結論

本研究以一致性共旋轉法推導一個雙對稱斷面開口薄壁梁元素，探討 三維梁之非線性動態反應，並比較一致性共旋轉推導法(CCR)與共旋轉全拉 格朗日推導法(CRTL)推導之梁元素的差異及本在非線性動態分析時的效率 及準確性。

本文中推導的梁元素有兩個節點十四個自由度。本研究在移動元素座 標上描述元素的變形，在一個與當前的移動元素座標重合的固定元素座標 上，推導出元素節點在當前固定元素座標的擾動位移和擾動旋轉與元素節 點旋轉參數的擾動量的關係。一致性共旋轉法在推導元素的節點變形內力 時，須過濾掉擾動位移中剛體運動的部分，在推導元素的節點慣性力時需 要先推導移動元素座標的角速度及角加速度，且節點慣性力的表示式相當 複雜。本研究將元素節點慣性力表示成元素節點之絕對速度、加速度、角 速度、角加速度的函數，本研究發現以一致性共旋轉推導法與共旋轉全拉 格朗日推導法得到的節點慣性力僅有一些小差異，但這些差異會在元素增 加時會趨近於零。由本研究推導的結果及分析例題的數值結果可以得到以 下結論：

一致性共旋轉法(CCR)推導出之節點變形力 與 CRTL 未經轉換矩陣 的節點變形力相同，差異為轉換矩陣的不同，剛度矩陣也是因為轉換矩陣 的不同而有所差異，節點慣性力在元素數目較多時與 CRTL 相同，質量矩 陣及陀螺矩陣不考慮耦合項與 CRTL 之質量矩陣 及陀螺矩陣 相同。由 第四章的數值例題結果發現，除例題一與例題六外，CCR 與 CRTL 的結果 幾乎一樣，例題一之結果在元素數目增多時，CCR 與 CRTL 的結果幾乎相 同，這與第二章的理論相符。例題六之結果，在前段的時間也與 CRTL 幾 乎相同，後段時間的結果雖有差異但趨勢仍相同，所以由上述之結果可得，

D

f

m_ c_

CCR 與 CRTL 在動態分析時，迭代次數以及分析的效率差別不大，且在大 部分的題目結果幾乎相同。

第四章的數值例題中，例題一、二、三、四、七、八，使用 Newmark 積分法與 CDM，其結果幾乎相同，在例題一、二、三、七，Newmark 積分 法的效率較 CDM 好，在例題四、八，則是 CDM 效率較好，由上述的結果 可以發現 Newmark 積分法與 CDM 在不同題目之動態分析的效率上，各有 優劣。

在靜態分析時兩種推導法 CCR 與 CRTL，皆無明顯優勢，但在動態分 析時，建議採用共旋轉全拉格朗日法(CRTL)進行推導，雖然兩種推導法在 動態分析的結果相同，但一致性共旋轉法(CCR)在推導時較為繁瑣以及慣性 力的表示式相當複雜。

參考文獻

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表一 例題二之 I 型斷面性質

Section geometry of I section:

ft

d 1.13833 ,b 0.66625 ft ft

t_f 0.044167 ,t_w 0.0254167 ft A (ft²) 8.5539583310^-2 I y (ft⁴) 2.0075424410^-2 I z (ft⁴) 2.1784191710^-3 KI (ft⁶) 7.1437422310^-3 J (ft⁴) 4.4014226510^-5 I  (ft⁶) 6.5377778310^4

yz

 (ft⁶) 6.5134977310^4

表二 例題三之I 型斷面性質

Section geometry of I section:

, m

d 0.28194 b0.262636m , ,

m t_w 0.017272 t_f 0.028448 m

A (m²) 1.8822910^2 I (my ⁴) 2.5746410^4 I (mz ⁴) 8.5990710^5 KI (m⁶) 7.7390210^6 J (m⁴) 4.4175710^6 I (m ⁶) 1.3922610^6

yz

 (m⁶) 1.3744610^6

表三 例題四之矩型斷面性質

Section geometry of rectangle section:

, m

b0.0254 h0.003175m A (m²) 8.064510^5 I (my ⁴) 6.774610^11 I (mz ⁴) 4.3357410^9 KI (m⁶) 4.2697410^13 J (m⁴) 2.4963510^10 I (m ⁶) 3.4016610^15

yz

 (m⁶) 3.5165210^15

表四 例題五之I 型斷面性質

Section geometry of I section:

ft

d 1.80167 ,b0.70167ft ft

t_f 0.0775 ,t_w 0.04833ft A ( ft²) 0.18834722 I (y ft⁴) 0.09886622 I (z ft⁴) 4.477633110^3 KI ( ft⁶) 7.460086910^2 J ( ft⁴) 2.797193310^4 I ( ft⁶) 3.36810^3

yz

 ( ft⁶) 3.31747310^3

表五 例題六之矩型斷面性質

Section geometry of rectangle section:

m

b0.1 ,h0.05m

A (m²) 510^3

I (my ⁴) 1.0416710^6 I (mz ⁴) 4.1666710^6 KI (m⁶) 8.3767410^9 J (m⁴) 2.8585210^6 I (m ⁶) 3.1754210^10

yz

 (m⁶) 5.122310^10

表六 例題六質心位置分析

Present Analytical

Time

(sec) X₁^m(10^2m) X₂^m(m) X₃^m(m) X₁^m(m) X₂^m(m) X₃^m(m) 0 0.0 0.0 0.83333 0.0 0.0 0.83333 2.5 -0.00115 0.1608 0.83333 0.0 0.1606 0.83333 5 -0.00642 1.2860 0.83308 0.0 1.2850 0.83333 7.5 0.05195 4.43402 0.83284 0.0 4.3369 0.83333 10 0.10072 10.2881 0.83369 0.0 10.2800 0.83333 12.5 0.05660 19.9330 0.83337 0.0 19.9237 0.83333 15 0.19428 33.4371 0.83337 0.0 33.4250 0.83333 17.5 0.28706 50.7986 0.83295 0.0 50.7838 0.83333 20 0.48615 72.0182 0.83271 0.0 72.0000 0.83333

其中X_i^m (i1,2,3)為質心的座標，總體座標的原點為C 點t0時的位置。

表七 例題七之I 型斷面性質

Section geometry of I section:

ft

d 1.80167 ,b0.70167ft ft

t_f 0.0775 ,t_w 0.04833ft A ( ft²) 0.18834722 I (y ft⁴) 0.09886622 I (z ft⁴) 4.477633110^3 KI ( ft⁶) 7.460086910^2 J ( ft⁴) 2.797193310^4 I ( ft⁶) 3.36810^3

yz

 ( ft⁶) 3.31747310^3

表八 例題八之十字斷面性質

Section geometry of symmetric cross section:

m

L2.4 ,b0.06m,h0.1m m

t 510^3 , 7.810³kg m³

2

1010

7

8.07692307 N m

G 

A (m²) 7.7510^4 I (y m⁴) 4.172410^7 I (z m⁴) 9.0989610^8 KI (m⁶) 6.757167510^-10 J (m⁴) 6.458333310^-9 I ( m⁶) 1.05544710^-12

yz

 (m⁶) 6.806640610^-13

x

X₃S

x2

x3

s

1

2

u P

) 0 , 0 , (l

v w

X₂S

X₁S

P

xP

x1

P

Q z

X₂S

X₃S

G y X₃

O X X₂G

1G

圖2.1 元素座標與元素截面座標

1 1

( t ) δ u

u 

1

x

2

r ( t  δt ) δ r ) t ( r Q

Q

x

1

x

3

1

r δ

1

( t ) 

  

) t ( ), t ( r r

1 1

, x x

2 2

, x x

3 3

, x x

1

r ( t  δt )

圖2.2 固定元素座標與移動元素座標

b a ^e b ~

圖2.3 旋轉向量

1 1

,  B

2 2

,  B

12 12

,  m

22 22

,  m

2 32

, w f

32 32

, 

1

m

21

,v f

2 12

,u f

1 31

, w f

21 21

,  m

1 11

,u f

31 31

, 

m f

22

,v

2

11 11

,  m

2 1

圖2.4 元素節點參數與節點力

圖2.5 決定

1S

x

2

1

θ

n

e

1

S

x

2

1

θ

n



S1

e

1

S

x

3

1

section end

Deformed x

1

x2軸與x₃軸之第一步驟

圖2.6 決定

x

₁₂S^



11



11

1



n

x

3

e

2

e

3

x

₃₁S^

1 11

, x x

^{S }

1 11

, e

e

^{S }

e

₂₁^{S }

31S 

e

e

3

x

₂₂S^

x

₃₂S^

1 12

, e e

^{S }

S 

e

22 32S 

e



12



12

e

2

1

2

12 11



 

x

2

x

₂₁S^

x2軸與x₃軸之第二步驟

X Rigid arm

X

P

P

X

P

P 1

R

3

2

圖 2.7 剛性桿受力作用機制圖

P(t)

L B A

L

50 P(t)

0 1 2

圖4.1 例題一懸臂直角梁之幾何及受力圖

U , X

₁^G

W

G

,

3

X

^G₂

, V

X

30

0 10 20

-8 0

8 W

_B

Displacement

Time

CCR (4Ele.) CCR (8Ele.) CRTL (4Ele.) CRTL (8Ele.) W

_A

圖4.2 例題一 Newmark 積分法位移—時間曲線圖

0

0 10 20 3

-10 -5 0 5 10

W_A

Displac

Time

ement

Newmark, t=0.15 CDM, t=210^-3 W_B

圖 4.3 例題一數值方法不同之 A、B 點X₃^G方向位移比較

圖4.4 例題二 I 型斷面簡支梁之幾何及受力圖 sectio

C B

A P P

2

L L 2

W , X^G₃

V , X^G₂

, X₁^G U

S2

X

3S

X

tf

tf

tw

b d

5in . 0

5in

0 P0

) P(t

) t(s

Loading

 point

Load of

History Time

n Cross

圖 4.5 例題二簡支梁受偏心軸力之負荷－位移曲線圖

10

0 2 4 6 8

0 50 100 150 200 250

-U_B -W_C

-V_C

Load P(kip)

Displacement(ft)

0 1 2 3 -6

-3 0

Displacement U B(10-3 ft)

Time(10

^-2

s)



ewmark,



t = 2



10

^-4

s



ewmark,



t = 9



10

^-5

s CDM,



t = 1



10

^-5

s

P

₀

=50kip

圖4.6 例題二數值方法不同端點 B 之位移—時間曲線圖

0.0 0.1 0.2 0.3 -4

-2 0

V

_C

P

₀

=50kip

Displacement (10-2 ft)



ewmark,



t = 2



10

^-4

s

Time(s)



ewmark,



t = 9



10

^-5

s

W

_C

圖4.7 例題二數值方法不同端點 C 之位移—時間曲線圖

0.0 0.1 0.2 0.3 -4

-2 0

-U

_B

W

_C

V

_C

P

₀

=50kip

Displacement (10-2 ft)

T ime(s)

圖4.8 例題二簡支梁受偏心軸力之位移—時間曲線圖(P₀ 50kip)

0.0 0.1 0.2 0.3 -10

-5 0

W

_C

V

_C

-U

_B

P

₀

=100kip

Displacement (10-2 ft)

Time(s)

圖 4.9 例題二簡支梁受偏心軸力之位移—時間曲線圖( P₀ 100kip)

.3

0.0 0.1 0.2 0

-0.4 -0.2 0.0

V

_C

W

_C

-U

_B

P

₀

=150kip

Dt)isplacement (f

Ti me(s)

圖4.10 例題二簡支梁受偏心軸力之位移—時間曲線圖(P₀ 150kip)

B X₁^G,U M

01M . 0 V

X₂^G, W

X₃^G,

M

A

L C

S2

X

3S

X

tf

tf

tw

b d

0 M0

) (t M

) t(s

圖4.11 例題三 I型斷面簡支梁之幾何及受力圖 sectio

Load of

History Time

n Cross

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0

1 2 3 4 5 6

-W_C -U_B

-V_C

m)

圖4.12 例題三簡支梁受力之負荷—位移曲線圖

Load M (MN·

Displacement (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 -0.3

-0.2 -0.1 0.0

U

_B

V

_C

W

_C

Displacement (m)

Time(s)

Newmark,



t = 2



10

^-3

s Newmark,



t = 1



10

^-4

s CDM,



t = 1



10

^-5

s

圖4.13 例題三簡支梁受力之位移—時間曲線圖

圖4.14 例題四矩形斷面固端梁之幾何及受力圖

W , X

₃^G

V , X

^G₂

1

, U X

^G

F

D C L

A B

C

D F

h

e

X

S S3

X

2

N) (10 F(t)

³

(sec) t 2.844

Load of

History

Time

0 1 2 3 4 5 0

5 10 15 20 25

Displacement -W C (10

Newmark, t=310^-5s Newmark, t=110^-5s CDM,t=310^-6s

m)-3

Time(10^-3s)

圖4.15 例題四數值方法不同之中點C位移(Case (a) )

0 1 2 3 4 5 -1.0

-0.5 0.0 0.5

Newmark,



t = 1



10

^-5

s Newmark,



t = 2



10

^-6

s CDM,



t = 5



10

^-7

s

Displacement V C

Time(10

^-3

s)

圖4.16 例題四數值方法不同中點 C在 方向的位移(Case (b) ) (10-3 m)

G2

X

0 1 2 3 4 5 -20

-10 0

Newmark,



t = 1



10

^-5

s Newmark,



t = 2



10

^-6

s CDM,



t = 5



10

^-7

s

Displacement W C (10-3 m)

Time(10

^-3

s)

圖4.17 例題四數值方法不同中點 C在X^G₃ 方向的位移(Case (b) )

0 1 2 3 4 5 -0.3

-0.2 -0.1 0.0

Newmark,



t = 1



10

^-5

s Newmark,



t = 2



10

^-6

s CDM,



t = 5



10

^-7

s

Displacement rad) ( C

me(10

^-3

s)

C的

Ti

圖4.18 例題四數值方法不同中點 轉角(Case (b) )

X

X

X ,W X ,V

X ,U B

A

^G

1 G2

G3

P C

Q

L

L

X₂S

X₃S

b

d

tf t_f

tw

0 P0

) (t P

) (s t

Load of

History Time

section Cross

圖 4.19 例題五直角懸臂梁之幾何及受力圖(Case (a) )

圖 )

Load of

X X ,W

X ,V

B A

G2 G3

C

4.20 例題五直角懸臂梁之幾何及偏心受力圖(Case (b)

section

Cross Time History

X X ,U

P

L

L

G1

X₂S

X₃S

b d

tf t_f

tw

0 P0

) (t P

) (s P t

0 4 8 12 16 0

20 40 60

W_C U_C

L

圖4.21 例題五C 點之負荷－位移曲線圖(Case(a) )

oad P (kip)

Q=0

Q=0.001P Q=0.01P

V_C

Displacement (ft)

0 4 8 12 16 0

20 40 60

V_C -W_C

U_C

Load P(kip)

Displacement(ft)

圖4.22 例題五 C點之負荷－位移曲線圖(Case(b) )

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0

0.2 0.4 0.6

V

_C

Di

Time(s)

P

₀

= 10kip Q = 0 U

_C

圖 4.23 題五C點之位移

)t (ftlacemensp

例 (Case(a), kipP₀ 10 , Q0)

0 1 2 3 0.0

0.2 0.4 0.6

W

_C

V

_C

U

_C

P

₀

= 10kip Q = 0.001P

Displacement (ft)

T

圖4.24 題五C 點之位移(Cas

ime(s)

例 e(a), kipP₀ 10 , 0.001PQ )

0 1 2 3 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

V

_C

W

_C

U

_C

P

₀

= 10kip Q = 0.01P

Displacement (ft)

ime(s) T

圖 4.25 例題五 C 點之位移(Case(a), P₀ 10kip, Q 0.01P)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8

V

_C

U

_C

P

₀

= 15kip Q = 0

Disceft

Time(s)

,

)nt (empla

圖4.26 例題五 C 點之位移(Case(a) kP₀ 15 ip, 0Q )

0 1 2 3 -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6

0.8 U

_C

V

_C

W

_C

P

₀

= 15kip Q = 0.001P

Displacement (ft)

Time(s)

圖 4.27 例題五 C 點之位移(Case(a), P₀ 15kip, 0.001PQ )

0 1 2 3 0

2 4

V

_C

W

_C

U

_C

P

₀

= 15kip Q = 0.01P

Displacement

ime(s)

(ft)

T

kip 15 P₀ 

圖 4.28 例題五 C 點之位移(Case(a), , Q 0.01P)

0 1 2 3 -0.5

0.0 0.5

W

_C

U

_C

Disce (ft

Time(s)

P

₀

= 10kip

V

_C

4.29 例 C 點之位移

)ntempla

圖 題五 (Case(b), kipP₀ 10 )

0 1 2 3 -2

-1 0 1

W_C V_C U_C

P₀=15kip

Displacement (ft)

Time(s)

圖4.30 例題五 C 點之位移(Case(b), kipP₀ 15 )

F

1

F

2

F

1

F

3

M

1

L

1

L

2

A

B C D

E

F

2

M

1

b

h _X

^S₂

S3

X

Load of

History Time

10 20

0 t (s)

1

N) (10 F(t)

³

圖4.31 例題六三維矩形斷面梁之幾何及受力圖

U , X

₁^G

W

, X

₃^G

V

,

X

^G₂

0 5 10 15 20 -20

0 20 40 60 80

W_E V_E

Displacement(m)

Time(s) CCR

CRTL [27]

U_E

圖4.32 例題六 E 點之位移

0 5 10 15 20 0

20 40 60 80

CCR CRTL

Displacement of mass center

Time(s)

(m) Analytical

圖4.33 例題六質心在X₂^G位移

圖4.34 例題六梁在三維空間中之變形位置圖(t=0s－t=20s) -10

0 10 -10

-5 0 5 10

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t=0s

X^G₁(m) X^G₂(m)

XG 3(m)

t=20s

X₁^G W

X₃^G,

V X₂^G,

P L

A _C B

2500

,U

2S

tf

tf

X X₃S

b

e

tw

d

P

0 P0

) (t P

) (s t

Load of

History Time

圖4.35 例題七 I 型斷面梁中點承受一偏心力之結構圖

section

Cross

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0

2 4 6 8

W_C(in)

-V_C(in) -_C(rad)

Load P (105 lb)

Displacement

圖4.36 例題七 I 型斷面梁中點承受偏心力之負荷－位移曲線圖(e0)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0

2 4 6

Load P(105 lb)

Displacement

W

_C

(in) -V

_C

(in)

-

_C(

rad

)

圖 4.37 例題七 I 型斷面梁中點承受偏心力之負荷－位移曲線圖(e b/2)

0 2 4 6 8 -6

-3 0 3

P₀=110⁵lb

Newmark, t=510^-4s Newmark, t=210^-4s CDM, t=110^-5s Displacement V C(10ft)-2

Time(10^-2s)

) 圖 4.38 例題七中點 C 在X₂^G方向的位移－時間曲線圖(P₀ 10⁵lb

8

0 2 4 6

0 1 2 3

P₀=110⁵lb Newmark, t=510^-4s

Newmark, t=210^-4s CDM, t=110^-5s

Displacement W C(10-2 ft)

Time(10^-2s)

圖 4.39 例題七中點 C 在X₃^G方向的位移－時間曲線圖(P₀ 10⁵lb)

0 2 4 6 8 -0.2

-0.1 0.0

P

₀

= 1



10

⁵

lb

Newmark,



t = 5



10

^-4

s Newmark,



t = 2



10

^-4

s CDM,



t = 1



10

^-5

s

Displacement  Cd)(ra

Time(10

^-2

s)

C 的 ⁵lb)

圖4.40 例題七中點 轉角－時間曲線圖(P₀10

8 0.1

0 2 4 6

-0.2 -0.1 0.0

Disen C

Time(10^-2s)

placmet V(ft)

Newmark, t=510^-4s Newmark, t=210^-4s CDM, t=110^-5s

P₀=210⁵lb

圖4.41 例題七中點 C 在X₂^G方向的位移－時間曲線圖(P₀ 210⁵lb)

0 2 4 6 8 0

2 4 6 8

P₀=210⁵lb Newmark, t=510^-4s

Newmark, t=210^-4s CDM, t=110^-5s

Displacement W C(10-2 ft)

Time(10^-2s)

圖4.42 例題七中點 C 在X₃^G方向的位移－時間曲線圖(P₀ 210⁵lb)

0 2 4 6 8 -0.4

-0.2 0.0

P

₀

= 2



10

⁵

lb Newmark,



t = 5



10

^-4

s

Newmark,



t = 2



10

^-4

s CDM,



t = 1



10

^-5

s

Displacemt )

Time(10

^-2

s)

C 的 )

(rad Cen

5lb

10 圖 4.43 例題七中點 轉角－時間曲線圖(P₀ 2

X₂S

X₃S

P

h

b t

t

U X₁^G, W

X₃^G,

V X₂^G, P

L A

C

B

2500

section Cross

Load of

History Time

0 P0

) (t P

) (s t

圖4.44 例題八十字斷面梁之幾何及受力圖

3

0 1 2 3

0 1 2 4 5

圖 4.45 例題八十字斷面梁中點之負荷－位移曲線圖

LoP(4

Displacement

W_C(cm) -V_C(cm)

-_C(rad)

N)10ad

0 1 2 3 0

1 2 3

Load P(104 N)

Displacement

W_C^(cm) -V_C^(cm)

-_C(rad)

圖4.46 例題八十字斷面梁中點承受一偏心力之負荷－位移曲線圖

0 1 2 3 -1.6

-0.8 0.0

Newmark,



t = 8



10

^-5

s Newmark,



t = 3



10

^-5

s CDM,



t = 7



10

^-6

s

Displacement V C

Time(10

^-2

s)

圖4.47 例題八中點 C 在 方向的位移－時間曲線圖

0-2 m)(1

X₂G

0 1 2 3 -1

0 1 2 3

Newmark, t=810^-5s Newmark, t=310^-5s CDM, t=710^-6s Displacement W C(10-2 m)

Time(10^-2s)

圖4.48 例題八中點 C 在X₃^G方向的位移－時間曲線圖

0 1 2 3 -0.8

-0.4 0.0

Displacement  C

Newmark,



t = 8



10

^-5

s Newmark,



t = 3



10

^-5

s

(rad

Time(10

^-2

s)

)

CDM,



t = 7



10

^-6

s

圖4.49 例題八中點 C 的轉角－時間曲線圖

附錄 A 擾動後的移動元素座標及節點旋轉參數

令 t 表 示 當 前 的 時 間 ， 在 當 前 的 變 形 位 置 之 固 定 元 素 座 標 x_i

、元素節點 )

3 , 2 , 1

(i j 之斷面座標x_ij^S (i 1,2,3)(j 1,2)、元素節點的旋 轉參數_ij _ij(t) (i 1,2,3; j 1,2)及元素當前的弦長 (t)已經在 2.6 節 中決定。本附錄的推導是在元素當前的變形位置之固定元素座標上進行，

所有向量的分量都是指在該座標上的分量。令e_i表示在x_i 軸方向 的單位向量、

) 3 , 2 , 1 (i

S

eij (i 1, 2,3) (j1,2)為元素節點 j 之當前元素斷面座標 軸 x_ij^S 的 單 位 向 量 、 u_j u_j(t){u_1j,u_2j,u_{3 j}}{u_j,v_j,w_j} 及

}

2 j,

1 j, { )

j _j(t    _{3 j}

   (j 1,2)分別表示元素節點 j 當前的絕對位移向 量、旋轉向量。本文中旋轉向量 的值在當前變形位置重新設定為零，_j u_j 的分量除了u₁₂ u₂外其餘的值皆為零，但因推導移動元素座標的速度、角 速度、加速度及角加速度的需要，推導過程中仍保留全部的_j 及u 。_j

S

eij (i1,2,3) 可視為是由(2.2)、(2.25)式之旋轉矩陣依序作用在e_i 而得 到，故可表示成

i S

ij R R e

e  _{ } (A.1)

因當前_j(t)0，所以(A.1)式之e_ij^S(t)與(2.24)式之e_ij^S是重合的。

令 為在當前變形位置的移動元素座標， 表示在 軸方向

的單位向量。由 2.6 節的方法，可將 表示成

xi (i1,2,3) e_i x_i

ei u_j及 的函數，因當前的_j 0，

 )

j(t

 u_j的分量除了u₁₂ u₂外其餘的值皆為零，所以 與e_i e_i重合。

令u_j與_j (j1,2)分別代表元素節點 j 的位移向量u_j與旋轉向量_j 的擾動量， t 代表元素節點 j 受擾動的時間。當元素節點 j 受到u_j與

令u_j與_j (j1,2)分別代表元素節點 j 的位移向量u_j與旋轉向量_j 的擾動量， t 代表元素節點 j 受擾動的時間。當元素節點 j 受到u_j與

在文檔中 雙對稱斷面開口薄壁梁之幾何非線性動態分析 的一致性共旋轉推導法 (頁 86-200)