肆、未知數位置

陳竹村等(2002)指出，在比例關係式「 :

a b = c d

稱為逆溯活動；並從概念發展的觀點，認為正向活動易於逆溯活動。而本研究 是探討語意類型和數字關係與學童解題規則的使用次序，因此將未知數皆控制 在正向活動中第四比例項 d 的位置。

第四節 我國數學課程中關於比例問題之內容

本研究開始於 2005 年 9 月，也就是九十四學年度，研究對象之六年級學童，

前三年使用的是八十二年版課程，後三年使用的是九十年十月公佈的九年一貫 暫行綱要；而五年級兒童則皆使用九十年十月公佈的九年一貫暫行綱要。另外，

九十四學年度自國小及國中一年級逐年級實施的九年一貫總綱，也就是本研究 對象之五、六年級學童到國中一年級時將使用之課程，因此將上列三種課程版

本之比例部份列舉如下：

依據八十二年版國小課程標準(教育部，1993)，在「數量關係」領域的目標 中，指出國小高年級學童應了解比的關係，亦即國小六年級學童對比、比值、

比例應有初步認識，且能理解數量的簡易變化關係。而八十二年版部編本(2001) 在五年級即出現比例問題(對等問題)的教學單元，以整數對整數、分數對整數的 整數倍轉換之正向、逆溯活動為主；六年級則以整數對整數、分數對整數的單 位分數倍、真分數倍轉換之正向、逆溯活動為主。

根據民國九十年公佈的九年一貫暫行綱要(教育部，1993)中，比例概念首度 出現在國小六年級，其相對應之能力指標為「數與量」主題中的「N-3-15：能 在情境中理解比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、ppm)的意義」；

以及「代數」主題中之能力指標「A-3-4：能比較生活情境中數量關係的異同及 其表徵式的異同與使用時機」。而國中一年級之相對應指標為「代數」主題中之 能力指標「A-3-10：能瞭解幾何圖形及形體變動時，其幾何量對應變動情形」；

國中二、三年級之相對應指標為「幾何」主題中之能力指標「S-4-7 能辨別檢驗 兩圖形是否相似」和「S-4-8 能運用相似三角形的性質進行簡易測量」。

依據民國九十二年公佈的「九年一貫數學學習領域綱要」中，說明比例、

比率和比值是有理數的應用課題，國小六年級學童必須了解比例的意涵，亦即 理解比是一種奇妙的平分方式，並透過比的方式，再引入比值，解決比例問題。

國中一年級學童則須熟練比例式運算，並透過比例概念，發現比例、正比和反 比處處存在生活情境中，而國中三年級學童必須理解幾何形體放大或縮小時，

其邊長或面積的變化關係。另外，綱要中訂定國小六年級須達到的能力指標為

「數與量」主題中的「N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解 決生活中的問題」；「幾何」主題中的「S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長 度、角度與面積的影響，並認識比例尺」；與「代數」主題中之「A-3-07 能運 用變數表示式，說明數量樣式之間的關係」的次要細目「6-a-04 能在比例的情

境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數」。而國中一年級學童須達成的指標 為「數與量」主題中之「N-3-05」和「N-3-07 能熟練比例式的基本運算」；國 中三年級則須達成「幾何」主題中的「S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似」和

「S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量」。

綜觀歷年的數學課程標準與綱要，國小高年級學童在認知發展上具備足夠 的知識理解比例問題，且 Kaput and West (1994) 提出可在國小三年級階段，以 學童的非正式解題策略，作為進行比和比例的教學活動的開始。Lo and Watanabe (1995) 亦支持其主張。因此，本研究以高年級學童為研究樣本是可行且恰當的。

且不論學童是否能成功解決比例問題，皆有其正確或錯誤的解題規則。而本研 究即在探討解題規則的次序階層結構及不同年級與性別之結構圖的差異比較。

第五節 比例問題之相關研究

國內外有關比例概念發展的研究甚多，而關於比例問題解題規則之研究的 探究，分述如下：

翁宜青(2002)及翁宜青、劉祥通(2003)利用晤談法，針對一位學過乘法和簡 單分數的三年級學童，探討不同數字關係之比例問題，與其所採取的解題策略 之間的關係。研究結果發現此學童能分別依序以累加法、數量分解和單價法及 倍數法解決不同數字關係的比例問題。而對於比例項間彼此皆非整數倍的問 題，則因不了解帶分數與單位量的概念，導致無法解題成功。

莊玉如(2005)以訪談法探討未接受過比例教學的九位國小四年級學童，其在 比例問題的解題表現。研究結果顯示，不同數字關係和不同題目類型的比例問 題，學童使用的解題策略亦不同；且部分策略被使用的次數多；部分策略則被 使用的次數極少。另外，學童因受整數基模的影響，解題歷程有避開分數和小 數計算的特徵。

Karplus et al. (1983) 探討在不同層次高低之比例問題下，學童使用解題規

則的情形。其研究結果顯示，在數值型態為整數之比例問題上，男、女生之比 例推理能力無差異；在數值型態為分數之問題上，則男生表現較優。

Lamon (1993a) 針對未學過比例概念的六年級學童進行晤談，了解其在不同 語意類型的比例問題之解題思維和策略。其研究發現，對於部分-部分-全體之問 題，學童傾向使用像累加法等較簡單的策略解題；而放大縮小問題是學童感到 最困難的問題類型，因學童不能確認這類問題情境的乘法本質。而在聯想問題 (組合問題)上，學童能使用較複雜的解題策略解題，因為這類問題能以具體圖示 幫助解題。

Lo and Watanabe (1997) 針對一位國小五年級學童，探究其解題策略及影響 其解題的因素。研究結果發現，原本只會使用累加法和公倍數法學童，經過教 學實驗後，會因不同的數字關係和語意情境類型，而選擇單價法或倍數法；而 遇到數字關係為非整數倍的問題，便會採取其獨特解題方法，亦即使用累加法 和公倍數法，其相信這兩種方法最後一定會得到正確答案。可見這位學童對於 不熟悉的題目，會有彈性的選擇其有能力解決此問題的解題策略。由此可知，

學童解題規則的使用上具次序性。因此，本研究欲探討個別受試者在比例問題 之解題規則的次序階層結構，有其必要與可行之處。

林福來等(1985)以大量筆測方式，了解國中生解題策略的使用情形；並以不 同難易之數字關係問題的通過率代表比例推理能力的層次高低，探討學童比例 概念的發展情形。研究結果之一顯示，公式法最多學童使用，其次為倍數法和 單價法。研究結果之二顯示，年級愈高，則比例推理能力也隨之成長；而數字 關係的難易也影響比例推理能力的發展。

魏金財(1987)利用縱貫生長(longitadinal growth)研究法，探討國小五、六年 級學童處理比例問題的解題策略類型及解題策略隨生長而變遷的情形。其研究 結果顯示，從解題策略使用頻率較高的觀點，不同層次(不同數字關係)之比例問 題與解題策略間有交互作用現象；而對於相同的比例問題，除了六年級發展出

公式法外，其他各解題策略皆未隨年齡改變而有差異。

何意中(1988)也以筆測和晤談法了解國小三至五年級的六十位學童在比例 問題上的解題策略與錯誤類型。其發現之一為學童最常使用單價法和倍數法，

最少使用公式法。這結果與林福來等(1985)之結果不同，可見國中和國小學童，

其解題策略之使用次數多寡不同。研究發現之二為，三年級學童使用累加法的 次數最多，顯示年級愈低欲容易逃避乘法；而在錯誤的解題策略中，則屬任意 運算這一類的使用次數最多，顯示國小學童對加減乘除的運算意義不了解。

楊錦連(1999)探究不同城鄉和年級的國小高年級學童在不同數字關係和語 意類型之比例問題的解題表現。其研究採質性和量性並行的的方式，先大量施 測，以學童之答對通過率，作為探討不同數字關係和語意類型之比例問題的困 難度高低之依據，並分析各解題規則的使用率；再訪談十位不同解題層次的學 童，了解其解題策略並歸納對解比例問題有幫助的知識和能力。其研究結果顯 示，部分類型之語意問題有困難度高低的差異性，亦即在國小五、六年級學童 的解題表現中，交換問題和組合問題最簡單，密度問題和母子問題次之，而伸 縮問題最難；而交換問題和組合問題的解題表現無顯著差異，其可能原因為交 換問題和組合問題的語意在本質上是非常相似的。再以不同高低層次的學童使 用不同之解題策略，代表其所具備數學知識和能力之難易的觀點，得到學童能 力層次由低而高，依序使用的解題策略為具備約分和擴分的計算能力、單價法、

單價法和倍數法混合使用。另外，大部分解題錯誤者皆使用絕對思考的方式。

Misailidou and Williams (2003) 整理相關文獻進行編製試題、並以 Rasch 模 式之試題反應理論檢驗，再以晤談提供診斷解釋之依據，發展出診斷比例推理 之解題策略的試題庫。

綜合上述相關文獻，就研究方法而言，分成質性和量性兩大研究取向。一 是以質性的觀察、晤談和記錄，深入了解單一或少數受試者的解題思維(翁宜 青，2002；翁宜青、劉祥通，2003；莊玉如，2005；Lamon, 1993a; Lo & Watanabe,

1997)；二是由量性的紙筆測驗和統計分析方法，以全體受試者為分析對象，歸 納出各種解題規則使用次數的多寡情形(何意中，1988；林福來等，1985；楊錦

1997)；二是由量性的紙筆測驗和統計分析方法，以全體受試者為分析對象，歸 納出各種解題規則使用次數的多寡情形(何意中，1988；林福來等，1985；楊錦