數值例題與結果

本章中將探討不同推導法，Consistent Co-rotational formulation(CCR) [5]

及 Co-rotational Total Lagrangian formulation(CRTL)[2,6]，在動態分析時之差 異性，以及比較不同之數值計算方法的準確性及效率。例題一、二、三、

四、七、八，除了 Newmark trapezoidal rule 外，還使用中央差分法(CDM)，

例題五、例題六只使用 Newmark trapezoidal rule，在比較數值方法的效率 時，是以分析時全部位移增量及改正量的計算次數以及所需的 CPU 運算時 間做為比較的基準，Newmark 法的計算次數即為總迭代次數，CDM 法的計 算次數則為增量次數。本章中結果的呈現，如僅有一個時間增量之結果，

則該時間增量的結果為收斂的結果，即時間增量繼續減小時，結果已無明 顯變化，如有不同的時間增量之結果，則時間增量較小的結果為收斂的結 果，本章中以該時間增量的結果來進行準確性及效率的比較。當 CCR 與 CRTL[6]結果相同時，本章中僅呈現 CCR 之結果。本章中靜態分析的結果 是使用文獻 [22]之梁元素及程式分析的結果，平衡迭代的容許誤差為

5。 10^

tol  e

本研究考慮三種類型的變形內力f_^D及剛度k_，並說明如下 第一類型變形內力: (2.101)－(2.105)式全部考慮

第二類型變形內力: (2.101)－(2.105)式中去掉加底線 的項













第三類型變形內力：(2.101)－(2.105)式中去掉加底線 及 的項











 

第一類型剛度: (2.124)式全部考慮

第二類型剛度: (2.124)式中去掉加底線 的項













第三類型剛度：(2.124)式中去掉加底線 及 的項











 

文獻[6]的變形內力 及剛度 與本文相同，本章中 CCR 所使用的慣性矩 陣為 (2.127)式之m 、(2.131)式之c ，CRTL 所使用的慣性矩陣為文獻[6]的 及 ，本文將文獻[6]之質量矩陣 及陀螺矩陣 之子矩陣的顯 式列於附錄G。

D

f k_

m

m cc_ m_ c_

例題一 懸臂直角梁

如圖4.1所示，考慮一根在X₁ X₂平面上成直角的L形懸臂梁，端點 為自由翹曲，在其肘處受 方向上的外力作用，其作用力大小如圖 4.1 所示，在時間

X3



2

t 時移除外力，讓它自由振動。此題之幾何及材料性質為：

10

L ，EA10⁶，EI_y EI_z GJ 10³，A 1，I_y I_z 10。數值方 法使用 Newmark 積分法及 CDM。本例題在計算變形內力時採用第二類型 的變形內力，Newmark 積分法在平衡迭代時採用第二類型的剛度。

本例題分析時分別使用四及八個元素，Newmark 積分法使用的時間增量 15

.

0

t ，平衡迭代的容許誤差為e_tol 10^4，CDM 使用的時間增量，在四 個元素時為t 210^3，在八個元素時為t10^3。圖4.2 為使用Newmark 積分法的位移-時間曲線，由圖 4.2 可以發現四個元素與八個元素的解仍有 少許差異，圖4.2 也可以發現 CCR 與 CRTL 的結果相當接近，且八個元素 比四個元素的結果更為接近，在附錄E中所提到的元素較多時CCR與CRTL 的慣性力相同，其結果也會幾乎相同的結果相符。

圖4.3 為 CDM與 Newmark積分法的位移-時間曲線比較。兩種方法都 是使用CCR及八個元素的結果，由圖 4.3可發現 CDM與Newmark積分法 數值結果非常接近。CDM在分析時共使用了310⁴個時間增量，CPU時間 為 85.7s，Newmark 積分法在分析時共使用了 個時間增量，827 次迭代 CPU時間為3.12 s。因本例題CDM 的最大容許時間增量為

200

10 3

1 ^



t ，遠



t

積分法，CPU運行的時間也較久，故在本例題使用Newmark積分法效率比 CDM好。

例題二 一雙對稱I 型斷面簡支梁承受二偏心力的軸向力

一斷面為 型鋼的簡支梁兩端各承受一軸向偏心階躍負載(step loading)

43 14 W ) (t

P ， 其 偏 心 位 置 如 圖 4.4 所 示 ， 其 大 小 考 慮 了 ，

，

kip P₀ 50 kip

P₀ 100 P₀ 150kip三種情況。梁的兩端皆為自由翹曲，並可繞著 、 旋轉，但不可繞 軸旋轉。其端點A在 方向不可位移，端點 B在

方 向 是 可 以 平 移 的 。 此 梁 之 幾 何 及 材 料 性 質 ：

X₂G

X₃G

X₁G

X₁G X₁^G

ft L22.05 ， ft

b0.66625 ，t_f 0.044167 ft，d 1.13833ft，t_w 0.0254167 ft ，楊氏 係 數 E 4.17610⁹lb ft² ， 剪 力 係 數 G 1.612810⁹lb ft² ， 密 度

187392 3

10^5

.

15



tol  e

ft

slug ，表一為其斷面性質。本例題用四十個元素與二十個 元素分析的結果相當接近，因此本例題採用二十個元素的結果，數值方法 使用 Newmark 積分法及 CDM，本例題在計算變形內力時採用第二類型的 變形內力，Newmark 積分法在平衡迭代時採用第一類型的剛度，容許誤差

為 。

本例題分別使用CCR與CRTL 進行動態分析，由於結果相同，所以僅 呈現CCR之結果。圖4.5 為靜態分析的負荷-位移曲線，圖4.6 至4.10為動 態分析位移-時間曲線，由圖4.6、4.7可以看出Newmark積分法(t 210^4s) 的結果仍有些不準，由圖 4.6 可以看出 Newmark 積分法(t910^5s)與 CDM(t 110^5 s)在 軸 方 向 的 結 果 幾 乎 相 同 ，Newmark 積 分 法 (

X₁G

10 5

9 ^



t s)與 CDM(t110^5s)在 、 軸方向的結果完全重合，

所以 CDM 的結果在圖 4.7 沒有呈現。圖 4.8-圖 4.10 為使用 Newmark 積分 法(

X₂G X₃^G

10 5

9 ^



t s)之位移-時間曲線圖，由圖4.8-圖4.10可見P₀ 150kip的位

移-時間曲線與P₀ 50kip和P₀ 100kip的位移-時間曲線明顯的不同，本例

題承受通過形心軸力時之靜態挫屈負荷為 kip

L

P_cr EI₂ ^y 184.665

2





，由動 態效應及圖4.5可知 時，此梁應已發生動態挫屈，這應可說明為

何 的位移-時間曲線與

kip P₀ P₀ 150

kip

P₀ 150 50kip和P₀ 100kip的位移-時間曲 線明顯的不同。在軸力P₀ 50kip、P₀ 100kip及P₀ 150kip的動態分析，

Newmark積分法(t 910^5s)皆使用了 3334個增量，分別使用了13603、 18131、25452次迭代，CPU時間分別為119s、183s、266s，CDM(t110^5s) 皆使用了30000個時間增量、CPU時間皆為178s。本例題Newmark積分法 與 CDM 需要的計算時間相差不大，但 Newmark 積分法的計算次數及運算 時間都隨著軸力增加而增加，CDM則是維持相同的計算次數及運算速率。

例題三 一雙對稱I 型斷面簡支梁承受兩端彎矩

本題考慮如圖4.11所示之簡支梁兩端分別受到繞 及 軸的彎矩

， ，其中 B 點還受到繞 軸的彎矩 ，梁兩端不能

繞 軸轉動，但能繞 、 軸轉動，梁兩端皆為自由翹曲，其端點 A 在 方向不可位移，端點B在 方向是可以平移的。此梁之此梁之幾何 及材料性質：

X₂G

0.01M X₂G

 m

-X₂G

m MN

1 M₀  X₁G

X₁G

X₃G

X₃G

X₁G

L6.1 M

，b0.262636m，t_f 0.028448m， d ，

，楊氏係數

m 28194 .

0 m

t_w 0.017272 E199.94804GPa，剪力係數G 82.73712GPa， 密度 7800 ₃

m

kg ，表二為其斷面性質。本例題中使用二十個元素來進行 分析，數值方法使用 Newmark 積分法及 CDM，本例題在計算變形內力時 採用第二類型的變形內力，Newmark 積分法在平衡迭代時採用第二類型的 剛度，容許誤差為 e_tol 10^4。

圖4.12 為靜態分析的負荷-位移曲線圖，圖4.13 為使用 Newmark積分

法與 CDM 的位移-時間曲線圖。本例題使用 CCR 與 CRTL 得到的位移-時 間曲線幾乎完全重合，所以圖 4.13 中僅呈現 CCR 的結果。由圖 4.13 可以 看出 Newmark 積分法 (t510^4s)與 CDM(t 110^5s)的結果非常接 近。本例題Newmark積分法(t 510^4s)分析時共使用了600個增量，3009 次迭代，CPU時間為32s，CDM的最大容許時間增量為t 110^5s，分析 時共使用了 個增量，CPU時間為201.4s，故本例題使用Newmark積 分法效率比 CDM 好。因為動態的效應，由圖 4.13 可以看出動態分析的最 大位移，大於圖 4.12 中靜態分析

104

3

m MN

 1

M₀ 的位移，且圖 4.13 中 方 向的位移V -時間曲線之振幅亦隨著時間增加而增加，所以此梁似乎已發生 動態挫屈。

X₂G

C

例題四 矩形斷面固端梁受側向負載

如圖 4.14 所示，考慮一兩端固定的矩形斷面梁之中點受一偏心載重 作用，其作用力大小如圖所示，梁的固定端皆為抑制翹曲，本例題考慮兩 種偏心距Case (a) ，Case (b)

F

m

e 0 e610^3 m。Case (a)在文獻[23-27]中 都 曾 探 討 。 梁 的 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L0.508m ， ，

，

m b0.0254 m

h3.17510^3 E 207GPa， 0.3， 2713kg m³

10 4

  ，其斷面性質

列於表三。本例題因對稱僅分析一半的結構，Case (a)將其離散成六個元素，

Case (b)將其離散成十五個元素，數值方法使用Newmark積分法及CDM， 本例題在計算變形內力時採用第二類型的變形內力，Newmark 積分法在平 衡迭代時採用第一類型的剛度，容許誤差為e_tol  ^ 。

本例題使用CCR與CRTL 的位移-時間曲線幾乎完全重合，所以本例題 僅呈現CCR 的結果。圖4.15為 Case (a) 使用Newmark積分法與 CDM之 位移-時間曲線，由圖4.15可見，Newmark積分法(t110^5s) 的結果才

有足夠的精度並與CDM(t 310^6s) 之位移-時間曲線幾乎完全重合。使 用Newmark積分法(t 110^5s)時，共使用了500 個時間增量、1957次平 衡迭代、CPU時間6.1s，使用 CDM(t 310^6s)時，共使用了 1667個時 間增量、CPU時間4.31s。圖4.16至4.18為Case (b)之歷時分析的結果，從 圖中可以看出 Newmark 積分法(t 210^6s) 的結果才有足夠的精度並與 CDM(t 510^7s) 之位移-時間曲線幾乎完全重合。使用Newmark積分法 (t 210^6s)時，共使用了 2500個時間增量、20114次平衡迭代、CPU時 間175.4s，使用 CDM(t 510^7s)時，共使用了 10000個時間增量、CPU 時間68.3s，故本例題使用CDM較Newmark積分法有效率。

例題五 一雙對稱I 型斷面直角懸臂梁承端點受集中力

本例題考慮如圖 4.19、4.20 所示之直角懸臂梁在其自由端承受不同的 集中力，本例題考慮兩類的作用力：Case(a) 如圖 4.19所示，一個在 方 向的集中力 P(t)及一個在 方向的集中力 Q(t)作用在 C 點斷面的形心，

Case(b) 如圖 4.20 所示，一個在 方向的偏心集中力 P(t)作用在 C 點斷 面 。 為 P(t)的 大 小 ， 本 例 題 考 慮

X₁G

X₃G

X₁G

P0 P₀ 10kip 及P₀ 15kip，Q 0、 P

Q0.001 及Q 0.01P。該懸臂梁A、B 點為抑制翹曲，C點為自由翹曲。

此 梁 之 幾 何 及 材 料 性 質 ： L20 ft ， b0.70167ft ， t_f 0.0775ft ， ft

d 1.80167 ，t_w 0.04833ft，楊氏係數E 4.17610⁹lb ft² ，剪力係數

2

109

6128 lb .

1

G ft ，密度15.187392slug ft³ ，表四為其斷面性質。

本例題使用二十個元素，數值方法使用Newmark積分法進行分析，時間增 量t210^3，在計算變形內力時採用第二類型的變形內力，平衡迭代時 採用第二類型的剛度，容許誤差為e_tol 10^4。

本例題使用CCR與CRTL 得到的結果幾乎完全一樣。圖4.21、圖4.22

為靜態分析的負荷-位移曲線圖，當Q 0 in 70504

時的挫屈負載 ，

方 向 的 挫 屈 位 移 為 U ， 方 向 的 挫 屈 位 移 為

。圖 4.23 至圖 4.25 為 Case(a)

kip P_cr 18.695

kip

X₃G cr

C 5. X₂^G

P₀ in

V_C^cr 2.20461 10 時自由端 C 點之

時間-位移曲線圖，圖4.26至圖4.28為 Case(a) P₀ 15kip時自由端 C點之 時間-位移曲線圖，由圖4.23至圖4.28中可發現當P₀ 10kip或P₀ 15kip在

P

Q0.001 時位移在X₁^G方向的位移最大，在Q0.01P時位移在 方向的 位移最大，皆與圖4.21的靜態負荷-位移曲線圖一致。圖4.29、4.30為Case(b) 自由端C點之位移-時間曲線圖，因為動態的效應，動態分析時的最大位移 對應於靜態分析的負荷-位移時，靜態分析之負荷會大於動態分析時所受之 負荷，由圖4.29及 4.30及圖4.22，可以發現W 在

X₃G

kip

C P₀ 10 和 時

的最大值對應到圖4.22中 的 ，且

kip P₀ 15 Pcr

P W_C P₀ 10kip和 時，

的最大值的比約為一比五，由上述的觀察可見

kip P₀ 15 kip

WC

P₀ 10 時，應剛造成動態 挫屈，P₀ 15kip時動態挫屈的程度應更高。

例題六 三維梁自由運動

如圖 4.31 所示，考慮在三維空間自由移動之矩形斷面梁。梁的幾何及 材 料 性 質 為 ： L₁ 20m， L₂ 5m ，b0.1m ， E 70GPa ， 0.3，

2700 3

m

 kg

 ，表五為其斷面性質，所受之外力F₁ F(t)，F₂ F(t) 10， 8

)

3 F(t

F  ，其中外力力矩為 Follower Moment M₁ L₁F(t) 10，所謂的 Follower Moment 指此 Moment 附著在梁的斷面上，其方向隨斷面一起旋

F  ，其中外力力矩為 Follower Moment M₁ L₁F(t) 10，所謂的 Follower Moment 指此 Moment 附著在梁的斷面上，其方向隨斷面一起旋

在文檔中 雙對稱斷面開口薄壁梁之幾何非線性動態分析 的一致性共旋轉推導法 (頁 76-86)