第四章 研究結果與討論
第三節 綜合分析
本節的主要重點是藉由試題選項特徵曲線來分析各試題選項特性及搭配附錄 三「100 學年度四技二專第一次模擬考數學科(商業類) 雙向細目表」的使用，將試 卷中的各試題依據學習內容分成四類來探討：
- 81 -
題 1.
ABC
中，若2 2 3 1 sin A sin B sin C
，則 B ?
(A)
45
(B)60
(C)120
(D)135
(%) A B C D* CTT IRT 3PL
選答率 15.26 26.51 21.82 36.02 通過率 36.0% 鑑別度 1.649 高分組 7.41 3.41 9.27 79.64 鑑別度 0.72 難易度 0.637 低分組 43.50 29.00 7.50 19.49 難易度 0.44 猜測度 0.089 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(B)、(C)選項均 具有不錯的誘答力。另由正確選項(D)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值高的 受試者而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角形的解法」概念施測，藉 正弦定理以及餘弦定理以區分能力。此題通過率為 36%明顯偏低，推測是此題的 解題過程較為複雜而導致通過率偏低，除了先由正弦定理假設三角形的三邊，還 必須再使用餘弦定理，門檻較高。建議可直接將三角形的三邊表示為
「a
2,b
2,c
3 1
」。- 82 -
題 2.已知平面上三點
A (2, 4)
、B (5, 7)
、C x y ( , )
共線，且 B 點在 AC 上，若 4AC
BC，則3 x 2 y ?
(A)26 (B)28 (C)34 (D)36
(%) A B C* D CTT IRT 3PL
選答率 8.33 12.44 69.76 9.28 通過率 69.8% 鑑別度 1.124 高分組 3.05 0.44 95.92 0.55 鑑別度 0.59 難易度 -0.46 低分組 29.55 37.22 19.45 13.54 難易度 0.67 猜測度 0.172 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(B)、(D)選項均 具有誘答力。另由正確選項(C)之特徵曲線可觀察出，本試題對全部的受試者而言，
均具有良好的鑑別度。此題主要針對「直角坐標系」概念施測，藉內分點公式以 區分能力。由 IRT 中觀察難易度為-0.46，推測此題為近似課本例題，學生較為熟 悉關係，因此有不錯的通過率。
- 83 -
題 3.
ABC
中，設 a、b、c 分別為 A
、 B
、 C
的對邊長。若a 2 b c 0
且3 a b 2 c 0
，則sin A : sin B : sin C ?
(A)3:4:5 (B)7:3:6 (C)3:7:6 (D)3:5:7
(%) A B C D* CTT IRT 3PL
選答率 13.56 9.48 10.92 65.93 通過率 65.9% 鑑別度 2.15 高分組 0.44 0.28 0.32 98.93 鑑別度 0.74 難易度 -0.166 低分組 20.03 25.78 25.44 28.58 難易度 0.62 猜測度 0.225
本試題難易度屬於容易等級，鑑別度屬於非常優良等級，三選項均具有不錯 的誘答力。另由正確選項(D)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等的受試者 而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角形的解法」概念施測，藉三角形 三邊長與正弦值成正比以區分能力。推測一般的受試者容易將畢氏三元數 3、4、5 當作正確答案而只帶入其中一個條件
a 2 b c 0
檢驗，而致使選答(A)選項。- 84 -
題 4.設
0
<<45
，若sin cos 7
5
，則sin cos ?
(A)1
5
(B)1
5
(C)1
25
(D)1
25
(%) A B* C D CTT IRT 3PL
選答率 25.24 38.92 24.32 11.21 通過率 38.9% 鑑別度 3.047 高分組 21.62 63.25 12.20 2.57 鑑別度 0.37 難易度 1.217 低分組 25.86 31.56 19.20 23.01 難易度 0.45 猜測度 0.301 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於優良等級，但須小幅度修改，
(B)、(C)選項均具有不錯的誘答力。另由正確選項(D)之特徵曲線可觀察出，本試 題對能力值高的受試者而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角函數」概 念施測，藉乘法公式以及函數值的大小關係以區分能力。此題通過率為 38.9%明顯 偏低，推測是因為範圍
0
<<45
，sin cos
的值須為負數，而導致許多受試者 選擇正數15。建議可以在關鍵詞「
0
<<45
」底下加註底線以提醒受試者。- 85 -
題 5.求
cos1 cos 2 cos3 cos178 cos179 cos180 ?
(A)15 (B) 1
5 (C) 125 (D) 1
25(%) A* B C D CTT IRT 3PL
選答率 39.77 27.96 25.92 6.17 通過率 39.8% 鑑別度 1.762 高分組 83.13 10.73 5.47 0.59 鑑別度 0.72 難易度 0.605 低分組 33.15 43.17 12.15 11.40 難易度 0.47 猜測度 0.131 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(B)、(C)選項誘 答力較好。另由正確選項(A)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值高的受試者而 言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角函數」概念施測，藉兩互補角其三 角函數合為零以區分能力。其中(B)選項的特徵曲線在中段有些微隆起，顯示本選 項對能力值中等的授試者較具誘答力。
- 86 -
題 6.
ABC
中， A 45
、 B 105
，AB
10，則 ABC
的外接圓面積 ?
(A)
10
(B)25
(C)100
(D)400
(%) A B C* D CTT IRT 3PL
選答率 10.59 28.58 51.85 8.60 通過率 51.9% 鑑別度 2.207 高分組 1.47 5.47 90.10 2.73 鑑別度 0.65 難易度 0.56 低分組 45.01 24.81 11.99 17.81 難易度 0.57 猜測度 0.305
本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(B)選項誘答力 較好。另由正確選項(C)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值高的受試者而言，
具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角形的解法」概念施測，藉以正弦定理區 分能力。其中(B)選項的特徵曲線在左半段有稍高趨勢，顯示本選項對能力值低的 受試者較具誘答力。
- 87 -
題 7.設
A (1,9)
、B (7,1)
、C (1,1)
為坐標平面上之三點，求 ABC
之外心坐標為何？(A)
(4,5)
(B)(5, 4)
(C) 11(3, )
3 (D) 11 ( , 3)
3
(%) A* B C D CTT IRT 3PL
選答率 27.89 14.88 46.65 10.28 通過率 27.9% 鑑別度 1.786 高分組 51.56 5.11 39.60 3.29 鑑別度 0.36 難易度 1.39 低分組 26.70 41.91 16.18 15.13 難易度 0.33 猜測度 0.184
本試題難易度屬於困難等級，鑑別度屬於優良等級，但須小幅度修改，各選 項均具有不錯的誘答力。另由正確選項(A)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值 高的受試者而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「直角坐標系」概念施測，
藉三角形的外心為三中垂線的交點和利用兩點求其中垂線方程式以區分能力。此 題通過率 27.9%為此份試卷各題通過率最低，推測高職課程較少談到三角形的三心 而使學生對外心印象模糊，而課本唯一介紹三角形的重心坐標，而導致大多數的 受試者選答重心坐標(C)選項。建議可在題幹上介紹外心乃三中垂線之焦點，並且 於關鍵詞「外心」加註底線。
- 88 -
題 8.設二次函數 f x( )
x2 6x
5，且 4 x 0
，則f x ( )
之最小值 ?
(A)14 (B)13 (C)5 (D) 2
(%) A B C* D CTT IRT 3PL
選答率 14.38 12.83 55.16 17.44 通過率 55.2% 鑑別度 1.042 高分組 8.95 2.77 85.62 2.46 鑑別度 0.56 難易度 0.404 低分組 23.60 29.72 31.43 15.13 難易度 0.58 猜測度 0.261 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(B)、(D)選項均 具有誘答力。另由正確選項(C)之特徵曲線可觀察出，本試題對全體受試者而言，
均具有良好的鑑別度。此題主要針對「直角坐標系」概念施測，藉二次函數求極 值以區分能力。由(A)選項的特徵曲線觀察中段有些微隆起，推測能力值中等的受 試者將函數配方後 f x( )
x2 6x
5 f x( )
(x 3)2
14，而致使選答(A)選項。- 89 -
題 9.
ABC
中，AB
8，BC
6， B 120
，若 B
的角平分線交 AC 於 D，則? BD
(A)24
7
(B)25
7
(C)26
7
(D)27
7
(%) A* B C D CTT IRT 3PL
選答率 51.99 21.70 15.05 10.96 通過率 52.0% 鑑別度 2.043 高分組 89.82 4.91 2.22 2.89 鑑別度 0.68 難易度 0.465 低分組 32.23 29.21 16.43 21.88 難易度 0.56 猜測度 0.266 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(B)、(C)選項均 具有不錯的誘答力。另由正確選項(A)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等 的受試者而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角形的解法」概念施測，
藉三角形的面積公式求出角平分線長以區分能力。推測一般的受試者由題意「
B
的角平分線」與三角形的面積公式較難連結。- 90 -
題 10.設為銳角，則 sin( ) tan(180 ) cos( ) sin(180 ) cot(270 ) sin(90 ) ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(%) A B C* D CTT IRT 3PL
選答率 38.03 15.10 39.47 7.22 通過率 39.5% 鑑別度 1.752 高分組 27.01 1.78 70.65 0.28 鑑別度 0.47 難易度 1.058 低分組 27.20 23.85 14.96 33.99 難易度 0.47 猜測度 0.265 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，各選項均具有 不錯的誘答力。另由正確選項(A)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值高的受試 者而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角函數」概念施測，藉廣義三角 函數以及餘函數關係式以區分能力。誘答選項(A)的特徵曲線在中段呈現隆起，且 選答率與正確選項(C)之選答率相近，推測受試者在計算過程較為繁雜的題目易選 擇放棄作答，抑或在推導的過程中沒有仔細確認函數值的正負號，而得到
1-1+1=1
的結果。- 91 -
題 11.
( 2 ) 6 2
2 1
x x
f x x
，則 (5) ?f
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(%) A B C* D CTT IRT 3PL
選答率 9.61 12.92 69.93 7.41 通過率 67.0% 鑑別度 1.931 高分組 0.67 0.51 98.65 0.16 鑑別度 0.65 難易度 -0.255 低分組 28.00 33.36 17.52 20.96 難易度 0.66 猜測度 0.24
本試題難易度屬於容易等級，鑑別度屬於非常優良等級，三選項均具有誘答 力。另由正確選項(C)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等的受試者而言，
具有良好的鑑別度。此題主要針對「函數」概念施測，藉簡單的函數關係以區分 能力。其中(A)、(B)、(D)選項的特徵曲線近似且互相纏繞，對能力值低具有誘答 力，推測低分組的受試者在計算令
2 5 3
2
x x
x
後，誤以為函數值即為 3，因 此(B)選項選答率較高。- 92 -
題 12.已知平行四邊形 ABCD 之四頂點的坐標為
A (4, 5)
、B ( 2, 2)
、C ( 4, 7)
、( , )
D x y
，則x y ?
(A)
2
(B)2
(C) 8
(D)8
(%) A B* C D CTT IRT 3PL
選答率 10.42 70.20 10.57 8.63 通過率 70.2% 鑑別度 1.488 高分組 2.97 96.24 0.32 0.16 鑑別度 0.60 難易度 -0.258 低分組 35.88 26.82 18.69 18.57 難易度 0.66 猜測度 0.259
本試題難易度屬於容易等級，鑑別度屬於非常優良等級，各選項均具有不錯 的誘答力。另由正確選項(B)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等的受試者 而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「直角坐標系」概念施測，藉平行四邊 形對角線互相平分關係以區分能力。
- 93 -
- 94 -
題 14.小彬彬於山前某處測山頂仰角為
30
，再朝山的方向前進 400 公尺後測得山 頂仰角為45
，求山高 ?
(A)
100( 3 1)
(B)100(3 3)
(C)200( 3 1)
(D)200(3 3)
(%) A B C* D CTT IRT 3PL
選答率 14.30 12.68 61.04 11.81 通過率 61.0% 鑑別度 2.345 高分組 1.82 0.55 96.00 1.58 鑑別度 0.66 難易度 0.253 低分組 25.61 30.43 20.58 23.22 難易度 0.63 猜測度 0.317 本試題難易度屬於容易等級，鑑別度屬於非常優良等級， 各選項均具有不錯 的誘答力。另由正確選項(C)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等的受試者 而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角形的解法」概念施測，藉正弦定 理以區分能力。此題在選項設計上表達方式一致，因此對能力值低的受試者各選 項均有很好的誘答力；但對能力值高的受試者而言，此題與課文內的例題相近，
較不具有鑑別度。
- 95 -
題 15.設 x、y 為實數且滿足 (x
2y
5)2
x 5y
2 0，則x y ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(%) A B C D* CTT IRT 3PL
選答率 9.55 12.35 16.66 61.32 通過率 61.3% 鑑別度 1.758 高分組 0.28 1.11 1.39 97.19 鑑別度 0.78 難易度 -0.107 低分組 24.73 34.45 19.45 21.29 難易度 0.58 猜測度 0.157
本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(C)選項具有不 錯的誘答力。另由正確選項(D)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等的受試 者而言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「直角坐標系」概念施測，藉平方數 與絕對值均大於或等於零以區分能力。推測能力值低的受試者無此類似試題的解 題經驗。
- 96 -
題 16.已知
tan 3
，則2 2
2 2
sin cos sin cos ?
(A)1
2
(B)2
3
(C)3
4
(D)4
5
(%) A B C D* CTT IRT 3PL
選答率 15.30 18.23 15.73 50.56 通過率 50.6% 鑑別度 1.976 高分組 4.32 1.54 1.78 92.28 鑑別度 0.77 難易度 0.282 低分組 33.36 30.47 15.26 20.70 難易度 0.54 猜測度 0.154 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，三選項均具有 誘答力。另由正確選項(D)之特徵曲線可觀察出，本試題對能力值中等的受試者而 言，具有良好的鑑別度。此題主要針對「三角函數」概念施測，藉三角函數的基 本定義以區分能力。其中觀察(B)、(C)選項的特徵曲線，對能力值低具有誘答力。
- 97 -
題 17.求函數
( ) 4sin( 2 2 ) 5
f x x 3
的週期為何？(A)
2
(B) (C)2
(D)3
(%) A B* C D CTT IRT 3PL
選答率 15.78 47.61 23.24 13.24 通過率 47.6% 鑑別度 2.107 高分組 3.84 88.04 5.07 3.01 鑑別度 0.68 難易度 0.551 低分組 20.03 36.42 21.79 21.58 難易度 0.54 猜測度 0.233 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(C)選項具有較
選答率 15.78 47.61 23.24 13.24 通過率 47.6% 鑑別度 2.107 高分組 3.84 88.04 5.07 3.01 鑑別度 0.68 難易度 0.551 低分組 20.03 36.42 21.79 21.58 難易度 0.54 猜測度 0.233 本試題難易度屬於難易適中等級，鑑別度屬於非常優良等級，(C)選項具有較