統計方法

一、Pearson 積差相關分析

皮爾森相關係數(Pearson Correlation Coefficient, 𝑟𝑟)又稱為積差相關係數 (Coefficient of Product-moment Correlation)，其範圍−1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1(詳細內容請 參閱：陳寬裕與王正華，2011，第 12 章；梁德馨與王智立，2014，第 12 章)。

𝑟𝑟 = 𝑆𝑆_{𝑥𝑥𝑥𝑥}

�𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 =

∑ (𝑥𝑥^𝑛𝑛_𝑖𝑖=1 𝑖𝑖− 𝑥𝑥̅)(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�) 𝑛𝑛 − 1

�∑ (𝑥𝑥^𝑛𝑛_𝑖𝑖=1 ^𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅)²

𝑛𝑛 − 1 ×∑ (𝑦𝑦^𝑛𝑛_𝑖𝑖=1 𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)² 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆_{𝑥𝑥𝑥𝑥}：X 的樣本變異數

𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥：Y 的樣本變異數 𝑆𝑆_{𝑥𝑥𝑥𝑥}：X, Y 的樣本共變異數

二、獨立樣本t 檢定

獨立樣本 t 檢定可比較兩母體的平均值(詳細內容請參閱：梁德馨與王 智立，2014，第 10 章)。

(一)假設

假設有兩個獨立母體，其分佈分別為𝑁𝑁(𝜇𝜇1, 𝜎𝜎₁²)，𝑁𝑁(𝜇𝜇2, 𝜎𝜎₂²)。從第一 個母體取n 個樣本𝑋𝑋1, 𝑋𝑋₂, ⋯ , 𝑋𝑋_𝑛𝑛，從第二個母體取m 個樣本𝑌𝑌1, 𝑌𝑌₂, ⋯ , 𝑌𝑌_𝑚𝑚。 令𝑋𝑋� =^{∑ 𝑋𝑋𝑛𝑛1}_𝑛𝑛 ^𝑖𝑖，𝑌𝑌� =^{∑ 𝑌𝑌𝑚𝑚1}_𝑚𝑚 ^𝑗𝑗，𝑆𝑆₁² = ^∑(𝑋𝑋_𝑛𝑛−1^{𝑖𝑖−𝑋𝑋�)2}，𝑆𝑆₂² =^∑(𝑌𝑌_𝑚𝑚−1^{𝑗𝑗−𝑌𝑌�)2}。𝜇𝜇₁, 𝜇𝜇₂, 𝜎𝜎₁², 𝜎𝜎₂²的估 計量分別為𝑋𝑋�, 𝑌𝑌�, 𝑆𝑆₁², 𝑆𝑆₂² 。若要估計𝜇𝜇1− 𝜇𝜇2，可利用𝑋𝑋� − 𝑌𝑌�，它為𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2

的不偏估計量。因此兩組樣本為獨立樣本，故𝑋𝑋� − 𝑌𝑌�之變異數為^𝜎𝜎_𝑛𝑛¹²+^𝜎𝜎_𝑚𝑚²²。

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其中自由度v 計算方式如下：

𝑣𝑣 = (𝑠𝑠𝑛𝑛 +¹² 𝑠𝑠22

𝑚𝑚)² (𝑠𝑠𝑛𝑛 )^{12 2}

𝑛𝑛 − 1 + (𝑠𝑠𝑚𝑚)^{22 2} 𝑚𝑚 − 1 1. 檢定統計量為

𝑡𝑡 = (𝑥𝑥̅ − 𝑦𝑦�)

�𝑠𝑠¹² 𝑛𝑛 +𝑠𝑠₂²

𝑚𝑚 2. 雙尾檢定

若要檢定母體 1 與母體 2 的平均數是否有顯著差異，其假設檢 定表示如下：

𝐻𝐻₀：𝜇𝜇₁ = 𝜇𝜇₂ 𝐻𝐻1：𝜇𝜇1≠ 𝜇𝜇2

在此情況下，我們使用雙尾檢定，拒絕域表示如下：

|𝑡𝑡| > 𝑡𝑡𝑣𝑣,𝛼𝛼 2⁄

若檢定統計量落入拒絕域內，則代表p 值小於α值，即拒絕虛 無假設𝐻𝐻0，表示有足夠的證據證明𝜇𝜇1與𝜇𝜇2是有顯著差異。

三、迴歸分析

迴歸分析是以一個以上的變數來預測一個連續型隨機變數，並建立預測 模型，可分為簡單線性迴歸與多元線性迴歸。簡單線性迴歸是指兩個變數之 間的關係，可以透過某些參數的應用，直接以直線關係表達的模型，而多元 線性迴歸是指兩個以上的變數的迴歸問題。投手表現中含有兩個以上的變數，

因此可利用多元迴歸分析探討投手表現與薪資的關係，並建立薪資模型(詳 細內容請參閱：陳寬裕與王正華，2011，第 12 章；梁德馨與王智立，2014，

第12 章)。

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(一)迴歸方程式

E(𝑌𝑌_𝑖𝑖|𝑥𝑥_𝑖𝑖) = α + 𝛽𝛽𝑥𝑥_𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖：為已知常數，代表自變數在第i 次試驗的值 E(𝑌𝑌_𝑖𝑖|𝑥𝑥_𝑖𝑖)：給定𝑥𝑥_𝑖𝑖下𝑌𝑌_𝑖𝑖之機率分配的期望值 α：截距

β：迴歸係數，為此方程式之斜率

但線性模式求得的期望值與實際值是有誤差存在的，因此迴歸模型如下：

𝑌𝑌𝑖𝑖 = α + 𝛽𝛽𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝜀𝜀𝑖𝑖

𝜀𝜀_𝑖𝑖：隨機誤差項，表示依變數與其期望值的差，理論假設其平均數為0，

變異數為𝜎𝜎²的常態分配。

(二)前提假設

1. 對每一個特定的 x 來說，其相對應的 Y 應是平均數為E(𝑌𝑌𝑖𝑖|𝑥𝑥𝑖𝑖)、標

準差為𝜎𝜎_{𝑌𝑌｜𝑥𝑥}的常態分配。

2. Y 的期望值E(𝑌𝑌𝑖𝑖|𝑥𝑥_𝑖𝑖)與 x 之間呈線性關係：E(𝑌𝑌_𝑖𝑖|𝑥𝑥_𝑖𝑖) = α + β𝑥𝑥_𝑖𝑖。 3. 對每一個特定的 x 來說，標準差為𝜎𝜎_{𝑌𝑌｜𝑥𝑥}是不會改變的，即Y 的分

配的變異數在整條迴歸線上面是固定的，不會隨著x 的變化而有所 改變，是為變異數同質性(Homogeneity of variance)，又稱等分散性 (Homoscedasticity)。

4. 對任意的兩�𝑌𝑌𝑖𝑖, 𝑌𝑌_𝑗𝑗�，𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗，其誤差項𝜀𝜀_𝑖𝑖與𝜀𝜀_𝑗𝑗應彼此獨立。

(三)參數估計─最小平方和法

使用最小平方法來估計迴歸線，是希望依變數與其估計期望值的 差之平方和愈小愈好。樣本點(𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑌𝑌𝑖𝑖)與估計的迴歸線(𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑌𝑌�𝑖𝑖)之差稱為𝑒𝑒𝑖𝑖， 稱為殘差(Residual)。利用最小平方和法，使殘差最小化後：

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� 𝑒𝑒^𝑛𝑛 _𝑖𝑖²

𝑖𝑖=1 = � �𝑌𝑌^𝑛𝑛 _𝑖𝑖 − 𝑌𝑌��_𝚤𝚤 ²

𝑖𝑖=1

推估多元迴歸模式：

𝑌𝑌� = α� + 𝛽𝛽̂₁𝑥𝑥₁+ 𝛽𝛽̂₂𝑥𝑥₂+ 𝛽𝛽̂₃𝑥𝑥₃+ ⋯ + 𝛽𝛽̂_𝑝𝑝𝑥𝑥_𝑝𝑝

迴歸係數的解釋：迴歸模型裡的其他自變數使其固定後，有興趣之自 變數每增加一個單位，則為依變數平均改變的量。

(四)多元判定係數

判定係數𝑅𝑅²為評估迴歸關係的變異量解釋力。在多元迴歸分析裡，

大部分會採以自變數個數調整𝑅𝑅²，以避免同時放入多個自變數而高估 其為變異量的解釋力，稱為調整後多元判定係數。判定係數愈接近1，

其迴歸模型的解釋力愈佳。

(五)殘差分析

殘差分析所探討的是迴歸模型中的誤差項，是否能符合下列三個性 質──常態性、恆等性、獨立性。以簡單迴歸模型為例，其方程式為：

Y = α + 𝛽𝛽𝑥𝑥 + 𝜀𝜀 誤差項的前提假設：

1.E(𝜀𝜀) = 0

2.對所有𝑥𝑥來說，𝜀𝜀的變異數為𝜎𝜎² 3.誤差項𝜀𝜀之間彼此獨立

4.誤差項𝜀𝜀為一常態分配

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