本研究以次序理論取向的解題規則分析方法，繪製國小高年級個別學童之 解題規則結構圖，旨在分析個別學童解比例問題的解題規則之次序性和階層結 構，並比較不同年級及性別的學童之解題規則結構圖的差異。根據本研究之研 究目的與結果說明本研究的結論、研究限制，並提供教學和未來研究的建議。
第一節 結論
一、次序理論取向的解題規則階層分析方法，能呈現出解題規則階層結構的意 義。
本研究依次序理論取向之解題規則分析方法進行分析，對於每位受試 學童，皆能清楚地繪製出解題規則階層結構圖，有效地呈現受試者之解題 規則間的次序和階層結構，顯示次序理論在解題規則分析上是一個可行的 分析方法。
二、次序理論取向的解題規則階層分析方法，能呈現個別受試者在比例問題解 題規則之次序階層結構特徵。
本研究之分析能呈現個別受試者在比例問題之解題規則的次序性之特 徵，總分不同的受試者，其解題規則階層各具特色和意義；即使總分相同 的受試者，由於其反應組型不同，其解題規則結構圖中，規則使用的次序 性和規則之間的關聯迥異。次序理論應用於解題規則的分析，可作為認知 診斷與補救教學的參考。
三、次序理論取向的解題規則階層分析方法，能呈現同一受試者在三種語意類 型之比例問題解題規則之次序階層結構特徵。
本研究之分析除了能呈現個別受試者在比例問題之解題規則的次序性 之特徵，還能精緻化呈現個別受試者在母子、交換和組合三種語意類型之 比例問題的解題規則次序性特徵。對於總分相同的受試者，其在母子、交
換和組合三種語意類型之比例問題的解題規則結構圖中，規則使用的次序 性和規則之間的關聯不盡相同。再者，次序理論能針對同一受試者於三種 語意類型之比例問題的解題規則分析，可更細緻化的作為認知診斷與補救 教學的參考。
四、次序理論取向的解題規則階層分析方法，能呈現同一受試者在三種數字關 係類型之比例問題解題規則之次序階層結構特徵。
本研究之分析除了能呈現個別受試者在比例問題之解題規則的次序階 層結構特徵，還能精緻化呈現個別受試者在數字關係為第二型式、第三型 式和第四型式三種類型之比例問題的解題規則次序結構特徵。對於總分相 同的受試者，其在第二型式、第三型式和第四型式三種數字關係類型之比 例問題的解題規則結構圖中，規則使用的次序性和規則之間的關聯不盡相 同。再者，次序理論能針對同一受試者於三種數字關係類型之比例問題的 解題規則分析，可更細緻化的作為認知診斷與補救教學的參考。
五、以五種專家的結構圖為參考標準，不同年級的受試者之相似性係數達統計 上顯著差異。
本研究根據林原宏、游森期(2006)和 Goldsmith et al. (1991) 的圖形比較 方法，提出應用於比例問題解題規則階層結構的比較之分析，往昔文獻甚 少探討比例問題解題規則的圖形比較，所以本研究可提供參考依據。
本研究結果發現六年級受試者與專家的解題規則結構圖最為相似，顯 示六年級受試者比五年級受試者在比例概念的認知結構較為完備。此結果 與林福來等人(1985)的研究結果相符，其指出年級愈高，則比例推理能力也 隨之成長。綜合上述，年齡是影響比例理解概念的因素。
六、以五種專家的結構圖為參考標準，不同性別的受試者之相似性係數未達統 計上顯著差異。
本研究結果發現，相較於女生，男生受試者與全使用規則 2(倍數法)之
專家 2 的階層結構圖較相近，顯示研究對象之男生在比例概念的認知結構 與全使用規則 2(倍數法)之專家的階層結構圖較相近。
而不同性別之受試者與五種專家的解題規則結構圖皆無顯著差異，顯 示研究對象之男生和女生在比例概念的認知結構無顯著差異。此結果與 Karplus et al. (1983) 的研究結果相符，其也顯示在數值型態為整數之比例 問題上，男、女生之比例推理能力無差異。
第二節 研究限制
本研究以國民小學高年級學童為對象，囿於時間、人力及經費等因素，樣 本採立意取樣自台中縣市和彰化縣之國民小學。施測對象有限，故本研究結果 推論至不同地區有其限制。
本研究工具之比例問題測驗，在語意類型分類方面，研究者參酌 Lamon (1993a) 的語意類型題目，並與陳竹村等(2002)的對等關係問題之分類相結合，
再考量以較貼近兒童生活經驗和不受物理性質知識所影響的語意類型為主，僅 探究比例問題之三種語意類型：即交換問題、組合問題和母子問題，與學童解 題規則使用之次序階層的特徵。
本研究工具之比例問題測驗，在數字關係方面，研究者參酌陳竹村等(2002) 和劉祥通(2004)的研究，將比例關係式「 :
a b = c x
: 」依數字之比值關係分為以 下四種型式，但因第一型式的題目只有兩題，因此僅就第二型式、第三型式和 第四型式來作探討：(一)第一型式：
b 和 c 皆是 a 的整數倍，如： 8:16 =
24: x； (二)第二型式：只有b 是 a 的整數倍，如： 8:16 =
2 : x； (三)第三型式：只有c 是 a 的整數倍，如： 8 : 2 =
24: x； (四)第四型式：b 、 c 與 a 之間為非整數倍，如：12:8 =
9 : x。第三節 建議
根據本研究的研究結果及發現與研究限制，提出下列建議，以作為教學上 及後續研究上之參考。
一、根據試題反應理論的架構下，不同能力值之受試者，其規則次序的分析模 式為何，文獻上少見探討。所以，如何建立一個「規則反應理論」，描述能 力值和規則使用機率的函數關係，是重要且待探討的主題(林原宏、游森期, 2006)。
二、關於解題規則結構圖的分析，如何呈現其信度(reliability)與效度(validity)，
文獻上甚少探討。因此，未來可進一步探討解題規則結構圖信度與效度的 分析(林原宏、游森期, 2006)。
三、本研究中解題規則結構圖的比較方法，是基於林原宏、游森期(2006)與 Goldsmith et al. (1991) 的集合交集與聯集之比值計算方法。就圖形比較方 法而言，文獻上尚有許多其他可行的方法，可以比較個別受試者和參照架 構之間的相似程度。本研究只是初步性的應用，未來可探討各種解題規則 結構圖比較方法之優劣。
四、NCTM (2000) 所發表的「學校數學的原則與標準」(The Principle and Standards for School Mathematics)，在教學原則方面指出：有效的數學教學 必須瞭解學生知道什麼和需要學習什麼，才能加以激勵他們學得更好。教 學者可運用次序理論取向的比例問題解題規則分析方法，獲得個別受試者 的比例問題解題規則次序階層結構特徵，並依據其解題規則結構圖，準確 地分辨學習者的狀況，理解其舊經驗與認知歷程的轉變；再對症下藥、進 行有效的診斷與補救教學。
五、教學者可運用結構圖比較之分析方法，比較個別受試者與專家之解題規則 階層結構圖的相似度，並作為教學上學童同質性或異質性分組學習的依據。