梁之剪心軸的位移及其斷面的旋轉

( )

( [

)

( I ₁ I ₁ I

Γ   a  b  (2.8)

其中 1 2

cos 1





 

a ， sin )

1 1 (

1 2 



 ^



b ，當 0，

2 1

1 

a ，

6 1

1 

b 。

當旋轉向量 有一微小變量  時會使向量 b~

繞x_i (i 1, 2,3)軸做微小旋轉

i，與的關係和 與 的關係相同[3]，即  ω

Γ() (2.9) 將(2.8)式對時間微分可得

ω Γ()Γ() (2.10) )

) ( ) ( )

( )

( ₁ I ₁ I ₁ I Γ  a  b  a 

( )

( ₁

1  I   I

b  b 

其中ω 為角加速度， 為旋轉向量對時間的兩次微分。  

由(2.8)、(2.10)式可知當 0時，Γ(0)I，Γ )( 0所以

ω  (2.11)

ω  (2.12)

即在旋轉向量0時，其對時間的一次、二次微分之值，等於角速度、角 加速度。

2.4 梁之剪心軸的位移及其斷面的旋轉

本文是在當前的移動元素座標x_i(i1,2,3)上，描述梁元素當前的的 變形，由2.1節中的基本假設可知，梁元素的變形可由其剪心軸在移動元素 座標上的位移及其斷面繞剪心軸的旋轉決定。本文以梁元素之剪心軸為參 考軸、以梁元素兩端斷面的剪心為節點，節點自由度及廣義力都在剪心上

定義，所以本文在描述梁元素的變形前，先描述其剪心軸的位移及其斷面 的旋轉。

本文中若( )表示定義於移動元素座標中的變數，則( )表示定義於固定 移動元素座標中的對應變數，在當前梁元素變形的位置上，固定元素座標 與移動元素座標是重合的，所以定義在兩座標系統的對應變數有相同的 值，但其擾動量及對時間的微分並不相同。

令梁剪心軸上的任一點P(見圖2.1) ，在不計扭轉翹曲時，變形前後的 位置向量分別為{x,0,0} 及{x_p(x,t),v(x,t),w(x,t)} ，其中v( tx, )與w( tx, )為 剪心軸的側向位移。

本文中符號( ) 代表( )_,x () x。變形後剪心軸的單位切線向 量可表示為

} , ,

{cos ₃ ₂

 _n

t (2.13)

2 1 2 3 2

2 )

1 ) ( ,

cos (   



  s

t x x_p

n (2.14)

o

w s

t x w

 



 

 



 1

) , (

2 (2.15)

o

v s

t x v

 



 





1 ) , (

3 (2.16)

x w w





 ，

x v v





 ， 1



  x s

o (2.17)

其中_n為元素座標之x₁軸和 的夾角，t s為節點1至點P間的剪心軸在不計 扭轉翹曲時，變形後的弧長，_o為剪心軸的單位伸長量(unit extension)。

由梁剪心軸上的任一點P在變形後的位置向量及(2.14)至(2.17)式，在_o、 與 都遠小於1時， 可以表示成

v_,x

w_,x x_p( tx, )

dx w v

t x

x ^x(1_o  _{x x}

) , 0

p( t

p^{( , )}



₀ ¹₂ ^{,2 1}₂ ^{,2 ) (2.18)}

由(2.18)式可知 為節點1在 方向上的位移，由移動元素座標系 統的定義方式可知 、其擾動量

1 x

u  u1

x1

u1

 及對時間的微分都為零。

由梁之形心軸單位長度的伸長量為均勻的伸長量之假設及(2.18)式，

可以得到形心軸單位長度伸長量_o可表示如下

 ^



^

 _{x x}

o ^L v w dx

L L

L ₂

, 2

, )

 

0 ( 2

1 (2.19)

^ x_p L t ^



0^{L } _o ^ v_x ^ w_x dx

2 , 2

, )

2 1 2

1 1 ( ) ,

( 

 (2.20)

其中 L 為梁元素變形前的長度， 為梁元素變形後之形心軸的弦長，

由移動元素座標的定義方式節點2在 方向的位移x₁ u₂可以表示成

u2 L (2.21)

本 文 用 元 素 斷 面 座 標 軸 的 旋 轉 表 示 梁 之 斷 面 的 旋 轉 。 令e 與 分別代表移動元素座標的

i

3) 2, ,

i 1

e (^S i x_i (i1,2,3)

, 1 (i

S

ei

3) 2,

方向的單位向量與元素

斷面座標的 軸方向的單位向量。由座標系統的定義方式可

知，在變形前 軸與 軸的方向是一致的，而且變形後 與(2.13)式的t

方向一樣。在本文中假設變形後的單位向量 的方向是由以下兩

個旋轉向量連續作用於單位向量

S

xi

x

) 3 , 2 , 1 (i

i S

xi e₁^S

3) 2, ,

1 (i

ei 來決定：

θ_n _nn (2.22)

θ_t ₁t, (2.23)

n{0,₂ (₂² ₃²)^1/2,₃ (₂² ₃²)^1/2}{0,n₂,n₃}, (2.24)

其中n 為垂直於e₁與 之單位向量，t _n定義於(2.14)式， 定義於(2.13)式，t

1為斷面繞 旋轉的角度。 t

旋轉向量θ_n作用在 上，將其轉至一中繼位置e_i e_i (i1,2,3)，此時e₁與 重合，再將θ 作用在 ，將其轉到 。若 、 、以及 已知，則元素 斷面座標 就唯一決定；反之，若e_i e^S_i 知，則旋轉向量θ_n θ 亦唯一_t 決定。

t _t e_i e_i^S

與

ei θ_n θ_t

S 與

ei 已

由(2.2)、(2.13)、(2.14)式與(2.22)－(2.24)式， 與 之關 係可表示如下

S

ei e_i (i1,2,3)

(2.25)

i i

S

i t R R e R e

e [ _{1 2}]  _

2 1 1

1

1 cos r sin r

R    

2 1 1

1

2 sin r cos r

R    

} ) cos 1 ( , ) cos 1 ( cos ,

{ _{3 2}² _{2 3}

1  _n   _n n  _n n n

r

} ) cos 1 ( cos , ) cos 1 ( ,

{ _{2 2 3 3}²

2    _n n n _n   _n n

r

其中R_稱為旋轉矩陣。因R_為_i(i1,2,3)的函數，所以本文中稱_i為旋 轉參數。

本文中假設梁元素變形後的剪心軸，其側向位移v( tx, )與w( tx, )及剪

在文檔中 雙對稱斷面開口薄壁梁之幾何非線性動態分析 的一致性共旋轉推導法 (頁 25-29)