制，即 s v y v V d f A s≤ cot

θ

(3-2-28) 此外，LRFD 橋梁設計規範也沿用舊規範的規定，箍筋量不得少於 y v c v _f s b f A ≥0.083 ′ (3-2-29) 及箍筋間距最大不能超過： 當    ′ ≥ ′ < v v c u v v c u d b f V d b f V 1 . 0 1 . 0 ，則    ≤ ≤ ≤ ≤ mm d s mm d s v v 300 4 . 0 600 8 . 0 (3-2-30) LRFD 規範還考慮到當斷面剪力到達極限狀態時，主應力除了垂 直方向有分量，軸向也有另外一個分量，所以 LRFD 規範也對軸向鋼 筋量加以限制：

θ

φ

φ

( u 0.5 s)cot v u y s V V d M f A ≥ + − (3-2-31)

3-2-2 服務極限狀態

服務極限狀態，主要是對橋梁的裂縫寬度及變位作限制。裂縫寬 度限制的目的在於避免因為開口過大，導致鋼筋之鏽蝕，及避免造成 使用者心理上之不適；變位限制的目的則在於避免對非橋梁結構體之 損害，及避免影響結構體的形狀，而使橋梁應力分布改變。在LRFD 橋梁設計規範中，並未以可靠度方法對服務性極限狀態作校正，而是 沿用過去的實驗及經驗判斷的結果。 (a) 裂縫限制 因為混凝土的抗拉強度僅為其抗壓強度之十分之一左右，所以結 構的裂縫多發生在拉力區。一般而言，結構的裂縫都發生在最大彎矩 或是最大剪力的位置，而造成的裂縫形式分別是垂直及傾斜，規範中 的裂縫限制是對垂直裂縫的寬度作限制。

根據P.Gergely and L.A.Lutz(1968)，當裂縫產生後，裂縫的寬度 與鋼筋的應力有著一定的關係式，所以規範將此關係式化成對混凝土 開裂後鋼筋應力 fs的限制： y c sa s f A d Z f f 0.6 ) ( 1/3 ≤ = ≤ (3-2-32) 其中，A 為每根主鋼筋周圍之有效混凝土面積，dc為受拉混凝土表面 至鋼筋中心距離，Z 是曝露係數，室內曝露情況者不得大於 30,000；

室外曝露情況者不得大於 23,000。 依規範規定，當混凝土拉應力大於混凝土開裂係數fr (modulus of rupture) 的 80%，即 f_c >0.8f_r，視為已開裂。混凝土開裂係數與混凝 土抗壓強度之關係如下： c r f f =0.63 ′ (3-2-33) 混凝土開裂後的鋼筋應力fs，可以將斷面轉換為對等的混凝土斷面， 如圖 3-2-6 所示，再利用最簡單的梁理論推導如下： cr s I x d nM f = ( − ) (3-2-33) 式中 n 為鋼筋與混凝土楊氏係數比值，即n=E_s E_c ，M 為彎矩，d 為受壓表面混凝土到鋼筋中心距離，Icr與 x 分別為開裂後轉換斷面的 慣性矩與中性軸位置。 (b) 變位限制 在規範中，對於變位的控制可以分為間接法和直接法兩種，間接 法是規定梁的最小深度，主要是與跨度有關，如表3-2-3 所示。 直接法是規定車輛載重所造成的變位，規範建議應小於（跨度 /800），而所謂車輛載重是指由HS20 貨車或雙軸汽車造成之載重（詳 見3-3 節）。 計算車輛載重造成的變位時，規範規定橋梁的有效慣性 矩為

g cr a cr g a cr e I I M M I M M I ≤               − +       = 3 3 1 (3-2-34) 其中Ie為有效慣性矩，Ig為開裂前轉換斷面的慣性矩（見圖3-2-7）， Icr 為開裂後轉換斷面的慣性矩（見圖 3-2-6），Ma為載重造成的最大 彎矩，Mcr為造成開裂的彎矩，可由下式計算： t g r cr y I f M = (3-2-35) 其中 yt為中性軸位置到張力表面距離，fr為混凝土開裂係數。

3-2-3 疲勞極限狀態

由於鋼筋承受反覆荷重時會發生疲勞破壞，所以 LRFD 規範規 定，對於疲勞載重造成的最大與最小鋼筋應力的差值不得超過：       + − = h r f f_f 145 0.33 _min 55 (3-2-35) 其中 f_f 為容許之鋼筋疲勞應力振幅， f_min為最小鋼筋拉應力，r/h 為 橋梁側向變形的曲率半徑與高度比(ratio of base radius to height of rolled-on transverse deformation)，若真實值不能確定，可以直接使用 0.3。

觀察3-2-25 式，可以發現疲勞限制主要只與疲勞載重有關係，但

與鋼筋的面積卻有關係。所以鋼筋混凝土橋梁，經過一段時間使用 後，若鋼筋鏽蝕而有效面積減小，我們仍然需要檢查疲勞限制。

3-3 載重模型

由3-2 節中橋梁可靠度分析準則的介紹，我們可以知道需要計算 載重及載重效應，才能進一步判斷橋梁是否符合規範中的規定。本節 將介紹規範中對載重及載重效應的規定及藉由規範與統計數據所建 立的載重機率模型。為能將本文之評估方法應用在台灣地區的橋梁安 全評估上，亦考慮了台灣地區之載重統計數據。

3-3-1 橋梁設計規範載重

規範 中之載重包括了 永久載重(Permanent Loads)與暫態載 重 (Transient Loads)，結構物上的重量持續施力於橋梁結構稱之永久載 重，簡稱為靜載重（Dead Loads）。車輛造成的載重則稱之暫態載重， 由活載重(Live Loads)以及衝擊載重(Dynamic Loads)所組合而成。這 裡我們分成永久載重與暫態載重並依序介紹。

(a) 永久載重

靜態載重主要為橋樑結構本身因為重力作用而產生之重量，以橋

施等，而其中鋼筋混凝土層為結構主要的負載。 若我們假設橋梁僅有鋼筋混凝土層及磨耗層，並沒有其它公共設 施。載重效應可分為彎矩及剪力，所以分別令M_DC、M_DW、V_DC及V_DW 代表鋼筋混凝土層及磨耗層靜載重造成的彎矩與剪力。 假設鋼筋混凝土層或磨耗層的載重，是沿著軸向均勻分佈。令 DC w 為單位面積的鋼筋混凝土層的重量，對於單跨度簡支梁結構的橋 梁， w_DC在橋梁 1/2 跨長處造成最大力矩 8 2 L w_DC ，在橋梁兩端有最 大剪力為 2 L w_DC 。同理對於磨耗層令w_DW 單位面積的磨耗層重量， DW w 在橋梁 1/2 跨長處造成最大力矩 8 2 L w_DW ，在橋梁兩頭有最大剪力 為 2 L w_DW 。 由於多跨度的連續梁是靜不定結構，w_DC及w_DW所造成的最大彎 矩及剪力一般無法寫成解析解，所以規範規定，將橋梁的每個跨度均 分成10 等分，共 11 個位置點，以一個 3 位數的數字代表其位置，數 字第一碼代表第幾個跨度，第二碼及第三碼代表在跨度上的位置。例 如：第一個跨度的一半，用105 代表，第二個跨度的起點，用 200 代 表。以數值方法計算 11 個結點位置的彎矩及剪力，車輛載重則另需 對於每個位置計算兩軸車輛、標準貨車及車道載重造成的最大彎矩，

經比較之後才能確定最大彎矩及剪力的位置及大小。 (b) 暫態載重 暫態載重包括活載重、衝擊載重及分佈因素的影響。活載重是通 過橋梁達成運輸目的而造成橋梁負荷之外力，例如在橋上行駛的車輛 與行人的重量均屬之；衝擊載重則是指由活載重造成之衝擊力或動力 效應。分佈因素則是考慮車輛載重在橫向並非均勻分佈所造成的影 響。 根據 AASHTO 舊規範的規定，活載重的計算可以分為 H10-44、 H15-44、H20-44、H15-44、HS20-44 五種，其中主要考量 HS20-44 標準貨車（圖 3-3-1）在橋上行駛所造成之載重效應，然而，實際橋 梁所承受的暫態載重卻有很大的變異性。以美國為例，橋梁的平均壽 命是 75 年，在使用年限期間，由極值統計學可以求得來自車輛的造 成的最大彎矩及剪力，大約是 HS20 標準貨車載重的 1.5 到 2.2 倍 (Nowak, 1998)，變異性極高。 為了降低變異性， LRFD 橋梁設計規範提出 HL93 載重模型。在 此載重模型中，車輛載重除了考慮HS20 貨車以外，須再考慮兩軸車 輛(tandem) 的載重及車道載重。規範中的兩軸車輛是指前後軸載重都 是110kN，前後軸距 1.2m 的車輛，而車道載重是 9.3 N/mm 的均佈載 重。

HL93 的載重模型，就是分別計算 HS20 貨車及兩軸車輛所造成 的效應，取其中較大者再加上車道載重來作為設計活載重，如圖 3-3-2、3-3-3 所示。對於跨度較短的橋梁，兩軸車輛的前後軸距離較 近，造成的彎矩或剪力可能反而會比重量較重、但軸距較大的標準貨 車大。多考慮了兩軸車輛與車道載重，HL93 可以將實際載重與設計 值的比值降低到 1.25 左右，且大大降低了變異性。 AASHTO LRFD 規定汽車行駛於橋梁上時，造成的衝擊載重是活 載重的0.33 倍，不過此處的活載重只有車輛載重，並不包括 9.3 N/mm 的車道載重。 HL93 載重模型只建立了車輛軸向載重的一維模型，但是車輛在 行駛於橋梁上時，載重並不是完全由整個斷面平均承受的，而是集中 在車道上。要將模型擴展成為二維或三維，必須要用到更複雜的理論 及計算，例如：有限差分、有限元素、strip method……等。為了簡化 模型，LRFD 規範用分佈係數法(Distribution Factor Method)，列出不 同情況的分佈係數公式，設計者只要依據公式，很容易就可以計算車 輛的載重，如表 3-3-1 所示。表中所列的 mg 分佈係數，前述是活載 重及衝擊載重加總後，必須再乘上 mg，才是設計的暫態載重。 以彎矩為例，車輛對於橋梁所造成的暫態載重可計算如下：

[

Tr Ta Ln

]

IM LL mg M M IM M M ₊ = max( , )(1+ )+ (3-3-1)

其中MTr、MTa、MLn分別為標準貨車、兩軸車輛及車道載重所造成的 彎矩，IM=0.33 為動態效應，mg 為分佈係數。 由於矩形斷面橋梁的形狀較為簡單，LRFD 規範中化簡成下列的 式子，幫助計算：

[

]

E M IM M M M Tr Ta Ln IM LL + + + = + ) 1 )( ( (3-3-2) 其中 E 為等效寬度(mm)，其計算方式如下： (i) 對於單車道橋梁，內梁車道的等效路寬E 為： 1 1 42 . 0 250 LW E = + (3-3-3) (ii) 對於多車道橋梁，內梁車道的等效路寬 E 為： l N W W L E =2100+0.12 _{1 1} ≤ (3-3-4) 其中 E 為等效寬度(mm)；L1為模組化橋梁長度，為橋梁真實長度， 最大不得超過18000(mm)；W1為模組化橋梁寬度，為橋梁真實長度， 對於多車道橋梁最大不得超過18000(mm)，對於單車道橋梁最大不得 超過 900(mm)；W 為橋梁真實寬度，NL為橋梁設計車道數： ) 3600 ( w INT N_L = (3-3-5) 其中 INT 表示取整數，w 為使用路寬，即車道總寬度。 外梁的等效路寬E 則是邊欄的寬度加上 300 mm 加上一半的內梁 寬度，必須小於 1800 mm 或小於全部內梁的寬度。對於矩形斷面橋

梁，因為是將HL93 載重除以等效路寬，所以 MLL+IM的單位是單位寬 度的彎矩。 3-2 節介紹了 LRFD 規範中對於橋梁設計的準則，依照橋梁設計 規範建立起載重及載重效應，並代入準則中，就可以判定設計時候是 否能夠符合準則。

3-3-2 載重變數機率分佈

橋梁的材料性質、幾何、製造、施工、車輛載重以及結構分析的 過程，都會使橋梁系統出現不確定性，這些不確定性在可靠度分析中 是以隨機變數來模擬。對於這些不確定性，本研究沿用Nowak (1994) 的方法，建立可靠度分析中的基本隨機變數的機率分佈。 同時，根據以上討論，我們可以歸納出橋梁載重的主要來源有 三：鋼筋混凝土層重量、磨耗層重量、車輛載重。 首先，考慮鋼筋混凝土層的靜載重。假設w_DC為單位面積的鋼筋 混凝土層的重量，並假設其為常態分佈的隨機變數，令w_DC期望值與

設計值的比值(mean to nominal ratio)為

λ

_DC，變異係數為

ν

_DC，所以 ) , ( ~ _{DC DC} DC N w

µ

σ

其中平均值

µ

_DC為 w

λ

µ

=

標準差

σ

_DC為 DC DC DC

µ

ν

σ

= 由於此靜載重所造成的彎矩及剪力是與w_DC成正比的，所以鋼筋混凝 土層造成的彎矩或剪力仍為常態分佈，其平均值與設計值仍為

λ

_DC， 變異係數也一樣是

ν

_DC。根據 Nowak (1994)，

λ

_DC為 1.05，

ν

_DC為0.10。 磨耗層載重效應也是一樣。假設w_DW 為單位面積的磨耗層的重 量，並假設其為常態分佈的隨機變數。則磨耗層所造成的彎矩及剪力 也為常態分佈，其平均值與設計值和w_DW的一樣是

λ

_DW，變異係數也 一樣是

ν

_DW。根據 Nowak (1994)，

λ

_DW為 1.00，

ν

_DW為0.25。 而車輛載重效應，則可以由 AASHTO LRFD 規範上知道，其平 均值與設計值的比值為1.25，變異係數為 0.25。

3-3-3 台灣地區之載重數據

以上建立之載重分佈機率模型雖然相當完整，但是台灣地區地狹 人稠，車輛分佈、交通流量組成乃至駕駛習慣皆與美國地區不盡相 同。因此，我們必須蒐集台灣地區相關數據，方能對台灣地區橋樑進 行合理的可靠度評估。 交通部國道高速公路局在『中山高速公路公路容量分析與交通管

制措施之研究』中指出各車型在高速公路內外車道的使用情形及車種 的混合比等資料。交通部運輸研究所在『高速公路交通特性分析與基 本容量訂定手冊』歸納出中山高速公路全線之各車種之容量當量值。 黃奕峰(1991)則研究出中山高車輛載重的分佈情形。以上之資料經過 彙整，我們可以得到中山高沿線實際車輛載重與設計載重值間的關 係，進而得到台灣地區之車輛載重效應，其平均值與設計值的比值為 1.27，變異係數為 0.065。

3-4 強度模型

為有效估算橋梁強度，以進行橋梁之可靠度分析，如同3-4 節的 方法，本節參考規範中對強度的相關規定以及蒐集到之國內外統計數 據，建立進行橋樑可靠度分析所需的強度機率模型。 在 LRFD 橋梁設計規範中，為了有效估算橋梁的強度，必須界定 橋梁結構的有效尺寸，例如內外梁有效梁寬、有效深度等，以下為規 範中之有關規定。

3-4-1 橋梁之有效尺寸

LRFD 橋梁設計規範對橋梁結構的有效尺寸規定如下： (a) T 形梁內梁的有效梁寬為：

     + ≤ 梁的平均長度 的跨長 w s b t b 12 4 / 1 (3-4-1) 其中t_s為板的平均厚度，b_w為梁腹寬。 (b) T形梁外梁的有效梁寬b_e：       + ≤ − 橋邊緣到最近的梁中心 的跨長 w s e b t b b 2 1 6 8 / 1 (3-4-2) (c) T形梁有效深度d _v 橋梁的最大剪力是發生在支撐的部位，但是因為支撐的部位，有 較多的鋼筋保護，所以對橋梁影響最大的剪力，根據規範是由支撐向 外延伸至d_v距離的位置        ₋ = h d a d d_v 72 . 0 9 . 0 2 max (3-4-3) 其中d 為有效深度，d 為壓力混凝土表面至拉力鋼筋中心距離。_v 依據以上規範之有效尺寸規定，可以用以估算橋梁之有效強度， 進而判斷橋梁在設計上是否能符合規定；同時再加上以下將介紹的強 度機率模型，便可進行橋梁之可靠度分析。

3-4-2 強度變數機率分佈

Nowak (1994)經由數值模擬及觀察實際橋梁，將不確定性分成三 種： (a) 材料： 材料製造施工的時候，常有許多不能控制的不確定因素影響，像 是混凝土在灌漿過程中，或鋼筋在鑄造過程中，就有許多不確定性因 素加入。混凝土抗壓強度與鋼筋降伏強度，其平均值與設計值的比值 (mean to nominal ratio)分別為 1.23 及 1.25，變異係數(coefficient of variation)為 0.18 及 0.12 (Nowak, 1994)。 (b) 幾何： 幾何形狀也是在施工的時候，會造成不確定因素之一，但其不確 定性相對於材料的不確定，是非常的低的。以鋼筋為例，在建造之初 其平均值與設計值的比值為1.00，變異係數為 0.015 (Nowak, 1994)。 不過鋼筋若發生鏽蝕，有效面積就可能減少，其變異係數也會增大。 (c) 分析： 由於結構分析時，需要作假設及簡化來計算，例如混凝土的應力 用Whitney 等效力量代替、梁斷面保持平面…等，因此真實反應與設

計值不會完全相符。Nowak (1994)針對強度極限中的撓曲與剪力，引 入分析因子P，對於彎矩，其平均值與設計值的比值為 1.02，變異係 數為 0.06，對於剪力，其平均值與設計值的比值為 1.075，變異係數 為0.10。 最後，真實的強度 R 是由設計強度 Rn及三個不確定因子。以撓 曲破壞為例，T 型梁的設計彎矩強度為

(

)

_      − − ′ +       ₋ = 2 2 85 . 0 2 1 f f w c y s n h a h b b f a d f A M

β

若考慮不確定性，彎矩強度變為

(

)

            − − ′ +       ₋ = = 2 2 85 . 0 2 1 f f w c y s n h a h b b f a d f A P PM M

β

其中 P、A 、_s f 、_y f_c′等都是隨機變數。

3-4-3 台灣地區之強度數據

鋼筋混凝土橋之強度來源為鋼筋與混凝土。鋼筋的製造，可經由 工廠之品管降低其強度之偏差值與變異數，因而在本研究中將採用前 述之研究數據(Nowak ,1994)。台灣地區因為材料之取得，溫度、濕度 等氣候因素皆與美國地區不同，加上國內工程界習慣性之過度設計， 都將造成混凝土強度資料之差異。因而為了能合理地評估台灣地區之

橋樑可靠度，我們必須知道台灣地區混凝土強度之相關資料。 陸景文(2001)針對台灣地區，台北、新竹、台中、溪頭、台南、 高雄、台東、宜蘭等地點之溫度、濕度、曝放時間等因素進行混凝土 抗壓強度研究。由此我們可以得到對於 28 天齡期之混凝土強度，其 平均值與設計值的比值為 1.32，變異係數為 0.053。 綜合以上的介紹，只要經由實驗或觀測，取得相關隨機變數的機 率分佈，便可對橋梁進行可靠度分析。在結構物建造之初，f_c′及A 可_s 以由原始製造廠商得知，但是橋梁經過一段時間的使用，或遭到外力 損壞之後，混凝土的性質會產生劣化，鋼筋面積可能遭受鏽蝕而縮 小，因此，以設計之初的強度做安全評估，顯然無法反應橋梁現況。 因此，下一章將介紹如何以非破壞檢測所得到有關混凝土的資料，修 正 f_c′的分佈，以反應混凝土的真實強度。

表3-1-1 載重修正因子 強度極限 其他極限 D η 韌性 (Ductility) 韌性元件 0.95 一般設計 1.00 非韌性元件1.05 1.0 R η 充裕性 (Redundancy) 充裕性良好：0.95 一般等級：1.00 無充裕性：1.05 1.0 I η 重要性 (Operational Importance) 重要性較低橋梁：0.95 一般橋梁：1.00 重要橋梁：1.05 1.0 表 3-1-2 載重因子 γi 極限狀態 靜載重 活載重 鋼筋混凝土1.25 強度極限 柏油路面1.5 1.75 服務極限 1.00 1.00 疲勞極限 - 0.75

表3-1-3 強度折減因子

φ

φ

撓曲破壞 0.90 剪力破壞 0.90 其它 1.00 表3-2-1 撓曲破壞準則 準則 撓曲破壞 M_u =

η

∑

γ

_iQ_i ≤

φ

M_n 最大鋼筋量 ≤0.42 d c 最小鋼筋量 y c f f′ ≥0.03 min

ρ

表3-2-2 剪力破壞準則 準則 箍筋間距 s v y v V d f A s≤ cot

θ

最小箍筋量 v c v v b f f A s ′ ≤ 083 . 0 最大箍筋間距 當    ′ ≥ ′ < v v c u v v c u d b f V d b f V 1 . 0 1 . 0 ，則    ≤ ≤ ≤ ≤ mm d s mm d s v v 300 4 . 0 600 8 . 0 軸向鋼筋量

θ

φ

φ

( u 0.5 s)cot v u y s V V d M f A ≥ + −

表 3-2-3 變位限制中最小深度 最小深度 橋樑種類 簡支樑 連續樑 矩形斷面 30 ) 3000 ( 2 . 1 S + mm S 165 30 ) 3000 ( ≥ + T 形斷面 0.070L 0.065L

表3-2-4 分佈係數表

Action/Location Distribution Factors_(mg)c _{Range of Applicability}

內梁彎矩 單車道： 5 . 0 3 3 . 0 4 . 0 _{( ) ( )} ) 4300 ( 06 . 0 s g SI moment Lt K L S mm S mg = + 多車道： 1 . 0 3 2 . 0 6 . 0 _{( ) ( )} ) 2900 ( 075 . 0 s g MI moment Lt K L S mm S mg = + mm S 4900 1100≤ ≤ mm t_s 300 110≤ ≤ mm L 73000 6000≤ ≤ ° ≤ ≤ ° 60 30 θ 外梁彎矩 多車道： MI moment ME moment e mg mg = × 0 . 1 2800 77 . 0 + ≥ = mm d e e mm de 1700 300≤ ≤ − 內梁剪力 單車道： mm S mgSI shear 7600 36 . 0 + = 多車道： 2 ) 10700 ( 3600 2 . 0 mm S mm S mgMI shear = + − mm S 4900 1100≤ ≤ mm ts 300 110≤ ≤ mm L 73000 6000≤ ≤ 4 12 9 _{3 10} 10 4× ≤Kg≤ × mm ° ≤ ≤ ° 60 0 θ 外梁剪力 多車道： MI shear ME shear e mg mg = × mm d e e 3000 6 . 0 + = mm d_e 1700 300≤ ≤ − 其中S 是梁的寬度；L 是梁的長度；ts是梁的厚度；Kg是縱向的勁度 參數；de是外梁的寬度。

表3-3-1 變數機率分佈 變數 記號 實際值與設計 值比值 變異係數 分佈型態 混凝土抗壓 強度 c f′ 0.92 0.18 Normal 鋼筋降伏強 度 y f _{1.125 0.12 Lognormal} 鋼筋面積 A _s 1.00 0.015 Normal 鋼筋混凝土 層載重效應 DC M 、V_DC 1.05 0.10 Normal 摩擦層載重 效應 DW M 、V_DW 1.00 0.25 Normal 車輛載重效 應 IM LL M ₊ 、 IM LL V ₊ 1.25 0.12 Normal 數值分析因 數(彎矩) M P 1.02 0.06 Normal 數值分析因 數(剪力) V P 1.075 0.10 Normal

圖3-1-1 跨度對橋樑撓曲破壞可靠度之影響- AASHTO LRFD (摘自 Nowak, A. S., 1994. “Calibration of LRFD bridge code”. Journal of

Structural Engineering, ASCE, Vol. 121, No. 8, pp. 1245-1251.)

圖 3-1-2 跨度對橋樑撓曲破壞可靠度之影響- AASHTO Standard Specifications

(摘自 Nowak, A. S., 1994. “Calibration of LRFD bridge code”. Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 121, No. 8, pp. 1245-1251.)

圖 3-2-1 T 形斷面縱向力平衡圖

圖 3-2-3 T 形斷面圖

圖 3-2-5 β 與 θ 的關係(摘自 AASHTO. (1998). “LRFD Bridge Design Specifications”. Washington, DC: American of Sate Highway and

圖 3-2-6 開裂前轉換斷面

圖3-3-2 標準貨車加上車道載重

第四章 非破壞檢測與貝氏統計之應用

4-1 非破壞檢測

非破壞檢測(Nondestructive Testing，NDT)為一應用物理原理來檢 測材料性質而又不會破壞材料本身有效性的檢測方法。特別是對於使 用中之混凝土結構物，相對於傳統混凝土強度的破壞性檢測，例如鑽 心取樣等，非破壞檢測可以在結構物不受損傷的前提下進行檢測，而 提供一個相當好的評估方式。在橋梁的非破壞檢測上，除了目視法以 外，大致可分為整體檢測及局部檢測兩種（李有豐,林安彥,2000）。本 研究中主要是以局部檢測的暫態彈性波法(王俊揚,1998)，對可能受損 的區域進行試驗，並求出受損的程度。以下將對此一方法進行介紹：

4-1-1 暫態彈性波法

暫態彈性波法是台大應力所非破壞檢測實驗室根據彈性波在混 凝 土 中 之 傳 播 理 論 研 製 的 一 套 可 攜 式 混 凝 土 波 速 量 測 系 統 （Wu,Liu,Wang,1998），此量測系統以筆記型電腦與類比數位轉換 卡，取代一般常用之數位示波器，因此有著攜帶方便，適合現場量測

使用的優點。 尤其配合 LabVIEW 程式之研發應用，可以立即將所擷 取之資料作訊號處理，或進行複雜之數學計算。其人性化之操作介面 與強大之計算功能，使得工地現場混凝土波速之精確量測可以實現。 該量測系統之組成包括有：可攜式電腦(portable computer)、高頻類比 數位轉換卡(A/D card)、位移感測器、前置放大器(pre-amplifier)、波 源 產 生 器 及 LabVIEW(Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench)軟體。如圖 4-1-1 所示。 量測系統中所使用之類比數位轉換卡的功能，是將所量得之類比 訊號轉換為數位訊號，並將資料傳入電腦中進行處理。然而經離散後 所得之數位訊號，在時間域上不再是連續的，其失真程度取決於訊號 的頻率及轉換卡的取樣頻率(sampling rate)。本系統使用的類比數位轉 換卡，其取樣頻率最高為40MSPS，對於本系統所接收的訊號，在時 間域上已有足夠的解析度。 此量測系統所採用的波源裝置有敲擊器與瓦斯槍。敲擊器是將 4.75mm 直徑鋼珠連接於細鋼條上，利用鋼條的反彈力將鋼珠敲擊於 試體上形成一點波源。若所需的波源較強，則以瓦斯槍對試體射擊來 產生波源量測波速。先在混凝土表面觸發點波源，以感測系統接收訊 號，再經由類比/數位轉換卡將資料傳入筆記型電腦作訊號處理。