國立臺中教育大學數學教育學系在職進修
教學碩士學位班碩士學位論文
指導教授：林原宏 博士
國小高年級學童在比例問題的解題規則
階層次序之探究
研究生：林瑋詩 撰
中 華 民 國 九 十 六 年 六 月
摘要
本研究旨在應用次序理論方法，分析個別受試者的比例問題之解題規則的 階層結構和其結構圖的比較。本研究以國小高年級學童 876 名為研究對象，比 例問題測驗為研究工具，應用次序理論能分析每位受試者的比例問題解題規則 階層和比較結構圖。研究結果顯示： 一、總分不同的受試者，其解題規則結構圖各具特色和意義。 二、總分相同但反應組型不同的受試者，其解題規則階層有差別。 三、同一受試者在三種題目型態之比例問題上，其解題規則結構之特徵不盡相 同。 四、同一受試者在三種數字關係類型之比例問題上，其解題規則結構之特徵不 盡相同。 五、以專家的結構圖為參考標準，不同年級的受試者之相似性係數達統計上顯 著差異。 六、以專家的結構圖為參考標準，不同性別的受試者之相似性係數未達統計上 顯著差異。 本研究之結果與發現，可提供國小高年級每位學童比例問題解題規則的訊 息，對於認知診斷與補救教學具有參考價值，研究者亦對未來相關研究提出相 關建議。 關鍵字：認知診斷 知識結構 次序理論 比例問題 解題規則ABSTRACT
The purpose of this study is to apply ordering theory in analyzing the hierarchical structures of problem-solving rules of proportional problems for individualized subjects. Besides, the author also compares rule graphs according to grade and gender. There are 876 subjects in this study. The proportional problem test is designed by the author. In the data analysis, individualized rule hierarchies are discussed and rule graphs are compared.
Through the procedure of the analysis, the following conclusions were found. 1. Subjects of different total score exhibit different characteristics of
rule-hierarchies.
2. Subjects of the same total score exhibit different rule-hierarchies due to distinct response patterns.
3. Characteristics of rule-hierarchies in three number types of proportional problems within one subject are different.
4. Characteristics of rule-hierarchies in three semantic types of proportional problems within one subject are different.
5. Rule usages between fifth and sixth graders are different. Rule usages utilized by six graders are more similar to that of expert than fifth graders.
6. Rule usages between male and female are not different.
The findings of this study should be helpful for cognition diagnosis and as references for remedial instruction. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.
Key words: Cognition Diagnosis Knowledge Structure Ordering theory Proportional problem Rules of Problem-Solving
目錄
第一章 緒論 ...1
第一節
研究動機... 1
第二節
研究目的... 3
第三節
名詞解釋... 3
第二章 文獻探討 ...5
第一節
比例問題的相關知識... 5
第二節
比例問題的解題策略... 9
第三節
影響學童比例問題表現的因素... 14
第四節
我國數學課程中關於比例問題之內容
... 18
第五節
比例問題之相關研究... 20
第六節
解題規則的分析方法... 23
第七節
次序理論... 26
第三章 研究方法 ...29
第一節
研究架構... 29
第二節
研究對象... 30
第三節
研究工具... 30
第四節
比例問題的解題規則... 33
第五節
解題規則的次序性分析... 36
第六節
解題規則結構圖的比較方法...37
第七節
資料處理
...38
第四章 結果與討論 ... 39
第一節
比例問題之解題規則的階層結構分析...39
第二節
不同語意類型比例問題之解題規則的階層結構分析...49
第三節
不同數字類型比例問題之解題規則的階層結構分析...66
第四節
不同年級及性別受試者之解題規則結構圖的差異...82
第五章 結論與建議 ... 93
第一節
結論
...93
第二節
研究限制
...95
第三節
建議
...96
參考文獻 ... 97
附錄... 103
附錄一
預試試題修正
...103
附錄二
正式施測試題
...104
表目錄
表2-1 試題 i 和試題 j 的答題人數列聯表( i ≠ j ) ... 26 表3-1 研究樣本一覽表 ... 30 表3-2 比例測驗各題試題類型之細目表 ... 31 表3-3 比例測驗的解題規則 ... 33 表3-3 比例測驗的解題規則(續)... 34 表3-3 比例測驗的解題規則(續)... 35 表3-4 規則 i 和規則 j 的反應次數列聯表( i ≠ j ) ... 36 表4-1 編號 12 受試者和專家 1 的規則次序關係矩陣之比較 ... 83 表4-1 編號 12 受試者和專家 1 的規則次序關係矩陣之比較(續)... 84 表4-2 不同年級與性別的因子下的相似性係數平均數 ... 84 表4-3 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ... 84 表4-4 不同年級與性別的因子下的相似性係數平均數 ... 85 表4-5 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ... 86 表4-6 不同年級與性別的因子下的相似性係數平均數 ... 87 表4-7 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ... 87 表4-8 不同年級與性別的因子下的相似性係數平均數 ... 88 表4-9 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ... 89 表4-10 不同年級與性別的因子下的相似性係數平均數 ... 90 表4-11 相似性係數之二因子變異數分析摘要表... 90 表4-12 不同年級與性別的因子下的相似性係數平均數 ... 91 表4-13 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ... 91圖目錄
圖3-1 研究架構圖... 29 圖4-1 不同總分之三位受試者的解題規則結構圖... 40 圖4-2 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則結構圖(高分組)... 43 圖4-3 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則結構圖(中分組)... 45 圖4-4 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則結構圖(低分組)... 48 圖4-5 編號 14 受試者在三種語意類型的解題規則結構圖(高分組)... 51 圖4-6 編號 585 受試者在三種語意類型的解題規則結構圖(高分組)... 54 圖4-7 編號 216 受試者在三種語意類型的解題規則結構圖(中分組)... 57 圖4-8 編號 311 受試者在三種語意類型的解題規則結構圖(中分組) ... 60 圖4-9 編號 661 受試者在三種語意類型的解題規則結構圖(低分組)... 62 圖4-10 編號 672 受試者在三種語意類型的解題規則結構圖(低分組)... 65 圖4-11 編號 42 受試者在三種數字類型的解題規則結構圖(高分組) ... 68 圖4-12 編號 131 受試者在三種數字類型的解題規則結構圖(高分組)... 71 圖4-13 編號 391 受試者在三種數字類型的解題規則結構圖(中分組)... 73 圖4-14 編號 612 受試者在三種數字類型的解題規則結構圖(中分組)... 76 圖4-15 編號 672 受試者在三種數字類型的解題規則結構圖(低分組)... 78 圖4-16 編號 769 受試者在三種數字類型的解題規則結構圖(低分組)... 81 圖4-17 專家 1 的解題規則結構圖... 83 圖4-18 專家 2 的解題規則結構圖... 85 圖4-19 專家 3 的解題規則結構圖... 87 圖4-20 專家 4 的解題規則結構圖... 88 圖4-21 專家 5 的解題規則結構圖... 89 圖4-22 專家 6 的解題規則結構圖... 91第一章 緒論
本研究旨在探討國小高年級學童在比例問題之解題規則的階層結構特徵和 比較不同年級與性別的結構圖。本章說明研究之動機與目的，並對本研究所提 及之相關名詞加以定義、解釋。第一節 研究動機
美國「學校數學準則與標準」中提到，在數與計算、測量、機率等領域， 均強調比例概念是六至八年級學童應該學會的課題(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 2000)。教育部(2001)在「國民中小學九年一貫課程綱要」 中，指出期望學生達成數學課程的第一項目標為「掌握數、量、形的概念與關 係」，而比例即為數量關係的一重點。而教育部(2003)在新修定的九年一貫課程 綱要中，也說明國小有理數課程中，比例是作為鍛鍊有理數數感的應用課題之 一；更在國小代數課題中，強調協助學童發展比例推理問題的解題策略；亦指 出國中生應理解相似圖形或伸縮圖形的比例關係。Lesh, Post, and Behr (1988) 在 學生數學發展上，比例推理佔有相當關鍵的地位，是小學數學和高等數學的分 水嶺。因此，比例問題是重要的研究主題。 由於每個人的思考邏輯架構不同，解題時對於各種解題規則的使用情形亦 不相同；甚至在相同概念之多道題目中，同一個人也不會只使用一種解題規則 來進行解題。例如：在相同概念之 6 道題目中，受試者甲可能在題 1 至題 5 中 使用規則 A，而在題 6 中使用規則 B；受試者乙可能在題 1 至題 4 中使用規則 B， 而在題 5 至題 6 中使用規則 A。所以，受試者甲可能先考慮使用規則 A 來解題， 如不使用規則 A，則使用規則 B，這種情形即存在規則 A 為規則 B 的先備條件 之關係；反之，受試者甲可能先考慮使用規則 B 來解題，如不使用規則 B，則 使用規則 A，這種情形即存在規則 B 為規則 A 的先備條件之關係(引自林原宏， 2006)。且 Siegler (1976) 指出解題者受到本身已存在的知識結構的影響，在解題過程中會依循某種方法進行解題。所以，解題規則的次序階層結構可象徵解 題者的潛在知識狀態。因此，關於如何分析解題者的解題規則使用之次序性， 以了解其內在思維，是一個待探討的問題。 所以，解題規則的次序階層結構可象徵解題者的潛在知識狀態。因此，分 析解題者的解題規則使用之次序性，以了解其內在思維，有其必要及可行之處。 雖然學生在國中小階段廣泛接觸到比例的課題，但卻在解比例問題時，因 使用錯誤的解題策略，導致解題的失敗(何意中，1988；莊玉如，2005；劉祥通， 2004；Hart, 1981; Hoffer, 1992)。而一般傳統測驗之計分，只能從測驗分數反映 出受試者的總分、答對和答錯題數，或受試者的能力在團體中的相對位置；國 內外大部分比例問題的相關研究，僅探討全體受試者所使用解題規則的類型和 規則使用次數多寡的情形(何意中，1988；林福來、郭汾派、林光賢，1985；楊 錦連，1999；魏金財，1987；Hart, 1981)；卻無法從學生的作答反應中顯示出學 生的內在認知結構。因此，關於如何分析個別受試者解比例問題時使用解題規 則的次序性，從其解題規則結構圖得知其既有之經驗與內在思維架構，此為本 研究動機之一。 莊玉如(2005)發現學童會因不同語意類型的比例問題，解題表現也有所不 同，且會因解題需要而採取的不同的解題規則。而 Lo and Watanabe (1997) 的研 究發現，不同類型的數字關係激發學童採取不同的解題策略。因此，更細部探 討在交換、組合和母子三種語意類型和第二、三、四型式之數字關係類型之比 例問題，個別受試者使用解題規則之次序性和階層結構的特徵，是本研究欲探 究的重點之一。
Bart and Krus (1973) 提出次序理論分析方法，往昔皆應用於分析試題間的 次序性和階層性，並未以解題規則為分析單位。因此，本研究應用其次序理論 可分析每位受試者的解題規則階層結構，藉以呈現個別受試者在處理比例問題 時所使用解題規則間的次序性特徵。
林福來等(1985)的研究結果顯示，年級愈高則比例推理能力也隨之成長； Karplus, Pulos, and Stage (1983) 的研究結果也顯示，在數值型態為整數之比例問 題上，男、女生之比例推理能力無差異，在數值型態為分數之問題上，則男生 表現較優；Jansen and Van der Maas (2002) 的研究顯示，關於比例推理之平衡桿 測驗，不同年齡的受試者使用不同的解題規則。綜合上述，不同知識領域背景 和年齡的受試者，由於內在知識架構的差異，其呈現的解題規則結構亦有所不 同。因此，關於如何比較專家(expert)與生手(novice)之間的解題規則結構圖之差 異，是一個值得探討的問題(Larkin, McDermott, Simon, & Simon, 1980)。本研究 參考 Takeya and Sasaki (1997) 的認知圖(cognitive map)比較方法，以及 Goldsmith, Johnson, and Acton (1991) 的徑路搜尋(pathfinder)之網路圖(cognitive network)的 方法，進行不同年級與性別之解題規則結構圖的比較，此為本研究動機之二。
第二節 研究目的
基於上述，本研究目的臚列如下： 一、分析個別受試者在比例問題之解題規則的次序階層結構特徵。 二、分析同一受試者在不同語意類型之比例問題的解題規則之次序階層結構特 徵。 三、分析同一受試者在不同數字關係類型之比例問題的解題規則之次序階層結 構特徵。 四、比較不同年級及性別的受試者之解題規則結構圖的差異。第三節 名詞解釋
壹、比例問題
本研究的比例問題，係為陳竹村、林淑君與陳俊瑜(2002)所指的對等問題： 兩個比等價之對等關係，亦即比例關係式「 :a b=c x: 」中，第四比例項為未知數的情境文字題。
貳、解題規則
解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程(Jansen & Van der Maas, 2002)。Siegler (1976) 認為解題者受到本身已存在的知識結構的 影響，在解題過程中會依循某種方法或規則進行解題。所以，解題規則可象徵 解題者的潛在知識狀態。
參、次序理論
次序理論為 Bart and Krus (1973) 所提出，是一套定義試題間之次序性的方 法。先求出試題之間的次序性係數，並以容忍水準為判斷標準，決定試題間是 否有次序性存在，並在試題之間以箭頭表示之間的關係，畫出試題次序結構圖。
第二章 文獻探討
本研究旨在應用次序理論探討個別受試者在比例問題中所採用解題規則間 的階層結構，及比較不同年級與性別之解題規則結構圖的差異，必瞭解比例問 題的相關知識與研究、解題規則分析方法以及次序理論。因此，第一節先介紹 比例方面的相關知識；第二節探究比例問題的解題策略；第三節探討影響學童 解比例問題的因素；第四節則了解本國之比例課程；第五節陳述比例問題的相 關研究；第六節探究解題規則的分析方法；第七節探討次序理論。第一節 比例問題的相關知識
壹、比例之相關名詞的涵義
用數學符號 :a b 來表示兩數量a 和 b 之間的對等關係，稱為「比」(陳竹村 等，2002；劉祥通，2004)，而 a 稱為比的前項， b 稱為比的後項。例如：「跳蚤 市場裡，14 部舊小汽車可以換 6 個布偶」可以記為「1 4 : 6」。Lamon (1995) 則 認為比也是兩數量間比較相對大小的指標。例如：全班學生中，男生有 15 人， 女生有 20 人。則班上男女生的人數比是15:20 。而在「 :a b 」中，比值的定義 則為前項 a 除以不為零的後項 b 的結果，也就是對於一個比「 :a b 」，找出後項 為 1 的相等比「 :1x 」，則x a b = ，即為「 :a b 」的比值(陳竹村等，2002)。比例 則是兩個比（或比值）的等價關係(劉秋木，1996)。貳、比例關係的特性
劉祥通(2004) 提出比例關係是兩個量間比的等價關係，要了解比例關係的 真正意涵，要先明白比例關係中「共變性」與「不變性」的特性。 Lamon (1995) 提出組成比例關係的兩個比的比值具有不變性，於是某些數 量間便存在「共變性」。例如：「買 27 個氣球要付 81 元，買 54 個氣球要付 162 元」這敘述中，氣球數與錢數的兩個比為 27:81 和 54:162 ，其比值均為 3 1 ，保有「不變性」。但當氣球數由 27 個變為 54 個時，為了要保持氣球數與錢數的比 值為 3 1 的不變性時，錢數便由 81 元跟隨著變為 162 元，這就是比例關係中的「共 變性」。
參、比例推理的基本能力
解題者要能成功解題，本身必需具備與此問題相關的基本能力。因此，要 探討學童對於比例問題的解題規則次序性前，必須先了解有利於學童解比例問 題的相關知識能力。研究者從文獻中整理出以下五點：一、乘除法概念；二、 因數與倍數概念；三、分數概念；四、相對思考能力；五、單位化與基準化能 力。一、乘除法概念
Vergnaud (1983) 提出概念體(concept field)的觀點，認為比例的理解建立在 乘除概念的結構上。Lo and Watanabe (1997) 指出其個案的比例概念深受本身乘 除法概念影響，也支持比和比例概念內嵌於乘法概念體的觀點。而 Vergnaud (1988) 提出乘除法問題是比例問題的特例。例如：「12 顆巧克力賣 8 元，請問 9 顆巧克力賣多少元？」是比例問題，若題目改為「1 顆巧克力賣 8 元，請問 9 顆巧克力賣多少元？」便是乘法問題，又若題目改為「2 顆巧克力賣 8 元，請問 1 顆巧克力賣多少元？」即是除法問題。所以，比例概念可說是乘除法概念的上 位概念(劉祥通，2004)。因此，乘除法概念的了解，將對學生解比例問題有所幫 助。
二、因數與倍數概念
Lo and Watanabe（1997）提出個案利用因數概念解題的實例。以「12 元可 買 8 顆糖果，9 元可買幾顆糖果？」這題目為例，個案將 12 元分成四組，每組 三元，再將 8 顆糖果分成四組，每組 2 顆糖果。最後利用 3 元 2 顆糖果、6 元 4 顆糖果、9 元 6 顆糖果的方式求得答案。這種解法的關鍵是找出錢數「12」和糖果數「8」的公因數「4」，再把 12 和 8 除以公因數「4」。劉祥通、周立勳(1999) 指出，解比例問題通常是先做除法再做乘法，就是利用因數與倍數來解決問題， 因此，因數與倍數概念的了解有助於比例問題的解題。
三、有理數的相關概念
比例是兩個比(或比值)之間的等價關係。Kieren (1980) 認為分數有五個面 向，更包含許多不同的意義。這五個面向分別為：「部分-整體」(part-whole)、 測量(measure)、商(quotient)、比值(ratio)、運算子(operator)，而比值就是其中的 一環。 劉祥通(2004)認為許多學生只知道分數的一、兩個意義，甚至解比例問題時 無法以分數表示兩量的倍數關係。楊錦連(1999)提到有些學生無法用分數表示除 法運算時除不盡的情況，例如：解題時遇到「7 除以 3」除不盡時，常會放棄解 題。莊玉如(2005)的研究指出其未受過比例單元教學的個案學童，解題思維受整 數基模影響，其解題的特徵有避開分數、小數的計算。因此，瞭解有理數概念， 有助於學童解比例問題時，用分數表示除法的結果和除不盡的數(楊錦連，1999)。 綜合上述，不熟悉分數概念的學童，在解比例問題遇到除法運算除不盡的 情況常會遭遇困難，進而影響解題的成敗。因此，分數概念的瞭解對比例問題 的成功解題佔有一席之地。四、相對的(relative)思考能力
相對的思考能力是學童解比例問題的重要基本能力之一(Lamon, 1993a)。具 備相對思考能力的學童能了解問題情境中數量間的相對關係(劉祥通，2004)；解 比例問題時，亦能夠避免使用錯誤的加法策略，進而使用單價法、倍數法等乘 法策略來解題(Lamon, 1993a)。 例如：有兩株小草，經過一年，小草甲由 4 公分生長到 7 公分，小草乙由 5 公分生長到 8 公分，哪株小草的生長率較高？以絕對(absolute)思考的觀點來說， 兩株小草的生長高度看似相同，皆生長了 3 公分( 7 4 8 5− = − )。但若以相對思考的觀點來說，小草甲的生長率為原長的 4 3 ，小草乙的生長率為原長的 5 3 ，所以 小草甲的生長率較高。若再經過一年，小草甲的身長為 4 21 公分( 4 3 7× )，小草乙 的身長為 5 24 公分( 5 3 8× )。 由此可知，只具備絕對思考觀點的學童常會採用加法策略等錯誤策略來解 題。而具備相對思考觀點的學童則會採用乘法策略解題。Lamon (1993a) 也強調 相對思考是從「加法思考」過渡到「乘法思考」的重要指標。因此，要能成功 解比例問題必須具備相對思考的能力。
五、單位化(unitizing)與基準化(norming)能力
Behr, Harel, Post, and Lesh (1992) 指出，把單一物體視為一個單位時，這種 單位稱為單項單位(singleton unit)；而把幾個物體視為一個單位時，這種單位稱 為集聚單位(composite unit)。單位化能力也就是建立集聚單位的能力(Lamon, 1993a, 1993b)。例如：3 個柳丁賣 10 元，15 個柳丁賣多少元？能把「3 個 10 元」 視為一個單位，並以此單位來計數，利用 3 個 10 元、6 個 20 元的方式求得答案， 便是具備單位化的能力。由此可知，學童解比例問題使用的累加法策略，也是 單位化能力的應用。因此，能靈活運用單位化概念，對比例概念的解題有莫大 的裨益。 而「基準化」則是指以一固定的單位或標準重新概念化一個系統(Lamon, 1994)。以 Freudenthal (1983) 提出的例子來說明，「想像地球就像直徑 1 公厘的 針頭那麼大，則太陽就變成 10 公分的球體，且與地球的距離只有 10 公尺。」 像這樣利用「固定地球縮小為針頭的比例」，重新概念化「太陽的大小」和「與 地球的距離」，便是基準化的過程。Lamon (1994) 指出，解比例問題時所採取的 單價法策略和倍數法策略，都是運用基準化能力解題的好例子。 基於上述，單位化和基準化能力是比例問題成功解題的關鍵。
第二節 比例問題的解題策略
解題時所採用的解題策略正確與否，影響解題的成敗結果。使用錯誤的解 題方法，將會導致解題的失敗(劉祥通，2004)；比例問題的解題也是如此。而本 研究旨在分析國小高年級學童比例問題解題規則的次序性和階層結構。因此， 本研究歸納出比例問題之正確和錯誤的解題策略，分述如下：壹、正確的思考策略
一、單價法思考策略(The Between Strategy)
解比例問題時，先求出「一單位的量」，再將此「一單位的量」依需要加以 計算求解，稱為單價法(林福來等，1985)。例如：「跳蚤市場裡，8 個蘋果可以 換 2 個奇異果，24 個蘋果可以換幾個奇異果？」中，先算出 1 個蘋果可以換 4 1 個 奇異果，再用 24 6 4 1× = ，算出 24 個蘋果可以換 6 個奇異果。或是先算出 1 個 奇異果可以換 4 個蘋果，再用24÷4=6，算出 24 個蘋果可以換 6 個奇異果。這 兩種算法都稱為單價法。而 Lamon (1994) 將這種方法稱為交 策略(between strategy)。 基於上述，能用單價法解題，不僅要具備乘除法概念，更是單位化能力的 運用。楊錦連(1999)的研究結果顯示，單價法是國小高年級學童解比例問題時使 用率最高的策略。
二、倍數法思考策略(The Within strategy)
在「 :a b=c d: 」的比例關係中，先求出「 :a b 」和「 :c d 」兩個比的前項
(或後項)之間的倍數關係，再利用此倍數關係擴充到後項(前項)之間的方法求 解，稱為倍數法(莊玉如，2005)。例如：「跳蚤市場裡，8 個蘋果可以換 2 個奇 異果，24 個蘋果可以換幾個奇異果？」中，先計算 24 8 3÷ = ，求出 24 個蘋果 是 8 個蘋果的 3 倍；再以 2 3 6× = 的式子，求出 2 個奇異果的 3 倍是 6 個奇異果。
像這樣便是運用倍數法策略來解題，也就是相對思考能力的運用(劉祥通， 2004)。Lamon (1994) 將這種方法稱為內策略(Within strategy)。許多實徵研究也 顯示，學童經常使用倍數法來解比例問題(Lamon, 1993a, 1994; Lo & Watanabe, 1997)。
三、累加法思考策略
解比例問題時，在「 :a b=c d: 」的比例關係中，先建立第一個比的關係， 也就是「 :a b 」的關係，再藉由加法或減法，把第一個比的關係擴充到第二個 比的關係，也就是擴充到「 :c d 」的關係。這種連續相加的策略稱為累加法(劉 祥通，2004)。例如：「跳蚤市場裡，8 個蘋果可以換 2 個奇異果，24 個蘋果可 以換幾個奇異果？」中，先找出 8 個蘋果可以換 2 個奇異果，依序利用加法， 算出 16 個蘋果可以換 4 個奇異果，24 個蘋果可以換 6 個奇異果。像這樣的方法， Hart (1981) 稱之為累加策略(building- up strategy)，而 Ricco (1982) 稱為常數跳 躍(constant jump)法。基於前述，使用累加法者能把「8 個蘋果可以換 2 個奇異 果」視為一個單位，並以此單位來加以計數。可見使用累加法必須具備單位化 的能力。 Hart (1981) 指出，兒童和青少年常使用累加法解題，且使用的原因可能為 逃避乘法、不會運算分數的乘法或不會求比值。而對於數值簡單之比例問題， 使用累加法常能成功解題；但若題目的數值型態為非整數比時，僅有少數學童 能使用累加法順利解題。而林福來(1984)也提到，學童在「乘法是重複相加」的 觀念影響之下，不習慣使用乘法，遇到類似 2 1 1 4 1 1 × 的分數乘法計算時，以累加 法處理，就變得相當複雜而難以處理了。四、公式化解題—利用比例關係式
利用比例關係式、比值相等方式來解題，稱為公式法(劉祥通，2004)。例如： 在比例關係式「 :a b=c x: 」中，利用內向乘積等於外項乘積求解，也就是以b c a x× = × 的方式求出未知數 x。或利用比值相等方式，即 a c b= x，再以十字相 乘法求解。例如：「文具店裡，2 枝紅筆賣 16 元；媽媽買了 11 枝紅筆，要付幾 元？」中，先列出 2:16 11: x= 的比例關係式，再用16 11 2 88× ÷ = ，內項乘積等 於外項乘積求解。或是利用比值相等的方式，先列出 2 11 16 = x 的式子，再用十字 相乘法，以 2× = ×x 11 16的方式求解。 就理解公式法而言，學童在數量關係上具備較高的認知層次(陳竹村等， 2002；劉祥通，2004)。但 Lesh et al. (1988) 指出許多研究皆一致認為學童很少 理解公式法的意義；公式法也不是學童自然產生的想法；且學童通常使用公式 法來避免比例推理的思考。因此，陳竹村等(2002)建議在學童理解比例概念後， 再引入公式法更佳。另外，楊錦連(1999)的研究結果顯示，對於較困難的題目， 六年級學童才使用公式法解題。
五、公因數法、公倍數法
比例問題中的數值具有公因數時，將兩數量縮小至共同的因數再求解。Lo and Watanabe (1997) 提出公因數法，並發現這解題策略在以往文獻中並沒有記 錄。以「12 元可買 8 顆糖果，9 元可買幾顆糖果？」這題目為例，個案將 12 元 分成四組，每組三元，再將 8 顆糖果分成四組，每組 2 顆糖果。最後利用 3 元 2 顆糖果、6 元 4 顆糖果、9 元 6 顆糖果的方式求得答案。這種解法的關鍵是找出 錢數「12」和糖果數「8」的公因數「4」，再把 12 和 8 除以公因數「4」。Lo and Watanabe (1997) 說明這種策略有兩種優點，第一：可避免任何分數或小數的計 算。第二：在解決比例項未知（missing- value）的比例問題時，此策略將成為強 而有力的方法。 另外，在比例問題中，先找出兩個比之前項(或後項)的公倍數，再將兩個比 的前項(或後項)放大至共同的倍數以求解，稱為公倍數法(Hoffer, 1992)。例如： 「10 個人吃披薩，要買 4 個大披薩才夠吃。慶生會有 15 個人參加，最少要買幾個大披薩才夠吃？」本研究受試者的解法是先找出 10 和 15 的共同倍數為 30， 再算出 30 個人要買 12 個披薩，15 個人則要買 6 個披薩。莊玉如(2005)指出， 兒童在解非整數倍的比例問題時，如果能利用公倍數思考策略解題，則可避免 分數或小數的計算。
六、數量分解法
先把比例問題中的量數，拆解為兩個以上的量數，分別對這些被分解的量 數加以計算後，再予以組合的解題方法，稱為數量分解法(楊錦連，1999；劉祥 通，2004；Vergnaud, 1983)。例如：「10 個人吃披薩，要買 4 個大披薩才夠吃。 慶生會有 15 個人參加，最少要買幾個大披薩才夠吃？」先以 10 5 15+ = ，把 15 個人拆為 10 個人和 5 個人；而 5 個人是 10 個人的一半，因此，用4÷ =2 2，算 出 5 個人的披薩數也變成 10 個人的披薩數之一半。再以 4 2 6+ = 求出答案；也 就是把 10 個人的披薩數加上 5 個人的披薩數，就是 15 個人的披薩數。Vergnaud (1983) 提到，當學生無法以單價法解題時，通常便會使用數量分解法。貳、錯誤的思考策略
一、自訂關係
解非整數倍的比例問題時，在做除法計算的過程中，遇到除不盡的情形， 先使用乘法策略處理除法算式的商；又因不瞭解餘數的意義，便用固定差數策 略來處理餘數(Tourniaire & Pulos, 1985)，像這樣自行將數字間訂定關係，稱為 自訂關係。例如：「跳蚤市場裡，6 袋米可以換 4 公斤的豬肉。小華有 15 袋米， 可以換幾公斤的豬肉？」學童的解法為先列出15 6 2 3÷ = … 的算式，算出後來米 數為原來米數的 2 倍加 3；然後依此錯誤規則推演，後來豬肉的重量為原來豬肉 重量的 2 倍加 3，並列出 4 2 8× = ， 8 3 11+ = 的式子求解。魏金財(1987)將此種 解題策略稱為等倍同差型；Misailidou and Williams (2003) 稱為不正確增大方法時，在做除法計算的過程中，遇到餘數和除不盡的情形，不了解餘數的意義和 不會用分數表示除不盡的情形，便會發展出錯誤的解題策略來。莊玉如(2005) 也指出部分受整數觀念影響的學童，常會逃避分數和小數的計算，並使用認知 負荷較少的策略來解題。
二、加法策略
在比例關係式「 :a b=c x: 」中，學童若以 b a k= + ，則 x c k= + 的方式求 出 x 的答案；或是以若 c a k= + ，則 x b k= + 的方式求出 x 值，則像這樣的方式， 稱為加法策略。例如：「雜貨店裡，100 公克的花生賣 50 元，250 公克的花生賣 幾元？」學童會以「重量數比錢數少 50 (100 50 50− = )，所以 250 公克的花生賣 200 (250 50− =200)元」來解題。或是以「250 公克的花生比 100 公克的花生多 150 公克，所以 250 公克的花生賣 200 (50 150+ =200)元」的方式求解。 當學生使用累加法成功解決整數倍的比例問題後，會發展出以加法策略解 決非整數倍的比例問題(翁宜青、劉祥通，2003；魏宗明、劉祥通，2003)。三、比例項錯置
解比例問題時，在比例關係式「 :a b=c x: 」中，先以a b a b ÷ = 求出單價， 再以a c x b× = 的方式求解。或先以 a a c c ÷ = ，算出 a 和 c 之間的倍數關係，再以 c b x a× = 的方式求解。例如：「跳蚤市場裡，14 部舊小汽車可以換 6 個布偶。小 明帶了 7 部舊小汽車去，他可以換到幾個布偶？」中，學童以14÷7=2，算出 14 部舊小汽車是 7 部的 2 倍，但第二步驟卻以6×2=12的錯誤方式求解；後半 段的正確作法應為，原來布偶數是後來布偶數的 2 倍，所以後來布偶數是把原 來布偶數除以二求得。林福來(1984)稱為比例項錯置。魏金財 (1987)將這種方 法稱為比值錯置型。 部分學童做除法運算時受到「大數除以小數」的迷思所影響(郭文金、謝哲 仁，2004)，且未釐清數量關係間的基準點，便容易採用不正確的比例項錯置之解題策略。
四、任意運算
把題目中的數字任意加減乘除，沒有解題策略可言，稱為任意運算(何意 中，1988)。例如：「「跳蚤市場裡，6 袋米可以換 4 公斤的豬肉。小華有 15 袋米， 可以換幾公斤的豬肉？」若解法為 6 4 15 25+ + = 等諸如此類，只是把題目中的 數字隨意運算而已。 綜合上述比例問題之各種解題規則的使用，皆象徵著解題者內在所蘊含的 不同解題知識和能力。因此，關於如何呈現或分析個別受試者在比例問題解題 規則之次序階層結構，是一個重要的研究主題。第三節 影響學童比例問題表現的因素
比例問題會因語意類型、數值類型、題目型態和未知數位置等的不同，影 響學童的解題表現。因此，以下就影響學生比例問題解題表現的因素，分述如 下：壹、語意類型
國內外的研究皆指出，就學童的認知與經驗而言，不同語意類型的比例問 題，其難易度不同，進而影響學童的解題表現(陳竹村等，2002；楊錦連，1999； Lamon, 1993a) 。 Lamon (1993a) 將 比 例 問 題 的 語 意 類 型 分 為 熟 知 的 量 數 (well-chunked measures)、部分-部分-全體(part-part-whole )、聯想的集合(associated sets)及放大和縮小(stretcher and shrinker)四種類型。而陳竹村等(2002)則依情境 將對等問題分為交換問題、組合問題、母子問題和密度問題。但 Lamon (1993a) 與陳竹村等(2002)兩者的分類方式有重疊之處。因此，綜合上述，將比例問題主 要的語意類型分述如下：兩堆物件因某種因素，而具有相同的價值，這類問題稱為交換問題(陳竹村 等，2002)。例如：「跳蚤市場裡，8 個蘋果可以換 2 個奇異果」中，8 個蘋果和 2 個奇異果因某種因素而具有相同的價值；或「市場裡，4 個柳丁賣 20 元」，這 情境是屬於柳丁和錢幣之間的交換，4 個柳丁和 20 元具有相同價值。像這樣以 物易物的問題情境稱為交換問題。
二、聯想的集合(組合問題)
兩個量數並沒有明顯的關係，經過題目明確陳述後，才產生比例關係，這 種問題屬於聯想的集合(Lamon, 1993a)。例如：「親子遊戲中，每 4 個小孩就需 要 2 個大人來協助。有 28 個小孩參加遊戲，需要多少個大人來協助？」這組合 問題中，「4 個小孩」與「2 個大人」並沒有關係，經過題目說明後，兩個量數 才有比例關係。三、部分-部分-全體(母子問題)
一個集合由兩個以上的部分集合所組成，集合、部分集合間有比例關係， 這種問題稱為部分-部分-全體問題(Lamon, 1993a)。母子問題即屬於此類，也就 是全體量與部分量間有比例關係的問題。例如：「每 45 個蛋中，就有 15 個蛋是 棕色的。90 個蛋中，有幾個蛋是棕色的？」就是是母子問題。楊錦連(1999)認 為母子問題包含機率概念，是對學童解題而言較為困難的原因。四、熟知的量數(密度問題)
由兩個外延量之比例關係，產生一個新的內涵量，而此內涵量是眾所皆知 的；像這類的語意情境，稱為熟知的量數(Lamon, 1993a)。例如：密度問題中， 密度這一內涵量是大家所熟悉的，它是由質量和體積兩個外延量的比所產生 的；而這種關係可應用於其他的內涵量，如速率(由距離和時間的比所構成)等 (Lamon, 1993a)。五、放大和縮小問題
比例問題中，兩個量數間有固定的比例，當一量數增加，另一量數也依固 定比例增加；反之，當一量數減少，另一量數也隨比例減少，這種問題稱為放 大和縮小問題(Lamon, 1993a)，又叫做伸縮問題(楊錦連，1999)。例如：相似長 方形的長和寬的關係，「兩相似長方形甲和乙，甲長方形的長為 2 公分，寬為 4 公分，乙長方形的長為 6 公分，寬為幾公分？」便是屬於放大和縮小問題的例 子之一。 國外學者 Lamon (1993a) 的研究發現，孰知的量數(密度問題)與放大和縮小 (伸縮問題)這兩類問題，學童作答時無法以具體的圖畫或其他方式表徵，因此， 學童多使用較低水準的解題策略來解題。由此可知，不同的語意類型，可能導 致不同的解題策略。 楊錦連(1999)從國小五、六年級學童的解題表現發現，交換問題和組合問題 最簡單，密度問題和母子問題次之，而伸縮問題最難。此與陳竹村等(2002)的觀 點雷同，其認為交換問題較簡單，因為較接近兒童的生活經驗；接著是組合問 題和母子問題；最難的是密度問題，因為密度問題會受物理性質知識所影響。 Lo and Watanabe (1995) 也強調，兒童在常見和熟習的生活情境中，能發展 出複雜的比例解題策略。可見，問題的語意情境和學童的生活經驗有密切關係， 更影響兒童的解題表現。 基於上述，本研究之測驗的語意類型，以貼近學童生活經驗和學童能具體 表徵的交換問題、組合問題和母子問題為主。
貳、數字關係
根據國內外研究(林福來、郭汾派、林光賢，1986；Hart, 1981; Lo & Watanabe, 1997;Noelting, 1980a)皆顯示，數字的比值關係影響試題的難易度。換句話說， 兒童較擅長解整數倍的比例問題，對於非整數倍的比例問題則較感困難。劉祥 通(2004)將比例關係式「 :a b=c x: 」，依數字之比值關係分為三種類型：(1)b
c a都是整數倍；(2)只有 b a是整數倍或 c a是整數倍；(3) a 、b 、 c 三數相互之間沒 有倍數關係；並認為三類型中第(1)類最簡單，第(3)類最困難。另外，陳竹村等 (2002)則認為比例問題中，後比例項c 是前比例項 a 的整數倍之題目最簡單，單 位分數倍次之，真分數倍（假分數倍）最難。 綜合上述，不同的數字關係會影響學童解題的表現。本研究參酌陳竹村等 (2002)和劉祥通(2004)的研究，將比例關係式「a b: =c x: 」依數字之比值關係分 為以下四種類型來作探討： 一、第一型式： b 和 c 皆是 a 的整數倍，如： 8:16 24: x= ； 二、第二型式：只有 b 是 a 的整數倍，如： 8:16 2 : x= ； 三、第三型式：只有 c 是 a 的整數倍，如： 8 : 2 24: x= ； 四、第四型式： b 、 c 與 a 之間為非整數倍，如：12:8 9 : x= 。 由於 Lo and Watanabe (1997) 的研究發現，不同類型的數字關係，激發學童 採取不同的解題策略。例如：比例關係式「 :a b=c x: 」中，在只有b a是整數倍 時，其個案學童使用單價法；而在只有c a是整數倍時，便使用倍數法。 楊錦連(1999)的研究結果顯示，數字關係為第一型式和第二型式的比例問 題，使用率最高的解題規則為單價法，而在數字關係為第三型式的比例問題， 使用率最高的解題規則為倍數法。而六年級學童使用公式法的頻率，在數字關 係為第三型式和第四型式之比例問題，比在數字關係為第一型式和第二型式之 比例問題明顯增多，可見學童會以數字關係類型作為選用解題規則的依據。因 此，探討個別學童在各種數字關係之比例問題，使用解題規則之次序性和階層 結構的特徵，是本研究欲探究的重點之一。
另外，Lo and Watanabe (1997) 也指出，數值大小是影響學童解比例問題的 因素之一。在其研究中的一個例子為「直昇機每 10 分鐘飛行 16 哩，50 分鐘可 以飛行多少哩？」，學童知道 50 分鐘是 10 分鐘的 5 倍，所以距離也是 5 倍，因
此將 16 × 5。但是再問「120 分鐘可以飛行多少哩？」時，儘管研究者一再強調 「每 10 分鐘飛行 16 哩」，學童依然以「16 × 120」來作答。可見數值大亦導致 解題失敗。而本研究探討重點之一，主要是數字關係與學童使用解題規則的關 連，所以將數值縮小，以降低對學童解題的影響。
參、題目型態
比例問題的題目型態分為求未知數問題和比較比值問題(Karplus et al., 1983; Lesh et al., 1988; Tourniaire & Pulos, 1985)。前者題目如「文具店裡，2 枝紅筆賣 16 元；媽媽買了 11 枝紅筆，要付幾元？」，後者題目如「甲文具店 2 枝紅筆賣 16 元，乙文具店 4 枝紅筆賣 24 元，哪一家文具店比較便宜？」。Karplus et al. (1983) 提出求未知數問題是比較比值問題的特例，求未知數問題只運用兩比值等價的 概念，沒有進一步比較兩比值大小的概念；因此求未知數問題較比較比值問題 簡單。肆、未知數位置
陳竹村等(2002)指出，在比例關係式「 :a b=c d: 」中，當未知數在後比例 項 c 或 d 的教學活動，稱為正向活動；當未知數在後比例項 a 或 b 的教學活動， 稱為逆溯活動；並從概念發展的觀點，認為正向活動易於逆溯活動。而本研究 是探討語意類型和數字關係與學童解題規則的使用次序，因此將未知數皆控制 在正向活動中第四比例項 d 的位置。第四節 我國數學課程中關於比例問題之內容
本研究開始於 2005 年 9 月，也就是九十四學年度，研究對象之六年級學童， 前三年使用的是八十二年版課程，後三年使用的是九十年十月公佈的九年一貫 暫行綱要；而五年級兒童則皆使用九十年十月公佈的九年一貫暫行綱要。另外， 九十四學年度自國小及國中一年級逐年級實施的九年一貫總綱，也就是本研究 對象之五、六年級學童到國中一年級時將使用之課程，因此將上列三種課程版本之比例部份列舉如下： 依據八十二年版國小課程標準(教育部，1993)，在「數量關係」領域的目標 中，指出國小高年級學童應了解比的關係，亦即國小六年級學童對比、比值、 比例應有初步認識，且能理解數量的簡易變化關係。而八十二年版部編本(2001) 在五年級即出現比例問題(對等問題)的教學單元，以整數對整數、分數對整數的 整數倍轉換之正向、逆溯活動為主；六年級則以整數對整數、分數對整數的單 位分數倍、真分數倍轉換之正向、逆溯活動為主。 根據民國九十年公佈的九年一貫暫行綱要(教育部，1993)中，比例概念首度 出現在國小六年級，其相對應之能力指標為「數與量」主題中的「N-3-15：能 在情境中理解比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、ppm)的意義」； 以及「代數」主題中之能力指標「A-3-4：能比較生活情境中數量關係的異同及 其表徵式的異同與使用時機」。而國中一年級之相對應指標為「代數」主題中之 能力指標「A-3-10：能瞭解幾何圖形及形體變動時，其幾何量對應變動情形」； 國中二、三年級之相對應指標為「幾何」主題中之能力指標「S-4-7 能辨別檢驗 兩圖形是否相似」和「S-4-8 能運用相似三角形的性質進行簡易測量」。 依據民國九十二年公佈的「九年一貫數學學習領域綱要」中，說明比例、 比率和比值是有理數的應用課題，國小六年級學童必須了解比例的意涵，亦即 理解比是一種奇妙的平分方式，並透過比的方式，再引入比值，解決比例問題。 國中一年級學童則須熟練比例式運算，並透過比例概念，發現比例、正比和反 比處處存在生活情境中，而國中三年級學童必須理解幾何形體放大或縮小時， 其邊長或面積的變化關係。另外，綱要中訂定國小六年級須達到的能力指標為 「數與量」主題中的「N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解 決生活中的問題」；「幾何」主題中的「S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長 度、角度與面積的影響，並認識比例尺」；與「代數」主題中之「A-3-07 能運 用變數表示式，說明數量樣式之間的關係」的次要細目「6-a-04 能在比例的情
境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數」。而國中一年級學童須達成的指標 為「數與量」主題中之「N-3-05」和「N-3-07 能熟練比例式的基本運算」；國 中三年級則須達成「幾何」主題中的「S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似」和 「S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量」。
綜觀歷年的數學課程標準與綱要，國小高年級學童在認知發展上具備足夠 的知識理解比例問題，且 Kaput and West (1994) 提出可在國小三年級階段，以 學童的非正式解題策略，作為進行比和比例的教學活動的開始。Lo and Watanabe (1995) 亦支持其主張。因此，本研究以高年級學童為研究樣本是可行且恰當的。 且不論學童是否能成功解決比例問題，皆有其正確或錯誤的解題規則。而本研 究即在探討解題規則的次序階層結構及不同年級與性別之結構圖的差異比較。
第五節 比例問題之相關研究
國內外有關比例概念發展的研究甚多，而關於比例問題解題規則之研究的 探究，分述如下： 翁宜青(2002)及翁宜青、劉祥通(2003)利用晤談法，針對一位學過乘法和簡 單分數的三年級學童，探討不同數字關係之比例問題，與其所採取的解題策略 之間的關係。研究結果發現此學童能分別依序以累加法、數量分解和單價法及 倍數法解決不同數字關係的比例問題。而對於比例項間彼此皆非整數倍的問 題，則因不了解帶分數與單位量的概念，導致無法解題成功。 莊玉如(2005)以訪談法探討未接受過比例教學的九位國小四年級學童，其在 比例問題的解題表現。研究結果顯示，不同數字關係和不同題目類型的比例問 題，學童使用的解題策略亦不同；且部分策略被使用的次數多；部分策略則被 使用的次數極少。另外，學童因受整數基模的影響，解題歷程有避開分數和小 數計算的特徵。 Karplus et al. (1983) 探討在不同層次高低之比例問題下，學童使用解題規則的情形。其研究結果顯示，在數值型態為整數之比例問題上，男、女生之比 例推理能力無差異；在數值型態為分數之問題上，則男生表現較優。 Lamon (1993a) 針對未學過比例概念的六年級學童進行晤談，了解其在不同 語意類型的比例問題之解題思維和策略。其研究發現，對於部分-部分-全體之問 題，學童傾向使用像累加法等較簡單的策略解題；而放大縮小問題是學童感到 最困難的問題類型，因學童不能確認這類問題情境的乘法本質。而在聯想問題 (組合問題)上，學童能使用較複雜的解題策略解題，因為這類問題能以具體圖示 幫助解題。 Lo and Watanabe (1997) 針對一位國小五年級學童，探究其解題策略及影響 其解題的因素。研究結果發現，原本只會使用累加法和公倍數法學童，經過教 學實驗後，會因不同的數字關係和語意情境類型，而選擇單價法或倍數法；而 遇到數字關係為非整數倍的問題，便會採取其獨特解題方法，亦即使用累加法 和公倍數法，其相信這兩種方法最後一定會得到正確答案。可見這位學童對於 不熟悉的題目，會有彈性的選擇其有能力解決此問題的解題策略。由此可知， 學童解題規則的使用上具次序性。因此，本研究欲探討個別受試者在比例問題 之解題規則的次序階層結構，有其必要與可行之處。 林福來等(1985)以大量筆測方式，了解國中生解題策略的使用情形；並以不 同難易之數字關係問題的通過率代表比例推理能力的層次高低，探討學童比例 概念的發展情形。研究結果之一顯示，公式法最多學童使用，其次為倍數法和 單價法。研究結果之二顯示，年級愈高，則比例推理能力也隨之成長；而數字 關係的難易也影響比例推理能力的發展。 魏金財(1987)利用縱貫生長(longitadinal growth)研究法，探討國小五、六年 級學童處理比例問題的解題策略類型及解題策略隨生長而變遷的情形。其研究 結果顯示，從解題策略使用頻率較高的觀點，不同層次(不同數字關係)之比例問 題與解題策略間有交互作用現象；而對於相同的比例問題，除了六年級發展出
公式法外，其他各解題策略皆未隨年齡改變而有差異。 何意中(1988)也以筆測和晤談法了解國小三至五年級的六十位學童在比例 問題上的解題策略與錯誤類型。其發現之一為學童最常使用單價法和倍數法， 最少使用公式法。這結果與林福來等(1985)之結果不同，可見國中和國小學童， 其解題策略之使用次數多寡不同。研究發現之二為，三年級學童使用累加法的 次數最多，顯示年級愈低欲容易逃避乘法；而在錯誤的解題策略中，則屬任意 運算這一類的使用次數最多，顯示國小學童對加減乘除的運算意義不了解。 楊錦連(1999)探究不同城鄉和年級的國小高年級學童在不同數字關係和語 意類型之比例問題的解題表現。其研究採質性和量性並行的的方式，先大量施 測，以學童之答對通過率，作為探討不同數字關係和語意類型之比例問題的困 難度高低之依據，並分析各解題規則的使用率；再訪談十位不同解題層次的學 童，了解其解題策略並歸納對解比例問題有幫助的知識和能力。其研究結果顯 示，部分類型之語意問題有困難度高低的差異性，亦即在國小五、六年級學童 的解題表現中，交換問題和組合問題最簡單，密度問題和母子問題次之，而伸 縮問題最難；而交換問題和組合問題的解題表現無顯著差異，其可能原因為交 換問題和組合問題的語意在本質上是非常相似的。再以不同高低層次的學童使 用不同之解題策略，代表其所具備數學知識和能力之難易的觀點，得到學童能 力層次由低而高，依序使用的解題策略為具備約分和擴分的計算能力、單價法、 單價法和倍數法混合使用。另外，大部分解題錯誤者皆使用絕對思考的方式。
Misailidou and Williams (2003) 整理相關文獻進行編製試題、並以 Rasch 模 式之試題反應理論檢驗，再以晤談提供診斷解釋之依據，發展出診斷比例推理 之解題策略的試題庫。
綜合上述相關文獻，就研究方法而言，分成質性和量性兩大研究取向。一 是以質性的觀察、晤談和記錄，深入了解單一或少數受試者的解題思維(翁宜 青，2002；翁宜青、劉祥通，2003；莊玉如，2005；Lamon, 1993a; Lo & Watanabe,
1997)；二是由量性的紙筆測驗和統計分析方法，以全體受試者為分析對象，歸 納出各種解題規則使用次數的多寡情形(何意中，1988；林福來等，1985；楊錦 連，1999；魏金財，1987)。而本研究從量性研究取向著手，但有別於上述量性 研究之相關文獻，以個別受試者為分析對象，並能分析其在比例問題之解題規 則的次序階層結構，從中了解其內在解題思維，同時兼顧質性研究取向的優點。 就影響比例問題解題之因素而言，綜合上述文獻(何意中，1988；林福來等， 1985；翁宜青，2002；翁宜青、劉祥通，2003；莊玉如，2005；楊錦連，1999； 魏金財，1987；Lamon, 1993a; Lo & Watanabe, 1997)，大多從不同數字關係或語 意類型之比例問題，探究其與學童解題表現的關係。而本研究針對不同數字關 係類型和語意類型之比例問題，分析個別學童解題規則的次序階層結構，有其 必要及可行之處。
第六節 解題規則的分析方法
解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程(Jansen & Van der Maas, 2002)。Siegler (1976) 認為解題者受到本身已存在的知識結構的 影響，在解題過程中會依循某種方法或規則進行解題。所以，解題規則可象徵 解題者的潛在知識狀態。因此，如何分析解題者的解題規則，以了解其內在思 維，是一值得探討的主題。Jansen and Van der Maas (1997, 2002) 和 Tatsuoka (1983) 將 解 題 規 則 的 分 析 方 法 稱 為 規 則 評 量 方 法 論 (rule assessment methodology)。而關於解題規則之分析方法的探究，可分為質性的研究取向和量 性的研究取向。
壹、質性的研究取向
在質性分析方法上，從早期 Inhelder and Piaget (1958) 以觀察和訪談研究兒 童的思維開始，觀察和晤談便是獲得解題者思考歷程的重要方法。晤談法是研 究者和解題者以談話的方式，使解題者清楚說出內在的想法和其解決問題方
式，再由研究者分析口述內容，以得知解題者本身的知識和概念。透過質性的 觀察、晤談和記錄，可深入分析解題者的解題思考歷程和策略。一般而言，質 性研究所得的結果可提供量性研究的依據。但質性研究較費時費力，且樣本人 數少，推論基礎不穩固；更需注意研究者或解題者的主觀特質或因素。而研究 者即詳閱關於比例問題解題規則的質性研究之文獻，以作為本研究分析學童之 解題規則次序性的依據。
貳、量性的研究取向
量性研究則是透過測驗和統計方法分析研究資料。一般而言，量性研究獲 得的結果較具推論性。 潛在類別分析是利用測驗題型的反應組型，將受試樣本作最佳的異質群體 分類，依據每一類別下的試題答對機率，來詮釋受試者使用解題規則或策略的 內在認知結構(吳毓瑩、林原宏, 1996；Jansen & Van der Maas, 2002)。Jansen and Van der Maas (1997, 2002) 認為 Siegler (1976) 將受試者歸類至使用某種規則的 規則評量方法，過於武斷；因此採用潛在類別分析方法。但潛在類別分析只適 用於大樣本(Jansen & Van der Maas, 2002)。而研究者若關心的為樣本的潛在組群 性時，則採用潛在類別分析較為恰當(葉光輝、劉長萱，1995)。試題反應理論(item response theory)是當今盛行於測驗界的測驗分析模式。 其理論模式相當多。例如：Tatsuoka (1983) 的規則空間(rule space)模式、Fischer (1973) 的線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model) 、Mislevy and Verhelst (1990) 的混合策略模式和 Misailidou and Williams (2003) 的診斷比例推理之解 題策略的試題庫等。
Tatsuoka (1983) 結合試題反應理論和多變量分類方法，發展出規則空間模 式，用於偵測和診斷受試者在四則運算問題上的錯誤規則。其主要方法為先界 定所要探究的的認知屬性(congnitive attributes)，認知屬性亦即知識、技能或解 題策略，將受試者作答資料轉換成以認知屬性計分的反應組型，再利用試題反
應理論分析，獲得能力值與錯誤規則間的對照。綜合上述，規則空間模式透過 解題規則的分析，可以提供教學者有效的診斷訊息，然而因為其試題需包含特 定認知屬性，並不容易編製適用此模式的測驗(涂金堂，2003)。 線性邏輯測驗模式由 Fischer (1973) 提出。其模式為將 Rasch 模式中的試題 難度，分解成許多解題所需認知操作(cognitive operation) 的線性組合，再依受試 者作答的試題反應組型，診斷出受試者可能缺乏某種認知操作，以及推論出各 認知操作間的難易程度。但此模式並沒有關注到鑑別度參數和猜測參數(涂金 堂，2003)。
混合策略模式則是由 Mislevy and Verhelst (1990) 所提出。此反應模式從解 題有多種不同解題策略的觀點，假定每位受試者對所有試題，只使用同一種解 題策略；而不同受試者可以使用不同的解題策略。再依據受試者的反應組型， 計算出在所有試題中，不同能力值的受試者使用不同解題策略的機率大小，並 推論各種不同能力的受試者可能使用哪種解題策略。Fischer (1973) 的線性邏輯 測驗模式，將試題內涵分解成不同的認知操作，但這些不同的認知操作皆被假 定使用同一種解題策略；而 Mislevy and Verhelst (1990) 則更進一步將這些不同 的認知操作歸屬於不同的解題策略 ，假定不同受試者可能使用不同的解題策 略，這種分析模式較符合實際解題情況(涂金堂，2003)。
Misailidou and Williams (2003) 整理相關文獻進行編製試題、並以 Rasch 模 式之試題反應理論檢驗，再以晤談提供診斷解釋之依據，發展出診斷比例推理 之解題策略的試題庫。
劇變論(catastrophe theory)由 Thom (1975) 提出，是一套描述自然界和物理 世界中改變轉移之不連續現象的數學模型工具，此理論也被應用於社會科學之 研究。Van der Maas and Molenaar (1996) 則應用劇變論探討在不同發展階段中解 題規則之轉移現象的分析。一般而言，劇變論在詮釋解題規則之發展轉移現象 上佔有相當重要的地位；但這理論晦澀難懂，所以並沒有被廣泛應用。
綜合上述相關研究，不同的解題策略分析方法，各有其不同的著眼點和限 制之處；且 Jansen and Van der Maas (1997) 亦指出，性別和年齡之兩因素，會 影響受試者之解題規則的使用。因此，本研究欲應用次序理論探討個別受試者 之解題規則次序性之階層結構，和比較不同年級與性別之解題規則結構圖的差 異，有其必要與可行之處。
第七節 次序理論
Bart and Krus (1973) 所提出的次序理論，是一套定義試題間之次序性的工 具。以二元計分(dichotomous)的試題 i 和試題 j 為例，兩試題答對(以 1 表示)和 答錯(以 0 表示)的人數列聯表如表 2-1 所示(林原宏、游森期，2006)。 表 2-1 試題i和試題j的答題人數列聯表( i ≠ j ) 試題 j 1 0 總和 1 n11 n10 n1• 試題 i 0 n01 n00 n0• 總和 n•1 n•0 n = n11+ n10+ n01+ n00 試題 i 和試題 j 兩試題間的答題反應模式有(1,1)、(1,0)、(0,1)和(0,0)四種。 Bart and Krus (1973) 認為當(0,1)反應次數出現比率很小時，則試題 i 為試題 j 的 先備條件(Bart & Krus, 1973)。因此，根據表 1-1 定義(0,1)之次序性係數為 n01/n， 範圍為 0 ≤ (n01/n) ≤ 1。若 n01/n 愈小，則試題 i 為試題 j 的先備條件(precondition)。 所以，Airasian and Bart (1973) 以容忍水準(tolerance level) ε來決定試題之間的次 序性如下：
1. 當(n01/n) <ε，則試題i為試題j的先備條件，以試題i指向試題j的線段表示； 2. 當(n01/n) ≥ε，則試題i不為試題j的先備條件，沒有線段由試題i指向試題j。 至於ε的選定，Airasian and Bart (1973) 建議容忍水準ε可取為.02，但實證研 究中，容忍水準ε值可由研究者來決定。
在 Bart and Krus (1973) 提出次序理論之測量模式後，其後續的相關應用研 究主要是探討 J. Piaget 認知發展理論中的發展階段的次序性(林原宏，2006)。例 如： Airasian, Bart, and Greaney (1975) 應用次序理論分析形式操作期學童之各 類型命題邏輯的階層結構。Bart and Airasian (1974) 應用次序理論探討皮亞傑理 論(Piagetian theory)中之具體操作期 (concrete operational period)和形式操作期 (formal operational period)間的階層關係，其研究結果證實具體操作期為形式操 作期的先備條件之論點。Bart and Mertens (1979) 利用次序理論分析形式操作期 之基模的階層結構，結果顯示同一基模下的某些試題是等價的；雖然反應組型 相當不同，但卻產生形式操作期的基模階層結構之特徵。其研究結果支持形式 操作期的整合結構，亦即當原來基模不適用，便會改變基模以解決問題，並將 新基模整合到已有的認知結構。Bart, Frey, and Baxter (1979) 以次序理論比較不 同背景之受試者，其在形式操作期之不同特徵基模的階層結構之差異。研究結 果發現，不同背景之受試者的全體基模之階層結構具差異性，但部分基模間的 次序關係是相同的。Janson (1986) 以次序理論分析 J. Piaget 的 16 種形式邏輯推 理的發展先後順序之階層結構。余民寧、陳嘉成(1998)應用於評量技術的開發， 用來了解學童學習困難和診斷學習缺陷，其研究發現不同學習類型之學童的概 念結構的品質和相似性皆不同；而且不同學習類型之學童的概念結構，與標準 答案的概念結構之相似性程度並不相同。
綜觀 Bart and Krus (1973) 所提出的次序理論，其後續研究主要應用於試題 之階層結構的探討，並未以解題規則為分析單位，因此，本研究利用次序理論 的觀點，探討解題規則的階層結構及其與專家之階層結構的相似性比較，有其 必要和可行之處。
第三章 研究方法
本研究使用研究者參閱相關文獻所編製的比例問題測驗，並應用次序理論 分析受試者解題規則的階層結構，和比較不同年級及性別的受試者之解題規則 結構圖的差異。本章共分為七節，依序說明研究架構、研究對象、研究工具、 比例問題的解題規則、解題規則的次序性分析、解題規則結構圖的比較方法和 資料處理。第一節 研究架構
本研究旨在探討國小高年級個別學童之比例問題的解題規則之次序性和階 層結構，並進一步比較不同年級與性別之學童與專家的解題規則結構圖相似 性。根據研究目的及相關文獻的探討，提出如圖 3-1 之研究架構： 圖 3-1 研究架構圖 評閱比例問題的解題規則 和次序理論的相關文獻 比例問題測驗 次序理論分析 分析： 1.個別受試者比例問題解題規則的次序及繪製階層結構圖。 2.個別受試者不同語意類型之比例問題解題規則的次序階層結構。 3.個別受試者不同數字關係之比例問題解題規則的次序階層結構。 4.不同年級及性別之解題規則結構圖的差異比較。 階層結構圖比較分析 整理訂定比例問題解題規則第二節 研究對象
本研究係以國民小學高年級學童為對象。囿於時間、人力及經費等因素， 本研究之研究樣本來自彰化市、台中市及台中縣國民小學高年級學童共 923 名， 刪除資料無效樣本 47 名後，共得 876 名，如表 3-1 所示。 表 3-1 研究樣本一覽表 縣市 學校代號 規模 年級 施測人數(人) 五 60 01 71 班 六 135 五 65 02 48 班 六 64 五 28 03 21 班 六 34 彰化市 04 12 班 五 47 05 60 班 五 89 五 37 06 100 班 六 34 07 34 班 六 31 08 50 班 六 30 台中市 09 74 班 五 35 五 32 10 52 班 六 31 五 24 11 41 班 六 30 12 31 班 六 28 13 20 班 五 22 台中縣 14 6 班 五 20 合計 876第三節 研究工具
本研究根據研究目的和文獻探討的結果，編製比例問題測驗做為研究工 具，茲說明如下：壹、編製比例問題測驗
一、測驗之內容設計
本研究編製的比例問題測驗，題目內容係參考相關文獻(呂宜玲，2002；陳竹村等，2002；楊錦連，1999)後編製，共有 27 題試題。主要了解受試者解比 例問題的解題規則之次序性和階層結構，並比較不同年級及性別的受試者之解 題規則結構圖的差異。 在語意類型分類方面，研究者參酌 Lamon (1993a) 的語意類型題目，並與 陳竹村等(2002)的對等關係問題之分類相結合，再考量以較貼近兒童生活經驗和 不受物理性質知識所影響的語意類型為主，將探究比例問題之三種語意類型： 即交換問題、組合問題和母子問題，與兒童解題規則使用之次序階層的特徵。 在數字關係方面，本研究參酌陳竹村等(2002)和劉祥通(2004)的研究，將比 例關係式「 :a b=c x: 」依數字之比值關係分為以下四種型式，但因第一型式的 題目只有兩題，因此僅就第二型式、第三型式和第四型式來作探討： (一)第一型式：b 和c 皆是 a 的整數倍，如： 8:16=24: x； (二)第二型式：只有b 是a 的整數倍，如： 8:16=2 : x； (三)第三型式：只有c 是 a 的整數倍，如： 8 : 2=24: x； (四)第四型式：b 、c 與 a 之間為非整數倍，如：12:8=9 : x。 另外，由於 Lo and Watanabe (1997) 也指出，數值大小是影響學童比例問題 解題表現的因素之一，而本研究目的不在探討數值大小與計算能力，因此，題 目中所涉及的數字盡量簡單。 綜合上述，本研究之比例測驗各題的雙向細目表如表 3-2 所示： 表 3-2 比例測驗各題試題類型之細目表 語意類型 數字關係 交換問題 組合問題 母子問題 b 和c 是 a 的整數倍 1 3 - 只有 b 是 a 的整數倍 2 4 5 6 - 只有 c 是 a 的整數倍 7 8 11 9 13 16 10 19 27 12 14 15 17 20 21 18 22 25 - b 、c 皆不為 a 的整數倍 23 24 26
二、測驗編製過程
研究者依上述比例問題測驗之內容設計架構，編製 27 題比例測驗試題，以 應用題之記錄解題過程的方式來進行。並針對題目內容與研究目的切合度，語 意表達是否清楚，商請兩位對數學教育學有專精的教授，和數位具有教學實務 十年以上的教師進行試題修正工作，以符合學童的經驗背景，並形成預試試卷。 研究者於 2005 年 12 月至 1 月間進行預試，選定彰化縣和台中縣之國小五、 六年級各兩班進行施測，共計 4 班，計 109 名，施測後本測驗的 Cronbach α係 數為 0.907，顯示本測驗具有良好之信度。但在要求本測驗能達到更佳品質的標 準之下，從預試資料中學童的作答反應，對每一試題仔細斟酌語意措辭並作細 部修正；且因本研究目的不在探討數值大小與計算能力，所以再調整本測驗內 容的數值，以避免因計算過程的繁複，導致學童作答時間和注意力影響其作答 反應。預試題目修正理由詳見附錄一。預試試題經過上述過程縝密修正後，形 成比例問題之正式測驗試卷，詳見附錄二。三、信度與效度
信度與效度是鑑定測驗之品質優劣的重要指標(郭生玉，1989)。在信度方 面，本研究以 Cronbach α係數，求得測驗之內部一致性、可靠性和穩定性。一 般而言，α係數值在 0.70 以上為可接受的最小信度值；而本測驗的 Cronbach α 係數為 0.882，顯示本測驗具有良好之信度。 在效度方面，本研究針對比例問題的語意類型和數字之比值關係，進行試 題細目表分析，內容如表 3-2。研究之三種語意類型和四種數字關係類型，測驗 均有涵蓋，因此本測驗具有內容效度。且研究者亦商請兩位台中教育大學之學 有專精的教授和數位國小教學經驗豐富的教師協助審查試題 ，以建立專家效 度，力求測驗之優良品質。貳、統計及繪圖軟體
本研究所使用之電腦軟體包括： 一、利用 SPSS (12.0 WINDOW 版)進行筆試資料的分析統計。 二、使用 SAS (12.0 WINDOW 版)撰寫程式，以便進行資料分析。 三、以林原宏、黃國榮(2005)所發展的次序理論 OT 軟體，繪製出解題規則次序 階層結構圖。
