三維梁在結構工程系統中，長久以來一直扮演著非常重要的角色，在 機械、航空太空、建築、車輛及土木工程中皆有很廣泛的應用。這些結構 在使用中，常伴隨著高速旋轉及大變形，所以在結構設計及分析時，必須 考慮其幾何非線性的動態反應。
常 見 的 幾 何 非 線 性 分 析 的 推 導 方 法 有 三 種 ： 全 拉 格 朗 日 法 (total Lagrangian formulation)、更新拉格朗日法(updated Lagrangian formulation)和 共旋轉法(Co-rotational formulation)。全拉格朗日法是用初始狀態為參考位 置來表示總位移和旋轉；更新拉格朗日法是以結構上一個平衡狀態為參考 位置來表示增量位移和旋轉；共旋轉法是利用建立在元素當前變形位置的 元素座標將剛體位移及旋轉從總位移及旋轉中扣除，剩下的位移和旋轉即 為小位移和小旋轉，因此若使用共旋轉法，原本在線性分析的元素也可以 應用在大位移、小應變的幾何非線性分析，共旋轉法在梁結構的幾何非線 性分析已經被廣泛的使用[1-13]。
共旋轉法很少應用在非線性動態分析[7]，因為將元素運動分解成剛體 運動以及變形，導致慣性項變得相當複雜[7]，所以在動態分析，大部分的 文獻採用全拉格朗日法[14-18]，慣性項較為簡潔。
文獻[7]分別使用 Co-rotational 去處理變形力項，Total Lagrangian 去處
理慣性力項。文獻[1]使用 Consistent 2D Co-rotational formulation，該方法在 動 態 與 靜 態 皆 是 採 用 共 旋 轉 法 。 文 獻 [9] 將 文 獻 [1] 的 Consistent 2D Co-rotational formulation 延伸至 3D 梁結構，因為慣性項相當複雜，所以在 慣性矩陣省略一些次要的項[7]，以加強迭代的計算效率。
文獻[2,6]在梁元素當前位置建立固定元素座標系統，元素受擾動前及 擾動後變形皆在該固定元素座標系統上描述，再利用非線性梁理論、
d’Alembert 原理、虛功原理推導梁元素的節點變形力、節點慣性力，此方法 在推導上結合共旋轉法及全拉格朗日法，文獻[2,6]將此方法稱為共旋轉全 拉格蘭日推導法(Co-rotational Total Lagrangian(CRTL) formulation)。文獻[2]
的梁元素有兩個節點，十二個自由度，並無考慮翹曲的自由度，該梁元素 保留變形力至節點參數二次項，忽略變形對慣性力之影響，且不考慮轉換 矩陣對慣性力之影響，慣性矩陣僅考慮質量矩陣。文獻[6]推導一個雙對稱 斷面的開口薄壁梁元素，該梁元素有兩個節點，十四個自由度，考慮翹曲 的自由度。該梁元素保留變形力至節點參數二次項，忽略變形對慣性力之 影響，但考慮轉換矩陣對慣性力之影響，文獻[6]推導出的慣性力項相當簡 單。
文 獻 [5] 利 用 一 致 性 共 旋 轉 推 導 法 (Consistent Co-rotational(CCR) formulation) 推導一個不對稱斷面的開口薄壁梁元素，在移動元素座標上描 述元素的變形，在一個與當前的移動元素座標重合的固定元素座標上，推
導出元素節點在當前固定元素座標的擾動位移和擾動旋轉與元素節點旋轉 參數的擾動量的關係。文中利用元素節點在當前固定元素座標的位移和旋 轉及其擾動量、速度、加速度、角速度、角加速度，推導出移動元素座標 的角速度及角加速度。最後利用非線性梁理論、d’Alembert 原理和虛功原 理，推導出元素的節點變形力、節點慣性力，文獻[5]忽略變形及轉換矩陣 對慣性力之影響，並在推導慣性力時，將節點的虛位移直接表示成定義在 當前的固定元素座標上之節點參數的變分，以簡化慣性力的表示式，其慣 性矩陣僅考慮質量矩陣。
上述的文獻[5]與文獻[6]在推導三維梁元素，方法上主要的差異為一致 性共旋轉推導法(CCR) [5,9]在移動元素座標上描述元素的變形，共旋轉全拉 格蘭日推導法(CRTL) [2,6]則在當前變形位置建立的固定元素座標上描述元 素的變形。由於文獻[5]在移動元素座標上描述元素的變形，所以其絕對加 速度的表示式包含了定義在當前的固定元素座標及移動元素座標之節點參 數對時間的一次及二次微分，導致推導出之慣性力的表示式相當複雜，又 因為文獻[5]推導的梁元素為不對稱斷面，使其慣性力更為複雜，而文獻[6]
所推導出的慣性力則相對簡單。文獻[2,6]在推導上，使用之共旋轉全拉格 蘭日推導法，僅需保留到變形參數的二次項，不過其精神接近全拉格朗日 法。因為在文獻上非線性動態分析很少使用一致性共旋轉推導法，因此本 研究利用文獻[5]之一致性共旋轉推導法(CCR)推導一雙對稱斷面之開口薄
壁三維梁元素，探討三維梁之非線性動態行為，並與文獻[6]的梁元素比較 兩種推導法的慣性項之差異與動態分析時之效率及準確性。為了方便與文 獻[6]比較，本研究以文獻[5]的慣性力表示式為基礎，將元素的節點慣性力 表示成定義在當前的固定元素座標上之節點參數對時間微分的函數。由於 完整的慣性矩陣相當複雜，文獻[5]僅考慮對應於加速度的質量矩陣，本研 究還考慮了對應於速度耦合項的慣性矩陣，即陀螺矩陣，因文獻[6]中發現 考慮陀螺矩陣會改善平衡迭代的收斂速率。
第二章為理論推導，在推導時採用一致性共旋轉法，為了描述系統的 運動、元素的變形、邊界條件、以及與結構變形位置相關的外力，定義四 套座標系統，一致性共旋轉法在當前的移動元素座標定義元素的變形、節 點變形參數，在當前的固定元素座標定義元素的節點位移向量及旋轉向 量、節點位移向量及旋轉向量的擾動量，節點速度及加速度、節點角速度 及角加速度、節點力、剛度矩陣、質量矩陣、陀螺矩陣。第三章介紹本研 究求解非線性運動方程式的數值計算方法與程序，隱積分法使用 Newmark 直接積分法和 Newton-Raphson 增量迭代法來求解非線性動態平衡方程式，
顯積分法使用中央差分法。第四章以數值例題探討本文所推導之慣性力、
剛度矩陣、質量矩陣、陀螺矩陣之效率及準確性，並與文獻[6]比較結果之 差異，以及比較 Newmark 積分法與中央差分法效率及準確性。